MATEMATIKA
Kako so Arabci reševali kvadratne enačbe
Marjan Jerman
-> Že v srednji šoli se srečamo z reševanjem kvadratne enačbe
ax2 + bx + c = 0,
(1)
Koeficienti a, b in c so običajno realna ali kompleksna števila. Da je enačba res kvadratna, dodatno zahtevamo, da je vodilni koeficient a različen od 0.
Enačbo (1) lahko rešimo s prevedbo na ekvivalentne lažje rešljive enačbe. Najprej se znebimo vodilnega člena z deljenjem z a. Po uvedbi novih spremenljivk p = a in q = a enacbo prevedemo v obliko
■ x2 + px + q = 0.
Nato si pomagamo z dopolnitvijo do popolnih kvadratov. Tako enacbo prepišemo v obliko
x+D2 - (D2+«=0.
S tem smo prišli do obeh rešitev enačbe. Ker je
x+f)2=(f)2 - -
sta njeni rešitvi podani z dobro znano formulo
Xl,2 = - 2 ±
2 -p ±Jp2 - 4q - q =-2-■
racunske operacije so se pojavile šele v renesansi. Pred tem simbolicni zapis ni bil možen in enacbe so bile skrite v daljšem in manj preglednem besedilu. Na korene negativnih števil je prvi naletel italijanski matematik, zdravnik in astrolog Gerolamo Cardano (1501-1576) pri reševanju kubične enačbe.
Presenetljivo so formulo za rešitvi kvadratne enačbe v običajni obliki (2) poznali že Babilonci vsaj 18. stoletij pred našim štetjem. Težko je razumeti, kako so prišli do rešitev.
V	tem prispevku si bomo ogledali, kako so Arabči v devetem stoletju s pomočjo geometrijske predstave reševali kvadratne enačbe. Seveda enačbe niso bile napisane v takšni obliki, kot jo poznamo danes. Ena od arabskih nalog, rečimo, sprašuje, kako število 10 razstaviti na vsoto dveh pozitivnih števil, tako da je njun produkt enak 21. Danes bi nalogo rešili s pomočjo sistema enačb
x + y = 10, xy = 21,
ki vodi do kvadratne enačbe x2 - 10x + 21 = 0.
V	knjigi Najnujnejše o algebri iz leta 820 Al Hva-rizmi (780-850), perzijski matematik, astronom in geograf, linearne in kvadratne enačbe najprej razdeli na šest tipov:
(2)
Tudi če sta števili p in q realni, je lahko izraz pod korenom, ki ga imenujemo diskriminanta, negativen, zato sta v splošnem ničli kvadratne enačbe kompleksni števili.
V 21. stoletju se običajno ne zavedamo, koliko izjemnih odkritij in lepe matematike se skriva na navidez enostavni poti do rešitve. Oznake za osnovne
(i)	ax2 = bx;
(ii)	ax2 = c;
(iii)	bx = c;
(iv)	ax2 + bx = c;
(v)	ax2 = bx + c;
(vi)	ax2 + c = bx.
Z današnjega vidika je ta klasifikačija pretirano razdrobljena in nepotrebna, smiselna pa postane, če vemo, da so Arabči priznavali le enačbe, ki imajo za koefičiente strogo pozitivna števila in premorejo vsaj
6
PRESEK 41 (2013/2014) 2
MATEMATIKA
kako pozitivno rešitev. Tako se jim, recimo, enacba Zato je stranica večjega kvadrata po eni strani enaka
ax2 + bx + c = 0 s pozitivnimi koeficienti a, b in c ne bi zdela smiselna, ker nima pozitivnih rešitev. V knjigi opiše tudi operaciji al-jabr in al-muqabala, ki vsako kvadratno enacbo prevedeta na enega od teh tipov. Operacija al-jabr na obeh straneh enacbe prišteje enako vrednost in tako poskrbi za odpravo negativnih clenov, al-muqabala pa odšteje manjšo od skupnih kolicin in tako uravnoteži odvecne clene.
Najprej lahko odpravimo enacbi tipa (i) in (iii), ki v bistvu nista kvadratni. Enacbo tipa (ii) rešimo s preprostim korenjenjem. Preostale enacbe pa so veliko bolj zanimive. Enako kot prej lahko z deljenjem dosežemo, daje vodilni koeficient a = 1.
Lotimo se reševanja cetrte enacbe x2 + px = q, pri cemer sta p in q pozitivni števili. Clen x2 si lahko predstavljamo kot plošcino kvadrata s stranico x. Nad stranicami kvadrata postavimo štiri skladne pravokotnike s stranicama x in pp (glej sliko 1). Vsota plošcin kvadrata in štirih pravokotnikov je tako enaka
x2 +4
p2 x ■ 4 = x + px = q.
S = q +4 ■( 4)2 = q + ^pr ■
■	p 4	■
p 4 x		p 4
■	x p 4	■
VS, po drugi strani pa x + 2 ■ p4. Tako smo reševanje kvadratne enacbe (iv) prevedli na enostavno rešljivo linearno enacbo
x
2 ^S
z rešitvijo x = VS - P^. Ker je S > [P^ , je dobljena
rešitev pozitivna. Ce pozorno pogledamo izpeljavo, lahko ugotovimo tudi, kam je »izginila« druga rešitev kvadratne enacbe. Brez geometrijske interpretacije bi lahko racunsko gledano stranico kvadrata VS zamenjali tudi z -VS, vendar bi bila rešitev v tem primeru strogo negativna:
x
= -VS -
P.
2'
Kvadrat, ki smo ga razširili s pravokotniki, lahko dodatno dopolnimo do vecjega kvadrata tako, da med dodatne pravokotnike dorišemo štiri manjše kvadratke s stranicami velikosti 4. Plošcina vecjega kvadrata je tako enaka
takšnih rešitev pa tedaj niso priznavali.
Al Hvarizmi reševanje opiše na primeru enacbe x2 + 10x = 39. Nad manjšim kvadratom s stranico x narišemo štiri pravokotnike z višino 140 = f. Nato dodamo še manjše kvadratke s stranico |. Dopolnjen kvadrat ima plošcino enako x2 + 4 ■ | ■ x + 4 ■
(!) = 39 + 25 = 64, zato je njegova stranica dolga 8. Hkrati vemo, da stranica vecjega kvadrata meri x + 2 ■ 5 = x + 5. Zato je stranica manjšega kvadrata enaka x = 3. Pri takšnem reševanju smo izgubili negativno rešitev x = -8 - 5 = -13.
D
P
L
x
J
x - p H
K
G
C
p
2
A p E p F x - p B
2 2
SLIKA 1.
Reševanje enacbe x2 + px = q.
SLIKA 2.
Reševanje enacbe x2 = px + q.

