i
i
“826-Milosevic-Razred” — 2010/5/27 — 10:15 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 14 (1986/1987)
Številka 2
Strani 108–109
Dragoljub M. Miloševíc, prevod Peter Šemrl:
RAZRED S-TRIKOTNIKOV
Ključne besede: matematika, analiza.
Elektronska verzija:
http://www.presek.si/14/826-Milosevic-Semrl.pdf
c© 1986 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
RAZRED S-TRIKOTNIKOV
Poznamo več razredov trikotnikov, ki imajo kakšno določeno lastnost, s pomo-
čjo katere lahko zanje dokažemo mnoge druge lastnosti. Tako na primer za pra-
vokotne trikotnike velja, da je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet.
Mi bomo obravnavali razred S-trikotnikov, ki imajo nekaj zanimivih lastnosti.
DEFINICIJA. Trikotnik s stranicami a, b, c (a <b <c) je S-trikotnik natanko
tedaj, ko so njegove stranice členi aritmetičnega zaporedja. To pomeni obstoj
takega pozitivnega števila d , da velja b =a +din c =a + 2d.
IZREK 1. Vsak S-trikotnik zadošča relaciji vb = 3r, kjer smo z vb označili vi-
šino na stranico b in s črko r polmer včrtanega kroga.
Dokaz. Vsak S-trikotnik zadošča relaciji
in zato velja
a + C =2b
25 =a +b +C = (a + c) +b =3b
(1)
(2)
Ker je ploščina trikotnika enaka P = (1/2)b,vb = r.s, dobimo vb = (2rs)/b. Ta
relacija nam da skupaj z enačbo (2) željen i rezultat.
IZREK 2. Naj bo S-trikotnik pravokoten. Potem je kvocient radija včrtanega
kroga s stranico kvadrata, ki je včrtan v trikotnik tako, da je eno njegovo
oglišče na hipotenuzi, dve stranici pa na katetah (glej sliko), enak 7/12.
Dokaz. Označimo stranico včrtanega
kvadrata z x. Ploščina trikotnika B
ABC je enaka vsoti površin trikot-
nikov ACD in BCD, tako da velja
(1/2) ab= (1/2) bx+ (1/2)ax. Od
tod sledi x = ab/la + bl. Ker je r =
= P/5 = ab/la + b + cl. dobimo
r/x=(a+b)/(a+b+c) (3)
Pitagorov izrek, uporabljen skupaj z A
relacijo (1), nam pove , da je b =
= (4/3)a in c = (5/3)a. To rej iz (3) sledi: r/x =7/ 12. S tem je izrek dokazan.
108
S-trikotniki imjo ie nekaj zanimivih lastnosti. in kur vam bo ptav gotavo 
v veselje, Oe jih boste dokazali mi, vain te Ilrrtnortl; podajamo v abllki nalog. 
1. Dokatite, da za vsak S-trikotnik veljajo tledeEe rsldje: 
a) a.c - 0.R.r 
b) (s-alb-c)=3r' 
C) (C - 8)' = 8dR - 2r) 
kjer ano t R ozndili polrner oCmmsge kroga. 
2. Ce je S-trikotnik prmrokoten, potem je razlib njegove Rajdaljh In rial- 
kraIdle stranice enaka p r e m  v&rtamge kmqs. 
3. Doldias mdrsbqjno rrrmerl. rtnnic S--trtkotnika, katerega pkllOina je 
enak 3/4 pl&ina makostranEnsga aikotnih z isthn obssgom. 
4. Kolikhe so manice S-trikotnika, (le je 
a) njegova povrllina 24, 
b) n/egw obseg w, 
el vBna na hipobenuzo 21 fi7