VRNITEV BOHROVEGA MODELA
JANEZ STRNAD
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
PACS: 31.15.xg
Pred sto leti je model Nielsa Bohra opisal vodikov atom z enim elektronom. Atomov z vec elektroni in molekul ni opisal tako uspesno. Novejsa raziskovanja pa so pokazala, da je mogoče z modelom opisati tudi nekatere lastnosti vecelektronskih atomov in molekul. Clanek pojasni dimenzijsko lestvičenje, ki je vrnilo zaupanje v stari model, in navede nekaj rezultatov za energijo vodikove molekule. Novi prijem spodbuja preproste nazorne predstave o gibanju elektronov v atomih in molekulah.
THE RETURN OF THE BOHR MODEL
A hundred years ago Niels Bohr's model described the hydrogen atom with one electron. It did not as well describe atoms with many electrons and molecules. Current research has, however, shown that some characteristics of many-electron atoms and molecules can be described with it. In the article dynamical scaling is explained that returned confidence to the old model and some results are quoted for the energy of the hydrogen molecule. The new approach stimulates simple ideas about the motion of electrons in atoms and molecules.
Niels Bohr je leta 1913 v tridelnem članku o zgradbi atomov in molekul privzel, da v vodikovem atomu elektron krozi okoli jedra. Po zgledu Maxa Plančka pri svetlobi je dodal zahtevo, da se frekvenca krozenja spreminja v skokih. Pojasnil je stanja vodikovega atoma in s prehodi med njimi vodikov spekter [2]. Bohrov opis atomov z več elektroni in molekul pa je bil precej manj uspesen.
V zadnjem času se je pokazalo, da malo prilagojeni Bohrov model nima te pomanjkljivosti. Novi pogled je mogoče utemeljiti z dinamičnim lestvi-cenjem..1 Vzamejo, da se stevilo dimenzij N spreminja in naredijo prehod N ^ TO. Rezultat lahko izboljsajo tako, da računajo z vrsto po potenčah 1/N in upostevajo se nekaj členov.2 Na kratko opisimo pot do vezavne energije vodikove molekule in novi polklasični pogled.
^Za angleski »scaling« nimamo ustaljenega domacega izraza. Besede lestvicenje ni v Slovarju slovenskega knjižnega jezika,, vsebuje pa jo spletna razlicica anglesko-slovenskega slovarja. Pravzaprav bi bilo bolje reci »lestvicenje stevila dimenzij«. Ob »lestvicenju dimenzij« (velikosti) lahko pomislimo na davno Galileijevo spoznanje, da bi se velikan sesedel pod lastno tezo, ce bi bil zgrajen v enakem razmerju kot obicajni clovek in iz enakih snovi.
2Dosleden racun v tem okviru pripelje do vezavne energije elektrona v vodikovem atomu |Wi|(4/N2)(1 + 2/N + 3/N2 + ...). Trije cleni z N = 3 dajo f |Wi|. Prava vrednost pa je v tem primeru |Wi|4/(N — 1)2 [7].
Dimenzijsko lestvicenje
Polno energijo vodikovega atoma sestavljata kinetična energija elektrona z maso m in nabojem —eo in potencialna energija elektrona in jedra, za katerega vzamemo, da miruje v izhodiscu:
W = p2 — .	(1)
2m r
Pri tem je p gibalna količina elektrona, r razdalja od izhodisča in q2 = e0/(4neo). Ali bi bilo mogoče q2 obravnavati kot spremenljiv parameter? Potem bi potencialno energijo lahko imeli za majhno motnjo kinetične energije prostega elektrona in bi njo in druge količine razvili v vrsto po potenčah majhne motnje. To ni mogoče, ker ima q2 nespremenljivo vrednost [7].
