NEKATERE ZGODOVINSKE KONSTRUKCIJE PRAVILNEGA SEDEMKOTNIKA
MILAN HLADNIK
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 01A20, 01A30, 01A40, 01A60, 97G40
V tem kratkem izletu v zgodovino načrtovanja pravilnega sedemkotnika najprej opi-Semo dva starejSa načina, Arhimedovega in Vietovega. Nato predstavimo pristop z uporabo parabole in za konec podamo se eno preprosto novejso konstrukcijo z označenim ravnilom in sestilom.
SOME HISTORICAL CONSTRUCTIONS OF THE REGULAR
HEPTAGON
In this short excursion into the history of constructing the regular heptagon we first describe two old approaches, one ascribed to Archimedes and the other to Viete. Then, we also present another one involving a parabola and finish with a simple modern marked ruler and compass construction.
Plemljeva elegantna konstrukcija pravilnega sedemkotnika, o kateri smo poročali v [6], je primeren razlog, da pregledamo Se druge znane konstrukcije tega lika iz starejsih in novejsih časov. Z njimi tudi Plemljev dosezek vidimo v drugačni luči oziroma v sirsem zgodovinskem okviru in ga znamo bolj ceniti. Najprej se posvetimo klasicni grski in islamski tradiciji neevklidskih konstrukcij.
Metoda vstavljanja in metoda stožnic
Pravilne večkotnike so obravnavali ze pitagorejci, vsaj v zvezi s pravilnimi poliedri. Poznali so npr. pentagram in vedeli, da obstajajo samo trije pravilni večkotniki, s katerimi lahko tlakujemo ravnino (enakostranični trikotnik, kvadrat in pravilni sestkotnik).
Zahtevo, da morajo biti vse geometrijske konstrukcije izvedene samo z neoznačenim ravnilom in sestilom, je postavil Platon v 4. stoletju pred nasim stetjem, najbrz v zvezi s problemom podvojitve kocke. To normo je dosledno uposteval Evklid v svojih Elementih. Toda drugi grski matematiki so hitro ugotovili, da se ni vedno mogoče drzati Platonovih navodil in so za resevanje različnih konstrukcijskih problemov poleg ravnila in sestila izumili se druga bolj ali manj domiselna orodja in postopke.
Nas bo tu zanimalo predvsem tretjinjenje kota, ki ima, kot smo videli v [6], odločilno vlogo pri konstrukciji pravilnega sedemkotnika. Za ta namen so Grki namesto pri premicah in kroznicah iskali pomoč pri stoznicah in
132
Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 4
Nekatere zgodovinske konstrukcije pravilnega sedemkotnika
Slika 1. Primer vstavljanja med premicama.
drugih višjih krivuljah (npr. Nikomedovi konhoidi ali Arhimedovi spirali). Toda poznali so tudi neko bolj elementarno, vendar zelo uspešno metodo za tretjinjenje kota (in reševanje drugih problemov): vstavljanje (dane razdalje med dve premici, dve kroznici ali med premico in kroznico). Grška beseda za to je neusis. Obenem je Neusis tudi naslov knjige, ki jo je napisal Apolonij iz Perge 262-190 pr. n. st.); original je izgubljen, toda sodobni nizozemski zgodovinar matematike Jan P. Hogendijk1 je Apolonijevo razpravo rekonstruiral na osnovi nekaterih arabskih besedil [7].
Vstavljanje najlaze realiziramo tako, kot so to storili Grki, z uporabo označenega ravnila, tj. ravnila z dvema zarezama na robu (razdalja med njima predstavlja enoto): ravnilo npr. polozimo skozi točko T tako, da zarezi R in S lezita na vnaprej danih dveh sekajocih se premicah (glej sliko 1).
Zdi se, daje tako oznaceno ravnilo prvi uporabil Nikomed 280-210 pr. n. st.) pri geometrijski konstrukciji kubicnega korena iz pozitivnega stevila a (Menajhmos je za isti namen ze prej, v 4. stoletju pred nasim stetjem, uporabil sekajoci se paraboli, glej [13]).
Sledimo postopku, ki je naveden npr. v [11] (glej sliko 2). Naj bo 0 < a < 8. Nacrtajmo enakokrak trikotnik AABC z osnovnico AB = a/4 in krakoma AC = BC = 1. Podaljsajmo krak AC do tocke D tako, da je A razpolovisce daljice CD. Iz tocke C vstavimo razdaljo 1 med premici skozi A in B ter B in D (tako da je razdalja med preseciscema R in S enaka 1 in da je S = A). Oznacimo x = BR in pokazimo, da je potem x = 3a.
