ISSN 0351-6652 Letnik 22 (1994/1995) Številka 2 Strani 92-95
Anton Cedilnik:
NEKOMUTATIVNE IN NEASOCIATIVNE OPERACIJE
Ključne besede: matematika, algebra, nekomutativne operacije, nea-sociativne operacije.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/22/1216-Cedilnik.pdf
© 1994 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
NEKOMUTATIVNE tN NEASOCIATIVNE OPERACIJE
Živo se še spominjam svojih občutkov, ko sem na začetku gimnazije prvič slišal za komutativnost in asociativnost seštevanja in množenja. Ne da bi ne verjel, da res veljajo te lastnosti; nasprotno, preveč sem verjel vanje, da bi se mi sploh zdelo vredno o tem govoriti
Da niso bili samo moji občutki taki, dokazuje šala, ki je že tako stara, da je večina bralcev Preseka verjetno ne pozna, pa naj mi jo bo zato dovoljeno povedati!
Smrkavec priveka ¡2 šole: "Cvek sem dobil!"
Oče: "Kaj si bil pa vprašan?"
Sin: "Koliko je 3 x 4."
Oče: "In kaj si odgovoril?" Sin: "Ja, 12!"
Oče: "Dobro. Kaj pa je bilo potem?"
Sin: "Učiteljica je vprašala, koliko je 4 x 3,"
Oče skomigne: "Isto sranje "
Sin Še bolj zajoka: "No, ata, jaz sem tudi tako rekel!"
Da razmišljanje o komutativnosti in asociativnosti ni od muh, se zavemo šele takrat, ko naletimo na operacije, ki teh lastnosti nimajo. Namen tega zapisa je pokazati, da je takšnih operacij nič koliko in da nekatere spoznamo celo že v osnovni šoli. Preden pa začnemo s primeri, razčistimo s terminologijo: Kaj je operacija in kaj asociativnost?
Imejmo neprazni množici A in B, Premi (kartezični) produkt A x B je množica vseh urejenih parov elementov iz teh dveh množic:
AxP:= {(a,b)l(aeA)A(b€ff)}.
Z izrazom urejeni par hočemo povedati, daje točno določeno, kateri element v paru je prvi in kateri drugi.
Dvočfena (binarna) operacija je povsod na A X B definirana preslikava v neko tretjo množico C, torej predpis, ki vsakemu paru iz A x B priredi točno določen element iz C Elementoma iz para recimo operanda. njima predpisani element C pa rezuftat. Pri konkretnih operacijah so imena seveda tudi konkretna. Tako sta naprimer pri seštevanju operanda seštevanca, rezultat pa vsota; pri odštevanju je prvi operand z manjše vanec, drugi je odštevanec in rezultat razlika. Rezultat cesto označimo tako, da med operanda vstavimo kak znak: a + b, a ■ b sfe), a o b. a/b, ...
Vzemimo sedaj, daje B = -4 in da neka operacija vsakemu paru (a, b) g A x A priredi rezultat a* b £ C'. Ta operacija je komutativna, Se velja enačba
a * b = b * a
za poljubna a, b iz A. Mimogrede, enačbi, ki velja za vse vrednosti spremenljivk v njej, pravimo identiteta.
Zahtevajmo še C — A. Potem je asociativnost operacije definirana z identiteto
(a * b) * c = a * (b * c).
V nadaljevanju bom navedel 16 operacij tipa .4 x ,4 -> A', nekatere so
asociativne ali komutativne, druge ne. Predlagam bralcu, da izdela dokaze za tiste lastnosti, ki veljajo. Oglejmo pa si protiprimere za tiste, ki ne veljajo: Najprej štiri komutativne asociativne operacije.
1.	A — (pozitivna cela števila): a * b := rn(a, b) {najmanjša skupna mera),
2.	A ~ IR (realna števila); a + b :— min{a, b} (manjši od obeh),
3.	A = C (kompleksna števila); a * b a b ~ ab (kvaziprodukt), 4 A = A^IR) (realne kvadratne matrike z dvema vrsticama);
Naslednje štiri operacije so asociativne, niso pa komutativne.