Pri obravnavanju kritičnih pojavov, povezanih s kritičnimi točkami pri faznih spremembah, sta Kenneth Wilson in Mičhael Fisher tak spremenljivi parameter vpeljala na silo [7]. Vodikov atom je mogoče strogo resiti in te rezultate primerjati z rezultati lestvičenja. Drugačno vlogo ima lestvičenje v teoriji kritičnih pojavov in v kvantni kromodinamiki, ko rezultatov ni mogoče dobiti po drugi poti.
Kvadrat gibalne količine v (1) nadomestimo z delom operatorja kvadrata gibalne količine, ki ne vsebuje odvisnosti od kotov: p''2 = —h2(d2 /dr2 + (2/r)d /dr) [3]. Zanimamo se torej le za krogelno simetrične valovne funkčije ^(r) v osnovnem stanju. Prikličemo si v spomin:
stevilo dimenzij	operator f)''2
3	—(h2/2m)(d2 /dr2 + (2/r)d /dr)
2	—(h2/2m)(d2 /dr2 + (1/r)d /dr)
1	—(h2/2m)d2 /dr2
Sklepamo, da ima operator v N dimenzijah obliko f)2: = — (h2/2m) ■ (d2 /dr2 + ((N — 1)/r)d /dr). V N dimenzijah se tedaj radialna Sčhrodin-gerjeva enačba glasi:
22
d2^ N — 1 d^ q
2m\dr2 + r dr j
Z novo valovno funkčijo ^ = r-(Nenačba po deljenju z r(N-1)/2 preide v:
h2 r(N - 3)(N 1)— q2^ =	(3)
— = (2)
2m dr2	4r2
r
Vstavimo se r = 1 (N — 1)2R in W = 4E/(N — 1)2:

h2	d2 0 h2 N — 3 q2 ^ ^^
2(m1 (N — 1)2) dR2 2mR2 N — V R 16	Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 1
Po prehodu N ^ to si zaradi velike mase 4 (N — l)2m lahko mislimo, da delec miruje in njegova energija ustreza minimumu:
Iz dV/dR = —!2/(mR3) + q2/R2 ^ 0 sledi Ro = !2/(mq2) in Vo = —mq4/(2!2). Za primer N = 3 je 1 (N — 1)2 = 1 in se r ne razlikuje od R ter ^ od ^ in W od E. Zato Vo postavimo enako lastni energiji vodikovega atoma v osnovnem stanju Wi = — 1 mq4/!2 in R0 Bohrovemu polmeru rB = !2/(mq2). Zaupanje v nekdanji Bohrov model se povrne, ko v enaCbi (1) v okviru tega modela za osnovno stanje upostevamo vrtilno koliCino elektrona pr = Tako dobimo W = h2/(2mr2) — q2/r, to se ujema z minimumom energije (5).
Slika 1. Model preprostih molekul iz Bohrovega Manchestrskega memoranduma. Bohr je Rutherfordu pisal: »Model, predlagan za H2, se zdi edina mogoča ravnovesna razporeditev dveh jeder in dveh elektronov (če ne upostevamo dveh ločenih atomov), pri kateri jedri mirujeta.«
EnaCba (1) ima preprosto brezenotsko obliko, Ce energijo merimo v atomskih enotah energije mq4/h2 = 2| Wl| in razdaljo v atomskih enotah razdalje, v Bohrovih polmerih h2/(mq2):
W = 2^ — 1 ■	<6>
Molekula vodika
Že leta 1912 je Bohr v pismu, znanem kot Manchesterski memorandum, Ernestu Rutherfordu na njegovo vprasanje orisal svoj pogled na zgradbo preprostih molekul. Bohr si je predstavljal, da v molekuli vodika jedri mirujeta v dani razdalji, elektrona pa se gibljeta po krogu v simetrijski ravnini tako, da sta vedno na nasprotnih straneh osi (slika 1). Arnold Sommerfeld je spoCetka sprejel ta opis, leta 1923 pa je zapisal, da »se ne poznamo pravega modela molekule H2. Najbrz ne bo tako simetriCen kot na sliki.«
Upostevajmo manj simetriCne razporeditve elektronov, kakor je namignil Sommerfeld. Vzamemo, da elektrona ne krozita v simetrijski ravnini
e	e	1 1 1 1 1 1 1 1 1				
	1 e		e	e	1 1 ' 1 ' 1	e
(a)
B
2
Slika 2. Shematične risbe Bohrovega simetričnega predloga za zgradbo vodikove molekule 1 in dveh sodobnih predlogov 2 in 3 [1] (a). Podrobnejsa slika zgradbe (2) (v enacbi za ri2 je znak +) in pregled nad razdaljami med jedroma in elektronoma v tem primeru (b) [1].