Vzporednica z AB skozi C naj seka premico skozi B in D v tocki E, razpolovisce daljice AB pa oznacimo s F. Zaradi podobnosti trikotnikov AADB in ACDE je CE = 2AB = a/2, zaradi podobnosti trikotnikov AECS in ABRS pa je CS/RS = CE/BR oziroma CS = a/(2x). S Pitagorovim izrekom za pravokotna trikotnika AFRC in AFBC dobimo (1 + a/(2x))2 = (1 — (a/8)2) + (x + a/8)2, preuredimo in najdemo za x enacbo cetrte stopnje 4x4 + ax3 — 4ax — a2 = 0, ki je k sreci razcepna: (4x + a)(x3 — a) = 0, tako da je x3 = a in x tretji koren iz a.	■
1Hogendijk je prvi dobitnik nagrade za zgodovino matematike, ki jo je Evropsko ma-
tematično društvo začelo podeljevati poleti 2012.
132-145
133
Milan Hladnik
Slika 2. Nikomedova konstrukcija tretjega korena z vstavljanjem.
O tretjinjenju kota z metodo vstavljanja pa poroca Papos iz Aleksandrije 290-350), zadnji veliki antični grSki matematik. Iz njegovih spisov in komentarjev, zbranih v osmih knjigah s preprostim skupnim naslovom Zbirka (grsko Synagoge), vemo za prenekatere dosezke zgodnejsih grskih matematikov, ki jih sicer ne bi poznali. Naslednja konstrukcija je spet povzeta po viru [11].
Imejmo poljuben kot ZAVE z vrhom V, vodoravnim krakom AV in nagnjenim krakom EV, dolzine 1/2 (glej sliko 3). Premica p naj bo pravokotna na krak AV in naj poteka skozi točko E, skozi katero naj gre tudi vzporednica q s krakom AV. Iz vrha V vstavimo razdaljo 1 med premici p in q. Presecisci oznacimo z R in S, razpolovisce daljice RS pa naj bo E. Ker je trikotnik A RSE pravokoten, je RE = ES = EE = 1/2, trikotnika AVEB in AEES sta enakokraka z enako dolgimi kraki, kot ZEVE = ZEEV = 2ZESE = 2ZAVS, in zato ZAVE = 3ZAVS. ■ Druga znana grska neevklidska metoda je metoda stožnic. Pod tem razumemo metodo, pri kateri predpostavljamo, da lahko po potrebi nacrtamo eno ali vec stoznic in potem samo z ravnilom konstruiramo vse tocke, ki
134
Obzornik mat. fiz. 61 (2014)4
Nekatere zgodovinske konstrukcije pravilnega sedemkotnika
so presečišča dveh premic, premice in katerekoli stoznice ali dveh poljubnih stožnic. Med stoznice štejemo poleg parabole, hiperbole in elipse seveda tudi krožnico, zato lahko z metodo stožnic nacrtamo vse klasicne evklidske konstrukcije. Ce poleg ravnila dodatno uporabljamo tudi sestilo, zadosca pogosto imeti v ravnini narisano eno samo stoznico, npr. hiperbolo ali parabolo z racionalnimi koeficienti.
Po drugi strani se da dokazati (glej npr. [11]), da lahko dobimo vse klasicne evklidske konstrukcije samo z oznacenim ravnilom. To sledi tudi iz naslednje trditve:
Trditev 1. Konstrukcija z označenim ravnilom je ekvivalentna konstrukciji z ravnilom in stočnicami.
Dokaz. Oboje je namrec v algebrskem smislu ekvivalentno (veckratnemu) resevanju polinomskih enacb kvecjemu cetrte stopnje z realnimi koeficienti. Res, oglejmo si z algebrskega stalisca najprej vstavljanje. Ce ima na primer v kartezicnem koordinatnem sistemu ena premica enacbo y = mx, druga pa y = 0 (abscisna os), in ce ima tocka T koordinati (a,b), presecisce s prvo premico S pa koordinati (p, q), lahko dolocimo absciso r presecisca R z abscisno osjo pod pogojem, da je razdalja med R in S enaka 1 (glej sliko 1). Koordinati p in q se izrazata z r s formulama p = br/(mr — am + b) in q = mp, zato iz pogoja (p — r)2 + q2 = 1 dobimo s kratkim racunom za r enacbo cetrte stopnje m2(r2 — 1)(r — a)2 + m2b2r2 — 2mb(r — a) — b2 = 0. Podobno velja za vstavljanje med dve vzporedni ali pravokotni premici.
