i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 121 — #1 i
i
i
i
i
i
LEONARDO DA VINCI (1452–1519) – OB
PETSTOLETNICI NJEGOVE SMRTI: LEONARDO IN
MATEMATIKA
JURIJ KOVIČ
Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko, Ljubljana
FAMNIT, Univerza na Primorskem
Math. Subj. Class. (2010): 00A66, 01A90, 01A40, 01-02
Leonardo da Vinci je zapisan v zgodovino kot znanstvenik, izumitelj in umetnik. Tudi
petsto let po njegovi smrti znanstveno-raziskovalno zanimanje za njegovo ustvarjalnost
samo še narašča. V članku bomo pregledali in ovrednotili predvsem njegove dosežke,
povezane z matematiko, še posebej geometrijo.
LEONARDO DA VINCI (1452–1519) – AT HIS 500th DEATH
ANNIVERSARY: LEONARDO AND MATHEMATICS
Leonardo da Vinci is recorded in history as an scientist, inventor and artist. Even
five hundred years after his death the scientific-research interest in his creativity is only
increasing. We will examine and try to evaluate, in particular, his achievements related
to mathematics, especially geometry.
Matematika v Leonardovem času
V članku [5] smo povedali, kakšna je bila v Leonardovem času znanost in
kakšen je bil položaj umetnika (arhitekta, slikarja). Nismo pa še natanč-
neje opredelili: Kaj je za časa Leonardovega življenja (1452–1519) oziroma
samemu Leonardu pomenila beseda »matematik«? Kaj je sestavljalo mate-
matiko tistega časa? Kakšne metode je uporabljala? Kakšne simbole? Na
kakšni ravni je bila? Kje vse so jo uporabljali? To bomo storili v tem članku.
Vsako zgodovinsko obdobje izoblikuje svojo »definicijo« matematika in
matematike, ki za druga obdobja morda sploh ni uporabna. Kot pravi znani
francoski matematik in zgodovinar matematike Jean Dieudonné (1906–1992),
je matematik »nekdo, ki je objavil dokaz najmanj enega netrivialnega iz-
reka«. V knjigi [1, str. 53] je podan seznam 52 imen matematikov, rojenih
med 1397 in 1517.
V Leonardovem času je ime matematik zaslužil, kdor se je spoznal na:
aritmetiko oz. računanje z abakusom in z arabsko-indijskimi številkami,
geometrijsko algebro grških in arabskih avtorjev in praktično matematiko
(trgovsko-knjigovodsko, finančno-bančno).
Matematiki v času renesanse (kot tudi še nekaj časa pred njo in potem)
niso bili specializirani na neko ozko področje, kot so to matematiki danes,
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4 121
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 122 — #2 i
i
i
i
i
i
Jurij Kovič
ampak so bili pogosto tudi humanistično izobraženi, bili so tudi filozofi in
umetniki, arhitekti in slikarji (teoretiki in praktiki na teh področjih).
Arhitekti so načrte cerkva in njihovih delov (npr. oken, rozet, pročelij,
mozaikov itd.) pogosto zasnovali na različnih simetričnih vzorcih; tako je
npr. Donato Bramante (1444–1514) načrt za tloris Bazilike sv. Petra zasno-
val na križnem starogrškem vzorcu s simetrijo kvadrata; podobno je Leo-
nardo risal načrte cerkva s centralno simetrijo [4, str. 143]. Pogosto so na
tleh upodabljali poliedre, vozle, labirinte (npr. na tleh Katedrale v Char-
tresu [8, str. 135]) in druge geometrijske oblike z različnimi simboličnimi
pomeni. Skrbno so pazili na proporce zgradb; tako je npr. pročelje Kate-
drale v Milanu zasnovano na koncentričnih krogih in večkratnikih števil 12
in 7 [8, str. 133]. Arhitekturo so, v povezavi s študijem antičnih piscev o
arhitekturi, npr. Vitruvija, povzdignili v znanost s teoretičnimi razpravami
o njej (prej je bila bolj v domeni mojstrov, obrtnikov, kamnosekov itd.).
Med teoretiki arhitekture sta pomembna npr. Filippo Brunelleschi (1377–
1466), »oče renesančne arhitekture«, in Leon Battista Alberti (1404–1472),
avtor prve renesančne razprave o arhitekturi O umetnosti gradnje (De Re
Aedificatoria).
