“428-Pavlic-kako” — 2010/3/30 — 14:04 — page 1 — #1
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 7 (1979/1980)
Številka 2
Strani 77–80
Gregor Pavlič:
KAKO PODVOJITI KOCKO?
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/7/428-Pavlic.pdf
c© 1979 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
KAKO PODVOJITI KOCKO?
Pro blem podvojitve kocke se je pojavil že v delu nekega matema -
tično neizobraž enega gr škega pesn ika. Pisal je o mitolo škem
kralju Minosu, ki ni bil zadovoljen z vel i kostjo grobni ce s vo j e
ga sina Glavka. Zahteval je dvakrat večjo grobnico in meni l, da
se da to storiti s podvoj itvijo vseh njenih dimenzij . Ta pesni -
kova "matematika" j e vz podbudila geometre, da so se lotili pro-
blema, kako podvojiti trdn o telo, da pri tem ohrani obliko.
Znana je še druga zgodba . Dels ki vedež je pr e r okova l ljud stvu,
da se bo rešilo kuge, če bodo podvojili Apolonov kockasti ol-
tar. Najb rž so problem zaupali Platonu, ki ga je predl ožil ge-
ometrom v svoj i Akadamiji. Zato se tudi imenuje del ski pr obl em.
Na j je zgodba resni čna a li ne, vendar so se s podvojitvijo koc-
ke ukvarja li š tevilni grški matematiki in tudi priš l i do rešit-
ve. Znani so Menehmus , Arh itras , Evdoksos , Eratostenes , Pappus,
Diokles, Hipokrat in drugi.
Matematiki so se zelo trudili, da bi problem rešili l e s šesti-
lom in neoznačenim ravnilom (Evk lidsko orodje), pa ni šlo . Da-
nes vemo zakaj! S šestilom in r av ni lom se ne da nar is at i pre -
mic, ki b i i meli do l ži ni v r azm erju ~ : 1 Prob lem podvoji -
tve kocke je eden od treh znameniti h prob lemov grške matemati-
k e ~
če j e a s tr an ica kocke, je treba poiskat i stranico x kocke, ki
bo imela dvakrat večjo prostornino x 3 = 2a 3 oziroma x =
= 3,12 a .
Pog lejmo si dve rešitvi:
(A) Hipokrat (460 pr.n.š . ) j e sklepal takole : če l a hko najdemo
sestavljeno so razmerje dveh danih pre mic a: x = x : y =
= y : 2a , ne mor e biti več da leč d o reši tve.
Iz tega dobimo:
*Še kvadratura kroga in trisekcija kota (g le j Presek 11 1/ 3 , str . 166) . Pri-
merjaj še Presek IV/ 4, s tr . 197.
77
2= in zato
Od tod pa
Tod a Hipo krat do končn e reš i t ve ni prišel ; na os nov i njego vega
de l a j e pr oblem r eši l Menehm us (350 pr . n.š. ). Iz s esta vl j e nega
sorazme r ja je do bi 1 tri e n a č b e
Prv i dve pr edstav l jata kriv uljo par a bole, t re tja pa hi per bolo
(s l. 1 ) . Ab s ci s a t o č k e, kj e r s e pr i danem a > O vs e t ri kr i-
vu lj e s e ka j o , j e re šitev .
( B) Naj bo lj znana je Di o kl es ova re šitev. Pomaga l s i j e s kr i -
vulj o c is o i do (po naš e bi rekl i b ršlj anč n ica) : y2 (a - x) = x 2 .
Cisoido nari š emo tako le ( s l . 2 ) . V pra vo kot nem koor d inat nem s i
78
S l . 1 S l . 2
stemu narišemo kr og s polmerom a/2 in sredi š čem v to č ki
N( a / 2 , O) , v to čki A (a, O) pa tangento na krog . Eno od toč k
c i s oi de dobimo t a ko , da i z i zhod išča O nar i šemo poltrak pod P9
l j ubn i m kotom , ki s eka kr ožnico v t o čk i B , tangento pa v to čki
C. Dalji co BC prene semo po po ltraku do izhodi šča O in dobimo
točko krivulje T , da velja OT = BC .
Potek reš itve :
Najprej nari šemo krog z rad ijem r (sl. 3) , diametralni točki
označimo z A in B , pravokotn ic a na premer skozi sr ed išče O naj
s e ka krožni co v točki C, kon struiramo š e tangento v B . Cisoido
konstruiramo t ako, da pot ek a sk oz i toč k i A i n C.
Raz p olovi š č e OC na j bo t o č ka M i n iz B s kozi M pote gnimo pre m}
co, ki seka c i s oi do v točki P. Skoz i A in P potegn imo prem ico,
ki se ka kr ožnic o v to č k i D . V t o čkah P in D na ri šemo pravo kot-
nic i na premer in dobimo nove točke: S na krožnici ter L in R
na premeru.
Po def iniciji cisoide je AP = DE , zato iz Ta l e s ovega izre ka
o so razme r jih s led i AL = RB in LO = OR
Oz nač i m o s edaj LB z a , AL z x in SL z y in pog l e j mo razme rje ·
LB
a
PL
PL
OB : OM ali
r : r/ 2 =:> PL = a / 2
Da r ešim o na lo go, pogl ejmo
nekatere podobn e ali pa sk la g
ne t ri kot ni ke. Oč it n o ve l ja
~ALP - ~ARD i n ~ARD ~ ~BSL
i z v i ši ns kega i zr eka v pr av o-
kot nem tr ikotnik u ( kra ka po t ~
kat a skoz i diamet ralni toč ki ,
vr h i pa je na krožn ic i ) pa s le
d i ~BSL - M LS
Tor ej velj a
~BSL - ~ALS - ~A LP in od t od
S1. 3
79
f f : y = $ j : x 5 0 : F & = * : c % / 2 .  
Ia tega sestav 1 je-nega sorarnrerja dobimo 
= y 2  oziroma st2 = y 4 / ~ 2  i n  ptz = ( a / 2 ) ~  . 
InenaEimo desnl s t r a n i  obeh enatb 
Sn rcIitev j e  na dlanl:  
,a = eg3 
L i  t e r a t u f a :  
Howard Ewes , An In t roduct ion  t o  the History o f  Mathemst lcs  
Eugene Smf t h  , History o f  Mathematics