Obratno lahko, kot je znano [12], vsako polinomsko enacbo cetrte stopnje z realnimi koeficienti najprej prevedemo na enacbo tretje stopnje z realnimi koeficienti. Take enacbe smo obravnavali v [6] z uporabo Carda-novih formul (glej izrek 3). Iz njih vidimo, da za dolocitev realnih korenov iz koeficientov enacbe potrebujemo konstrukcijo tretjega korena iz pozitivnega stevila in vcasih tudi tretjinjenje kota, kar pa oboje lahko izvedemo po Nikomedu in Paposu z metodo vstavljanja. Prvotno enacbo cetrte stopnje potem uzenemo z resevanjem kvadratnih enacb s kompleksnimi koeficienti (oziroma geometrijsko s konstrukcijo kvadratnega korena iz pozitivnega ste-vila in razpolavljanjem kota).
Prav tako pridemo pri algebrajskem dolocanju presecisc stoznic do enacb najvec cetrte stopnje, po drugi strani pa lahko korene vsake enacbe oblike ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 poiscemo kot presecisca parabole y = x2 in stoznice (ali premice, ce je a = b = 0) ay2 + bxy + cy + dx + e = 0. Tako imamo tudi ekvivalenco med resevanjem enacb kvecjemu cetrte stopnje z realnimi koeficienti in geometrijskimi konstrukcijami s pomocjo stoznic. ■
Arhimedova konstrukcija in islamski prispevek
Gotovo je najbolj znano metodo za tretjinjenje kota prispeval Arhimed (287212 pr. n. st.). Njegov postopek prav tako temelji na vstavljanju, vendar to
132-145
135
Milan Hladnik
pot med krožnico in premico, zato je poleg označenega ravnila potreboval tudi sestilo. Razlaga same konstrukcije najbrž ni potrebna (glej sliko 4).
Od pravilnih večkotnikov so Grki znali z ravnilom in sestilom konstruirati enakostranični trikotnik, kvadrat in pravilni petkotnik ter iz njih izpeljane like (npr. pravilni sestkotnik, osemkotnik, desetkotnik, petnajstkotnik itd.). Za konstrukcijo drugih pravilnih večkotnikov so uporabljali le pri-blizke. Za stranico pravilnega sedemkotnika je znan Heronov priblizek, ki smo ga v [6] omenili v zvezi s Plemljevo resitvijo (t. i. indijski priblizek).
Dolgo casa je veljalo, da kljub poznavanju razlicnih neevklidskih metod (vstavljanje, stoznice, visje krivulje) nobenemu od grskih geometrov ni uspelo eksaktno konstruirati pravilnega sedemkotnika (ali kaksnega drugega pravilnega lika, katerega konstrukcija z ravnilom in sestilom ni mozna). Potem pa je v dvajsetih letih 20. stoletja nemski zgodovinar matematike Carl Schoy v Kairu med besedili perzijskega astronoma Al Birunija (973-1048) odkril arabski prevod anticne razprave o konstrukciji pravilnega sedemko-tnika. Arabski prevod je preskrbel veliki islamski geometer iz 9. stoletja Thabit Ibn Qurra (836-901), ki je delo pripisal Arhimedu2. Originalna Arhimedova razprava pa je na zalost izgubljena. Svojo konstrukcijo je Arhi-med naslonil na naslednji pomozni rezultat, ki je v anticni geometriji nekaj posebnega (glej sliko 5)3.
Lema 2 (Arhimedova lema). V kvadratu ABC D z diagonalo BD naj bo EFGC taka transverzala, da sta ploščini trikotnikov △EAF in △CDG enaki. Iz točke G spustimo na vzporedni stranici AB in CD pravokotnico s presečiščema K in H. Potem velja AB ■ BK = AE2 in EK ■ AK = BK2.
