     
P 46 (2018/2019) 14
Ostrenje na sredinsko točko
P L̌
Opis problema
Že pred desetletji so fotoaparati dobili samodejno
ostrenje – avtofokus. To je fotografu zelo olajšalo
delo in omogočilo mnogo hitrejše zajemanje slik.
Kamere imajo navadno v iskalu označene točke,
na katere lahko ostrimo. Pri zrcalno refleksnih apa-
ratih je pogosto najbolj točno (in v šibki svetlobi tudi
edino mogoče) ostrenje z osrednjo točko, v centru is-
kala. Zato mnogi fotografi kamero najprej usmerijo
tako, da je ta osrednja točka tam, kjer želijo ostrino
(npr. na očesu slikane osebe), nato pa aparat prema-
knejo (zavrtijo), da dobijo pravi izrez. Kot bomo vi-
deli, pa to vodi k napaki v ostrenju. Pri bolj odda-
ljenih objektih in zaprti zaslonki je taka napaka ve-
činoma zanemarljiva. Pri povsem odprti zaslonki in
pri slikanju iz bližine pa je tak način ostrenja zgre-
šen in lahko vzrok za neostre slike.
bb bb
b
b
b
b
F
T
T ′
E
G
h
v
f
a
b
α
α
Π
O
B A
SLIKA 1.
Leča daljico AT preslika na daljico BT ′.
Denimo, da ima objektiv goriščno razdaljo f . Pri-
vzeli bomo, da objektiv deluje kot okrogla tanka leča
s središčem O in z goriščno razdaljo f . Poglejte si
sliko 1. Leča ravno ploščo, vzporedno ravnini Π leče
in na sliki 1 za a oddaljeno od te ravnine, ostro upo-
dobi na tipalo, ki je prav tako vzporedno Π in od Π
oddaljeno za b, če velja
1
a
+ 1
b
= 1
f
. (1)
To je enačba tanke leče, nedavno izpeljana v Preseku,
[1, str. 4].
Leča daljico AT z dolžino h preslika na daljico BT ′
z dolžino v . Pravokotna trikotnika OAT in OBT ′
sta podobna, kot AOT označimo z α in je enak kotu
BOT ′. Razmerje
m = v
h
= b
a
je povečava. V tem članku se ne bomo ukvarjali s
fotografijo iz bližine, zato bo m < 1 in »povečava« v
resnici pomanjšanje. Če postavimo b =ma v enačbo
(1), dobimo
(
1+ 1
m
)
1
a
= 1
f
in od tod
a = 1+m
m
f =
(
m−1 + 1
)
f , b = (1+m)f .
Razdalja med tipalom in objektom – daljico AT je
a+ b =
(
m−1 + 2+m
)
f .
To je razdalja, ki jo lahko odčitamo ali nastavimo na
nekaterih objektivih.
Primer 1. Naj bo f = 30 mm in m = 0,1. Potem je
b = 33 mm in a = 330 mm = 33 cm. Razdalja med
tipalom in daljico AT je 36,3 cm.
Premik
Na sliki 1 je točka T ′ pri želenem izrezu in pravi izo-
stritvi (tako, da je točka T ostro upodobljena) odda-
ljena za v od sredine tipala.
     
P 46 (2018/2019) 1 5
Primer 2. Vzemimo, da je tipalo velikosti APS-C,
konkretno 22,2 mm × 14,8 mm. Razdalja v je manj-
ša od polovice diagonale. Ta polovica po Pitagoro-
vem izreku znaša
√
11,12 + 7,42 ≈ 13,3 mm. V prak-
tično vseh primerih bo v ≤ 8 mm.
Dolžina daljice OT ′ je enaka
|OT ′| =
√
b2 + v2.
Zaradi podobnosti je razdalja a1 od O do T enaka
a1 = m−1|OT ′| = m−1
√
b2 + v2. Če s sredino is-
kala izostrimo točko T kot na sliki 2, izmerimo raz-
daljo a1 > a med T in ravnino premaknjene leče.
Naj bo a = ka1. Seveda je zaradi podobnosti tudi
b = k
√
b2 + v2. Tu je k < 1. Mnogi verjetno veste,
da številu k rečemo kosinus kota α, torej k = cosα,
vendar za naš članek to niti ni pomembno.
Delimo enakost b = k
√
b2 + v2 z b, pa dobimo 1 =
k
√
1+ v2/b2. Upoštevamo še, da je b = (1+m)f , pa
je
k = 1√
1+K , K =
v2
(1+m)2f 2 . (2)
Po enačbi 1 se razdalja med točko O in tipalom
zmanjša na b1 < b, kjer je
1
a1
+ 1
b1
= 1
f
.