(1 na sliki 2a), ampak v dveh vzporednih ravninah, simetričnih glede na težišče molekule, med jedroma (2) ali zunaj jeder (3) [4-7]. Privzamemo, da elektrona krožita v enaki smeri z enako velikima hitrostma, tako da sta v ravnini osi z ali na isti strani te osi ali na nasprotnih straneh. Za ta primer enačbo (5) razsirimo v:
W =
1
2p!
+
1
2p|
+ V z V = -
1 1 1 1 1 1
-------+ _+ . (7)
ral Tbl Tal Tbl Tu R
Do te enačbe pripelje tudi dinamično lestvičenje za primer dveh jeder in dveh elektronov [1]. Pri tem sta Zi (i = 1, i = 2) razdalji ravnin krozenja prvega in drugega elektrona od tezisča po osi z, na kateri lezita jedri v razdalji R. Razdalji prvega in drugega elektrona od osi z sta pi. Elektrona sta oddaljena za T1l drug od drugega, Tai pa je razdalja prvega ali drugega elektrona od jedra A ter Tbi razdalja prvega ali drugega elektrona od jedra B. Razdalje se ne spreminjajo s časom:
Tal ^p| + (1R - Zl)1, Tbl ^p| + (lR - Zi)1,
Tal ^P| + (1R + Zl)1, Tbl ^P^1 + (|R + Zl)1, 18	Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 1
2
3
1
Slika 3. Energija molekule vodika za razporeditve elektronov 1, 2 in 3 v odvisnosti od razdalje med jedroma R. Sklenjene krivulje s točkami kazejo rezultate numericnih računov na podlagi izmerjenih vrednosti. Novi model 2 za ravnovesni razmik jeder v osnovnem stanju napove 1,1rB, kar se ne razlikuje znatno od izmerjenega podatka 1,4rB. Kvantnomehanična napoved Walterja Heitlerja in Fritza Londona iz leta 1927, ki je »začela kvantno kemijo«, je bila 1,51rB. Napoved za energijo molekule je nekoliko slabsa, 0,1 atomskih enot, kar ustreza 2,72 eV (upostevati je treba lastni energiji dveh atomov vodika, to je 2Wi). Izmerjena vrednost je 4,75 eV, medtem ko sta Heitler in London navedla 3,14 eV [1].
ri2
^(Zi + Z2)2 + (pi + P2)2
Z enačbama dW/dpi = 0, dW/dzi = 0 ob dani razdalji med jedroma R zahtevamo, da ima energija ekstrem. Za stiri take rešitve je z1 = z2 in p1 = ±p2. Znak + ustreza elektronoma na nasprotnih straneh osi z, znak — pa elektronoma na isti strani osi (slika 2b). Tako so dobili odvisnost energije W od razdalje jeder R (slika 3). Prave vrednosti, ki jih da kvantno-mehanični račun na podlagi izmerjenih podatkov, kazejo točke na sklenjenih krivuljah. Krivulja 1 ustreza Bohrovemu simetričnemu prvotnemu predlogu in da zgreseno odvisnost energije. Krivulja 2, ki ustreza nesimetričnemu osnovnemu stanju molekul, se ujema z izmerjenimi podatki pri majhnih in velikih razdaljah med jedroma. Krivulja 3, ki ustreza prvemu vzbujenemu stanju molekule, se ujema z izmerjenimi podatki na vsem območju.
