ASTRONOMIJA
Opoldanska senca v severni nebesni pol usmerjene ravne palice na treh ravninah
-i' -i' -i'
Marijan Prosen
Dolžina opoldanske sence v severni nebesni pol usmerjene ravne palice na vodoravni ravnini
Zadajmo si nalogo, da izračunamo dolžino 5 opoldanske sence, ki jo od Sonca osvetljena in v severni pol usmerena ravna palica z dolžino v meče na vodoravno ravnino (tla) v kraju na severni Zemljini poluti z geografsko širino & > 0 določenega dne v letu, ko je 5 deklinacija Sonca znana. Za deklinacijo Sonca velja omejitev -23,5° < 5 < 23,5°, kar pomeni, da leži med omenjenima vrednostma. Višinski kot p Sonca opoldne je p = 90° - (& - 5).
Dolžina 5 opoldanske sence na vodoravni ravnini je enaka vsoti dolžin senc si in s2, torej je:
■s = v(cos& + sin& ■ tg(& - 5))
cos & ■ cos(& - 5) + sin & ■ sin(& - 5)
v
v
cos(& - 5)
cos 5
cos(& - 5)'
Dolžino sence hitreje izracunamo po sinusnem izreku
s _ sin(90° - 5) ' v = sin(90° - (& - 5))
in
cos 5
5v
cos(& - 5)'
Zgledi
■ Ob enakonocju (5 = 0) je s = v / cos & in opoldanska dolžina sence pri znani dolžini palice je odvisna le od geografske širine. Na ekvatorju (& = 0)
severni nebesni pol (Severnica)
V.
5i = v cos &
f/ <5y -v / v» / A/	vi	vi s2 = tgp v	v sin & = tg p
f/ /			
sever /P\	"i		jug
Si s
vodoravna tla
SLIKA 1.
Dolžina sence palice opoldne je v tem primeru s = s1 + s2. Kot med palico in vodoravno ravnino je višinski kot severnega nebesnega pola in je enak zemljepisni širini & kraja, opoldanski višinski kot Sonca pa je p = 90° - (& - 5).
je s = v. Palica je vodoravna, Soncevi žarki pa padajo nanjo pravokotno. Pri nas (& = 45°) je s = v/(\fl/2) = v42. Na severnem polu (& = 90°) pa je opoldanska dolžina sence nedolocena, saj je višinski kot Sonca nic (Sonce je na obzorju). Za kraje na Zemljinem ekvatorju (& = 0) je s = v cos 5/ cos(-5) = v; dolžina sence je vse leto konstantna.
Na severnem Zemljinem polu je s = v cos 5/ sin 5 = v / tg 5 in je senca vidna samo spomladi ter poleti, ko je Sonce nad obzorjem in doseže ob poletnem Soncevem obratu najmanjšo dolžino (minimum) okoli 2,3v.

PRESEK 45 (2017/2018) 2
19
ASTRONOMIJA
—^ Na splošno se opoldanska dolžina sence 5 = v cos 5/ cos(< - 5) pri konstantnem < v casu enega leta spreminja od v cos23,5°/cos(< + 23,5°) do v cos23,5°/cos(< - 23,5°). Ce npr. vzamemo za v = 1 m in < = 45°, se dolžina sence spreminja od 1 m (poletni Sončev obrat) do 2,5 m (zimski Sončev obrat).
Dolžina opoldanske sence v severni nebesni pol usmerjene ravne palice na navpični ravnini
Zapicimo ravno palico v navpicno ravnino (steno) vzhod-zahod tako, daje usmerjena proti severnemu nebesnemu polu. Podnožišce palice leži v ravnini na severni strani, vrh palice pa je spušcen na južni. Kot, ki ga oklepa palica z navpicno ravnino, je 90° - <, ce je < severna geografska širina kraja (< > 0).
Izracunajmo dolžino sence 5, ki jo opoldne od Sonca osvetljena v severni nebesni pol usmerjena ravna palica z dolžino d mece na navpicno ravnino (steno) v kraju z geografsko širino < dolocenega dne v letu, ko je deklinacija 5 Sonca znana. Za deklinacijo Sonca velja omejitev -23,5° < 5 < +23,5°. Sonce je opoldne na jugu.
Dolžino 5 opoldanske sence te palice na navpicni ravnini izracunamo po sinusnem izreku 5/d = sin(90° + 5)/ sin (< - 5) in
5d
cos 5
sin(< - 5)'
< = 5 je dolžina sence neoprede-
--^r 90°	- <		
\ d			
		5	
5			
		-90° + 5	
	5		
/1^90°	- (<-	-5)	jug
sever		vodoravna ravnina	
za (< - 5) = 0 ljena.
