P K I- S I- K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 22 (1994/1995) Številka 3 Strani 129-132
Gregor Pavlic:
PASCAL, FIBONACCI IN BOŽIČNO DREVCE
Ključne besede: matematika, teorija števil, kombinatorika, Pascalov trikotnik, Fibonaccijevo zaporedje.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/22/1220-Pavlic.pdf
© 1994 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
PASCAL, F1B0NACC1 IN BOŽIČNO DREVCE
V trikotnik razporejenih števil, ki jih poznamo pod imenom Pascalov trikotnik, ni odkril slavni filozof in matematik Blaise Pascal (1623 - 1662), ampak so jih poznali kitajski matematiki že 350 let pred njim. Vprašanje pa je, ali so se zavedali, kaj vse se v trikotniku skriva (slika 1).
i teč
Slika 1,
(A) Najprej na hitro ponovimo: Na robu Pascalovega trikotnika so same enice, število, ki ni na robu, pa je vsota svojega levega in desnega soseda v vrstici pred njim (slika 2). Vemo še, da posamezno število lahko tudi izračunamo iz njegovega položaja v trikotniku. V k-ti vrsti je na i-tem
mestu število (*); /" = 0, 1.....k.
Oglejmo si še nekaj zanimivih lastnosti Pascalovega trikotnika. Vsota vseh števil v k-ti vrsti Pascalovega trikotnika je število vseh podmnožic končne množice z močjo k oziroma moč njene po-tenČne množice:

Slika 2,

Če pa seštejemo števila iz Pascalovega trikotnika po poševnih vrstah od vrha navzdol, kot kaže slika 2, ostanemo brez besed: Saj to je vendar Fibonaccijevo zaporedje!
Za dokaz tega osupljivega odkritja uporabimo rekurzivno definicijo Fibonacci-jevega zaporedja F(rt), n = 0,1, ...1
F(0)=F(1) = 1,
F(n) =F(n - 1)+ F(n- 2); n= 2,3,4.... in eno od lastnosti binomskih simbolov (aditivnost):
Z S(n); n ~ 0,1,2,... označimo vsoto števil v n-ti poševni vrsti. Res je S{0) = S{1) = 1. Dokažimo še rekurzivno formulo. Za sode n gre takole:
5(2m - 1)+S(2m - 2) =
('V1) namenjamo z ('¿"J, uporabimo aditivnost binomskih simbolov in dobimo
Za lihe n ni dokaz nič težji.
Vsote S(n) torej res tvorijo Fibonaccijevo zaporedje.
(B) V anglosaških deželah otroci Božičku ne nastavljajo peharjev ampak velike pisane nogavice. Take "nogavice" najdemo tudi na Pascalovem trikotniku (slika 3).
Nogavica je lahko dolga, kolikor hočemo, le njen zgornji del se mora začeti na robu trikotnika in stopalo mora biti dolgo dve števili, s peto vred Potem je vsota števil v nogavic! enaka številu v prstih stopala.
1 + 3 + 6+ 10+ 15 + 21 = 56 1 + 4+ 10 + 20 + 35 = 70
Slika 3.
Za dokaz trditve spet potrebujemo le lastnosti blnomskih simbolov. Oglejmo si primer nogavice, ki teče od zgoraj navzdol od leve proti desni Za drugi primer lahko napravite dokaz sami.
¡MTM^-Ct-TK:*)-
n+ k\ _
CTKrv......v o
("r)+(r)]+-+("r)=
(r>c :kH"+n
(C) Za konec okrasimo božično d reve e še z Davidovimi zvezdami. Zvezda mora obkrožiti eno od števil Pascalovega trikotnika, kot kaže slika 4; potem je produkt števil v krakih Davidove zvezde popolni kvadrat.
1-11-3-31 = 32, 3 ■ 1 ■ 1 ■ 5 ■ 10 -6 = 302. 1 • 4 ■ 10 ■ 15 ■ 6 -1 = 602. Tokrat bomo pri dokazovanju uporabili znano formulo za izračun vrednosti binomskega simbola:
\k J k\{n-
k)\
n\	_nI_ (n+ 1)! _(n + X)!_
~ k\(n-k)l ' (k + l)!(n- k - 1)! ' fc!(n+l-fc)! ' (k 4- 2)! (n + l- k -2)!* (n+2)!	(n + 2)!
" (fc + l)!(n + 2-le-l)! ' (k + 2)!(n + 2- k- 2)!
r	i2
_n!(n+ l)!(n + 2)!_
/c!(/c + l)!{fc + 2)!(n-k - l)\(n - k)\ (n - k + l)\ \
Dokazano!
Gregor Pavlic