7	PRESEK 41 (2013/2014) 2

i
x
MATEMATIKA

Sedaj bomo pokazali, kako geometrijsko rešiti peto enacbo x2 = px + q. Ker delamo samo s pozitivnimi števili, mora biti px < x2 in zato p < x. Narišimo kvadrat ABCD s stranico x. Na stranici AB izberimo tocki E in F tako, da je AE = p in AF = p (glej sliko 2). Ker je p < x, obe tocki ležita na stranici AB. Nad daljicama EF in EB konstruirajmo manjša kvadrata EFGH in EBIJ. Premica skozi F in G naj seka daljico JI v tocki K in stranico DC v tocki L.
Glede na konstrukcijo je ploščina pravokotnika AFLD enaka px, zaradi veljavnosti kvadratne enac-be pa je plošcina preostanka FBCL enaka q. Plošcina
kvadrata EBIJ je po eni strani enaka [x - 2) . Po drugi strani je kvadrat EBIJ sestavljen iz kvadrata EFGH s plošcino (p) in pravokotnikov HGKJ in FBIK. Pravokotnika HGKJ in ICLK sta skladna pravokotnika s stranicama p in x - p. Zato je vsota plošcin pravokotnikov HGKJ in FBIK enaka plošcini pravokotnika FBCL in plošcina kvadrata EBIJ enaka
S = (p) + q. Tako smo peto enacbo prevedli na reševanje enacbe
x - p)2 = S.
ki jo je mogoce enostavno rešiti s korenjenjem. Pozitivna rešitev enacbe je enaka
■ x = p + 4S.
Ker je S > (p) , smo ponovno »pozabili« na negativno rešitev x = p - -JS.
Al Hvarizmi pokaže rešitev na primeru enacbe x2 = 3x + 4. Plošcina kvadrata EBIJ je po eni strani
enaka [x - , po drugi strani pa 4 + = ^
Zato je x rešitev linearne enacbe x - p = |. Izgubili smo negativno rešitev x = -1.
Ostala nam je še zadnja enacba, x2 + q = px. Geometrijska rešitev te enacbe je bolj zapletena, ker je treba obravnavati dva primera. Najprej podobno kot prej vidimo, da je x2 < px, zato je x < p. Narišimo kvadrat ABCD s stranico x. Daljico AB podaljšajmo tako, da je AE = p. Na polovici daljice AE izberimo tocko F.
Najprej obravnavajmo primer, ko je x < p. Takrat je tocka F med tockama B in E. Nad daljico FE narišimo kvadrat FEGH (glej sliko 3). Premica
HL
x
G
D
x
C			
		IK	