Opomba 1. Z vrtenjem transverzale EFGC okrog krajisca C se lahko pre-pricamo, da res obstaja polozaj, ki ustreza pogoju enakih ploscin. Arhimed ne pove, kako tako transverzalo konstruirati, toda z oznakami x, y, z na sliki 5 se potrebna pogoja glasita (y + z)z = x2 in (x + y)y = z2. Ce vzamemo
2Iz arabščine je besedilo leta 1984 prevedel Jan P. Hogendijk, ki smo ga omenili v zvezi z Apolonijevo razpravo Neusis. Originalni arabski tekst in njegov prevod najdemo v dodatku k obseznemu Hogendijkovemu članku [8].
3V tem sestavku smo originalno konstrukcijo zavrteli za 180 stopinj in uvedli druge oznake, matematična vsebina pa je ostala nespremenjena.
136
Obzornik mat. fiz. 61 (2014)4
Nekatere zgodovinske konstrukcije pravilnega sedemkotnika
D	H	C
Slika 5. Ilustracija Arhimedove leme.
se, da je stranica kvadrata enaka 1, dobimo 1 — y = x2 in (x + y)y = (1 — y)2 oziroma y = 1 — x2 in xy = 1 — 2y. Vidimo torej, da ustrezno lego doloca preseciSce parabole in hiperbole, torej lahko po trditvi 1 pridemo do nje tudi z metodo vstavljanja.
Dokaz. Iz enakosti ploscin trikotnikov AEAF in ACDG najdemo AE ■ AF = CD ■ GH oziroma AE/CD = GH/AF. Po drugi strani je zaradi podobnosti trikotnikov AEAF in ACHG res tudi GH/AF = CH/AE, tako da imamo AE/CD = CH/AE oziroma, upostevajoc enakost CD = AB in CH = BK, iskano enakost AB ■ BK = AE2. Drugo enakost dobimo iz podobnosti trikotnikov AEKG in ACHG ter trikotnikov ABGK in ADGH, torej EK/CH = GK/GH in GK/GH = BK/DH. Ker je DH = AK in C H = BK, dobimo od tod EK ■ AK = BK2.	■
Izrek 3 (Arhimed). Naj bodo točke E, A, K in B razporejene tako kot pri Arhimedovi lemi, pri čemer je AB ■ BK = AE2 in EK ■ AK = BK2. Za točko M naj velja M A = AE in MK = BK, točka N pa naj leči na podaljčku daljice M K, tako daje KN = AK. Potem je BM stranica, EM in EB pa mala in velika diagonala pravilnega .sedemkotnika.
Dokaz. Zaradi lazje obravnave spet privzemimo, da je (stranica kvadrata v Arhimedovi lemi) AB = 1. Potem je s prejsnjimi oznakami x,y,z očitno y < 1/2, torej y < z = x2 < x < 1, tako da trikotnik s stranicami x, y, z oziroma tocka M (presecisce obeh kroznic) gotovo obstaja. Oznacimo ZBEM = a. Ker je trikotnik EAM enakokrak, je zunanji kot ZKAM = 2a. Zaradi KM2 = BK2 = AK ■ EK imamo razmerje EK/KM = KM/AK, kar pomeni, da sta si trikotnika AEKM in AAKM podobna. Torej je ZKEM = ZAMK = a. Zaradi AM2 = AE2 = AB BK = MN ■ M K pa imamo AM/MN = MK/AM, zato sta si podobna tudi trikotnika AAKM in AANM. Torej je ZMNA = ZKAM = 2a in tudi ZNAK = 2a (ker je trikotnik AANK enakokrak). Zaradi podobnosti
132-145
137
Milan Hladnik
Slika 6. Arhimedova konstrukcija pravilnega sedemkotnika.
enakokrakih trikotnikov A ANK in A BMK sta enaka tudi kota ZKMB in ZMBK (vsi koti so označeni na sliki 6). Iz enega ali drugega trikotnika takoj ugotovimo, da je a = n/7, kar je obodni kot pri pravilnem sedem-kotniku, včrtanem v krog. Obodna kota pri mali in veliki diagonali sta 2a = 2n/7 in 4a = 4n/7.	■
Zgodovinska opomba. V zgornjem dokazu smo sledili analizi islamskega matematika Abu Sahla al Kuhija (^940-1000), kot je prikazana v [11]. Kuhi je proučil Arhimedovo delo in na osnovi njegove leme podal svojo različico konstrukcije trikotnika s koti v razmerju 1:2:4; od tod je izvedel konstrukcijo pravilnega sedemkotnika.
