i i “Razpet” — 2016/1/7 — 9:35 — page 223 — #1 i i i i i i NOVE KNJIGE K. S. Patwardhan, S. A. Naimpally, S. L. Singh, L̄ılāvat̄ı of Bhāskar- ācārya: A Treatise of Mathematics of Vedic Tradition, Motilal Banarsidass Publishers, Delhi, 2014, 218 strani, 3. izdaja. Zgoraj so najprej navedeni preva- jalci in komentatorji znanega ma- tematičnega dela Lilavati. Napisal ga je indijski matematik in astro- nom Bhaskaračarja, kar pomeni Bhaskara Učitelj. Imenujejo ga tu- di Bhaskara II. Živel je v 12. stole- tju. Bhaskara I. je bil prav tako in- dijski matematik in astronom v 7. stoletju. Rimske števnike so jima dodelili zato, da ju lažje razliku- jemo. Bhaskara II. je napisal Lilavati v sanskrtu, ki je v prvi vrsti jezik hinduistične liturgije, pa tudi jezik budistične, hinduistične in džain- istične filozofije ter literarni jezik klasične indijske književnosti. Po- stal pa je tudi jezik, ki so ga upora- bljali v znanosti, podobno kot gr- ščino in latinščino v Evropi. San- skrt se učijo po indijskih šolah, pa tudi po univerzah po vsem svetu. Sanskrtska besedila se pǐsejo v pisavi de- vanagari, ki jo uporabljajo tudi nekateri sodobni jeziki na Indijski podcelini, na primer hindiǰsčina, nepaľsčina, maratščina, sindščina. Število uporabni- kov devanagarija gre v stotine milijonov. Devanagari pozna skoraj 50 črk za samoglasnike in soglasnike ter ne- kaj dodatnih znamenj. Črke so samo ene vrste, ni malih in velikih kot v evropskih jezikih. Črke za soglasnike vključujejo privzeti samoglasnik, zato uvrščamo devanagari med zlogovne pisave. Na primer, zlogi ka, kā, ki, k̄ı, ku, kū, ke, kai, ko, kau se zapǐsejo kot k, kA, Ek, kF, k , k , k, k{, ko, kO. Devanagari pozna tudi celo vrsto ligatur, zlitij dveh ali več soglasnikov v en znak. Primer: Zloga kra, tra se zapǐseta kot ‡ /. Devanagari hitro spoznamo po skupni ravni črti, pod katero so nanizane črke. Znaki za šte- vilke 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 so 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Zapisi z njimi Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 223 i i “Razpet” — 2016/1/7 — 9:35 — page 224 — #2 i i i i i i Nove knjige se razlikujejo od črk po tem, da nimajo skupne ravne črte. Število 2015 se zapǐse takole: 2015. V devanagariju se pǐse od leve proti desni in od zgoraj navzdol. Zaradi velikega zanimanja za indijsko kulturo je že pred 100 leti nastala potreba po prečrkovanju (transliteraciji) sanskrta v latinico. Nastal je sistem IAST (International Alphabet of Sanskrit Transliteration), s katerim lahko z ustre- znimi ločevalnimi znaki (piko, črto, vijugo, ostrivcem) prepǐsemo sanskrtska besedila v latinico. To je v knjigi opisano že na samem začetku. Nastali so še drugi sistemi prečrkovanja. Včasih prihaja do zmede. V sistemu IAST pomeni c naš č, y naš j, j pa naš dž. Če ne vemo, ali je beseda prečrkovana v angleščino ali slovenščino, ravno j povzroča težave, ker takoj ne vemo, ali označuje naš j ali dž. Naslov knjige vsebuje v sistemu IAST prečrkovani besedi L̄ılāvat̄ı, v devanagariju lFlAvtF, in Bhāskarācārya, v devanagariju BA-krAcAy , v an- gleščini Bhaskaracharya. Črtice označujejo dolge samoglasnike. Prvo pre- beremo Lilavati, drugo Bhaskaračarja. Slednja je nastala z združitvijo dveh: Bhāskara, v devanagariju BA-kr, in ācārya, v devanagariju aAcAy , kar po- meni učitelj, vzgojitelj. Lilavati so v perziǰsčino prevedli že v 16. stoletju, proti koncu 20. stoletja jo je N. H. Phadke prevedel v maratščino, na za- četku pričujočega besedila navedeni prevajalci pa v angleščino. Prvo izdajo je knjiga, ki jo opisujemo, doživela leta 2001. Prvi prevodi v angleščino so sicer nastali že na začetku 19. stoletja. Toda sedaj prinaša ne le