Presenetljivo ujemanje je vzbudilo novo zanimanje za Bohrov model. V
številnih revijah so se pojavili vzpodbudni zapisi. Nature Physics je o »ponovno rojenem Bohru« leta 2005 zapisala: »Ceprav je mogoce z modelom [sodobnim kvantnomehaniCnim] zelo natanCno opisati elektronsko zgradbo molekul, tak numeriCni naCin daje malo vpogleda v delovanje elektronov na elektrone. Anatolij Svidzinsky in sodelavca so se odpravili na zanimiv izlet po poti spominov in odkrili prijem, ki spodbuja razumevanje kemijske vezi v molekulah in hkrati postavi >staro kvantno teorijo<, ki jo je razvil Niels Bohr leta 1913, v svezo perspektivo.« Ozivljeni Bohrov model je postal »vez med predkvantnim in pokvantnim opisom kemijske vezi« [1]. »Ne glede na uspeh sodobne raCunalniske kemije obstaja potreba, da bi zgradbo elektronov razumeli na razmeroma preprost in intuitiven naCin.«
Na nakazani naCin se je mogoCe lotiti helijevega atoma z dvema elektronoma, molekule HeH s tremi elektroni, molekule He2 s stirimi elektroni in drugih molekul z veC elektroni. Rezultati bolj zapletenih raCunov se v vseh primerih presenetljivo dobro ujemajo z merjenji. Za ogljikov atom na primer dobijo v osnovnem stanju energijo, ki se samo za 0,08 % razlikuje od izmerjene [1]. Z dinamiCnim lestviCenjem je mogoCe zajeti tudi vzbujena stanja, Ce funkCijo (6) v blizini Ro opisemo v kvadratnem priblizku [1].
LITERATURA
[1]	D. R. Herschbach, M. O. Scully in A. Svidzinsky, Bohrs comeback, Physik Journal 12 (2013), 37-41.3
[2]	J. Strnad, Atomski model Nielsa Bohra, Obzornik mat. fiz. 33 (1986), 109-117; Bo-hrova dediščina, Presek 40 (2012/2013), 9-12 (4).
[3]	J. Strnad, Fizika, 3. del, DMFA - zaloZnistvo, Ljubljana 2009, str. 187.
[4]	A. Svidzinsky, M. O. Scully in D. R. Herschbach, Bohr's 1913 model revisited, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 102 (2005), 11985-11988; Bohr's molecular model a century later, Phys. Today 67 (2014), 33-39 (1).
[5]	A. Svidzinsky, S. A. Chin in M. O. Scully, Model of molecular bonding based on the Bohr-Sommerfeld picture of atoms, Phys. Lett. A. 355 (2006), 373-377.
[6]	A. Svidzinsky, M. O. Scully in D. R. Herschbach, Simple and surprisingly accurate approach to the chemical bond obtained from dimensional scaling, Phys. Rev. Lett. 95 (2005), 080401, 1-4.
[7]	E. Witten, Quarks, atoms, and the 1/N expansion, Physics Today 33 (1980), 38-43
(7).
3Dudley R. Herschbach je upokojeni profesor za kemijo na harvardski univerzi. Leta 1986 je dobil tretjino Nobelove nagrade za kemijo za delo o molekulski dinamiki preprostih kemijskih reakcij. Marlan O. Scully je profesor za fiziko in kemijo na teksaski univerzi A & M. Ukvarja se s kvantno optiko in je dobil vec pomembnih nagrad. Anatolij A. Svidzinsky je v Moskvi v skupini Vitalija Ginzburga raziskoval superprevodnost. Po prehodu na stanfordsko univerzo je drugic doktoriral in se ukvarja s kvantno optiko.