Problem, kako razdeliti dano daljico (pri nas daljico EB) iz Arhimedove leme v pravem razmerju, pa s tem se ni bil resen. To so skusali storiti mladi bagdadski geometri Abul Jud, Al Sijzi in Al Ala v zadnji tretjini 10. stoletja in sicer z uporabo stoznic. Njihovo na koncu sicer uspesno prizadevanje ni bilo brez napak in popravkov, pa tudi ne brez medsebojnih prepirov o prioriteti, podobno kot se je skoraj sest stoletij kasneje dogajalo med Cardanom in Tartaglio glede resevanja kubicne enacbe. Kasneje so se se drugi islamski matematiki ukvarjali s konstrukcijo pravilnega sedemkotnika z uporabo stoznic: zabelezenih je vsaj ducat resitev, med njimi jih je menda kar pet prispeval veliki arabski matematik in fizik (utemeljitelj fizikalne optike) Ibn al Haytham (965-1040), ki je deloval v Kairu in je na zahodu bolj znan z latinskim imenom Alhazen.4
Ko smo ze pri stoznicah, si na osnovi konstrukcije v [2] oglejmo, kako bi z uporabo presecisca parabole y = x2 in ustrezne kroznice (x — a)2 + (y — b)2 = a2 + b2 skozi koordinatno izhodisce poiskali stranico pravilnega sedemkotnika, vcrtanega v enotski krog. Ce vstavimo y = x2 v
4O islamskem prispevku h konstrukciji pravilnega sedemkotnika se lahko bralec seznani v temeljiti Hogendijkovi studiji [8].
138
Obzornik mat. fiz. 61 (2014)4
Nekatere zgodovinske konstrukcije pravilnega sedemkotnika
Slika 7. Konstrukcija pravilnega sedemkotnika s pomočjo parabole.
enačbo krožnice in pokrajsamo, vidimo, da abscisa presečišča zadošča kubični enačbi x3 + (1 — 2b)x — 2a = 0. V članku [6] smo spoznali, da je absčisa točki (1,0) najbližjega oglisča pravilnega sedemkotnika enaka x/2, kjer je x3 + x2 — 2x — 1 = 0. Premaknjena vrednost t = x + 1/3 torej zadosča enačbi t3 — (7/3)t — 7/27 = 0, in tako s primerjavo s prejsnjo enačbo te oblike ugotovimo, da mora biti a = 7/54 in b = 5/3 (glej sliko 7).
Konstrukčija je zdaj jasna: S sredisčem v točki (7/54, 5/3) načrtamo krožničo, ki poteka skozi izhodisče, in jo sekamo s parabolo y = x2. Absčisa presečisča je x + 1/3, poisčemo x in nato se x/2, ki je absčisa prvega oglisča pravilnega sedemkotnika v prvem kvadrantu (glej sliko 7).
Več o geometrijskih konstrukčijah z uporabo stoznič lahko preberemo npr. v [13].
Vietova konstrukcija
Ustavimo se se ob eni kasnejsi konstrukčiji pravilnega sedemkotnika, ki je manj znana, odkril pa jo je znameniti frančoski matematik Frančois Viete (1540-1603). Bil je prepričan o nezadostnosti ravnila in sestila in je močno zagovarjal uporabo označenega ravnila. Za tretjinjenje kota je podobno kot Arhimed (slika 4) predlagal metodo z vstavljanjem med premičo in kro-zničo. Ker je bila Arhimedova Knjiga lem, v kateri je znamenita trisekčija
132-145
139
Milan Hladnik
Slika 8. Vietova rešitev kubične enačbe.
kota, prevedena v latinščino sele leta 1657 (kot Liber Assumptorum), je ni mogel poznati. Najbrž pa je bil seznanjen s Paposovo Zbirko, ki obravnava podobne metode, zato njegova trisekcija kota morda ni čisto originalna.
Viete je bil odličen algebraik, med drugim je za resevanje splosnih enačb tretje stopnje iznasel svojo metodo, ki je bila drugačna od Cardanove. Takih enačb pa se je lotil tudi geometrijsko, kot vidimo iz naslednjega primera kubične enačbe, ki spada med bolj zahtevne (časus irredučibilis). Dokaz, ki ga povzemamo po Hartshornu [4], navajamo z modernimi oznakami, medtem ko ga je Viete se v čeloti opisal z besedami.
Trditev 4 (Viete). Da bi rešili enačbo oblike x3 — 3x = b, kjer je 0 < b < 2, našrtajmo enakokrak trikotnik z osnovnico b in krakom 1, tretjinimo kot ob osnovnici in našrtajmo drug enakokrak trikotnik s trikrat manjšim osnovnim kotom in krakom 1. Osnovnica novega trikotnika je rešitev enačbe.