5.	A je poljubna množica z vsaj dvema elementoma; a * b .= a (prvi operand), Protiprimer:
P/<j:	= p; q* p= q-
6.	A = ,W2(IR);
'a fc" _c d
Protiprimer:
"0	1"		'1	2'		'0		i	to	ro	1		2	1"
1	0		0	0		1	ah	0	oj	u	0_		C	0
w X		a + w	b + x
y z.		c + y	d + z
(vsota matrik)
W	X	
y	z	
aw + by c iv + d y
ax + bz cx + dz
(produkt matrik)
7.	A — IR1^ (povsod definirane realne funkcije); (f o g)(x) f(g(x)) (kompozitum dveh funkcij). Protiprimer:
f(x) = x2, g(x) = x + 1; (fo9)(x)^(x+l)2; (9of)(x) = x2 + l.
8.	A = G(IR2) (gibanja v ravnini; to so preslikave, ki ohranjajo razdalje med točkami in kote med premicami; mednje spadajo tudi vzporedni premiki, vrtenja in zrcaljenja); če sta operanda in gj dve gibanji, naj bo rezultat 9192 sestavljeno gibanje, najprej 92. nato Pa 91-Protiprimer: Imejmo na ravnini ortonormiran koordinatni sistem, 91 naj bo premik za 1 v pozitivni smeri abscisne osi, 52 Pa zrcaljenje preko ordinatne osi;
9192 ■ 0(0,0) 0(0.0) A(1,0); 3291 : O(0,0) ^ A(1,0)^ B(-1,0).
Naslednji štirje primeri so komutativni. niso pa asociativni.
9.	A = IR; a * b := (s + b)/2 (aritmetična sredina). Protiprimer: (1 # 0) * 2 = 5/4; 1 * (0 * 2} = 1.
10 A = IR; a * b := ja — b\ (razdalja med operandoma). Protiprimer: (1 * 1) * 2 = 2; 1 * (1 * 2) = 0.
11. A naj bo množica. ki vsebuje Število 0 in vsa tista racionalna Števila, ki jih lahko napišemo z decimalnim zapisom
±0, did2d3 ■ 10a,
pri čemer so d\,d2,d3 poljubne tri decimalke, le d-[ ^ 0, eksponent a pa je poljubno celo število. S temi števili računamo kot z vsemi realnimi števili, le da rezultat spet spravimo v zahtevano obliko in pri tem po potrebi zaokrožimo, takemu računanju pravimo aritmetika s plavajočo vejico. Še operacija: kar običajno seštevanje! Protiprimer:
[(-0, 500) ■ 102 + 0, 501 102] + 0, 499 ■ 10*1 = 0,150 ■ 10° (-0. 500) ■ 102 + [0, 501 ■ 102 + 0, 499 lO^1] = 0, 100 ■ 10°,
12.	A naj bo množica vseh racionalnih števil, ki imajo v decimalnem zapisu cela mesta in prve tri decimalke poljubne, ostala decimalna mesta pa zasedajo ničle in jih zato sploh ne pišemo. Z njimi računamo tako kot z realnimi števili, le rezultat vedno zaokrožimo na tri decimalke. Takemu računanju pravimo aritmetika z nepremično vejico. Operacija naj bo tokrat kar navadno množenje. Protiprirner:
(0,100 0,002) -50, 000 = 0,000; 0,100-(0,002-50,000)= 0,010.
Pripomba! Zadnja dva primera operacij sta še posebej zanimiva, saj v praksi
vedno računamo na en ali drug način. Neasociativnost torej srečamo tako
rekoč na vsakem koraku.
Zadnje štiri operacije, ki pa niso niti komutativne niti asociativne.
13.	A~7L (cela števila); operacija je odštevanje Protiprirner;
1-0=1; 0- 1 = -1.
(1-0)-1 = 0; 1 — (0 - 1) = 2.
14.	A — (neničelna racionalna števila); operacija je deljenje. Protiprirner:
1:2=—; 2:1 = 2, 2
(2 : 1) : 2 = 1; 2 : (1: 2) - 4.
15.	A — IR+ (pozitivna realna števila), a * b := ab. Protiprirner;
1*2 = 1; 2*1 = 2, (2 * 1) * 3 = 8; 2* (1*3) = 2.
16.	A = IR3 (tridimenzionalni vektorski prostor), operacija je vektorski produkt. Protiprirner: i,j, k naj bodo paroma pravokotni vektorji z dolžino 1, ki ležijo zaporedoma na koordinatnih oseh (x), (y), (z), z isto orientacijo kot te osi.
Anton Cedilnik