komentarje in rešitve, ampak tudi sanskrtsko besedilo v devanagariju. Pripovedujejo, da je delo Lilavati dobilo ime po Bhaskarjevi hčerki z istim imenom. Revica je izgubila možnost, da bi se omožila. Temu je bilo krivo očetovo zaupanje v astrološke napovedi. Izračunal je namreč, da se Lilavati lahko poroči ob natančno določeni uri na natančno določen dan. Oče je pripravil vodno uro in čas poroke naj bi bil, ko bo zadnja kaplja vode stekla iz posode skozi drobno luknjico. Željna čimpreǰsnje poroke se je sklonila nad vodno uro, in tedaj se je zgodila nesreča: biser z njenega okrasja v laseh ji je padel v posodo in zamašil luknjico, prava ura za poroko je žal minila in v tolažbo je oče poimenoval eno od svojih del po svoji hčerki Lilavati. Ime sicer pomeni lepa, igriva, dražestna. Knjiga najprej pove nekaj o življenju in delu Bhaskaračarje, ki ni bil samo matematik in astronom, ampak tudi zelo dober pesnik. Lilavati je namreč napisana v verzih v skladu z Weierstraßovo izjavo, ki pove, da mate- matik, ki ni tudi malo pesnika, nikoli ne more biti popoln matematik. Naj- bolj znano Bhaskarovo delo je Siddhantaširomani – Siddhāntaśiroman. i – EsˆAtEfromEZ, v angleščini Siddhantashiromani. V knjigi je to napisano kot ena beseda, nekateri pa pǐsejo kot dve: Siddhanta širomani. Dobesedno to pomeni venec učenja. Napisal ga je pri svojih 36 letih, pri čemer je upo- 224 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 i i “Razpet” — 2016/1/7 — 9:35 — page 225 — #3 i i i i i i Lı̄lāvatı̄ of Bhāskarācārya: A Treatise of Mathematics of Vedic Tradition rabil veliko njemu že znane matematike, precej pa jo je dodal sam. Lilavati so uporabljali kot učbenik v Indiji še več stoletij. Razdeljeno je, kot pǐse na začetku knjige, na štiri dele, ki jih nekateri obravnavajo kot ločene knjige. Te so: 1. Lilavati, ki obravnava aritmetiko, geometrijo in nekaj algebre, 2. Algebra, 3. Gibanje planetov in 4. Astronomija. Bhaskaračarja v Lilavati najprej razloži merske in denarne enote, ki so jih uporabljali v 11. in 12. stoletju, in odnose med njimi. Nato pride na vrsto desetǐski mestni zapis števil. Zanimivo je, da so potence 10n imele posebna imena za vsa nenegativna cela števila n od 0 do 17. Obstajajo pa v sanskrtu imena vse do n = 140, česar Bhaskaračarja ne navaja. Primera: 100 = 1 je eka, 1014 pa parardha. Sledijo poglavja o osnovnih štirih računskih operacijah z naravnimi šte- vili. Pri množenju je razloženih več metod, na primer z razdelitvijo množi- telja na dva dela, s faktorizacijo množitelja, pa tudi metoda, kot jo običajno uporabljamo, ko množimo s svinčnikom na papirju. Na običajni način je razloženo deljenje z ostankom in brez. Sledijo poglavja, ki obravnavajo kvadriranje in kubiranje ter kvadratno in kubično korenjenje naravnih števil. Snov je razložena približno tako kot v učbenikih aritmetike, ki so se pri nas uporabljali takoj po 2. svetovni vojni. Nato je na vrsti osem operacij z ulomki: seštevanje, odštevanje, množe- nje, deljenje, kvadriranje, kubiranje, kvadratno in kubično korenjenje. Več pozornosti je posvečene računanju z ničlo. Tu srečamo pojem neskončnosti in račune, ki nas spominjajo na limito. Nato nadaljuje s tako imenovanim obratnim postopkom, kjer je treba najti število. Primer: Neko število najprej pomnoži s 3. Temu produktu prǐstej 3/4 njegovega dela. Dobljeno vsoto deli s 7 in nato odštej 1/3 ko- ličnika od dobljenega količnika. Odštej 52 od kvadrata dobljenega ostanka. Prǐstej 8 kvadratnemu korenu tega rezultata. Nazadnje deli vsoto z 10 in dobǐs 2. Potem mi, deklica begavih oči, če poznaš obratni proces, povej začetno število! Nagovarjanje na tak ali podoben način je v delu pogosto. Dobimo občutek, kot da