Gradbeni vestnik letnik 72 april 2023 91 doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek, prof. dr. Igor Planinc, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina ANALIZA VPLIVA RAZPOK V BETONU NA TOGOST ARMIRANOBETONSKIH NOSILCEV Povzetek Zaradi majhne natezne nosilnosti betona armiranobetonske konstrukcije razpokajo že pri nizkem nivoju zunanje obtežbe. Dobro je znano, da razpoke v betonskem delu armiranobetonskih nosilcev bistveno vplivajo na velikosti pomikov le-teh, med- tem ko razporeditev, število in širina razpok odločilno vplivajo na njihovo trajnost. Pogosto pravimo, da razpoke bistveno vplivajo na togost armiranobetonskih nosilcev. V članku predstavimo novo družino deformacijskih končnih elementov za analizo vpliva razpok na togost armiranobetonskih nosilcev. Prednosti predstavljenega numeričnega modela sta dve: (i) model omogoča upo- števati tudi vplive zdrsov med armaturnimi palicami in betonom in (ii) prečne razpoke armiranobetonskega nosilca so v modelu obravnavane diskretno, pri tem pa so med analizo njihove lege vzdolž osi nosilca oziroma vzdolž končnega elementa poljubne in jih ni treba, kot pri drugih modelih, poznati vnaprej. To pomeni, da mreže končnih elementov v predstavljenem numeričnem modelu ni treba prilagoditi legam razpok vzdolž osi armiranobetonskega nosilca. Primerjava med eksperimentalnimi in nume- ričnimi rezultati analiz na prostoležečem armiranobetonskem nosilcu je pokazala, da s predstavljenim modelom zelo dobro določimo njegovo obtežno deformacijsko krivuljo kot tudi razporeditev, število in širino razpok. Zato je predstavljeni numerični model primeren za analizo vpliva razpok v betonu na togost armiranobetonskih nosilcev. Ključne besede: armirani beton, natezna togost, razpokanost, diskretna razpoka, geometrijska nezveznost doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek univ. dipl. inž. grad. jerneja.cesarek@fgg.uni-lj.si prof. dr. Igor Planinc, univ. dipl. inž. grad. igor.planinc@fgg.uni-lj.si izr. prof. dr. Sebastjan Bratina, univ. dipl. inž. grad. sebastjan.bratina@fgg.uni-lj.si Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Jamova 2, Ljubljana Znanstveni članek UDK 539.382:624.072.2 ANALIZA VPLIVA RAZPOK V BETONU NA TOGOST ARMIRANOBETONSKIH NOSILCEV ANALYSIS OF THE EFFECT OF CRACKS IN CONCRETE ON THE STIFFNESS OF REINFORCED CONCRETE BEAMS Gradbeni vestnik letnik 72 april 2023 92 Summary Due to the low tensile strength of concrete, reinforced concrete structures crack even at a low external load. It is well known that cracks in reinforced concrete structures have a significant influence on their displacements, while the distribution, number and width of cracks have an important influence on their durability. It is often claimed that cracks significantly affect the stiff- ness of reinforced concrete beams. This article presents a new family of strain-based finite elements for analyzing the effects of cracks on the stiffness of reinforced concrete beams. Two advantages of the presented numerical model can be mentioned: (i) the model takes into account the slip between reinforcing bars and concrete, and (ii) the transverse cracks in the reinforced concrete beam are treated discretely in the model, while their position in the finite element during the analysis is arbitrary and does not need to be known in advance, as in other models. This means that the finite element mesh in the presented numerical model does not need to be adjusted to the location of the cracks along the axis of the reinforced concrete beam. A compa- rison between the experimental and numerical results of the studied simply supported reinforced concrete beam showed that the presented model can be used to determine the load-displacement curve as well as the distribution, number and width of cracks very well. Therefore, the presented numerical model is suitable to analyze the influence of cracks in concrete on the sti- ffness of reinforced concrete beams. Key words: reinforced concrete, tension stiffening, cracking, discrete crack, geometric discontinuity doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek, prof. dr. Igor Planinc, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina ANALIZA VPLIVA RAZPOK V BETONU NA TOGOST ARMIRANOBETONSKIH NOSILCEV Gradbeni vestnik letnik 72 april 2023 93 doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek, prof. dr. Igor Planinc, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina ANALIZA VPLIVA RAZPOK V BETONU NA TOGOST ARMIRANOBETONSKIH NOSILCEV 1 UVOD Beton je krhek heterogeni material, ki razpoka že pri rela- tivno nizkih nateznih obremenitvah. Zato pri dokazovanju mejne nosilnosti armiranobetonskih (v nadaljevanju AB) konstrukcij v skladu s standardi Evrokod (mejna stanja no- silnosti) upoštevamo le tlačno nosilnost betona [SIST, 2005] (glej npr. konstitucijski model betona na sliki 2(a)). Vendar pa kljub razpokam v betonu, ki se pojavijo zaradi njegove majhne natezne trdnosti, ta zaradi sovprežnega vpliva sode- luje pri prevzemanju nateznih obremenitev v AB-konstrukciji [Venkateswarlu, 1972], saj se med razpokami v betonu nate- zne napetosti ustrezno prerazporedijo med armaturnimi pa- licami in betonom. Ta prerazporeditev natezne obremenitve je mogoča zaradi zdrsov na stiku med armaturnimi palicami in betonom ter posledično sprijemnih napetosti na njunem stiku (slika 1). Ta sovprežni prispevek betona k natezni togosti AB-konstruk- cij ni zanemarljiv in ga praviloma upoštevamo pri preverjanju mejnih stanj uporabnosti, tj., ko ugotavljamo velikosti povesov in širine razpok ter tudi ko preverjamo nivo napetosti v betonu in armaturnih palicah. V literaturi lahko zasledimo različne matematične modele, s katerimi upoštevamo prispevke te t. i. sovprežne