     
P 46 (2018/2019) 1 9
Merjenje globine vodnjaka
s stoparico
K Š
Spomini na preteklost, ko še ni bilo razvitega
vodovodnega omrežja, so tudi vodnjaki. Še da-
nes najdemo skoraj pri vsaki domačiji vodnjak, ki
ga zapira domiselno izdelano ohišje, pokrito z iz-
brano kritino, v nekaterih primerih tudi s slamo.
Učenci OŠ Šmarje pri Jelšah prihajajo tudi iz odda-
ljenih vasi, ki se nahajajo večinoma na gričih, ob-
danih z vinogradi in gozdiči. Skupina učencev si
je izbrala za raziskovalno nalogo opisati in izbrati
čim več podrobnosti o vodnjakih, ki se nahajajo
na področju občine. Program raziskovanja je bil
obsežen. S posebno izdelano napravo za ta namen
so merili temperaturo vode na dnu vodnjaka in na
gladini. Primerjali so jo s temperaturo ozračja. Ker
so računali prostornino vode v vodnjakih, so me-
rili tudi njihovo globino in višino vode.
Namen tega prispevka ni poročanje rezultatov raz-
iskovanja, ampak opisati zanimiv fizikalni primer, ki
je nastal pri merjenju globine vodnjaka v bližini cer-
kvice svetega Lovrenca (sliki 1 in 2).
Vodnjak, ki je bil predmet raziskovanja, spada
med najbolj zanimive na Kozjanskem. Predvsem nas
je presenetila njegova globina – 23 m. Izmerili so
jo gasilci pri čiščenju vodnjaka. Njegov lastnik nam
je povedal, da je gladina vode nevidna, dobro pa se
sliši zvok, ki nastane, ko nanjo udari kamenček. Z
lastnikovim dovoljenjem so tudi učenci spustili ka-
menček v vodnjak in izmerili čas od izpusta do na-
stanka zvoka pri udarcu na gladino vode. Pri večkra-
tni meritvi časa je bil povprečen čas 2,2 sekunde. Po
obrazcu za prosti pad in pri upoštevanju vrednosti
za zemeljski pospešek 9,81 m/s2 so izračunali glo-
SLIKA 1.
SLIKA 2.
     
P 46 (2018/2019) 110
bino 23,74 m. Če upoštevamo, da je bilo ob času
meritve po pripovedovanju lastnika v vodnjaku en
meter vode, je kamenček preletel v izmerjenem času
razdaljo 22 m, kar je za 1,7 m več od pričakovane
vrednosti. Poskusili smo pojasniti nastalo razliko.
Čas, ki so ga izmerili učenci s stoparico, je sesta-
vljen iz dveh delov: iz časa prostega pada kamenčka
t1 in časa t2, ki ga potrebuje zvok na razdalji od gla-
dine vode do mesta, kjer so spustili kamenček. Če
označimo izmerjeni čas s T , je T = t1 + t2. Razda-
ljo do gladine vode, ki je v nekaterih primerih, ko
so sušna obdobja, tudi enaka globini vodnega jaška,
označimo s H in iz obrazca za prosti pad H = g2 t21
izračunamo čas t1 =
√
2H
g , kjer pomeni g zemeljski
pospešek. Označimo s c hitrost zvoka in iz obrazca
za enakomerno gibanje izračunamo čas t2 = Hc .
Izmerjeni čas T je
T =
√
2H
g
+ H
c
. (1)
Dobljeni izraz zapišimo v obliki:
(
T − Hc
)
=
√
2H
g , po
kvadriranju obeh strani enačbe dobimo
H = g
2
(
T 2 − 2T
c
H + H
2
c2
)
.
Globine vodnjakov oziroma vodnih jaškov so na po-
deželju navadno pod deset metrov, vodnjaki nad de-
set metrov globine so že redkost. Ker je hitrost zvo-
ka pri 20 ◦C 340 m/s, lahko člen H
2
c2 zaradi majhne
vrednosti izpustimo in dobimo za H linearno enačbo
z rešitvijo
H = g
2
T 2
c
c + gT . (2)
Če vstavimo v izraz (2) za pospešek g = 9,81 m/s2,
za izmerjeni čas 2,2 sekunde in za hitrost zvoka že
omenjeno vrednost 340 m/s, je globina vodnjaka
oziroma gladina vode v njem 22,31 m, kar se pribli-
žuje pravi vrednosti 22 m. Seveda pa moramo pri
računu upoštevati razne omejitve: pri merjenju s
stoparico lahko merimo največ na 0,1 sekunde na-
tančno, reakcijski čas osebe, ki meri, pa lahko doseže
tudi desetinko sekunde. Upoštevanje časa zvoka pri-
speva k natančnosti meritve približno 1,7 m.
Poglejmo še primer, ko člen H
2
c2 ni več zanemarljiv,
npr. pri merjenju globine jaškov v gorah ali višine
nebotičnikov. Povrnimo se na začetek; obe strani
enačbe (1) pomnožimo s c in jo spremenimo v obliko
(cT−H) = c
√
2H
g . Po kvadriranju in združevanju čle-
nov dobimo kvadratno enačbo
H2 − 2
(
cT + c
2
g
)
H + c2T 2 = 0,
iz katere izračunamo globino H: H1,2 = −b±
√
D
2a . Ker
je v našem primeru a = 1, b = −2
(
cT + c2g
)
in D =
4
(
cT + c2g
)2
− 4c2T 2 = 4c2g2
(
c2 + 2cTg
)
, je
H1,2 =
(
cT + c
2
g
)
± c
g
√
2cTg + c2. (3)
Zaradi pozitivnega in negativnega predznaka pred
korenom dobimo za H dve rešitvi: če izberemo nega-
tivni predznak, je pri T = 0 tudi H = 0, kar ustreza
začetnemu stanju; rešitev pri pozitivnem predznaku
pa nima fizikalne osnove, ker je pri T = 0, H = 2c2g .
Po kratkem preoblikovanju izraza (3) in upoštevanju
negativnega predznaka je globina H
H = cT − c
2
g


√
1+ 2Tg
c
− 1

 .
Kolika bi bila globina vodnjaka, če bi izmerili pri pro-
stem padu čas T = 3 s?
Po izrazu (4) dobimo za globino H = 40,7 m, po
obrazcu za prosti pad, ko ne upoštevamo časa zvoka,
pa 44,2 m. V tem primeru, ko smo upoštevali čas
zvoka, se je natančnost meritve povečala za 3,5 m.
Vprašajmo se še, pri kateri razdalji je čas zvoka
enak času pri prostem padu. V uvodu smo že zapi-
sali čas prostega pada t1 =
√
2H
g in čas zvoka t2 =
H
c .
Oba izraza izenačimo, kvadriramo dobljeno enačbo
in izračunamo to razdaljo: H = 2c2g = 23 568 m. Za-
nimivo, če upoštevamo pri izrazu (3) pred korenom
pozitivni predznak, dobimo enak rezultat.
Pripis. Kako se je končala raziskovalna naloga
učencev? Z načinom merjenja globine se učenci niso
posebno ukvarjali, ostali so pri opisu preprostih va-
ških vodnjakov in od župana prejeli zasluženo de-
narno nagrado.
×××