Na sliki 2 je to približanje narisano pretirano.
b
b
b
b
b
b
b
b
T
T ′′
E
G h
a
a1
b1
C
D
A
O
α
SLIKA 2.
Ko kamero zavrtimo navzgor, se razdalja med T in ravnino leče
poveča na a1.
Primer 3. Če je f = 30 mm, m = 0,1 in v = 8 mm,
je |OT ′| =
√
332 + 82 ≈ 33,96 mm in tako a1 =
10|OT ′| ≈ 33,96 cm. Ker je bil a = 33 cm, se je a
povečal za slab centimeter ali za kake tri odstotke.
Po enačbi (1) izračunamo b1 ≈ 32,9074 mm. Ker je
bil b = 33 mm, je b−b1 ≈ 0,0926 mm. Kako to vpliva
na kakovost slike?
Posledica premika
Denimo, da smo kamero premaknili nazaj navzdol
tako, da je točka O spet na praktično istem mestu
kot na začetku in da točko A vidimo v sredini is-
kala. Kamera je zdaj izostrena na preveliko razdaljo.
Točka T je spet za a oddaljena od ravnine leče, zato
njena ostra slika nastane spet v isti točki T ′ kot na
začetku. Ampak zdaj je T ′ za tipalom. Razdalja med
T ′ in tipalom je b − b1. Žarke, ki izhajajo iz točke T
in padajo na lečo, ta preusmeri v stožec z vrhom T ′
na sliki 3. Lahko je verjeti, da je presek tega stožca
s tipalom krožec s premerom M′N′. (Središčni raz-
teg s središčem T ′, ki M preslika na M′, nam krog
s središčem O in s premerom D = |MN| preslika
na vzporeden krog s premerom d = |M′N′|, ki tako
leži v ravnini tipala. Ta razteg ohranja stožec žar-
kov skozi T ′.) Število D je premer leče. Trikotnika
T ′M′N′ in T ′MN sta podobna. Njuni vodoravni vi-
šini sta b − b1 in b, zato je d : (b − b1) = D : b in od
tod
d = D(b − b1)b−1.
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
F
T
T ′
E
G
b1
b
N
M
N′
M′
SLIKA 3.
Žarke iz T nam leča lomi v stožec žarkov, ki gredo skozi T ′.
     
P 46 (2018/2019) 16
Slika točke T se nam tako razmaže v krožec s pre-
merom d. Temu krožcu včasih pravimo razmazani
krožec, angleško circle of confusion. O tem smo pred
leti več pisali v Presekovem članku o globinski ostrini
[2].
Količnik w = f/D imenujemo zaslonsko število.
Premer D leče lahko zmanjšamo z zaslonko, ki spu-
šča svetlobo le skozi osrednji del leče. Stožec žarkov
tako zožimo in s tem zmanjšamo razmazani krožec.
Seveda pa potem na tipalo pada manj svetlobe. To-
rej:
D = f
w
.
Večina bralcev pozna ali pa je vsaj opazila zaporedje
zaslonskih števil: 1,4; 2; 2,8; 4; 5,6; 8; 11; 16; 22; 32 . . .
Vsako drugo število v tem zaporedju je potenca
števila 2. Samo zaporedje pa imamo lahko za zapo-
redje potenc števila
√
2, zaokroženih na dve mesti.
Vsako naslednje število pomeni, da premer odprtine
delimo s
√
2, kar pomeni pol manjšo ploščino odpr-
tine in pol manjšo količino svetlobe skozi objektiv.
Tako pri zaslonki (zaslonskem številu) 2 skozi objek-
tiv prihaja pol manj svetlobe kot pri zaslonki 1,4.
Kamere pametnih telefonov imajo navadno na raz-
polago le eno zaslonsko število, ki je pogosto okrog
2.
Primer 4. Denimo, da je m = 0,1, v = 8 mm, f =
30 mm, w = 2. (Najprej smo hoteli vzeti w = 1,4.
Taki objektivi obstajajo, ampak razen pri zelo dra-
gih modelih ostrine na robu pri polni odprtini, f/1,4
ali 1: 1,4, ne moremo doseči, če se še tako trudimo.