natezne to- gosti (ang. tension stiffening) AB-okvirjev oziroma nosilcev pri določitvi pomikov in širine razpok tovrstnih konstrukcij. Pri najpreprostejših modelih ustrezno modificiramo material- ni model za armaturo (npr. [Pöttler, 1987]) ali pa material- ni model betona v nategu (npr. [Bergan, 1979]). Seveda pa z omenjenima preprostima modeloma zgolj približno ocenimo prispevek natezne nosilnosti betona k togosti AB-nosilca. Pri- čakovano pa s takšnimi modeli ne moremo ustrezno določiti števila, širine in razporeditve razpok. Primer modificiranega materialnega modela betona v nategu, kot ga predlagata Bergan in Holand, prikazujemo na sliki 2(b). V znanstveni literaturi zasledimo tudi natančnejše matematič- ne modele za analizo vpliva prečnih razpok na togost AB-okvir- jev oziroma nosilcev. Omenimo le dva, ki sta zasnovana na me- haniki loma. Prvi je model razmazane razpoke, drugi pa model diskretne razpoke (slika 3). Fizikalne razloge za uporabo teh modelov za analizo togosti AB-nosilcev sta detajlno predstavila Bažant in Planas [Bažant, 1998]. Da pa je treba za ustrezno mo- deliranje vpliva razpok na togost AB-nosilcev upoštevati tudi zdrs med armaturnimi palicami in betonom, v svojih raziskavah utemeljujeta tudi Mathern in Yang [Mathern, 2021]. Matematični model razmazane razpoke za analizo togosti AB- nosilcev uvrščamo v družino t. i. nelokalnih matematičnih mo- delov. Za te modele je značilno, da so njihovi materialni mode- li odvisni od deformacij na končno veliki okolici opazovanega delca in ne le od deformacij njegove infinitezimalne okolice [Bažant, 1998]. V sklopu tega modela vplivno območje deforma- Slika 1. Razporeditev: (a) sprijemnih napetosti τc na stiku med betonom in armaturno palico, (b) normalnih napetosti v betonu σc na stiku z armaturno palico in (c) normalnih na- petosti v armaturni palici σs. Slika 2. Materialna modela betona v nategu: (a) brez na- tezne nosilnosti, (b) natezna nosilnost betona, modificira- na skladno s priporočili Bergana in Holanda [Bergan, 1979] (ε'ct1=0,055 ‰ in εmax=0,7 ‰). Slika 3. (a) Model razmazane in (b) model diskretne razpoke. Gradbeni vestnik letnik 72 april 2023 94 cij opazovanega delca določa materialni parameter Lc, ki ga ime- nujemo karakteristična dolžina mehčanja AB-nosilca (glej sliko 3(a)). Slabost tega modela pa je predvsem v tem, ker moramo med analizo vnaprej predvideti območja mehčanja AB-nosilca. Ne glede na to pa nam ta model omogoča analizo mehčanja prečnih prerezov AB-nosilcev tako v nategu (glej npr. [Bažant, 1998], [Fib, 2013], [Markovič, 2013], [Mathern, 2021], [Rabczuk, 2005], [Yang, 2007]) kot tudi v tlaku ([Coleman, 2001], [Krätzig, 2004], [Markeset, 1995], [Markovič, 2012], [Mathern, 2021]). Para- meter Lc, tj. območje AB-nosilca s konstantnimi ekvivalentnimi osnimi deformacijami εc r, določimo v materialnem modelu be- tona v nategu z energijo loma Gf [Bažant, 1998] oziroma v tlaku z energijo drobljenja [Coleman, 2001] (glej sliko 3(a)). V znanstveni literaturi zasledimo tudi številne raziskovalce (glej npr. [Bajc, 2018], [Dias-da-Costa, 2009], [Fib, 2013], [Yang, 2007]), ki vpliv razpok na togost AB-nosilcev analizirajo z modelom dis- kretne razpoke (glej sliko 3(b)). Vendar se tudi pri implementa- ciji tega matematičnega modela soočimo z istim problemom kot pri implementaciji modela razmazane razpoke, saj moramo v analizi vnaprej določiti mesta prečnih razpok. Ker za analizo praviloma uporabljamo metodo končnih elementov, kjer so mesta prečnih razpok vozlišča končnih elementov (glej npr. [Bajc, 2018], [Domaneschi, 2021]), moramo za dovolj natančno analizo razporeditve, števila in širine razpok uporabiti zelo gosto mrežo končnih elementov. V sklopu matematičnih modelov za analizo togosti AB-konstrukcij, pri katerih razpoke obravnava- mo diskretno, pa v znanstveni literaturi zasledimo tudi števil- ne numerične metode, ki niso zasnovane na metodi končnih elementov (glej npr. [Alanani, 2020], [Domaneschi, 2021], [Forti, 2019], [Fujiwara, 2015], [Rabczuk, 2008], [Yang, 2007]). V članku bomo predstavili nov numerični model za analizo vpli- va prečnih razpok na togost AB-nosilcev. Predstavljeni model upošteva prečne razpoke diskretno in je zasnovan na deforma- cijski metodi končnih elementov. Glavna značilnost nove dru- žine deformacijskih končnih elementov je v tem, da je prečna razpoka sestavni del končnega elementa, pri tem pa je njena lega v njem poljubna in je ni treba poznati vnaprej. Materialni model odpiranja razpoke pa v predstavljenem modelu določi- mo s pomočjo dobro znanega materialnega modela betona v fazi mehčanja in ekvivalentne osne deformacije, ki ga uporablja- mo v modelu razmazane razpoke. Predstavljeni numerični mo- del dejansko predstavlja nadgradnjo modela za analizo prečnih razpok na togost natezno obremenjene AB-palice [Ogrin, 2022]. 2 MATEMATIČNI MODEL AB-NOSILCA Z VGRAJENO RAZPOKO Obravnavamo AB-nosilec z dolžino L in s konstantnim preč- nim prerezom. Pri tem z (•)c označimo fizikalne količine, ki pripadajo betonskemu delu AB-nosilca, z (•)s pa količine, ki pripadajo armaturnim palicam. Ne izgubimo splošnosti izpe- ljave, če predpostavimo, da je nosilec armiran le z eno arma- turno palico. Pri tem je Øs njen premer, zs njena oddaljenost od referenčne osi betonskega dela nosilca, As pa površina nje- nega prečnega prereza. Pri izpeljavi matematičnega modela AB-nosilca betonski del s površino Ac in vzdolžno armaturno palico obravnavamo ločeno, pri čemer pri armaturni palici zanemarimo upogibno togost, tako da jo modeliramo z mo- delom osno raztegljive vrvi, ki je obdana z betonskim ovojem. Upoštevamo tudi, da se na stiku med armaturno palico in be- tonskim ovojem lahko pojavijo zamiki (Δ), prečni razmiki pa so preprečeni. Dodatno predpostavimo, da je nosilec