Renesančni slikarji so svoje kompozicije dostikrat zasnovali na linearni
perspektivi, pa tudi na preprostih geometrijskih likih ali krivuljah. Tako so
npr. ključni elementi Leonardove slike Leda z labodom iz leta 1508 razpore-
jeni v koncentričnih krogih s sredǐsčem ob desnem robu, zunaj okvirja slike
[8, str. 149]. Na Leonardovi sliki Madona v skalni votlini (1483–86) se figure
vrtinčijo v rastoči stožčasti spirali [12, str. 238]. Uporabljali so tudi zlati
rez. Tega so upoštevali tudi kiparji, po zgledu starogrškega kipa, imeno-
vanega Kanon, katerega avtor Poliklet (ok. 480–420 pr. n. št.), eden izmed
najpomembneǰsih kiparjev klasične antike, je menil, da morajo biti vsi deli
kipa povezani med seboj s sistemom idealnih matematičnih razmerij.
Glasbeniki so že od Pitagore (ok. 570–495 pr. n. št.) dalje vedeli za
tesno povezavo med razlikami v vǐsinah tonov in razmerji njihovih frekvenc,
tudi glasbene kompozicije so že od nekdaj zrcalile »matematične« lastnosti:
simetrijo, red, harmonijo, mero, sorazmerje, število. Renesančna glasba se,
za razliko od renesančne arhitekture, književnosti in likovne umetnosti, ki je
iskala svoje vzore v antiki, ni mogla zgledovati po antični glasbi, saj se le-ta
ni ohranila. Je pa renesančna glasba razvila vrsto svojih glasbenih oblik, od
katerih ima vsaka svojo bolj ali manj določeno »matematično« strukturo.
Leonardo je besedo »matematik« uporabljal za vsakega svobodnega duha
– tako npr. za filozofa in slikarja – ki dvomi o nepreverjenih trditvah avto-
ritet in želi sam, na podlagi lastnih opazovanj, vprašanj in eksperimentov,
priti do odgovorov, in nazadnje do resnice (in lepote). Pojem »matematik«
je torej Leonardu pomenil predvsem nekoga, ki želi spoznati skrivnosti na-
rave in odkriti nekaj novega, ne le nekoga, ki obvlada določene matematične
122 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 123 — #3 i
i
i
i
i
i
Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti: Leonardo in matematika
algoritme ali pozna določene že obstoječe matematične teorije. Leonardov
»matematik« je torej nekakšen skeptik in racionalist, ki pa je obenem tudi
radoveden in raje sprejema skrivnostno in neznano, kot da bi se zadovoljil z
nepreverjenim odgovorom, in ki ga ne zanimajo le odgovori na posamezne
probleme, temveč hoče preko rešitve številnih posamičnih problemov z raz-
ličnih področij uzreti širšo sliko in po možnosti razumeti ves svet, kolikor
je to človeku dano (prim. [1, str. 53]). Matematične knjige v Leonardovem
času so bile predvsem prevodi in komentarji Evklida in Arhimeda v latin-
ščini in grščini. Leonardo jih ni mogel brati, šele pozno se je sam naučil
latinsko. V matematiki je bil, vse do srečanja z Luco Paciolijem, samouk,
imel je težave z ulomki, koreni, razmerji, potencami.
Matematika v Leonardovem času ni bila tako »stroga«, pa tudi ne tako
abstraktna in konceptualna, kot je matematika danes. Slonela je na grški
in arabski matematiki. Njeno najbolj razvito področje je bilo geometrija,
zanimala se je za pravilne poliedre in zlati rez, poskušala je določiti ploščine
različnih ukrivljenih likov (s tem se je zelo rad ukvarjal tudi Leonardo),
vse bolj se je uveljavljala tudi kot orodje pri raziskovanju narave in gibanja.
Pogosto je številom (podobno kot pitagorejci) pripisovala simbolične pomene
(to je počel še Luca Pacioli, ne pa Leonardo, ki mu je npr. število 3 vedno
pomenilo samo 3 in nič drugega). Algebra je bila še slabo razvita.
Leonardo tudi kot »fizik« (čeprav fizika v pravem pomenu besede ta-
krat še ni obstajala) ni bil ravno eksakten. Bil je domiseln pri oblikovanju
problemov, ne pa vselej najbolj uspešen pri njihovem reševanju. Pogoste
računske in miselne napake ali neskladje med besedilom in slikami v njego-
vih zapiskih [3, str. 215–234] navajajo na misel, da so bili nekateri njegovi
eksperimenti očitno samo miselni, ne vselej podprti z merjenji. Kot fizik
se je ukvarjal z mehaniko, optiko, hidromehaniko. V Kodeksu Arundel, fo-
lio 17r, je z uporabo Arhimedovega zakona vzvoda določil težǐsče najprej
enakostraničnega, nato pa še poljubnega petkotnika. Kot prvi je določil
težǐsče tetraedra in, splošneje, poljubne pravilne piramide, ter dokazal, da
se nahaja na eni četrtini njegove vǐsine, merjeno od osnovne ploskve [3, str.