Bhaskaračarja ves čas poučuje deklico. Rezultat je 28. Sledijo razni problemi z eno neznanko iz vsakdanjega življenja. V njih srečamo slone, čebele, labode, razne sadeže, denar, drevesa. V knjigi, ki jo predstavljamo, je tudi naslednji problem. Dekle in fant sta se ljubila. Zgodila se je neprijetnost: njej se je pretrgala nit biserne ogrlice. Tretjina biserov je padla na tla, petina se jih je zakotalila pod posteljo, njej jih je uspelo zadržati šestino, njemu pa desetino. Šest biserov pa je ostalo na niti. Koliko biserov je štela ogrlica? Odgovor: 30 biserov. Prevajalci in komentatorji v tej knjigi niso omenili, da te naloge ni v ori- ginalnem Lilavati, ampak v Manorandžani, delu, v katerem je Ramakrǐsna Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 225 i i “Razpet” — 2016/1/7 — 9:35 — page 226 — #4 i i i i i i Nove knjige Deva v 15. stoletju komentiral Bhaskaračarjevo delo. Kvadratne enačbe Lilavati rešuje z dopolnjevanjem do popolnega kva- drata. Simbola za koren nima, upošteva pa samo pozitivni kvadratni koren. Primer: Na jezeru je jata labodov. Sedemkratna polovica kvadratnega ko- rena števila labodov se je preselila na obrežje jezera, en zaljubljen par pa se je še igral v vodi. Koliko labodov je bilo tam? Odgovor: 16 labodov. Lilavati vključuje tudi naloge v zvezi s premim in obratnim sorazmerjem (pravilo treh, pravilo petih). Povezane so s cenami, zlatom, menjavo blaga in enostavnim obrestovanjem. Primer: Na trgu lahko kupimo 300 mangov za eno drammo (1 dramma = 16 pan). 30 kakovostnih granatnih jabolk dobǐs za eno pano. Hitro izračunaj, koliko granatnih jabolk lahko zamenjaš za 10 mangov. Odgovor: 16 granatnih jabolk. Lilavati obsega tudi nekaj matematike, ki bi jo danes uvrstili v diskre- tno matematiko: kombinacije, Pascalov trikotnik (khandameru), zaporedja, permutacije in particije. Ker Lilavati vsebuje tudi nekaj indijske mitologije, navedimo primer: Gospod Vǐsnu ima 4 roke in v vsaki drži po eno insignijo: kij, disk, lotusov cvet in hǐsico morskega polža. Koliko različnih podob ima Vǐsnu? Odgovor: 4! = 24. Precej pozornosti posveti Bhaskaračarja v Lilavati linearnim diofant- skim enačbam ax + by = c. V bistvu jih rešuje z Evklidovim algoritmom, le da mu tako ne reče. Govori o metodi drobljenja (kuttaka). Pripomni- mo, da je Bhaskara obvladal tudi Pellove enačbe x2 − Dy2 = 1, kjer D ni kvadrat. Reševal je enačbo x2 − 61y2 = 1 in našel najmanǰso rešitev (x1, y1) = (1 766 319 049, 226 153 980). To je vsekakor omembe vreden rezul- tat, če upoštevamo takratno splošno stanje matematike in računskih pripo- močkov. Velik del knjige obravnava ravninske geometrijske probleme: Pitagorov izrek, razreševanje trikotnikov in štirikotnikov, ploščine likov. Pri stereo- metriji računa površine in prostornine raznih teles. Poseben razdelek je posvečen uporabi geometrije pri sencah. Precej je avtor dal na to, da bi se računi izšli v celih ali pa vsaj v racionalnih številih. Primer: Kača ima luknjo v zemlji tik ob 9 komolcev visokem drogu. Na njem sedi pav, ki zagleda proti luknji bežečo kačo v trenutku, ko je od nje oddaljena 27 ko- molcev. Pav poleti proti kači enako hitro kot le-ta beži. Pav zgrabi kačo. V kateri razdalji od droga se to zgodi? Odgovor: 12 komolcev od droga. Lilavati vsebuje precej nalog, ki jih najdemo po raznih zbirkah in knjigah o zgodovini matematike. Vsekakor je Lilavati knjiga, ki je pomembna tako z zgodovinskega kot literarnega vidika. Napisana je bila, ko še niso uporab- ljali nikakršnih matematičnih znakov in ko še ni bilo tiska. Zanimivo pa je dejstvo, da Indijci v Bhaskarovem času niso zapisovali dokazov. Marko Razpet, mAko rpt̂ 226 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6