izpostavljen kratkotrajnemu delovanju zunanje linijske obtežbe (qc oz. mc), ki deluje v referenčni osi betonskega dela, ter robni obtežbi na začetku oziroma koncu betonskega dela AB-nosilca (Sc,i). Na sliki 4 predstavimo nedeformirano ter dve deformirani legi AB-nosilca. Prva deformirana lega nosilca je lega nosilca brez Slika 4. Nedeformirana in deformirani legi AB-nosilca, izpostavljenega osnoupogibni obremenitvi. doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek, prof. dr. Igor Planinc, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina ANALIZA VPLIVA RAZPOK V BETONU NA TOGOST ARMIRANOBETONSKIH NOSILCEV Gradbeni vestnik letnik 72 april 2023 95 razpok, druga pa z eno razpoko. Lego prečne razpoke v osi AB- nosilca določa materialna koordinata xc r, velikost razpoke pa določata količini Δur in Δφr, njun pomen je natančneje predsta- vljen v poglavju 2.2. Pri izpeljavi osnovnih enačb AB-nosilca upoštevamo speci- fično spremembo dolžine εc0 in ukrivljenost referenčne osi κc betonskega dela nosilca (osne in upogibne deformacije) ter specifično spremembo dolžine εs armaturne palice (osno de- formacijo), medtem ko strižno deformiranje betonskega dela zanemarimo. Velja Bernoullijeva predpostavka o ravnih preč- nih prerezih betonskega dela, tj., prečni prerezi so tudi v de- formirani legi ravni in pravokotni na deformirano referenčno os nosilca. Potek osnih deformacij po višini prečnega prereza je linearen: εc=εc0+zc κc. Dodatno predpostavimo, da so vzdolžni (uc, us) in prečni pomiki (wc) ter zasuki prečnega prereza be- tonskega dela (φc) 'majhni', prav tako so 'majhni' tudi zamiki na stiku med armaturno palico in betonom. To pa pomeni, da kinematične in ravnotežne enačbe matematičnega modela AB-nosilca zapišemo v linearni obliki, medtem ko so konstitu- cijske enačbe modela nelinearne. 2.1 Osnovne enačbe nerazpokanega nosilca Osnovne enačbe nerazpokanega AB-nosilca izpeljemo z li- nearizacijo Reissnerjevih enačb ravninskega nosilca [Bratina, 2018] okoli njegove začetne nedeformirane lege. Sestavlja jih 8 enačb za betonski del, od tega 3 kinematične, 3 ravnotežne in 2 konstitucijski enačbi: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 4 enačbe za armaturno palico, od tega 1 kinematična, 2 ravno- težni in 1 konstitucijska: (9) (10) (11) (12) ter 4 vezne enačbe za stik med armaturno palico in betonom, od tega 1 kinematična, 2 ravnotežni in 1 konstitucijska: (13) (14) (15) (16) V enačbah (1)–(16), ki jih v nadaljevanju imenujemo posplo- šene ravnotežne enačbe AB-nosilca z upoštevanjem zdr- sa med armaturno palico in betonskim ovojem, smo z Nc, Qc in Mc označili osno in prečno silo ter upogibni moment be- tonskega dela, z Ns pa osno silo v armaturni palici. Z Ncc, Mcc in Nsc smo označili konstitucijske količine v betonskem delu oziroma v armaturni palici. Te so odvisne od izbranega mate- rialnega modela betona oziroma armature. Kot je to običajno pri analizi in projektiranju linijskih gradbenih konstrukcij, ju izrazimo v obliki sovisnosti med normalno napetostjo prečne- ga prereza nosilca in pripadajočo osno deformacijo (σc=σc (εc), σs=σs (εs)). V veznih enačbah (14) in (15) sta pt,c in pt,s strižni komponenti kontaktne linijske obtežbe na stiku med armaturno palico in betonskim ovojem, pn,c in pn,s pa normalni komponenti. Ker je začetna ukrivljenost ravnih armaturnih palic enaka nič, κs,0=0, ugotovimo s pomočjo enačb (11) in (15), da je pn,c=pn,s=0. Zamik Δ na stiku med betonskim ovojem in armaturno palico izraču- namo kot razliko vzdolžnih pomikov na medsebojnem stiku (enačba (13)). Velikost zamika je odvisna od fizikalnih lastnosti stika, ki ga izrazimo v obliki sovisnosti med sprijemno nape- tostjo na stiku τc in zamikom Δ (glej enačbo (16)). 2.2 Osnovne enačbe razpokanega nosilca Pri izpeljavi osnovnih enačb matematičnega modela razpoka- nega AB-nosilca predpostavimo, da se prečna razpoka v be- tonskem delu nosilca pojavi pri materialni koordinati xc r (glej sliko 4(c)). Ne izgubimo splošnosti, če analiziramo AB-nosilec z eno razpoko. Kot rečeno, prečno razpoko v predstavljenem modelu obravnavamo kot geometrijsko nezveznost nosilca. Raziskovalci (glej npr. [Bajc, 2018], [Fib, 2013], [Ogrin, 2022]) kot kriterij za nastanek razpoke v AB-palici upoštevajo pogoj dosežene natezne trdnosti betona, tj. σc=fct, ki jo betonski ovoj skladno z izbranim materialnim modelom betona doseže pri osni deformaciji εct1. Pri upogibno obremenjenem AB-nosilcu pa moramo kriterij nastanka prečne razpoke v nosilcu temu ustrezno prilagoditi. S tem namenom predpostavimo, da se razpoka odpre v trenutku, ko je osnoupogibna obremenitev prečnega prereza enaka mejni nosilnosti betonskega dela AB- nosilca (glej oznako ● na diagramih na sliki 5), torej: (17) (18) Količini N rcc,cr in M r cc,cr v enačbah (17) in (18) določata mejno osnoupogibno nosilnost betonskega dela prečnega prereza AB-nosilca. Kritični prečni prerez AB-nosilca določa material- na koordinata xc r, pripadajoči mejni deformaciji pa označimo z εrc0,cr in κ r c,cr. Poudarimo pa, da deformaciji določata stanje še zaprte prečne razpoke v betonu. Glede na zveznost parame- trov materialnega modela temu pogoju za nastanek razpoke zadostimo z zahtevo, da je determinanta tangentne material- ne matrike betonskega dela prečnega prereza enaka nič, torej detC=C11 C22-C122 =0, hkrati pa mora biti zadoščeno tudi pogoju C11>0. Komponente tangentne materialne matrike betonske- ga dela prečnega prereza so določene z izrazi: C11=∫Ac Et dAc, C12=∫Ac Et zc dAc in C22=∫Ac Et zc2 dAc, kjer je Et=∂σc/∂εc trenutni tan- gentni modul betona. Potek normalne napetosti σc r in pri- padajočih deformacij (ε rc0,cr, κ rc,cr) v betonskem delu prečnega prereza AB-nosilca tik pred odprtjem razpoke prikazujemo na sliki 5. doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek, prof. dr. Igor Planinc, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina ANALIZA VPLIVA RAZPOK V BETONU NA TOGOST ARMIRANOBETONSKIH NOSILCEV Gradbeni vestnik letnik 72 april 2023 96 Ko se prečna razpoka v betonu odpre, nosilec na mestu razpo- ke obravnavamo kot geometrijsko nezveznost nosilca, tj., no- silec se je razdelil na dva sicer povezana, vendar geometrijsko ločena dela. To pa pomeni, da sta sedaj v AB-nosilcu na mestu razpoke dva prečna prereza, ki se med seboj razmakneta in različno zasukata (glej sliko 4(c)). Predpostavimo pa, da nju- no morebitno prekrivanje nima vpliva na odziv nosilca. Preč- ni prerez na levi strani razpoke, ki je še vedno pravokoten na referenčno os nosilca, določa materialna koordinata -xcr, pre- rez na desni strani, ki je prav tako pravokoten na referenčno os nosilca, pa koordinata +xcr. Velikost in oblika prečne razpoke AB-nosilca je torej odvisna od razlike vodoravnih pomikov Δur in razlike zasukov Δφr med omenjenima prečnima prerezoma, ki ju izračunamo z enačbama: (19) (20) širino razpoke na zunanjem robu pa izračunamo s pomočjo enačbe: (21) Čeprav razpoka razdeli AB-nosilec na dva dela, predpostavi- mo, da sta prečna prereza ob razpoki še vedno delno pove- zana. To povezavo med prečnima prerezoma izrazimo z osno silo in upogibnim momentom v razpoki in ju označimo z N rcc in M rcc. Določimo ju skladno z izbranim materialnim mode- lom odpiranja prečne razpoke, kot pogosto govorimo, in ju izrazimo v odvisnosti od geometrijskih količin Δur in Δφr (glej oznako ▲ na diagramih na sliki 6). Formalno ju torej izrazimo z enačbama: (22) (23) V analizi linijskih AB-konstrukcij materialna modela betona in armaturnih palic izrazimo v obliki sovisnosti med normal- no napetostjo in osno deformacijo. Na ta način izpeljemo tudi materialni model odpiranja razpoke (enačbi (22) in (23)), ki jo v modelu obravnavamo kot geometrijsko nezveznost nosilca. Posledično je ta del nosilca sestavljen iz dela, kjer se sosednja prečna prereza razmakneta, in dela, kjer se pre- reza prekrijeta. Na mestu nezveznosti nosilca predpostavi- mo linearen potek ekvivalentne osne deformacije po višini betonskega dela prečnega prereza AB-nosilca, εc r=εrc0+zc κcr, kot to velja v prečnem prerezu pred nastankom razpoke. V nadaljevanju za del razpoke, kjer se prečna prereza med se- boj razmakneta (εcr > 0), uporabimo sovisnost med normalno napetostjo v razpoki σc r in pripadajočo ekvivalentno natezno osno deformacijo εc r, kot je definirana v modelu razmazane razpoke (glej sliko 3(a)), za del razpoke, kjer se prečna prereza prekrijeta in so ekvivalentne osne deformacije tlačne (εcr < 0), pa sovisnost med napetostjo σc r in deformacijo εc r opišemo z materialnim modelom betona v tlaku. Tako lahko material- ni model odpiranja razpoke (enačbi (22) in (23)) zapišemo z izrazoma: (24) (25) Pri tem sta ε rc0in κc r, kot rečeno, ekvivalentna osna oziroma upo- gibna deformacija v razpoki kot geometrijski nezveznosti no- silca. Potek normalnih napetosti in ekvivalentnih osnih defor- macij po višini prečnega prereza prikazujemo na sliki 6. Ko se razpoka odpre, se mora upogibni moment v razpoki zmanjšati, M rcc < Mrcc,cr, ob tem pa velja εrc0 > εrc0,cr in κcr > κrc,cr. Pogosto v takih pri- merih govorimo o materialnem mehčanju med odpiranjem razpoke. Zaradi ravnotežja se upogibna momenta v prečnih prerezih v neposredni okolici razpoke, tj. v prečnih prerezih s koordinatama -xcr oziroma +xcr, prav tako zmanjšata, vendar se pri tem, drugače kot v razpoki, zmanjšajo tudi pripadajoče de- formacije. Tako smo mehčanje oziroma lokalizacijo deformacij omejili le na razpoko, podobno, kot je to določeno pri modelu razmazane razpoke. Na koncu predstavimo še enačbi, s katerima kinematični ko- ličini Δur in Δφr povežemo z ekvivalentnima deformacijama v razpoki, εrc0 in κc r. Enačbi sta preprosti: (26) (27) Slika 5. Napetostno in deformacijsko stanje v betonskem delu prečnega prereza AB-nosilca ob izpolnjenih pogojih za nastanek razpoke (detC = 0). Slika 6. Materialni model odpiranja razpoke. doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek, prof. dr. Igor Planinc, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina ANALIZA VPLIVA RAZPOK V BETONU NA TOGOST ARMIRANOBETONSKIH NOSILCEV Gradbeni vestnik letnik 72 april 2023 97 V enačbi (29) smo z x označili vektor neznanih količin (defor- macijske, statične in kinematične količine), z λ pa obtežni fak- tor AB-nosilca. Nelinearni algebrajski sistem enačb (29) rešimo s pomočjo metode ločne dolžine [Crisfield, 1981]. S to meto- do lahko določimo obtežno deformacijsko krivuljo AB-nosilca tudi v kritičnih točkah krivulje, tj. tam, kjer Newtonova inkre- mentno-iteracijska metoda odpove. Računalniški program za reševanje diskretnih posplošenih ravnotežnih enačb razpoka- nega AB-nosilca smo izdelali v programskem okolju Matlab [The MathWorks, 2016]. Osnovno ukazno okno programa, ki smo ga imenovali NFIRA, prikazujemo na sliki 7. 3 GILBERTOV ARMIRANOBETONSKI NOSILEC Primernost in natančnost nove družine deformacijskih konč- nih elementov za analizo vpliva razpok na togost AB-nosilcev prikazujemo na primeru preprostega prostoležečega AB- nosilca. To storimo s primerjavo med numeričnimi in eks- perimentalnimi rezultati. Pri tem eksperimentalne rezultate povzamemo skladno z izsledki Gilberta in Nejadija [Gilbert, 2004]. 