A x Bp_xF
E
SLIKA 3.
Reševanje enacbe x2 + q = px v primeru, ko je x < p.
skozi D in C seka stranico FH v tocki I in daljico EG v tocki J. Nad daljico HI skonstruirajmo manjši kvadrat HIKL. Tokrat bomo na dva razlicna nacina izrazili plošcino kvaOrata HIKL. Po eni strani je njegova plošcina enaka (p - x) . Glede na konstrukcijo in veljavnost kvadratne enacbe je plošcina pravokotnika BEJC enaka q. Pravokotnika BFIC in JGLK sta skladna, ker imata enako dolgi stranici x in p - x. Zato je vsota plošcin pravokotnikov FEJI in KJGL
enaka q. Kvadrat FEGH ima plošcino enako (p) . Plošcino kvadrata IKLH lahko tako izrazimo tudi kot razliko S = (p) - q. Enacbo (vi) smo s tem prevedli na reševanje enostavnejše enacbe
f - x
S
p, je natancneje ob-
s pozitivno rešitvijo
- x = p -yfŠ,
ki ustreza pogoju x < p.
Preostali primer, ko je x > 2 delal Al Hvarizmijev sodobnik Ibn Turk. V tem primeru je tocka F med tockama A in B. Nad daljico FE ponovno skonstruirajmo kvadrat FEGH, nad daljico FB pa kvadrat FBI J (glej sliko 4). Nosilki daljic DC in GE naj se sekata v tocki K, daljici H G in BC pa v tocki L. Na dva nacina bomo izracunali plošcino kvadrata FBI J. Ker je njegova stranica dolga x - p, ima plošcino [x - p) . Po konstrukciji in glede na kvadratno enacbo je plošcina pravokotnika BEKC enaka q. Pravokotnika JILH in GKCL sta skladna, ker imata
J
2
8
PRESEK 41 (2013/2014) 2
MATEMATIKA
D
C p - x K
x p H x 2

G
A
F
B E
SLIKA 4.
Reševanje enacbe x2 + q = px v primeru, ko je x > p.
enako dolgi stranici p - x in x - p. Kvadrat FEGH
ima
ploščino (p) ■ Zato je vsota ploščin pravokotni-kov JILH in BEGL enaka q. Ploščina kvadrata FBI J je tako tudi S = (p) - q. Namesto enačbe (vi) torej rešujemo enačbo
Rešitev naloge iz prejšnje
številke
•i' •i'
Marko Razpet
-> Uporabimo enakost (a+b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), pri čemer vzamemo
a
50 +
67375 27
b
50
67375 27
Brez težav poenostavimo najprej produkt
■	ab = y 2500 -
nato pa zapišemo
■	53 = (a + b)3
67375 27
3 /125 = 5
27 3
x - §1 = S,
s pozitivno rešitvijo ■ x = p + JŠ,
ki ustreza pogoju x > p.
Tako ima enačba (vi) dve pozitivni rešitvi x = p ± VS. Danes vemo, da ima kvadratna parabola px -x2 = x(p - x) teme v točki (p, zato je število
S = (p) - q za0 < x < p vedno pozitivno in VS <
p
2 ■
Premisliti je treba še manakajoči primer, ko je x = 2. Zgodi se takrat, ko je (p) = q, ustrezna slika pa je unija dveh skladnih kvadratov s straničo x.
Al Hvarizmi reši npr. že znano enačbo x2 + 21 = 10x. Prevede jo na reševanje enačb (x- 5)2 = 52 -21 in (5 - x)2 = 52 - 21 z dvema pozitivnima rešitvama, x = 3 in x = 7.
_XXX
(50)+(50-M)
+ 3 ■ 3 ■ 5
= 10^ 55.
Torej je naše število 5 rešitev enačbe x3 - 5x - 100 = 0. Ce pišemo
■ x3 - 5x - 100 = (x3 - 125) + 5(5 - x) = (x - 5)(x2 + 5x + 25) - 5(x - 5) = (x - 5)(x2 + 5x + 20) = 0
in upoštevamo, da je kvadratni faktor x2 + 5x + 20 za vsako realno število x pozitiven, saj je
x2 + 5x + 20 = x +
+
55 4
potem takoj spoznamo, da je edina realna rešitev zgornje kubične enačbe x = 5, to pa pomeni: 5 = 5. Braleč Etbin Bras je poslal zelo podobno rešitev.
_XXX
x
2
p - x
J
2
9	PRESEK 41 (2013/2014) 2