Dokaz. Narisimo si drugega ob drugem dva enakokraka trikotnika, ADCH z osnovnim kotom 0 in ACFG z osnovnim kotom 30, tako kot kaze slika 8. Ker je drugi kot trikrat večji od prvega, so nujno točke D, H, G kolinearne, zato je slika podobna kot slika 4.
Naj bo DH = HC = CG = FG = 1, CF = b in GH = y. Zaradi podobnosti trikotnikov ADAH in ADGB dobimo 1/(x —1) = (x+1)/(y+1) (isto vidimo, če izračunamo potenčo točke D na krozničo skozi točke A, B, G in H). Zaradi podobnosti pravokotnih trikotnikov, ki jih dobimo s projekčijo točk G in H na daljičo DB, pa najdemo se 1/y = x/(x + b). Torej je y = x2 — 2 in = x + b, tako da z eliminačijo y dobimo x3 — 3x = b. ■
Slika 9. Evklidova konstrukcija pravilnega petkotnika.
140
Obzornik mat. fiz. 61 (2014)4
Nekatere zgodovinske konstrukcije pravilnega sedemkotnika
Zdaj je Viete pri konstrukciji pravilnega sedemkotnika ravnal podobno kot Evklid pri konstrukciji pravilnega petkotnika, ko je najprej poiskal ena-kokrak trikotnik s kotom ob vrhu 6 in kotom ob osnovnici 26 (glej npr. trikotnik △ AFG ali △CFG na sliki 9). Ker od tod sledi, da je 6 = n/5, je osnovnica tega trikotnika (na sliki označena z x) stranica pravilnega deset-kotnika, daljica BG pa stranica pravilnega petkotnika.
Lema 5 (Vietova lema). Na podaljšku premera AB kroga s središčem v C obstaja točka D, za katero velja AD/CD = AC2/BD2.
Dokaz. Tocko D najdemo z naslednjim postopkom (glej sliko 10):
				G
	J/>	H/''	1	\
1	/	1	r	
K	DA	1	C 1/ 3 E 1/ 3 F B
V.- x ->1
Slika 10. Ilustracija k Vietovi lemi.
Izberimo AC = 1 in odmerimo CE = EF = 1/3 in BG = 1. Pove-Zimo EG in narisimo vzporednico CI. Zdaj pa (z metodo neusis) iz tocke I vstavimo dolzino J K = 1 med kroznico in premico skozi A in B ter po-tegnimo vzporednico GD k daljici IK. Potem je D iskana tocka. Res: Ce je daljica EH vzporedna daljici C J, oznacimo njeno dolzino z r, razdaljo DE pa z x. Slika 10 je potem podobna sliki 8 z raztegom r, pri cemer je zdaj b = 1/(3r), tako da za razmerje x/r velja (x/r)3 — 3(x/r) = 1/(3r) oziroma x3 — 3r2x = r2/3. Toda r lahko izracunamo iz trikotnikov △ CBG in △EFG, velja r = \/7/3, tako da zadosca x enacbi x3 — 7x/3 = 7/27. Ker je AD = x — 4/3, CD = x — 1/3, AC = 1 in BD = x + 2/3, lahko z uporabo zadnje relacije hitro preverimo, da res velja AD/CD = AC2/BD2.
Opomba 2. Pozorni bralec je gotovo opazil, da smo enacbo x3 — 7x/3 = 7/27 ze srecali pri konstrukciji pravilnega sedemkotnika s parabolo in kro-znico. Sporocilo je jasno: resnica je v matematiki ena sama, razlicni zgodovinski in modernejsi postopki pri resevanju istega problema so med seboj povezani. To bomo ponovno spoznali se pri eni konstrukciji pravilnega se-demkotnika v naslednjem, zadnjem razdelku.
Izrek 6 (Viete). Naj bo razpored kolinearnih točk A,B,C,D tak, kot ga zahteva Vietova lema, E taka točka na krošnici s premerom AB in središčem v C, daje DE = 1, in F drugo presečišče daljice DE s kročnico. Potem je daljica AE stranica pravilnega sedemkotnika, včrtanega v enotski krog.
132-145
141
Milan Hladnik
Slika 11. Vietova konstrukcija pravilnega sedemkotnika.