3.1 Osnovni podatki Gilbert in Nejadi [Gilbert, 2004] sta med številnimi drugimi preizkusi, ki sta jih predstavila, analizirala tudi dva, vsaj načel- no enaka prostoležeča nosilca z dolžino L=3,8 m in pravokot- nim prečnim prerezom b/h=25/34,8 cm ter ojačana z dvema vzdolžnima armaturnima palicama premera Ø16. Nosilca sta označila z B1-a in B1-b ter ju med eksperimentom obtežila z dvema navpičnima točkovnima silama P/2, ki sta ju monoto- no povečevala. Osnovne geometrijske in materialne podatke obravnavanega AB-nosilca, ki smo jih uskladili z eksperimen- talnimi podatki Gilberta in Nejadija, prikazujemo na sliki 8 (vse dimenzije nosilca so v cm). Med upogibnim preizkusom sta Gilbert in Nejadi pri izbranih obtežnih korakih beležila navpični pomik na sredini razpeti- kjer smo z Lc označili dolžino območja mehčanja, definirano v skladu z modelom razmazane razpoke (glej sliko 3(a)). Vpeljava omenjenega materialnega parametra Lc je posledica definici- je materialnega modela odpiranja razpoke v obliki σc r=σcr (εcr). Izraza (26) in (27) sta zelo podobna zvezi med širino razpoke in ekvivalentno lokalizirano deformacijo pri centrično natezno obremenjeni AB-palici (glej [Ogrin, 2022]). 2.3 Metoda končnih elementov Osnovne enačbe matematičnega modela, s katerim izračuna- mo vpliv razpok na togost AB-nosilcev, ki smo jih predstavili v prejšnjih poglavjih, so nelinearne. Zato jih rešimo numerič- no, praviloma z metodo končnih elementov. V tem članku jih bomo rešili s pomočjo deformacijske metode končnih ele- mentov. S tem namenom izpeljemo novo družino deforma- cijskih končnih elementov z vgrajeno razpoko. Kot je značilno za deformacijske končne elemente, pri izpeljavi izhajamo iz modificiranega izreka o virtualnem delu. Detajlno smo posto- pek za AB-palico predstavili v [Ogrin, 2022], tu pa ga ustrez- no priredimo za razpokan AB-nosilec, ki je izpostavljen osno- upogibni obremenitvi. Modificiran izrek o virtualnem delu za razpokan AB-nosilec je: (28) Ker smo enačbi (24) in (25) točno zadostili, je tudi členoma pri variaciji δΔur in δΔφr zadoščeno, zato ju v funkcionalu (28) lahko izpustimo. Kot posebnost omenimo, da v funkciona- lu (28) poleg robnih pogojev na obeh koncih nosilca nasto- pajo tudi robni pogoji ob nastali prečni razpoki. Ko v nada- ljevanju razširjeni funkcional ustrezno uredimo, ostanejo v njem edine neznane funkcije osne in upogibne deformacije betonskega dela AB-prereza (εc0, κc) ter osna deformacija armaturne palice (εs). Te količine v nadaljevanju aproksimira- mo z Lagrangevimi interpolacijskimi polinomi stopnje p. Na osnovi zahteve, da so variacije v funkcionalu poljubne in ne- odvisne, dobimo po znanih postopkih variacijskega računa sistem diskretnih posplošenih ravnotežnih enačb končnega elementa z vgrajeno razpoko. Vse integrale, ki nastopajo v enačbah končnega elementa, rešimo numerično. Tu smo izbrali Lobattovo integracijsko shemo stopnje s. Za ozna- čevanje končnih elementov z vgrajeno razpoko uporabimo oznako KE rp-s, za elemente brez razpoke, ki jih izpeljemo po enakem postopku, pa KEp-s. 2.4 Postopek reševanja posplošenih diskretnih ravnotežnih enačb Skladno z metodo končnih elementov AB-nosilec razdelimo na poljubno število končnih elementov. V končnih elementih, kjer so med analizo izpolnjeni pogoji za nastanek prečne raz- poke, standardne, nerazpokane končne elemente KEp-s nado- mestimo s končnimi elementi KE rp-s, ki imajo vgrajeno prečno razpoko. Z znanimi postopki v numerični teoriji konstrukcij vse enačbe nato združimo v enačbo AB-nosilca: (29) Slika 7. Osnovno ukazno okno programa NFIRA. doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek, prof. dr. Igor Planinc, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina ANALIZA VPLIVA RAZPOK V BETONU NA TOGOST ARMIRANOBETONSKIH NOSILCEV Gradbeni vestnik letnik 72 april 2023 98 ne nosilca (w*), razporeditev in širino razpok v betonskem delu AB-nosilca, deformacije armaturnih palic ter osne deformacije na površini betona. Da izpostavimo tudi učinkovitost predstavljenega numeričnega modela, predstavimo tudi rezultate analiz s sorodnimi nume- ričnimi modeli. Oznake vseh uporabljenih numeričnih modelov in njihove bistvene značilnosti predstavimo v preglednici 1. 3.1.1 Materialni model betona v tlaku Pri vseh numeričnih modelih smo v analizah AB-nosilca obna- šanje betona v tlaku opisali v obliki sovisnosti med normalno tlačno napetostjo σc in pripadajočo osno deformacijo εc v skla- du z nelinearnim materialnim modelom, ki ga podaja stan- dard Evrokod 2 [SIST, 2005] in je namenjen analizi AB-kon- strukcij (slika 9). Materialni parametri modela so: povprečna tlačna trdnost betona fcm, dosežena pri deformaciji εc1, mejna tlačna deformacija betona εcu1 in sekantni modul elastičnosti betona Ecm. Za številčne vrednosti materialnih parametrov mo- dela izberemo naslednje vrednosti: fcm=3,63 kN/cm2, εc1=-2,2 ‰, εcu1=-3,5 ‰ in Ecm=3300 kN/cm2. 3.1.2 Materialni model betona v nategu Pri numeričnem modelu z oznako M1 natezno nosilnost beto- na zanemarimo (glej sliko 2(a)), pri ostalih numeričnih mode- lih pa v analizah AB-nosilca obnašanje betona v nategu opiše- mo v obliki sovisnosti med normalno natezno napetostjo σc in pripadajočo osno deformacijo εc. Pri modelu z oznako M2 natezno togost betona upoštevamo skladno s priporočili Bergana in Holanda [Bergan, 1979] (glej sli- ko 2(b)). Pri tem v modelu upoštevamo naslednje vrednosti ma- terialnih parametrov: ε'ct1=0,055 ‰, εmax=0,7 ‰ in Ecm=3300 kN/cm2. Pri modelih z oznakami M3, M4-1 in M4-2 obnašanje betona v nategu opišemo s 3-linearnim materialnim modelom, kot ga predlagajo Rabczuk in sodelavci [Rabczuk, 2005], in ga prika- Slika 8. Geometrijski in materialni podatki obravnavanega prostoležečega AB-nosilca. Slika 9. Materialni model betona v tlaku skladno s standar- dom Evrokod 2 [SIST, 2005]. Oznaka uporabljenega modela Materialni model betona v tlaku Materialni model beto- na v nategu Materialni model stika med armaturo in betonom Uporabljena mreža končnih elementov M1 nelinearen, name- njen analizi kon- strukcij [SIST, 2005] (glej sliko 9) brez natezne nosilnosti (glej sliko 2(a)) tog