i
i
“naloga” — 2012/5/10 — 12:19 — page 78 — #1 i
i
i
i
i
i
VPRAŠANJA IN ODGOVORI
Pred kratkim (Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 5) smo zastavili nalogo o pa-
dajoči palici. Palica najprej stoji na ošiljenem koncu navpično na ravni
podlagi. Palica je v labilni legi in že najmanǰsa motnja povzroči, da se
prevrne. Pravzaprav ni mogoče, da bi palica obstala pokonci, tudi če bi
stala popolnoma navpično, kar lahko razložimo s Heisenbergovim načelom
nedoločenosti.
Med padanjem palice njen ošiljeni konec, ki je v stiku s tlemi, najprej
miruje, nato pa začne po njih drseti. Giblje se bodisi v smeri padanja bodisi
v nasprotni smeri. Smer je odvisna od koeficienta lepenja. Med padanjem se
smer drsenja lahko tudi spremeni, če je koeficient trenja odvisen od hitrosti.
Slika 1. Sestavljena slika padajoče palice. Slika je zlepljena iz posnetkov, narejenih v
enakih časovnih razmikih z enako hitrostjo zaklopa. Hitreje, ko se palica giblje, bolj je
njena slika zabrisana.
Vprašanje naloge je bilo, ali palica med padanjem zdrsne naprej ali na-
zaj? Ali pri tem kdaj odskoči oziroma ali je konec palice ves čas padanja v
stiku s tlemi?
Na palico delujeta dve zunanji sili: teža mg in sila podlage. Silo podlage
razstavimo na navpično komponento z velikostjo Fn in podlagi vzporedno
silo lepenja Fv. Vodoravna komponenta sile podlage je posledica lepenja,
dokler konec palice miruje, in trenja, ko se konec giblje. Odklon palice iz
navpične smeri označimo s kotom ϕ, dolžino z l, maso z m in gravitacij-
ski pospešek z g. Energijski izrek poveže spremembo potencialne energije
težǐsča in spremembo kinetične energije palice:
1
2
mgl(1− cosϕ) = 1
2
1
3
ml2ω2,
pri čemer smo privzeli, da palica v začetku miruje v navpični legi, in smo
upoštevali vztrajnostni moment vrtenja palice okoli osi v stiku s podlago
ml2/3.
78 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2
i
i
“naloga” — 2012/5/10 — 12:19 — page 79 — #2 i
i
i
i
i
i
Rešitev naloge „Padec palice“
Fn
mgj
Fl
Slika 2
Kotni pospešek α, s katerim se palica vrti okoli osi v stiku palice s
podlago, je posledica navora teže:
M = Jα
in je enak:
α =
3g sinϕ
2l
.
Dokler palica na stiku s podlago miruje, pospešek njenega težǐsča raz-
delimo na radialno in tangencialno komponento, za kateri velja:
ar =
ω2l
2
=
3g(1− cosϕ)
2
,
at =
αl
2
=
3g sinϕ
4
;
ω je kotna hitrost, s katero se palica vrti.
Navpično komponento sile podlage izrazimo iz drugega Newtonovega
zakona:
Fn −mg = −mar cosϕ−mat sinϕ⇒ Fn =
1
4
mg(1− 3 cosϕ)2 .
Sila lepenja pospešuje težǐsče v vodoravni smeri:
Fl = mav = m(at cosϕ− ar sinϕ) =
3mg
4
sinϕ(3 cosϕ− 2) .
Palica ne drsi, dokler je sila lepenja manǰsa od produkta koeficienta
lepenja kl in pravokotne komponente sile podlage: Fl < klFn oziroma:
kl >
∣∣∣∣3 sinϕ(3 cosϕ− 2)(1− 3 cosϕ)2
∣∣∣∣ = f .
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 79
i
i
“naloga” — 2012/5/10 — 12:19 — page 80 — #3 i
i
i
i
i
i
Vprašanja in odgovori
Graf razmerja z desne strani neenačbe v odvisnosti od kota ϕ je prikazan
na sliki 3.