224–225].
Algebra
V 15. stoletju so znali rešiti splošno linearno in kvadratno enačbo, ki bi ju
danes zapisali kot ax + b = 0 in ax2 + bx + c = 0.
Takrat še ni bilo algebrajskega simbolizma, kot ga uporabljamo danes.
V srednjem veku in renesansi so uporabljali retorično algebro (»algebra re-
torica«) – besedne opise za posamezne tipe enačb (v katerih so dopuščali
samo pozitivne koeficiente), kot prikazuje tabela 1 [1, str. 22].
Naslednja stopnja v razvoju algebrske pisave je bila sinkopirana algebra
(»algebra sincopata«). Za neznanke in operacije so uporabljali okraǰsave
121–131 123
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 124 — #4 i
i
i
i
i
i
Jurij Kovič
BESEDNI OPIS ENAČBE USTREZNI DANAŠNJI ZAPIS
cose uguale a numero ax = b
censi e cose uguale a numero ax2 + bx = c
censi uguale a numero ax2 = b
censi uguale a cose ax2 = bx
censi e numero uguale a cose ax2 + c = bx
censi uguale a cose e numero ax2 = bx + c
cubo e cose uguale a numero x3 + bx = c
cubo uguale a cose e numero x3 = bx + c
cubo e numero uguale a cose x3 + c = bx
Tabela 1. Linearne, kvadratne in reducirane kubične enačbe s samimi pozitivnimi koe-
ficienti a, b, c.
besed iz naravnega jezika. Tako so npr. enačbo x2 = 4x + 32 pisali takole:
Qdratu aeqtur 4 rebus p: 32. Sinkopirano algebro je uporabljal npr. Luca
Pacioli (1445–1514), frančǐskanski menih in Leonardov prijatelj, sodelavec
ter učitelj matematike.
Simbolična algebra (»algebra simbolica«) je nastala šele približno sto let
po izdaji matematičnih del Luce Paciolija. Njena tvorca sta Francois Viète
(1540–1603) in René Descartes (1596–1650). Ta simbolizem je omogočil
parametrizacijo problemov in številne pomembne posplošitve [1, str. 23].
Geometrija in perspektiva
Geometri tistega časa so predvsem brali in komentirali klasična dela v gr-
ščini in latinščini. Ptolemejevo delo o astronomiji Almagest je bilo dvakrat
prevedeno iz arabščine v latinščino že v 12. stoletju. Prva tiskana verzija Ev-
klidovih Elementov je izšla v Benetkah leta 1482. Prvi prevod Elementov v
italijanščino je priskrbel Tartaglia leta 1543. Ni bilo še analitične geometrije,
ki sta jo odkrila šele Descartes in Pierre de Fermat (1601–1665), čeprav je do-
ločene ideje v tej smeri razvijal že Nicola Oresme (1323?–1382). Geometrija
tistega časa je bila sintetična, ravninska in prostorska. Evklidska geome-
trija je veljala za neizpodbojno resnico, Evklid pa upravičeno za nepresežni
zgled strogosti v dokazovanju. Geometrijo njegovih Elementov, pa tudi Op-
tike, so uporabili pri razvoju linearne perspektive. Perspektiva (z ustrezno
skraǰsavo pravih proporcev, ki pa jih slikar mora poznati) ustvari iluzijo
124 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 125 — #5 i
i
i
i
i
i
Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti: Leonardo in matematika
tridimenzionalnosti (globine) na dvodimenzionalni površini slike.1 Perspek-
tivični pogled je subjektiven, relativen, odvisen od zornega kota (od kraja,
od koder gledamo), z njim je opazovalcu (slikarju) dana pomembneǰsa vloga,
kot jo je imel dotlej.