stik 20 KE4-5 M2 modificiran model [Ber- gan, 1979] (slika 2(b)) tog stik 20 KE4-5 M3 model razmazane razpo- ke - KE0-1 [Markovič, 2013]: L_c=6,48 cm, Gf=75 N/m podajen stik [Fib, 2013] 2 KE4-5+54 KE0-1 M4-1 model razpoke kot geom. nezveznosti v elementu: Lc=6,48 cm, Gf=75 N/m podajen stik [Fib, 2013] 56 KE r4-5 M4-2 26 KE r4-5 Preglednica 1. Oznake uporabljenih numeričnih modelov in njihove bistvene značilnosti. doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek, prof. dr. Igor Planinc, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina ANALIZA VPLIVA RAZPOK V BETONU NA TOGOST ARMIRANOBETONSKIH NOSILCEV Gradbeni vestnik letnik 72 april 2023 99 zujemo na sliki 3(a). V modelu M3 dolžino območja mehča- nja oziroma zelo razpokano območje v betonskem delu AB- nosilca omejimo na dolžino enega končnega elementa KE0-1 [Markovič, 2013], in sicer Lc=6,48 cm. Ob ocenjeni energiji loma betona Gf=75 N/m [CEB-FIP, 1993] so vrednosti materialnih parametrov modela naslednje: fct=0,306 kN/cm2, εct1=0,0863 ‰, εct2=εct1+αt (εctu-εct1), εctu=2,075 ‰, αt=0,14 in βt=0,24055. V modelih z oznakama M4-1 in M4-2 ohranimo enake vrednosti para- metrov modela betona v nategu kot v modelu z oznako M3. Ob tem pa zapiranje in ponovno odpiranje razpoke v modelu upoštevamo kot degradacijo natezne togosti betona skladno z [Bažant, 1998] (slika 3(a)). 3.1.3 Materialni model stika med armaturo in betonom V modelih z oznakami M3, M4-1 in M4-2 povzamemo mate- rialni model stika med armaturno palico in betonom po lite- raturi [Fib, 2013]. Ker je debelina krovnega sloja betona manj- ša od 5Ø, podatkov o vgrajeni stremenski armaturi pa ni na voljo, skladno z modelom predpostavimo, da porušitev stika nastopi z razcepljanjem betona. Uporabljen materialni model stika med armaturnimi palicami in betonom in pripadajoče materialne parametre modela prikazujemo na sliki 10. Model predstavlja zvezo med strižno napetostjo τ in zamikom med armaturno palico in betonom Δ. 3.2 Primerjave med rezultati analiz Rezultate analiz AB-nosilca z vsemi petimi numeričnimi mo- deli z oznakami M1, M2, M3, M4-1 in M4-2 prikazujemo v na- daljevanju. Rezultate analiz primerjamo z dostopnimi rezultati meritev obravnavanega AB-nosilca. Omejimo se na primerjavo med obtežno deformacijskimi krivuljami P–w* ter primerja- vo med razporeditvijo, številom in širino razpok v betonskem delu AB-nosilca. V vseh prikazanih analizah predpostavimo za- četno nepopolnost nosilca v obliki nesimetrične razporeditve obtežbe (0,49∶0,51 P). 3.2.1 Obtežno deformacijska krivulja P–w* Na sliki 11 prikazujemo spreminjanje navpičnega pomika na sredini razpetine AB-nosilca w* v odvisnosti od velikosti navpič- ne točkovne obtežbe P. Iz rezultatov meritev lahko opazimo, da je začetna togost pri obeh preizkušenih nosilcih neustrez- na, saj na krivulji ne opazimo začetne nerazpokane togosti nosilcev. Predvidevamo, da sta bila nosilca predhodno že razpokana, bodisi zaradi transporta bodisi reoloških pojavov v betonu. Obtežno deformacijske krivulje smo v numeričnih analizah določili do sile P≈100 kN, ko nastopi opazno zmanjšanje upo- gibne togosti obravnavanega AB-nosilca zaradi plastifikacije vzdolžne natezne armature. Izmerjena nosilnost je sicer zna- šala 109 kN za nosilec B1-a oziroma 103 kN za B1-b. Ugotovimo, da je pri modelih z oznakama M1 in M2 izračunan navpični pomik večji od izmerjenega. To je pričakovano, ker smo natezno nosilnost betona v modelu M1 zanemarili oziro- ma njen prispevek v modelu M2 podcenili. V analizah z obema modeloma pa dovolj natančno ocenimo velikost zunanje ob- težbe, pri kateri nastopi plastifikacija vzdolžne natezne arma- ture. Pri analizah nosilca z modeli M3 in M4-1 oz. M4-2 se izra- čunani pomiki precej bolje prilegajo izmerjenim predvsem v fazi nastajanja in odpiranja razpok ter ob nastopu plastifikacije vzdolžne armature. Poudarimo pa, da sta obtežno deforma- cijski krivulji, določeni z modeloma M4-1 in M4-2, pri katerih spreminjamo le mrežo KE, praktično enaki, zato na sliki 11(b) prikazujemo le eno. To pa dokazuje, da je odziv AB-nosilca neodvisen od izbrane mreže končnih elementov z vgrajeno Slika 10. Materialni model stika med armaturno palico in betonom in vrednosti pripadajočih materialnih parametrov [Fib, 2013]. Slika 11. Obtežno deformacijske krivulje P–w*; primerjava med eksperimentalnima krivuljama in krivuljami numeričnih ana- liz za (a) modela M1 in M2, (b) modela M3 in M4-1. doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek, prof. dr. Igor Planinc, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina ANALIZA VPLIVA RAZPOK V BETONU NA TOGOST ARMIRANOBETONSKIH NOSILCEV Gradbeni vestnik letnik 72 april 2023 100 razpoko KE rp-s. V preglednici 2 podajamo velikosti izmerjenih ter izračunanih navpičnih pomikov w* pri obtežbi P=70 kN, kar seveda potrjuje naše prejšnje ugotovitve. 3.2.2 Razporeditev, število in širina razpok Na koncu prikažemo še primerjavo med izmerjeno in izraču- nano razporeditvijo, številom in širino razpok v betonu vzdolž osi nosilca za tri nivoje zunanje obtežbe, P=35, 50 in 70 kN. Seveda lahko rezultate primerjamo le za modele z oznakami M3, M4-1 in M4-2, pri katerih vpliv razpok na togost AB-nosilca modeliramo z modelom razmazane razpoke (M3) oziroma z novimi deformacijskimi končnimi elementi z vgrajeno razpo- ko (M4-1 in M4-2). Kot pa je dobro znano, moramo za ustrezno analizo vpliva razpok v betonu na togost AB-nosilcev v modelu upoštevati tudi zamik na stiku med armaturo in betonskim ovojem [Mathern, 2021]. Najprej predstavimo rezultate računske analize modela z oznako M3, tj. z modelom razmazane razpoke (glej sliko 12). Ugotovimo, da z modelom M3 relativno dobro ocenimo ob- močje razpokanosti AB-nosilca, medtem ko je določanje leg posameznih razpok precej