Moj objektiv z goriščnico 50 mm je pri zaslonki 1,4
za silo dober le v sredini, tako da je nujno pomembni
objekt postaviti v center slike.) Za w = 2 je D =
30/2 mm, torej 15 mm in tako, če upoštevamo šte-
vilke iz primera 3, v milimetrih
d ≈ 15× 0,0926
33
≈ 0,0421.
Razmazani krožec ima premer 42 mikrometrov. Za
minimalno kakovost želimo, da ima na sliki veliko-
sti 15 cm × 22 cm razmazani krožec premer največ
0,15 mm, saj je to na meji ločljivosti očesa pri gle-
danju iz bližine. Sliko te velikosti dobimo s pribli-
žno desetkratno povečavo slike na tipalu APS-C, to-
rej sme biti premer razmazanega krožca na takem
tipalu največ 15 mikrometrov. V našem primeru je
razmazani krožec skoraj trikrat prevelik.
Denimo, da imamo na našem tipalu velikosti
22,2 mm×14,8 mm ≈ 329 kvadratnih milimetrov 24
milijonov pikslov. Na kvadratni milimeter imamo po-
tem približno 73 tisoč kvadratnih pikslov ali pribli-
žno 270 × 270 pikslov. Stranica piksla meri pribli-
žno 1/270 milimetra ali približno 3,7 µm, se pravi
3,7 mikrometra (mikrona). Idealno naj razmazani
krožec ne bi bil kaj dosti večji od enega piksla.
Približna formula
Če se ne ukvarjamo z makro fotografijo (kjer tako in
tako pogosto ostrimo ročno), dobimo dober pribli-
žek za d po formuli:
d ≈ mv
2
2fw(1+m)2 . (3)
Primer 5. Denimo, da je m = 0,1, v = 8 mm, f =
30 mm, w = 2. Potem je po približni formuli (3) v
milimetrih
d ≈ 6,4
60× 2× 1,21 ≈ 0,0441.
To je blizu vrednosti, ki smo jo izračunali v primeru
4.
Če obdržimo prejšnje podatke in vzamemo m =
0,02, slikamo na razdalji približno 52f od tipala, to
je nekaj več kot meter in pol. V milimetrih dobimo
d ≈ 1,28
60× 2× 1,022 ≈ 0,0103,
torej približno 10 mikronov. Če bi računali natan-
čno, bi dobili 0,0098 . . . , tako da je naš približek
zelo dober. Packa premera 10 mikronov na tipalu
bo na sliki formata A4 videti kot točka. Če dodatno
zapremo zaslonko na 4, pa pokrije razmazani kro-
žec približno tako površino kot en piksel in je vse v
najlepšem redu tudi pri maksimalni povečavi.
Izpeljava formul
Izpeljimo zdaj najprej natančno enačbo za d. Te ra-
čune, ki sicer niso posebno zapleteni, lahko tudi pre-
skočite in si ogledate graf za d kot funkcijo goriščne
razdalje f v nadaljevanju.
     
P 46 (2018/2019) 1 7
Iz enačbe (1) dobimo b = af/(a − f) in, ker je
ka1 = a, je
b1 =
a1f
a1 − f
= ka1f
k(a1 − f)
= af
a− kf .
Od tod je
b − b1 = af
(
1
a− f −
1
a− kf
)
= af 2 1− k
(a− f)(a− kf) .
Pomnožimo zgoraj in spodaj z m2, upoštevamo
ma = b = (1 +m)f , torej ma −mf = f , pa do-
bimo
b − b1
b
=mf 1− k
(ma−mf)(ma−mkf)
= m(1− k)
1+m−mk.
Če ta rezultat pomnožimo z D = f/w, upoštevamo
k = cosα, dobimo d
d = mf(1− k)
w(1+m(1− k)) =
mf(1− cosα)
w(1+m(1− cosα)) ,
(4)
kjer je k dan z enačbo (2).
Na sliki 4 imamo graf za d v mikronih kot funkcijo
goriščne razdalje f , merjene v milimetrih. Pri tem je
v = 8 mm, m = 0,1 in w =2. Na spletni strani [3]
pa imate interaktivni graf za d in aproksimacijo p
po (3) v GeoGebri s tremi drsniki, s katerimi lahko
spreminjate parametre v,m,w. Z grafa vidimo, da
je približna formula (3) skoraj povsod zelo dobra.
Sledi še izpeljava približka.
V enačbi (2) bomo privzeli, da je 0 < m < 0,5 in
v ≤ f . Potem je 0 < K < 1. Ker je (1 + K/2)2 =
1+K +K2/4 > 1+K, je
1 <
√
1+K < 1+ K
2
.