Stare kulture niso poznale perspektivnega upodabljanja. Raziskovanje
perspektive je bilo najprej empirično (npr. že v minojski kulturi na Kreti). V
renesansi postane raziskovanje perspektive bolj teoretično: nastanejo preci-
zna pravila, kodificirane norme, sistematični traktati o uporabi perspektive
pri umetnǐskih delih. Vendar pa v umetnosti racionalni, matematični pri-
stop k perspektivi nikoli ni povsem prevladal nad empiričnim. Že v poznem
srednjem veku so se številni umetniki trudili empirično določiti pravila za
zvesto in korektno upodabljanje teles na slikah. Načela linearne perspek-
tive odkrijejo v renesansi v Italiji. Formuliral jih je Filippo Brunelleschi
(1337–1446). Leon Battista Alberti (1404–1472) je v knjigi O slikarstvu
(De pictura, napisani leta 1435 v latinščini, objavljeni šele 1450) predstavil
teorijo perspektive, ki je močno vplivala na delo renesančnih slikarjev. Pi-
ero della Francesca (1415–1492), ki ga je Vasari imenoval najbolǰsi geometer
svojega časa, je napisal De prospectiva pingendi (napisana okrog 1475), v
kateri je obravnaval matematična načela perspektive za opazovalca, ki bi
gledal z enim očesom in med gledanjem ostajal nepremičen; napisal je tudi
Trattato d’abaco (Razpravo o računanju) ter pomembno delo De quinque
corporibus regularibus (O petih pravilnih telesih). Luca Pacioli je 1498 na-
pisal razpravo o zlatem rezu (De divina proporzione). Zanjo je Leonardo
narisal okrog 60 odličnih slik pravilnih (in drugih) teles, med drugim ilu-
stracije poliedrov z votlimi lici in odebeljenimi robovi, ki omogočajo dober
vpogled v strukturo. Te ilustracije so zahtevale odlične risarske sposobnosti,
veliko dela, upoštevanje zakonov perspektive ter upodabljanja svetlobe in
senc, in so bile pomembna inovacija [11].
Leonardo perspektive v [9] ni obravnaval le matematično oz. geometrij-
sko (kot npr. Piero della Francesca), temveč je upošteval tudi sfumato (teh-
niko zamegljenih, prelivajočih se barv in barvnih odtenkov) in chiaroschuro
(tehniko uporabe svetlobe in senc za prikaz plastičnosti upodobljenih teles).
Zanj je bila perspektiva nekakšna znanost o videnju, kot jo pri svojem delu
potrebuje slikar. Leonardo je učil, da obstajajo tri vrste perspektive: line-
arna, barvna (oddaljene stvari so manj intenzivnih barv) in razblinjajoča se
(oddaljena telesa je treba zaradi vpliva zraka na videnje opazovalca nasli-
kati manj jasno). Leonardo je uporabil linearno perspektivo (z določenimi
modifikacijami zaradi velikih dimenzij slike) tudi pri Zadnji večerji.
Albrecht Dürer (1471–1528) je napisal deli Institutionem geometricarum
Libri quatuor, 1525, in Unterweysung der Messung mit dem Zirkel und Ri-
1O tem, kakšni so pravi proporci človeškega telesa, so stari Egipčani, Grki in renesančni
umetniki imeli drugačna mnenja – različne kulture imajo različne lepotne ideale.
121–131 125
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 126 — #6 i
i
i
i
i
i
Jurij Kovič
chtsheyt, 1528. Na dveh lesorezih je prikazal perspektograf, napravo, ki
pomaga pri risanju v perspektivi. Omenja jo že Leonardo v [9]. Perspektivo
sta kot vejo geometrije uveljavila šele Federico Commandino (1509–1575) in
Guidobaldo del Monte (1545–1607). Z njunim delom sta »perspektiva ume-
tnikov« in »perspektiva matematikov« ubrali dve različni, komplementarni
poti.
Postopoma se je iz matematičnih raziskav perspektive porodila projek-
tivna geometrija. Zanjo so zaslužni Gérard Desargues (1591–1661), Blaise
Pascal (1623–1662), Gaspard Monge (1746–1818) in Jean-Victor Poncelet
(1788–1867). Tako se je v nekaj stoletjih krog sklenil: geometrija je nav-
dihnila raziskavo perspektive v slikarstvu, ta pa je spodbudila rojstvo nove
veje geometrije, projektivne geometrije (katere osnove lahko bralec najde v
[7]).
Aritmetika
Aritmetika je bila v Leonardovem času precej elementarna. V knjigi ano-
nimnega avtorja o umetnosti računanja (L’arte de l’abaco, Treviso, 1478),
ki je bila prva tiskana matematična knjiga, so predstavljeni tipični aritme-
tični postopki tistega časa. Števila so razvrščena v kategorije numeri sem-
plici : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, numeri articuli 10, 20, 30, 40, 50, in numeri misti :
11, 12, 13 itd. To razvrstitev naj bi motiviral način izvajanja operacij mno-
ženja in deljenja [1, str. 34]. V knjigi je razloženih pet osnovnih aritmetičnih
operacij: štetje, seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje (»Numerare.