nenadzorovan proces, ponekod se razmazana razpoka razprostira kar čez dva sosednja končna elementa, prav tako pa ne moremo s tem modelom določiti širine posameznih razpok. Poznamo le vrednost ekvivalentne deformacije εc r v razpoki. Eksperiment Račun B1-a B1-b M1 M2 M3 M4-1 M4-2 9,0 7,3 10,4 10,4 9,0 8,3 8,4 Preglednica 2. Primerjava med izmerjenimi in izračunanimi navpičnimi pomiki na sredini razpetine nosilca w*[mm] pri obtežbi P=70 kN. Slika 12. Primerjava izmerjene in izračunane razporeditve razpok z modelom M3 za tri nivoje zunanje obtežbe. Slika 13. Primerjava izmerjene in izračunane razporeditve in števila razpok z modelom M4-1 za tri nivoje zunanje obtežbe. doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek, prof. dr. Igor Planinc, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina ANALIZA VPLIVA RAZPOK V BETONU NA TOGOST ARMIRANOBETONSKIH NOSILCEV Gradbeni vestnik letnik 72 april 2023 101 V nadaljevanju prikažemo primerjavo med izmerjeno in izra- čunano razporeditvijo, širino in številom razpok še za modela z oznakama M4-1 in M4-2. Na sliki 13 prikazujemo razporedi- tev razpok vzdolž nosilca za model M4-1 pri treh nivojih zuna- nje obtežbe. Ugotovimo, da se tako število razpok kot njihova lega zelo dobro prilegajo meritvam. Pri obtežbi P=35 kN se v računski analizi pojavijo 4 razpoke, med eksperimentom pa ena več. Pri obtežbi P=50 kN se število razpok v analizi poveča na 9, medtem ko se jih med eksperimentom pojavi 8 (nosilec B1-a) oziroma 10 (B1-b). Pri obtežbi P=70 kN je računsko število razpok enako 13, izmerjeno število razpok pa je 12. Na slikah 14, 15 in 16 prikazujemo primerjavo izračunane širine razpok za modela M4-1 in M4-2 z izmerjenimi širinami raz- pok za tri nivoje zunanje obtežbe. Širine razpok izračunamo na spodnjem robu nosilca s pomočjo izraza (21). Poudarimo pa, da Gilbert in Nejadi [Gilbert, 2004] nista natančno navedla, na katerem mestu sta merila širino razpok. Najprej ugotovimo, da so rezultati analiz obeh modelov z oznakama M4-1 in M4-2 praktično enaki, in to kljub temu, da v modelih uporabljamo različno število končnih elementov, tj. 56 oziroma 26 KE r p-s. To- rej gostota mreže predstavljene družine končnih elementov nima vpliva na razporeditev, lego in širino razpok. To na primer Slika 14. Primerjava izračunanih širin razpok z modeloma M4-1 in M4-2 pri obtežbi P=35 kN z izmerjenimi širinami razpok za AB-nosilca z oznakama (a) B1-a in (b) B1-b. Slika 15. Primerjava izračunanih širin razpok z modeloma M4-1 in M4-2 pri obtežbi P=50 kN z izmerjenimi širinami razpok za AB-nosilca z oznakama (a) B1-a in (b) B1-b. Slika 16. Primerjava izračunanih širin razpok z modeloma M4-1 in M4-2 pri obtežbi P=70 kN z izmerjenimi širinami razpok za AB-nosilca z oznakama (a) B1-a in (b) B1-b. doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek, prof. dr. Igor Planinc, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina ANALIZA VPLIVA RAZPOK V BETONU NA TOGOST ARMIRANOBETONSKIH NOSILCEV Gradbeni vestnik letnik 72 april 2023 102 pomeni, da se pri obtežbi P=70 kN zadnja (13.) razpoka, ki je tudi najbližje levi podpori AB-nosilca, pri modelu M4-1 pojavi v 13. končnem elementu na oddaljenosti 2,59 cm od njego- vega levega vozlišča (xcr=88,9 cm), njena širina je r=0,192 mm, pri modelu M4-2 pa v 6. končnem elementu na oddaljenosti 14,58 cm (xcr=87,9 cm) s širino r=0,196 mm. Ob tem pa tudi ugo- tovimo, da so izračunane širine razpok pri obtežbi P=35 kN ne- koliko večje od izmerjenih. To je pričakovano, saj je v računski analizi število razpok za 1 manjše, kot je bilo zabeleženo med preizkusom (glej sliko 14). Kot vidimo na slikah 15 in 16, so pri obtežbah P=50 kN in P=70 kN izračunane širine razpok AB-nosilca bistveno bolj primerljive z izmerjenimi. Če bi širine razpok izračunali na mestu natezne armature, bi bila njihova širina še za dobrih 10 % manjša, kar bi pomenilo še boljše ujemanje. 4 ZAKLJUČKI V članku smo predstavili družino novih deformacijskih konč- nih elementov z vgrajeno razpoko za analizo vpliva razpok na togost linijskih AB-konstrukcij (nosilcev, okvirjev). Pri tem smo razpoko v modelu obravnavali diskretno, in sicer kot geo- metrijsko nezveznost končnega elementa. Glavna prednost predstavljenega numeričnega modela je v tem, da (i) lege raz- pok po osi AB-nosilca ni treba predvideti vnaprej, (ii) prečna razpoka se v končnem elementu lahko pojavi na poljubnem mestu in (iii) rezultati analize so z novimi končnimi elementi neodvisni od mreže in števila končnih elementov. Natančnost in primernost predstavljenega numeričnega modela smo pri- kazali na primeru preprostega prostoležečega AB-nosilca, za katerega so v literaturi na voljo dobro dokumentirani rezul- tati upogibnega preizkusa. S primerjavo med izmerjenimi in izračunanimi rezultati analiz smo ugotovili, da predstavljena družina novih deformacijskih končnih elementov z vgrajeno diskretno razpoko omogoča dovolj natančno analizo vpliva razpok v betonu na togost AB-nosilcev. Tako lahko s predlaga- nim modelom kvalitetno izračunamo obtežno deformacijske krivulje obravnavanih AB-nosilcev kot tudi razporeditev, število in širino razpok. 