Dolžina sence se med letom spreminja. Odvisna je od kraja < in letnega casa, kar pove deklinacija 5 Sonca, ki se med letom spreminja. Poleti so sence daljše kot pozimi.
Zgledi
■ Ob enakonocju (5 = 0) sledi 5 = d/ sin <. Dolžina sence je pri znani dolžini palice odvisna le od kraja <. Za < = 0 (ekvator) je senca nedo-locena, saj se Sonce za kraje na ekvatorju ta dan giblje od vzhoda do zahoda natanko po nebesnem ekvatorju in je opoldne navpicno. Za < = 45° (približno v naših krajih) je 5 = d\[2. Za < = 90° je 5 = d in dolžina palice se projicira sama vase, kadar je pac Sonce nad obzorjem.
SLIKA 2.
Dolžina opoldanske sence 5, ki jo od Sonca osvetljena in v severni nebesni pol usmerjena ravna palica z dolžino d mece v kraju z geografsko širino < na navpicno ravnino vzhod-zahod. Opoldanski višinski kot Sonca je 90° - (< - 5), kot med smerjo Sončevega žarka opoldne in navpicno ravnino pa je (< - 5). Poleti je 5 > 0, pozimi je 5 < 0, ob enakonocjih pa 5 = 0.
■	Za kraje na Zemljinem ekvatorju (< = 0) je 5 = d cos 5/ sin(-5) = -d/ tg 5. Dolžina sence je odvisna le od 5. Ce je 5 = 0, je senca nedolocena. Vemo že, ce je 5 > 0, ne pride do sence, za 5 < 0 pa pride (od jesenskega do spomladanskega ena-konocja, torej vso jesen in zimo).
■	Na severnem Zemljinem polu (< = 90°) velja 5 = d cos 5/ cos 5 = d za vse leto, ko je Sonce nad obzorjem (spomladi in poleti).
Na splošno se opoldanska dolžina sence 5 pri konstantnem < v casu enega leta spreminja od dcos(-23,5°)/sin(<+23,5°) do dcos23,5°/sin(<-23,5°). Za < > 23,5° je vedno zvezna krivulja, razen na severnem Zemljinem polu ob enakonocjih. Ce npr. vzamemo d = 1 min < = 45°, se dolžina sence spreminja od 1 m (zimski Soncev obrat) do 2,5 m (poletni Soncev obrat).
20
PRESEK 45 (2017/2018) 2	20
ASTRONOMIJA
Dolžina opoldanske sence v severni nebesni pol usmerjene ravne palice na ekvatorialni ravnini
Palico z dolžino oz. višino v zapicimo navpično v ekvatorialno ravnino tako, da njen vrh kaže v severni nebesni pol. Izračunajmo dolžino 5 opoldanske sence, ki jo od Sonca osvetljena palica, usmerjena proti severnemu nebesnemu polu, mece na ekvatorialno ravnino v kraju s severno geografsko širino p > 0 dolocenega dne v letu, ko je deklinacija 5 Sonca znana. Za deklinacijo Sonca velja omejitev -23,5° < 5 < +23,5°.
Ekvatorialna ravnina oklepa z vodoravno kot (90° - p). V njej leži nebesni ekvator, po katerem se navidezno giblje Sonce ob enakonocjih. Sonce je opoldne na jugu. V tem primeru je opoldanska dolžina sence
severni nebesni pol
5 =
tg 5
in je neodvisna od p kar pomeni, da se v vseh krajih severne geografske širine enako spreminja. Za negativne vrednost 5 pa senca ni definirana, saj sence preprosto ni (glej sliko 3).
Zgledi
■	Ob enakonocju (5 = 0) je dolžina sence palice neopredeljena za vse p.
■	Za kraje na Zemljinem ekvatorju (p = 0) je palica usmerjena vodoravno proti severnemu nebesnem polu. Sence so le, ce je 5 > 0, to je od spomladi do jeseni. Ob spomladanskem enakonocju je neopredeljena, nato se senca krajša in ob poletnem Soncevem obratu doseže najmanjšo vrednost (minimum v/tg23,5° = 2,3v), nato se veca do neopredeljenosti ob jesenskem enakonocju. Jeseni in pozimi pa sence ni (ni vidna), saj za 5 < 0 ni definirana.