Iongere. Cavare. Moltiplicare. e Partire.«), precej pozornosti je posvečene
tudi razlagi desetǐskega zapisa, ni pa modernih znakov za aritmetične ope-
racije. Znaka +,− vpelje šele G. Widmann leta 1489, znak = R. Recorde
leta 1557, G. Oughtred pa znaka × leta 1631 in : leta 1657.
Med računskimi algoritmi, razširjenimi v Leonardovem času, je treba
omeniti množenje s podvajanjem, katerega različica je bila znana že starim
Egipčanom. Tako so npr. 124 × 35 = 4340 dobili kot vsoto števil 124,
248 = 2 × 124 in 3968 = 124 × 25, saj je 35 = 1 + 2 + 32.
Uporabljali so tudi množenje s tabelo, pri katerem se zmnožke posa-
meznih parov števk vpisuje v pravokotno tabelo, potem pa »sešteva po
diagonali« enice, desetice, stotice itd., kot kaže primer v tabeli 2.
Produkt dveh dvomestnih števil so dobili s krǐznim množenjem (»per
crocetta«), kot v primeru iz tabele 3. Najprej zmnožimo enice 8 × 6 = 48,
zapǐsemo enice 8, zapomnimo si 4 (desetice); vsota obeh produktov enic in
desetic 4×6 = 24 in 8×5 = 40 je 64; prǐstejemo ji 4 in dobimo 68. Zapǐsemo
desetice 8; zapomnimo si 6 (stotic). Zmnožku desetic 4× 5 = 20 prǐstejemo
6 in dobimo 26 (stotic), torej je rezultat 2688.
Sicer pa tedanjo aritmetiko zaznamuje boj med konservativnimi privr-
ženci računanja z abakusom (»abacisti«) in napredneǰsimi privrženci ra-
126 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 127 — #7 i
i
i
i
i
i
Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti: Leonardo in matematika
1 2 4
3
5
3 4 0
4
3 6
2
5
1
0
2
0
1
4340
Tabela 2. Prikaz množenja s tabelo: 124× 35 = 4320.
48
×
56
Tabela 3. Primer križnega množenja: 48× 56 = 2688.
čunanja z indijsko-arabskimi številkami (»algoritmisti«). Indijsko-arabske
številke je vpeljal v Evropo Leonardo iz Pise (Fibonacci) (1170?–1250?) v
knjigi Liber Abaci, objavljeni leta 1202 [1, str. 38]. Decimalnega zapisa
še niso poznali, tako da npr. Leonardo rezultata deljenja 10 s 6 ni mogel
zapisati kot 1,6, temveč v obliki 1 + 46 = 1
2
3 [1, str. 44].
Leonardo in matematika
Že kot otrok je učitelju matematike zastavljal izvirna vprašanja. V šoli
se je učil matematiko za trgovsko rabo, vsestranski mojster Verrochio, pri
katerem se je med svojim vajenǐstvom sicer naučil številnih praktičnih veščin
in umetnosti, pa ga je poučil tudi o nečem globljem – o lepotah geometrije.
Do svojega 44. leta, pred srečanjem z Luco Paciolijem, je bil Leonardo
kot matematik samouk, njegovo matematično znanje pa majhno ali pomanj-
kljivo. Tako je npr. za 1212 zapisal, da je enako
1
0 , do pravilnega rezultata pri
kraǰsanju 270360 je prǐsel bolj z intuicijo kot z matematiko, pri deljenju
2
3 :
3
4
pa je sicer dobil pravilni rezultat 89 , za katerega pa je menil, da ni pravilen,
saj je večji od deljenca; to sklepanje bi bilo pravilno, če bi bil delitelj večji
od 1 [1, str. 71–72]. V Arundelskem kodeksu je primer njegovega neznanja,
kako se množijo ulomki, saj je zapisal: 24 ×
2
4 =
4
4 [1, str. 73].
121–131 127
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 128 — #8 i
i
i
i
i
i
Jurij Kovič
In s kakšnimi matematičnimi problemi se je ukvarjal Leonardo? Z naj-
različneǰsimi, od trivialnih do izredno težkih, nerešljivih s sredstvi, ki so bila
tedaj na voljo. Leonarda so zanimale npr. geometrijske konstrukcije. Tako
je npr. (še pred srečanjem s Paciolijem) za problem, kako včrtati pravilne n-
kotnike krogu, iskal eksaktne in aproksimativne rešitve za n = 3, 4, 5, . . . , 48.