Dokaz. Po eni strani je AD ■ BD = DE ■ DF (glej sliko 11), po konstrukciji pa tudi AD/CD = AC2/BD2. Ker je DE = 1 in AC = 1, imamo od tod DE/BD = 1/BD = (AD ■ BD)/CD = DF/CD. To pomeni, da sta daljici BE in C F na sliki 11 vzporedni in zato kota pri B v trikotniku ADBE in pri C v trikotniku ADCF enaka, npr. oba enaka 0. Zaradi enakokrakih trikotnikov ACBE, ADCE in ACEF najdemo se preostale kote, ki so označeni na sliki. Iz enega ali drugega trikotnika tudi hitro izračunamo, da mora biti 0 = n/7, tako da sredisčnemu kotu 20 (ali obodnemu kotu 0) pripada sedmina kroznega obsega.
Vietova konstrukcija je ostala kasneje skoraj neopazena, zanjo vemo po zaslugi Roberta Hartshorna [4]. Kot kaze, je nista poznala niti Plemelj niti Gleason, čeprav temelji njuna konstrukcija pravilnega sedemkotnika, opisana v clanku [6], na podobni ideji, tj. na resevanju kubicne enacbe s tretjinjenjem kota.
Johnsonova konstrukcija
Leta 1975 je ameriski slikar in ilustrator David Johnson Leisk (1906-1975), znan pod umetniskim imenom Crockett Johnson5, v casopisu The Mathematical Gazette [9] objavil presenetljivo preprosto konstrukcijo (stranice) pravilnega sedemkotnika z vstavljanjem, ki spominja na Arhimedovo tretji-njenje kota ali Vietovo metodo konstrukcije pravilnega sedemkotnika. Pravzaprav je, tako kot Viete, najprej poiskal enakokrak trikotnik s kotom ob vrhu 0 in kotom ob osnovnici 30, zato je, kot bomo videli, tudi dokaz pravilnosti njegovega postopka enak Vietovemu. Johnsonova metoda je naslednja (glej sliko 12).
Izrek 7 (Johnson). Kvadratu ABC D s stranico 1 načrtajmo simetralo stranice AB (ali CD) ter kročnico s središčem v ogličču C skozi nasprotno ogličce A, tako da je njen polmer enak \/2. Zdaj uporabimo metodo
5Na spletu najdemo celo galerijo zanimivih Johnsonovih barvnih slik, ki ponazarjajo različne zgodovinske in moderne geometrijske zakonitosti (glej [10]).
142
Obzornik mat. fiz. 61 (2014)4
Nekatere zgodovinske konstrukcije pravilnega sedemkotnika
e = n/l
C
B
Slika 12. Johnsonova metoda konstrukcije pravilnega sedemkotnika z vstavljanjem.
vstavljanja (neusis) razdalje 1 med premico in krožnico, izhajajoč iz točke D. Potem je kot enakokrakega trikotnika ADCE ob vrhu E enak n/7.
Dokaz. Za dokaz pravilnosti konstrukcije bomo morali zadnjo sliko nekoliko dopolniti. Kot pri vrhu E v enakokrakem trikotniku ADCE označimo s crko 6, kot ob osnovnici pa s 0 (glej sliko 13). Pokazali bomo, da je 0 = 36 in zato seveda 6 = n/7.
Dolzina daljice DF naj bo x, tako da velja 2cos0 = 1/(1 + x). Po drugi strani ima trikotnik ACFD, ki smo ga na sliki potemnili, eno stranico DC enako 1, drugo C F enako \/2, tretja DF pa je enaka x. Kosinusni izrek zanj pove, da je 1 = x2 — 2x cos 0. Oboje skupaj nam da zvezo 4x cos2 0 = x — 1. Ce iz obeh relacij izlocimo 0, pa dobimo enakost 1 = x2 — x/(1 + x) oziroma (x — 1)(x + 1)2 = x.