■	Na severnem Zemljinem polu (p = 90°) je palica usmerjena navpicno proti severnemu polu in je ob spomladanskem enakonocju neopredeljena. Nato se krajša do najmanjše vrednosti 2,3v ob poletnem Soncevem obratu, daljša se do neopredeljenosti ob jesenskem enakonocju, potem pa Sonca sploh ni na spregled in sence ni, saj je Sonce pod obzorjem vso jesen in zimo. Nato se zadeva ponovi.
90° - p
vodoravna ravnina
SLIKA 3.
V tem primeru je opoldanska dolžina sence 5 = v/ tg5 in je ob enakonocju neopredeljena. Definirana je le za pozitivne 5, saj samo tedaj pride do sence. Opazujemo jo lahko le od spomladanskega do jesesenskega enakonocja, kar velja za vse kraje na severni Zemljini poluti.
Na splošno se torej dolžina sence 5 = v / tg 5 za vse kraje na severni Zemljini poluti v casu enega leta spreminja enako: od neopredeljene vrednosti ob enakonocjih do najmanjše vrednosti v/ tg23,5° ob poletnem Soncevem obratu. Ce npr. vzamemo v = 1 m in p = 45°, se dolžina sence spreminja od neopredeljene vrednosti do 2,3 m (poletni Soncev obrat).
Naloge
Pri risanju grafov velja omejitev -23,5° < 5 < 23,5°. Zato jih rišite od tocke do tocke. Pomagate si z astronomskimi efemeridami Naše nebo, ki jih vsako leto izdaja Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije (tu dobite podatke za deklinacijo Sonca)

v
PRESEK 45 (2017/2018) 2
21
ASTRONOMIJA
—^ in žepnim računalom. Grafe narišite za dve zaporedni leti, tj. od prvega spomladanskega enakonočja mimo drugega do tretjega spomladanskega enakonočja. Vsakič sestavite tabelo: čas (datum) | 5 oziroma tabelo 5|5 in nato narišete graf.
Seveda grafe lahko skičirate, s čimer si ustvarite samo kakovostno sliko poteka senč. Grafe smiselno komentirate.
1.	naloga
■	Narišite graf 5 = čos 5/ čos(45° - 5), ki prikazuje, kako se med letom spreminja opoldanska dolžina senče metrske v severni pol usmerjene ravne pa-liče na vodoravna tla v kraju z geografsko širino
= 45°, to je približno tako kot pri nas.
■	Narišite graf 5 = čos 5/ čos(-5), ki prikazuje spreminjanje opoldanske dolžine senče metrske v severni nebesni pol usmerjene paliče na vodoravna tla v krajih na ekvatorju.
■	Narišite graf 5 = čos 5/ sin 5, ki prikazuje spreminjanje opoldanske dolžine senče omenjene metrske paliče na vodoravna tla na severnem Zemljinem polu. Upoštevajte samo 5 > 0, ko je Sonče nad obzorjem.
Rešitve
■	V času enega leta se dolžina senče spreminja približno od okoli 1 m (minimum) do 2,5 m (maksimum). Senča je vidna vse leto. Krivulja, ki prikazuje potek dolžine senče med letom, je zvezna, to je nepretrgana.
■	V času enega leta se dolžina senče ne spreminja in je vse leto konstantna 1 m.
■	V času enega leta se dolžina senče spreminja od neopredeljene vrednosti do minimalne 2,3 m (ob poletnem Sončevem obratu). Opazujemo jo lahko le spomladi in poleti; jeseni in pozimi pa senče ni, saj je Sonče pod obzorjem.
2.	naloga
■	Narišite graf 5 = čos 5/ sin(45° - 5), ki prikazuje, kako se med letom spreminja dolžina senče metrske v severni nebesni pol usmerjene ravne paliče na navpično ravnino vzhod-zahod v kraju z geografsko širino y = 45°, to je približno tako kot pri nas.
■	Narišite graf 5 = čos 5/ sin(-5) = -1/ tg 5, ki prikazuje spreminjanje dolžine senče v severni nebesni pol usmerjene metrske ravne paliče v ekvatorskih krajih na navpično ravnino. Upoštevajte le 5 > 0.
■	Narišite graf 5 = čos 5/ sin(90° - 5), ki prikazuje spreminjanje dolžine senče v severni nebesni pol usmerjene metrske paliče na severnem Zemljinem polu na navpično ravnino. Upoštevajte samo 5 > 0.