Svojih konstrukcij pogosto ne pojasni, kjer pa pravi, da bo podal dokaz,
poda samo razlago postopkov. Neznanje latinščine in grščine ga ni oviralo,
da ne bi bral, prepisoval in komentiral preprostih odlomkov iz Evklidovih
Elementov.
Paciolijevo enciklopedijsko delo Summa de aritmetica, geometria, pro-
porzioni e proporzionalitá, ki ni bilo napisano v latinščini, je izšlo v Urbinu
leta 1493 in v Benetkah leta 1494. Leonardo si je prepisoval cele pasuse iz
te knjige, naredi celo povzetek poglavij, ki se nanašajo na teorijo razmerij.
Najbolj ga je prevzela geometrija, predvsem problem kvadrature kroga in
teorija lunic med krožnimi loki. Po njunem srečanju v Milanu leta 1494
se je Leonardo močno navdušil za matematiko. Od njega se je naučil, kaj
pomeni »dokaz« v matematiki. V uvodu traktata o anatomiji je zapisal,
po vzoru napisa nad Platonovo akademijo, naj teh zapisov ne bere, kdor ni
matematik. Vendar je matematiko razumel nekoliko po svoje, v smislu tiste
temeljne znanosti, ki daje gotovost vsem drugim. Podobne poglede razo-
deva njegova izjava, da je mehanika paradiž, v katerem matematični sadeži
dozorijo.
Posebej ga je očaral zlati rez (ki ga na daljici AB določa točka E, za
katero je AB : AE = AE : EB), saj je bil ta povezan s skrivnostjo lepega v
umetnosti, s katerim so se ukvarjali že antični slikarji, kiparji in arhitekti.
V zlatem razmerju ϕ = 1+
√
5
2
.
= 1,61 se sekajo npr. diagonale pravil-
nega petkotnika, takšno je tudi razmerje diagonale in stranice pravilnega
petkotnika. Zagotovo so ga poznali že Pitagorejci, saj je bil pentagram nji-
hovo skrivno znamenje. V zlati pravokotnik (v katerem sta si stranici v
zlatem razmerju), se da včrtati kvadrat in dobiti manǰsi zlati pravokotnik,
s ponavljanjem tega postopka pa dobimo neskončno zaporedje kvadratov,
ki se vijejo v spirali, kar spominja na lupino brodnika. Po Leonardu, ki je
ob študiju Vitruvija narisal Kanon proporcev človeškega telesa, so človekovi
proporci idealni, kadar popek deli njegovo vǐsino v zlatem razmerju. To
Leonardovo misel je povzel tudi Dürer, ki na eni od svojih študij človeškega
telesa narǐse krožni lok, ki ima sredǐsče v popku, presečǐsče tega loka z vo-
doravno tangento, ki se dotika vrha glave, pa je tudi skrajna točka, ki jo
dosežejo prsti iztegnjene roke.2 Vendar je Leonardo za zlati rez uporabljal
tudi zelo grobe približke, tako je npr. daljico dolžine 12 razdelil v razmerju
4 : 8, kar je daleč od dobrega racionalnega približka 741 : 458, ki bi ga sicer
2Od tod lahko izračunamo radij r =
√
a2 + b2, če poznamo razdaljo a od popka do
vrha glave in pravokotno projekcijo b od iztegnjene roke na vodoravno tangento.
128 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 129 — #9 i
i
i
i
i
i
Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti: Leonardo in matematika
B C
D
E
A F
A1 B1
C1D1
O
T
E1
Slika 1. Zlati rez v pravilnem petkotniku AD : AF = AF : FD in konstrukcija točke E1
na daljici A1B1, stranici kvadrata A1B1C1D1, za katero je A1B1 : A1E1 = A1E1 : E1B1.
lahko dobil iz svojih računov, če bi upošteval več decimalk [1, str. 89].
Za reševanje enačb z eno neznanko je uporabljal »il metodo della falsa
posizione«, znano že iz Rhindovega papirusa, zelo popularno v renesansi,
potem pa samo še v 19. stoletju. Po tej metodi npr. enačbo x + x5 = 48
poskusimo najprej rešiti s »falsa posizione« x = 5; če to vstavimo v levo
stran, dobimo 6, kar je osemkrat manj od prave vrednosti, torej je rešitev
5 × 8 = 40.