0.61
0.84
0.37
0.89 1.23
j [rad]
f
Slika 3. Odvisnost velikosti kvocienta vodoravne in navpične komponente sile podlage
od nagiba palice. Palica začne drseti takrat, ko njen nagib preseže vrednost, pri kateri
je kvocient enak koeficientu lepenja med palico in podlago. Pri kotu 0,84 rad spremeni
vodoravna komponenta sile podlage smer. Če je koeficient lepenja večji od 0,37, palica
zdrsne v smeri padanja pri kotu, ki je večji od 0,89 rad. Kvocient ima pol pri kotu 1,23
rad, ki pa nima pomena, saj palica že pred tem začne drseti in gibanje opǐsemo drugače.
Ko postane razmerje večje od koeficienta lepenja (ki je snovna lastnost
podlage in palice), začne palica drseti. Če je koeficient lepenja manǰsi od
0,37, palica zdrsne v nasprotno smer padanja pri kotu, ki je manǰsi od 35◦.
Če je koeficient lepenja večji, palica ne drsi vsaj do kota 48◦. Pri tem kotu
sila lepenja spremeni svojo smer. Tedaj začne palica drseti v smeri padanja.
Pokažimo še, da palica ostane na tleh, kadar drsi v smeri padanja. Spre-
memba potencialne energije palice mgl(1 − cosϕ)/2 opravi delo sile trenja
Slika 4. Palica zdrsne v nasprotno smer padanja, če je koeficient lepenja med palico in
podlago manǰsi od 0,37.
80 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2
i
i
“naloga” — 2012/5/10 — 12:19 — page 81 — #4 i
i
i
i
i
i
Rešitev naloge „Padec palice“
in poveča kinetično energijo palice:
1
2
(1− cosϕ)mgl = At +
1
2
1
12
ml2ω2 +
1
2
m[l2(ω/2)2 + v2r + lvrω cosϕ] .
Kinetično energijo palice smo zapisali kot vsoto rotacijske kinetične energije
pri vrtenju okoli osi skozi težǐsče in translacijske kinetične energije težǐsča.
Z vr je označena hitrost konca palice, ki je v stiku s podlago. Delo trenja in
člena, v katerih nastopa vr, so pozitivni. Ko jih izpustimo, sledi neenačba:
ω2 <
3g
l
(1− cosϕ) .
Pospešeno vrtenje palice okoli težǐsča je posledica navora sile podlage:
Fn
l
2
sinϕ+ ktFn
l
2
cosϕ =
1
12
ml2α .
Gibanje težǐsča v navpični smeri opǐsemo z drugim Newtonovim zakonom:
mg − Fn = mα
l
2
sinϕ+mω2
l
2
cosϕ .
Sila trenja na gibanje v navpični smeri ne vpliva. Iz zadnjih dveh enačb
izrazimo pravokotno silo podlage:
Fn =
mg
(
1− l2gω
2 cosϕ
)
3 sin2 ϕ+ 3kt sinϕ cosϕ+ 1
.
Če v števcu ω2 zamenjamo z desno stranjo neenačbe, sledi
Fn >
mg(1− 32 cosϕ(1− cosϕ))
3 sin2 ϕ+ 3kt sinϕ cosϕ+ 1
.
Imenovalec zadnjega izraza je zagotovo pozitiven, za števec pa z dopolnitvijo
do popolnega kvadrata:
1− 3
2
cosϕ+
3
2
cos2 ϕ =
3
2
[
(cosϕ− 1/2)2 + 5
12
]
tudi pokažemo, da je vedno pozitiven.
Tako smo dokazali, da je navpična sila podlage vedno pozitivna in palica
ne izgubi stika s podlago. Zgornja izpeljava seveda ne velja, če upoštevamo
zračni upor ter palica ni toga in ozka. Dokaz za drsenje v nasprotno smer
padanja teče podobno. Poskusite ga izpeljati sami!
Aleš Mohorič
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 VII