i
i
“4-4-Bezek-Podvojitev” — 2010/5/10 — 11:28 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 4 (1976/1977)
Številka 4
Strani 197–199
Danijel Bezek:
PODVOJITEV KOCKE
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/4/4-4-Bezek.pdf
c© 1977 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
PODVOJITEV KOC KE
V zapu~ti n i g r ~ k e ma tema ti tn e mis li j e tu d i pro blem "o podvo -
ji tv i kocke".
S pomočjo šestiZ a in neoznačenega ravniZa ko nstr u i r a j r ob
kocke , ki ima dvakrat ve čjo prostornino kot eno t ska ko cka .
Danes vemo , da je ta pr obl em s k lasič n i m oro djem n er e~ lji v .
Bra l ec pa s i do ka z za nj l ahko po išče v knj ig i : I . Vidav - Re-
š en i i n n e r e ~ eni prob l emi matema tike .
Obstaja pa, podobno kot za nekatere dr uge pr obl eme , ne kl a si čn a
konstrukcija t e naloge .
Poi s kat i moram o r ob kocke x, za kate ro bo ve l j a l o :
x 3 = 2 ali x! - 2 = O ( 1)
Kons t r ukc ija
To č k a C le ž i na krožni ci
eno t s kega kr oga tako , da je
i BCS = 60°.
Na pr emic i ( B , C) po t s cemo
to č k o P s pomo čjo označen ega
ravni Za s pr emik anj em po pre-
mi ci, da s o A , D, P kol i ne-
arne t o č k e in je DP = 1.
Pote m je da l j i ca BP iskani
ro b x
Dokaz
Po i zr e ku o poten c i to t ke na kro g ve l j a
PA PD PC PE
ali
PA ( x + 1 ) (2 )x
I zraz (2 ) kvadri r am o in PA 2 nadomes t i mo z vsot o kvadra to v obeh
katet ( AC = 13 in CP = x + 1 prav oko t neg a tri kot ni ka ACP.
(,6 ) 2 + ( x+l)2= ( x+ 1) 2 x2
Enatb o uredimo i n dobi mo
(x 3 - 2) (x + 2) = O (3 )
Od re a l ni h poz iti vni h r ešitev te en at be (3) pr i de v po ~ tev l e
197
tista, ki j e skrita v p odč rtane m del u enačbe, to pa je re šite v,
ki smo si jo postavili za cil j pod (1).
Oglej mo si še " posp lošeni problem o podvojitvi kocke". V tem
primeru i š č em o tako da ljico x, ki zadošča enač bi:
X 3 = ba 2 (4 )
pr t cemer zahtevamo, da je a > b , če temu ni t a ko , lahko ve dn o
na jd emo tak k E N , da to dosežemo :
x 3 = blk 2 ' (ak )2
E n a č b o ( 4 ) pomnozlmo prvič z x :x ~ = ba 2x
= a 2 b 2 in doblje ni e n a č b i s e š t ej em o:
in dr ugič z b :bx 3
(5 )
V enačbi (5) i z r aza v obeh ok lepajih zapišemo kot razliko dveh
kvadrato v: x 2( (x + b12 )2 - b 2/4) = a 2( (b + x12 ) 2 - x 2/4 ) . Pod-
črtan i del pr enesemo na le vo stran enačbe in obe strani enačbe
korenimo s kvadratnim korenom in preuredimo v naslednje razmerje:
Ko nstrukcija ko l ič ine. x :
(x + 2b) = al 2 : x
a
(6 )
s
b
R
Narišemo pravokotni trikotnik s hipotenuzo a in ka t e t o b. Na
nosi lki kat e te b po išč emo t o č k o R (QR = 2b); P je raz p ol ovišče
hip ot enuze a . Skozi Q potegnemo vzporednico k pr emi c i ( P ,R ) .
Označeno ravnilo pom ikamo po nosil ki ka tete b ta ko, da so S , T ,
P kolinearne točke i n je ST = a12 . SQ je potem iskani rob x .
Do ka z
PI je srednjica pra vokotnega trikotnika s hipotenuzo a in kate -
t o b : P I = l( a 2 - b 2 )/4
198
Iz slike raxberero nasledn5e saratmerje: 
j e  hfpotenura dgPIP i n  t a t o  velja: 
To pa j e  i z r a r ,  ki smo ga d a b f l i  pod (6) Zn a j e  res iskani  rob 
koc ke ! 
Halaga Konstruiraj rob kocke, k i  bo pros torninsko enaka kvadru 
z r Q b o v l  a < b < c ! 
I i 
Re%itev Osnowno ploskev kvadra spremenimo v ploSEinsko enak 
kvadrat  s ponoEjo fvklldovega fzreka Y prrvokotneln trlkotntku. 
Taka pridemo do  p o s p l o f e n e g a  problema o podvoJttwl  kacke i n  na- 
logo rnamo re t i t f !