Rad je imel (tako kot Luca Pacioli) aritmetične trike s števili. Rad je
risal vozle (z vozli se danes ukvarja matematična teorija vozlov). Narisal je
številne slike tlakovanj ravnine z nepravilnimi večkotniki (kar je področje,
na katerem so se odlikovali zlasti Arabci v umetnǐskih dekoracijah svojih ar-
hitekturnih del), vendar ga je pri tem vodil bolj umetnǐski kot matematični
navdih. Imel je zelo dobro razvito prostorsko predstavo, zato je lahko izdelal
dobre zemljevide mest in pokrajin, narisane iz ptičje perspektive. Med zani-
mivimi Leonardovimi risbami z matematično vsebino je zanimiva slika nekaj
deset kock z votlimi lici in odebeljenimi robovi, zloženimi v tridimenzionalno
strukturo, podobno kakšni Escherjevi sliki [1, str. 113].
Ukvarjal se je tudi s simetrijami rozet in kupol. »Leonardov izrek«, kot
mu ga je pripisal George E. Martin v [6], pravi (v sodobnem matematičnem
jeziku), da je grupa simetrij ravninskega lika lahko le ciklična (sestavljena
iz samih rotacij) ali diedrska (sestavljena iz rotacij in zrcaljenj).3
3Pri tem se Martin sklicuje na Hermana Weyla (1855–1955), ki pri svoji obravnavi
cikličnih grup v [10] sicer večkrat citira Leonarda, nikjer pa ne pokaže mesta, kjer bi
121–131 129
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 130 — #10 i
i
i
i
i
i
Jurij Kovič
Povsem postranske matematične zadeve so mu vzele strahovito veliko
časa. Potem ko je npr. ugotovil, da človekovo telo in njegovi deli v gibanju
ohranjajo prostornino, prostornina je torej invarianta pri gibanju telesa,
je vrsto let z veliko zavzetostjo študiral pretvorbe teles v telesa z enakim
volumnom in pretvorbe likov v like z enako ploščino. To je vodilo do njegovih
poskusov kvadriranja kroga, ki ga je drobil na vse manǰse trikotnike. Na ta
način ni prǐsel prav daleč.
Matematiko je visoko cenil, kot kažejo zapisi iz njegovih beležnic; uvi-
del je, da je nujna pri formulaciji naravnih zakonov in naravoslovnih teorij.
Matematiko je uporabljal v umetnosti (perspektiva, proporci človeškega te-
lesa) in naravoslovju (optika, študije osvetljenosti lune in zemlje od sonca).
Zelo spretno in domiselno jo je, v povezavi s fiziko, uporabljal tudi pri svo-
jih tehničnih izumih. Za nekatere od njih je dejansko izdelal modele in jih
preizkusil, za številne, ki so bili veliko pred časom, pa je narisal le načrt
oziroma študije. Številni njegovi izumi so bili izbolǰsave izumov, ki so jih
razvili že drugi, tako npr. film Leonardo – človek, ki je rešil znanost, pove,
da je (mnogo premajhno) padalo pred Leonardom izumil že renesančni in-
ženir Taccola, ki je z napravo skušal reševati ljudi iz gorečih hǐs. Geometrijo
je obvladal bolje kot aritmetiko, algebre praktično ni poznal (lahko bi rekli:
njegova genialnost je bila bolj »analogna« kot pa »digitalna«). Paradoks,
zakaj je bil računsko nespreten pri elementarnih aritmetičnih operacijah, pri
čemer se je tudi dostikrat zmotil, precej dobro pa se je kot matematik zna-
šel pri uporabi matematike v tehničnih izumih in v umetnosti, bi bilo treba
šele razložiti; morda je odgovor prav v njegovi vsestranskosti in zmožnosti
prehajanja med različnimi področji, ki je nepogrešljiva pri vseh praktičnih
problemih. Čeprav teoretično ni bil dorasel številnim matematičnim proble-
mom, ki se jih je lotil, pa je bil neverjetno domiseln pri zastavljanju zani-
mivih problemov in zelo uspešen pri različnih uporabah matematike. Verjel
je, da mora slikar poznati geometrijo in si z njo pomagati pri kompoziciji
svojih del, podobno kot je Platon menil, da mora filozof poznati geometrijo.
Ta njegova širina pa ni ugajala vsem. Ozko usmerjeni kritiki njegovega dela
so mu npr. očitali, da je njegova geometrija »geometrija inženirja«, njegovi
izumi pa »izumi geometra«.
