i i \Semrl" | 2021/12/13 | 9:04 | page 137 | #1 i i i i i i Zero product determined algebras M. Bre sar, Zero product determined algebras, Frontiers in Mathematics, Birkhauser/Springer, Basel, 2021, 185 strani. Profesor Matej Bre sar, avtor znanstvene monograje, ki je nedavno iz sla pri za- lo zbi Birkh auser/Springer, je studij ma- tematike na Univerzi v Ljubljani vpisal leta 1983. Po kon canem dodiplomskem studiju je sledil bliskovit vzpon med vo- dilne slovenske matematike. Zelo mlad je leta 1990 doktoriral in samo pet let ka- sneje ze prejel nagrado Republike Slove- nije za znanstveno-raziskovalno delo (da- na snjo Zoisovo nagrado). Leta 2015 je bil kot izredni clan sprejet v Slovensko akademijo znanosti in umetnosti, od leta 2021 pa je njen redni clan. Je redni pro- fesor na Fakulteti za matematiko in - ziko Univerze v Ljubljani in na Fakul- teti za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru. V letih 2014 do 2016 je bil predsednik Dru stva matematikov, zikov in astronomov Slove- nije. Vklju cen je tudi v raziskovalno delo na In stitutu za matematiko, ziko in mehaniko v Ljubljani. Rezultati njegovega znanstvenega dela so bili objavljeni v ve c kot 160 znanstvenih clankih. Sodi med najbolj citirane slovenske matematike. V zadnjem casu se odlikuje kot plodovit pisec u cbenikov in znanstvenih mono- graj. Je avtor u cbenika Uvod v algebro, ki je iz sel pri DMFA Zalo zni stvo. V zadnjih petnajstih letih so iz sle stiri njegove knjige pri zalo zbi Sprin- ger. Leta 2007 je s soavtorjema M. Chebotarjem in W. S. Martindaleom izdal znanstveno monograjo »Functional identities«. Sledila sta u cbenika »Introduction to noncommutative algebra« in »Undergraduate Algebra. A unied approach «, ki sta bila natisnjena v letih 2014 in 2019. V septem- bru 2021 pa smo pri cakali se njegovo zadnjo znanstveno monograjo »Zero product determined algebras«. Spomnimo se, da je algebra mno zica s tremi operacijami. Tu sta najprej dve notranji operaciji, to sta se stevanje in mno zenje. Za se stevanje zah- tevamo vse obi cajne lastnosti, pri mno zenju pa se po navadi omejimo na Obzornik mat. fiz.68 (2021) 4 137 i i \Semrl" | 2021/12/13 | 9:04 | page 138 | #2 i i i i i i Nove knjige zahtevo, da je asociativno. Zelo pogosto pa se obravnavajo tudi neasocia- tivne algebre, kot so npr. Liejeve in jordanske algebre. Tretja operacija je zunanja. To je mno zenje s skalarji in tu zahtevamo podobne lastnosti, kot jih ima mno zenje obi cajnih vektorjev s skalarji. Izka ze se, da o nekaterih algebrah lahko povemo zelo veliko, ce poznamo zgolj tiste urejene pare elementov, katerih produkt je enak ni c. Kadar nam ta informacija zadostuje za dobro razumevanje strukture algebre, govorimo o algebri, dolo ceni z ni celnim produktom. Ta »denicija « je bila namenoma predstavljena nenatan cno, saj zelimo v tem kratkem zapisu zgolj intuitivno predstaviti glavne matemati cne ideje, o katerih te ce beseda v monograji. Vsi, ki bi zeleli izvedeti ve c, ste toplo vabljeni k prebiranju te monograje. Koncept algebre, dolo cene z ni celnim produktom, je naravno zrasel iz studija dveh na prvi pogled povsem nepovezanih problemov. Prvi je pro- blem karakterizacije linearnih ohranjevalcev komutativnosti na centralnih enostavnih algebrah, drugi pa je studij lokalnih odvajanj na operatorskih algebrah. Sti cna to cka pri obravnavi teh dveh problemov je bil studij bi- linearnih preslikav, ki imajo ni celno vrednost na vseh parih elementov z ni celnim produktom. V obeh primerih je bil to odlo cilni korak k re sitvi za- stavljenega problema. To je potem naravno vodilo do koncepta, ki je tema pri cujo ce monograje. Lahko bi rekli, da je ta koncept v za cetku slu zil zgolj kot glavno orodje pri re sitvi dveh konkretnih matemati cnih problemov. A se je kmalu izkazalo, da se zadaj skriva mnogo ve c { razvoj teorije je ves cas stregel s stevilnimi uporabami v algebri in v analizi. Ze sam za cetek teorije ima dualni zna caj, algebrski na eni strani in ana- liti cni na drugi. Avtor monograje je bil vodilni pri razvoju algebrske smeri, pri analiti cnem delu zgodbe pa je glavno vlogo odigral spanski matematik Armando Villena iz Univerze v Granadi. V monograji se do sedaj prete zno lo ceni zgodbi zdru zita in poenotita, kar vodi do mnogoterih poenostavitev ze objavljenih rezultatov in dokazov. Prvi del monograje je posve cen algebrai cni veji teorije, drugi analiti cni, tretji pa je namenjen uporabi teorije na razli cnih podro cjih algebre in funk- cionalne analize. Prav uporabnost teorije je bila ves cas glavna motivacija za njen razvoj. Peter Semrl 138 Obzornik mat. fiz.68 (2021) 4