Če je K blizu 0, je K2/4 majhen v primerjavi s K in
tako (1+K/2)2 ≈ 1+K. Torej:
√
1+K ≈ 1+ K
2
.
Približek je nekoliko nad pravo vrednostjo.
SLIKA 4.
Graf za d (v mikrometrih) in (̌crtkano) približka p za d kot funk-
cija goriščnice f v milimetrih
Primer.
√
1,21 ≈ 1,105, kar je blizu pravi vrednosti
1,1.
Celo
√
1+ 1 ≈ 1+0,5 ni tako slab približek za
√
2.
Za r blizu 0 je r 2 majhen v primerjavi z r in tako
lahko vzamemo (1− r)(1+ r) = 1− r 2 ≈ 1, od tod
1
1+ r ≈ 1− r .
Primer 6. 1 : 1,1 ≈ 1 − 0,1 = 0,9. To je blizu pravi
vrednosti 0,909 . . .
Ocenjujmo:
k = 1√
1+K ≈
1
1+ K2
≈ 1− K
2
in tako
1− k ≈ K
2
= v
2
2(1+m)2f 2 .
Primer 7. Za v = 10 mm in f = 30 mm je 1 − k ≈
1/(18(1+m)2) < 1/18 in za m ≤ 0,1 je m(1− k) <
1/180.
Večinoma sta tako m kot 1 − k blizu 0 in tako je
njun produkt zelo majhen v primerjavi z 1. Fiziki
bi rekli, da lahko produkt m(1 − k) zanemarimo. V
enačbi (4) tako vzamemo 1+m(1−k) ≈ 1 in dobimo
         
P 46 (2018/2019) 18
naš približek:
d ≈ mf(1− k)
w
≈ mfv
2
2w(1+m)2f 2
= mv
2
2wf(1+m)2 .
Očitno d narašča praktično s kvadratom razdalje
v ! Pri v = 4 mm bo premer razmazanega krožca le
približno četrtina tistega pri v = 8 mm.
Kot vidimo, je pri malo bolj zaprti zaslonki in sli-
kanju oddaljenih predmetov uporaba centralne toč-
ke za ostrenje čisto v redu, še posebno, če točka, ki
jo želimo izostriti, ni daleč od središča želene slike,
se pravi da je število v majhno v primerjavi s stra-
nicama tipala. Pri majhnih zaslonskih številih in sli-
kanju bolj od blizu, denimo pri portretih, pa je tak
način ostrenja problematičen. Ne samo zaradi gor-
njih računov: premikanje aparata sem ter tja krade
čas. Morda pozabimo na koncu umiriti aparat in tako
»stresemo« sliko; oseba se vmes lahko premakne, ka-
kor tudi mi. Bolje je vključiti kako drugo točko za
ostrenje (ali premakniti okvirček za ostrenje), tako
da bo, recimo, na končni sliki na bližnjem očesu por-
tretiranca. Pri nekaterih aparatih imamo odlično mo-
žnost, da lahko izostrimo na določeno točko tako, da
se dotaknemo njene slike na zaslonu, včasih celo pri
gledanju skozi iskalo. Pri slikanju ljudi lahko vklju-
čimo prepoznavanje obrazov, čeprav so zaenkrat le
redke kamere sposobne izostriti prav oči. Celo po-
polna avtomatika, ki navadno izostri na najbližji
objekt v osrednjem delu slike, je včasih boljša od
ostrenja z osrednjo točko, še posebno, če je ta točka
po nesreči ravno med dvema obrazoma, in tako izo-
strimo ozadje.
Literatura
[1] P. Legiša, Moteča perspektiva, Presek 44 1, 2016,
4–14.
[2] P. Legiša, Fotografija in matematika, 3. del – glo-
binska ostrina, Presek 25 4, 1998, 194–201, do-
stopno na, www.presek.si/25/1340-Legisa.
pdf, ogled 28. 6. 2018.
[3] Interaktivna ilustracija napake pri ostrenju z
osrednjo točko je na avtorjevi strani na Ge-
oGebra Tube www.geogebra.org/m/MkndDjE2,
ogled 28. 6. 2018.
×××
Križne vsote
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s
števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za-
porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih
enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na
začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem
morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu)
različne.
4 17
3
10 11
10
6 17
6
10
13
24
10
15
̌ ̌ 
417
3
12
1011
10
37
617
6
24
10
82
13
24
987
10
451
15
87
×××