Traktat o slikarstvu je Leonardo napisal v matematičnem stilu, z defini-
cijami, dokazi in ilustracijami svojih opažanj in trditev. Definicije različnih
geometrijskih pojmov so raztresene po različnih kodeksih. Ravno črto de-
finira povsem drugače kot Evklid: kot takšno, ki opǐse najkraǰso razdaljo
med dvema točkama. V »definiciji premice« pravi, da premica nima v sebi
nobene substance ali materije in je torej nekakšna duhovna entiteta (»cosa
spirituale«). V kratki razpravi »O točki« točko definira kot »kar je na ne-
kem mestu, ga pa ne zaseda« oz. v italijanskem izvirniku: »il punto e in
Leonardo dejansko dokazal ali vsaj obravnaval tak izrek [1, str. 112].
130 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Kovic” — 2020/1/13 — 12:59 — page 131 — #11 i
i
i
i
i
i
Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti: Leonardo in matematika
sito senza occupazion il sito«. K istim temam se znova in znova vrača z no-
vimi argumenti. Privlačili so ga tudi znameniti grški problemi konstrukcij
z ravnilom in šestilom. Znameniti Délski problem podvojitve kocke »reši«
aproksimativno: kocka s stranico 4 ima 64 kock, kocka s stranico 5 ima 125
kock, 2 × 64 = 128 je približno 125. Nekje drugje pa isti problem reši na
podoben način, kot so ga že v času Platona, vendar ne z ravnilom in šesti-
lom [1, str. 93–98]. V številnih kodeksih so našli njegove izračune robov,
diagonal in površin različnih teles. Veliko časa in energije je posvetil kva-
draturi različnih krivočrtnih likov, npr. likov, ki spominjajo na Hipokratove
lunice: o tej temi je že Alberti napisal knjižico De lunularum quadratura.
V Atlantskem kodeksu je 180 slik, posvečenih reševanju problema: včrtati
bel kvadrat v črn krog, nato pa dobljene krožne segmente pretvoriti v plo-
ščinsko enake like drugačnih oblik, tako da bo razmerje med črno in belo
pobarvanimi liki ostalo konstantno. To Leonardovo delo, čeprav obarvano
s slikarskim načinom razmǐsljanja – iskanjem lepih vzorcev, vsaj po svo-
jem sistematičnem pristopu spominja na matematično raziskavo z določeno
vrednostjo, npr. na različne cenzuse grafov, koristne v teoriji grafov.
Zaključimo lahko, da se Leonardo v »čisti« matematiki ni odlikoval tako
kot na drugih področjih. Je pa prispeval nekaj zelo pomembnih inovacij,
aproksimativnih konstrukcij, ilustracij poliedrov, zanimivi so tudi njegovi
poskusi kvadriranja ukrivljenih likov, slike tlakovanj, vozlov itd. Njegova
matematika je bila predvsem geometrija, namenjena uporabi v umetnosti,
pa tudi v mehaniki, inženirstvu, optiki, tehniki itd. Še danes nam je lahko
neizčrpen navdih pri iskanju uporab matematike, predvsem geometrije, na
različnih področjih.
LITERATURA
[1] G. T. Bagni in B. D’Amore, Leonardo e la Matematica, Giunti Editore, Milano, 2006.
[2] R. Byrne, The Elements of Euclid, William Pickering, London, 1847.
[3] M. Clagett, Studies in Medieval Physics and Mathematics, Variorum Reprints, Lon-
don, 1979.
[4] W. Isaacson, Leonardo da Vinci (podnaslov: Fascinantna biografija enega največjih
genijev vseh časov), Učila International, Tržič, 2018.
[5] J. Kovič, Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti: Renesančni
človek, Obzornik. mat. fiz. 66 (2019), 105–113.
[6] G. E. Martin, Transformation geometry, Springer-Verlag, New York, 1982.
[7] M. Mitrović, Projektivna geometrija, DMFA – založnǐstvo, Ljubljana, 2009.
[8] S. Skinner, Sacred Geometry, Sterling, New York, 2006.
[9] L. da Vinci, Traktat o slikarstvu, Studia humanitatis, Ljubljana, 2014.
[10] H. Weyl, Symmetry, Princeton University Press, Princeton, 1952.
[11] Luca Pacioli, Divina proportione, dostopno na archive.org./details/
divinaproportion00paci/page/n4, ogled 2. 6. 2019.
[12] Umetnost, Svetovna zgodovina, Mladinska knjiga, Ljubljana, 2010.
121–131 131