Polkroznica s srediscem v F in polmerom 1 naj seka kraka trikotnika ADCE v tockah P in Q. Pokazimo, da je dolzina y daljice DQ enaka 1. Po kosinusnem izreku za trikotnik DQF je y2 = x2 + 1 — 2x cos 26. Upostevajmo, daje 6 = n—20 in 26 = 2n—40, pa imamo y2 = (x+1)2—x(2+ 2cos 40). Ker je 2 + 2cos 40 = 4cos2 20 = 4(2cos2 0 — 1)2 = (4cos2 0 — 2)2, dobimo na koncu
xy2 = x(x + 1)2 — (4x cos2 0 — 2x)2 = (x — 1)(x + 1)2 = x,
2
132-145
143
Milan Hladnik
od koder vidimo, da mora biti y = 1. Iz enakokrakih trikotnikov AEFQ, AFDQ in ADCQ potem ugotovimo, daje kot ZQDF enak 20 in kot ZDQC oziroma ZQCD enak 30. Se pravi, da je tudi 0 = 30. Stranica pravilnega sedemkotnika, vcrtanega v enotski krog s središčem v tocki F, je torej enaka
PQ.
Opomba 3. Opisana Johnsonova konstrukcija enakokrakega trikotnika ADCE in njena utemeljitev imata tesno zvezo z Vietovo metodo. Najprej iz relacije (x — 1)(x + 1)2 = x oziroma (x — 1)/x = 1/(x + 1)2 vidimo, da so točke D, P, F, E razporejene natanko tako kot točke D, A, C, B v Vietovi lemi. Tudi samo Vietovo konstrukcijo pravilnega sedemkotnika lahko, zasukano, opazimo na sliki 13. Poleg tega lahko na tej sliki, ce smo dovolj pozorni, prepoznamo tudi Vietovo metodo resevanja kubicne enacbe iz trditve 3 oziroma slike 11 (zdaj imata enakokraka trikotnika osnovnici EQ in QC).
Enakost za x lahko celo prepisemo v obliko x3+x2—2x—1 = 0, ki jo dobro poznamo; zato je x = 2cos(2n/7) dvojna abscisa pravilnega sedemkotnika, kar je nova potrditev, da je Johnsonova konstrukcija pravilna.
Za konec kot zanimivost omenimo, da lahko obris Johnsonovega enakokrakega trikotnika ADCE (na sliki 12 ali 13), na katerem temelji konstrukcija pravilnega sedemkotnika, sestavimo iz stirih enako dolgih daljic
144
Obzornik mat. fiz. 61 (2014)4
Nekatere zgodovinske konstrukcije pravilnega sedemkotnika
(dolžine 1) CD, DQ, QF, FE, če jih le poravnamo tako, da so njihova kra-jisca izmenično kolinearna (tako točke D, E, F kot točke C, E, Q na sliki 13). Simetrižirano verzijo te palične konstrukcije s sedmimi enako dolgimi dalji-cami si lahko ogledamo na sliki 14. Kot kaže, pa ta ideja ni nova, pojavila se je že prej v zvezi s poljubnimi pravilnimi večkotniki [3].
Slika 14. Palicna konstrukcija Johnsonovega trikotnika.
LITERATURA
[1]	A. Aaboe, Episodes From the Early History of Mathematics, New Mathematica Library 13, Random House and L. W. Singer Co. 1964.
[2]	A. Baragar, Constructions Using a Compass and Twice-Notched Straightedge, Amer. Math. Monthly 109 (februar 2002), 151-164.
[3]	A. H. Finlay, Zig-zag Paths, Math. Gazette 43 (oktober 1959), 199.
[4]	R. Hartshorne, Viete's construction of the regular heptagon, spletna stran: http: //www.math.berkeley.edu/~robin/Viete/construction.html, dostopano: 3. 11. 2014.
[5]	T. L. Heath, Greek Mathematics, Dover Publ., New York 1963.
[6]	M. Hladnik, Plemelj in pravilni sedemkotnik, Obzornik mat. fiz. 60 (2013), 161-172.
[7]	J. P. Hogendijk, Arabic Traces of Lost Works of Appolonius, Archive for History of Exact Sciences 35 (1986), 187-253.
[8]	J. P. Hogendijk, Greek and Arabic constructions of the regular heptagon, Archive for History of Exact Sciences 30 (1984), 197-330.
[9]	C. Johnson, A Construction for a Regular Heptagon, Math. Gazette 59 (1975), 17-21.
[10]	Crockett Johnson Home Page: Paintings (spletna stran: www.k-state.edu/english/ nelp/purple/art.html, dostopano: 3. 11. 2014.).
[11]	G. E. Martin, Geometric Constructions, UTM, Springer 1998.
[12]	I. Vidav, Algebra, DMFA Slovenije, Ljubljana 1989.
[13]	C. R. Videla, On Points, Constructible from Conics, The Mathematical Intelligencer 19 (1997), 53-57.
132-145
145