5 ZAHVALA Zahvaljujemo se Javni agenciji za raziskovalno dejavnost Re- publike Slovenije, ki je s projektoma P2-0158 in P2-0260 fi- nančno podprla to delo. 6 LITERATURA Alanani, M., Ehab, M., Salem, H., Progressive collapse assess- ment of precast prestressed reinforced concrete beams using applied element method, Case Studies in Construction Ma- terials, 13, e00457, https://doi.org/10.1016/j.cscm.2020.e00457, 2020. Bajc, U., Planinc, I., Bratina, S., Non-linear time-depen- dent analysis of cracked reinforced concrete bar, Advan- ces in Structural Engineering, 21(7), 949–961, https://doi. org/10.1177/1369433217734653, 2018. Bažant, Z. P., Planas, J., Fracture and Size Effect in Concrete and Other Quasibrittle Materials. CRC Press LLC, Boca Raton, Florida, USA, 1998. Bergan, P. G., Holand, I., Nonlinear finite element analysis of concrete structures, Composer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 17/18, 443–467, 1979. Bratina, S., Analiza vpliva razpokanosti na togost upogibno obremenjenega ojačanega betonskega nosilca z modelom razmazane razpoke, Gradbeni vestnik, 67(7), 134–144, 2018. CEB-FIP, CEB-FIP Model Code 1990: Design Codes, Comite Eu- ro-International du Beton and Federation International de la Precontraint. London: Thomas Telford, 1993. Coleman, J., Spacone, E., Localization issues in force-based fra- me elements, Journal of Structural Engineering, 127(11), 1257– 1265, 2001. Crisfield, M. A., A fast incremental/iterative solution proce- dure that handles snap-through, Computers and Structures, 13, 55–62, 1981. Dias-da-Costa, D., Alfaiate, J., Sluys, L. J., Júlio, E., A discre- te strong discontinuity approach, Engineering Fracture Mechanics, 76(9), 1176–1201, https://doi.org/10.1016/j.engfrac- mech.2009.01.011, 2009. Domaneschi, M., Cimellaro, G. P., Marano, G. C., Morgese, M., Pellecchia, C., Khalil, A. A., Numerical simulations of collapse tests on reinforced concrete beams, In Bridge Maintenance, Safety, Management, Life-Cycle Sustainability and Innovations (1st Edition), 2021. Fib, International Federation for Structural Concrete, fib Mo- del Code for Concrete Structures 2010, Berlin: Ernest & Sohn GmbH & Co. KG., 2013. Forti, T. L. D., Forti, N. C. S., Santos, F. L. G., Carnio, M. A., The continuous-discontinuous Galerkin method applied to crack propagation, Computers and Concrete, 23(4), 235–243, 2019. Fujiwara, Y., Takeuchi, N., Shiomi, T., Kambayashi, A., Discrete crack analysis for concrete structures using the hybrid-type penalty method, Computers and Concrete, 16(4), 587–604, https://doi.org/10.12989/cac.2015.16.4.587, 2015. Gilbert, R. I., Nejadi, S., An experimental study of flexural crac- king in reinforced concrete members under short term loads, UNICIV Report No. R-435, 2004. Krätzig, W. B., Pölling, R., An elasto-plastic damage model for reinforced concrete with minimum number of material pa- rameters, Computers & Structures, 82(15–16), 1201–1215, https:// doi.org/10.1016/j.compstruc.2004.03.002, 2004. Markeset, G., Hillerborg, A., Softening of concrete in compressi- on - localization and size effects, Cement and Concrete Rese- arch, 25(4), 702–708, 1995. Markovič, M., Krauberger, N., Saje, M., Planinc, I., Bratina, S., Non-linear analysis of pre-tensioned concrete planar beams, Engineering Structures, 46, 279–293, https://doi.org/10.1016/j. engstruct.2012.08.004, 2013. doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek, prof. dr. Igor Planinc, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina ANALIZA VPLIVA RAZPOK V BETONU NA TOGOST ARMIRANOBETONSKIH NOSILCEV Gradbeni vestnik letnik 72 april 2023 103 Markovič, M., Saje, M., Planinc, I., Bratina, S., On strain softening in finite element analysis of RC planar frames subjected to fire, Engineering Structures, 45, 349–361, https://doi.org/10.1016/j.en- gstruct.2012.06.032, 2012. Mathern, A., Yang, J., A Practical Finite Element Modeling Strategy to Capture Cracking and Crushing Behavior of Re- inforced Concrete Structures, Materials, 14(3), 506, https://doi. org/10.3390/ma14030506, 2021. Ogrin, A., Planinc, I., Bratina, S., A novel strain-based finite ele- ment family for mesh-independent analysis of the tensile failure of reinforced concrete bars, Advances in Structural Engineering, 25(3), 572–584, https://doi.org/10.1177/13694332211058533, 2022. Pöttler, R., Swoboda, G. A., Nonlinear beam element for RC structures, Communications in Applied Numerical Methods, 3(5), 397–406, 1987. Rabczuk, T., Akkermann, J., Eibl, J., A numerical model for re- inforced concrete structures, International Journal of Solids and Structures, 42(5–6), 1327–1354, https://doi.org/10.1016/j.ijsol- str.2004.07.019, 2005. Rabczuk, T., Zi, G., Bordas, S., Nguyen-Xuan, H., A geometri- cally non-linear three-dimensional cohesive crack method for reinforced concrete structures, Engineering Fracture Mechanics, 75(16), 4740–4758, https://doi.org/10.1016/j.engfrac- mech.2008.06.019, 2008. SIST, SIST EN 1992–1–1:2005, Evrokod 2, Projektiranje betonskih konstrukcij–Del 1–1, Splošna pravila in pravila za stavbe, Sloven- ski inštitut za standardizacijo, Ljubljana, 2005. The MathWorks, Inc., Matlab R2016b, Natick, Massachusetts, USA, 2016. Venkateswarlu, B., Gesund, H., Cracking and bond slip in con- crete beams, Journal of the Structural Division, ASCE, 98(11), 2663–2685, 1972. Yang, X. S., Lees, J. M., Morley, C. T., Modelling crack propagation in structures: Comparison of numerical methods, Communi- cations in Numerical Methods in Engineering, 24(11), 1373–1392, https://doi.org/10.1002/cnm.1038, 2007. ZVEZA DRUŠTEV GRADBENIH INŽENIRJEV IN TEHNIKOV SLOVENIJE vabi na REDNO SKUPŠČINO, ki bo v četrtek, 1. junija 2023, ob 13.00 uri, v prostorih Gostilne Livada, Hladnikova 15, Ljubljana. Skupščina bo obravnavala in sprejemala: – poročilo o delu ZDGITS v letu 2022, – poslovno poročilo ZDGITS za leto 2022 z bilanco stanja in izkazom poslovnega izida, – letna programa za leti 2023 in 2024 in – finančni načrt ZDGITS za leto 2023, – razrešila organe ZDGITS in izvolila nove ter – podelila priznanja zaslužnim in častnim članom ZDGITS. Predsednik ZDGITS Izr. prof. dr. Andrej Kryžanowski, univ. dipl. inž. grad. doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek, prof. dr. Igor Planinc, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina ANALIZA VPLIVA RAZPOK V BETONU NA TOGOST ARMIRANOBETONSKIH NOSILCEV