■	Ravno paličo z dolžino d zapičimo v navpično ravnino vzhod-zahod tako, da leži v smeri sever-jug (podnožišče paliče na ravnini je na severu, vrh na jugu) in oklepa z vodoravno ravnino kot 90° - y (paliča leži v ekvatorialni ravnini).
Izračunajte dolžino najdaljše senče, ki jo od Sonča osvetljena paliča z dolžino d = 1 m v naših krajih s = 45° opoldne meče na navpično ravnino. Razpravljajte o rezultatu. Narišite graf, ki prikazuje, kako se med letom spreminja opoldanska dolžina senče tako naklonjene metrske ravne paliče na navpično ravnino v kraju z geografsko širino y = 45° (približno tako kot pri nas): 5 = sin 5/ sin(45° - 5): [5 = d sin 5/ sin(^ - 5) — 5 = sin23,5°/ sin21,5° = 1,09 m]
Rešitve
■	V času enega leta se dolžina senče paliče spreminja približno od 1 m (minimum ob zimskem Sončevem obratu) do 2,5 m (maksimum). Senča je vidna vse leto. Krivulja, ki prikazuje potek dolžine senče med letom, je zvezna.
■	V času enega leta se dolžina senče paliče spreminja od nedoločene vrednosti ob enakonočjih do 2,3 m (minimum) ob zimskem Sončevem obratu. Senčo lahko opazujemo le v jesenskem in zimskem času, spomladi in poleti pa je ni, saj se Sonče giblje po nebu za steno.
V času enega leta se dolžina senče ne spreminja, meri 1 m, in to od spomladanskega do jesenskega enakonočja (spomladi in poleti), jeseni in pozimi pa senče sploh ni, saj se Sonče giblje pod obzorjem.
www.dmfa-zaloznistvo.si
22
PRESEK 45 (2017/2018) 2	22
RAZVEDRILO
3. naloga
■	Narišite graf 5 = 1/ tg 5, ki prikazuje, kako se med letom spreminja opoldanska dolžina sence metrske v severni pol usmerjene ravne palice na ekvatorialno ravnino v poljubnem kraju severne geografske širine (tudi v tistem z geografsko širino < = 45°, približno tako kot pri nas).
Krivulja ni zvezna, ob enakonocjih je pretrgana in vsako leto doseže minimum 2,3 m (ob poletnem Sončevem obratu).
■	Izračunajte dolžino najkrajše sence, ki jo od Sonca osvetljena navpicna palica z višino v = 1 m v naših krajih s < = 45° mece na ekvatorialno ravnino. Senca je definirana, ko jo opazujemo, za 5 > 0. Razpravljajte o rezultatu: [s = v sin(< -5)/sin5 — s = sin21,5°/ sin23,5° = 0,68 m]
Narišite ali samo skicirajte graf, ki prikazuje, kako se med letom spreminja opoldanska dolžina sence metrske navpicne palice na ekvatorialno ravnino v kraju z geografsko širino < = 45° (približno pri nas): s = sin(45° - 5)/ sin 5.
■ Izracunajte dolžino najkrajše sence, ki jo od Sonca osvetljena vodoravna palica z dolžino d = 1 m v naših krajih s < = 45° mece na ekvatorialno ravnino. Senco opazujemo le, ko je 5 > 0. Razpravljajte o rezultatu: [s = d cos(< - 5)/ sin5 — s = cos 21,5°/ sin23,5° = 2,33 m]
Narišite ali samo skicirajte graf, ki prikazuje, kako se med letom spreminja dolžina sence metrske vodoravne palice na ekvatorialno ravnino v kraju z geografsko širino < = 45° (približno kot pri nas): s = cos(45° - 5)/sin5.
Literatura
[1]	F. Avsec in M. Prosen, Astronomija, DMFA - založništvo, Ljubljana 2006.
[2]	M. Prosen, Astronomska opazovanja, Presekova knjižnica 3, DMFA - založništvo, Ljubljana 1978.
[3]	M. Prosen, Ukvarjanje s senco, Presekova knjižnica 39, DMFA - založništvo, Ljubljana 2003.
_ XXX
RESITEV NAGRADNE KRlS ANKE
PRESEK 45/1
-> Pravilna rešitev nagradne križanke iz prve številke Preseka je Začetek šole. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Suzana Avšic iz Mirna, Karel Rankel iz Kranja in Alen Dudaric iz Celja, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti.
_ XXX
23	PRESEK 45 (2017/2018) 2