Metoda napačne predpostavke The Method of False Position Mateja Sirnik Zavod RS za šolstvo Σ Povzetek V članku je predstavljena metoda napačne predpostavke, ki je lahko ena od metod reševanja problemskih nalog. Metoda na- pačne predpostavke je predstavljena prek različnih nalog, ki so jih učitelji preizkušali pri pouku matematike. Poleg omenjene metode pri posameznih nalogah pogledamo še preostale na- čine reševanja, ki so mogoči in poskušamo ozavestiti pomen poznavanja različnih strategij reševanja problemskih nalog. Ključne besede: problemske naloge, strategije reševanja, me- toda napačne predpostavke Σ Abstract This paper describes the method of false position, which can be one of the methods for solving problem tasks. The method of false position is presented through a variety of tasks that teach- ers have been testing at Mathematics lessons. Besides the afore- mentioned method, we also take a look at the remaining pos- sible methods of solution in the case of individual tasks and try to raise awareness of the importance of understanding various strategies for solving problem tasks. Keywords: problem tasks, problem solving strategies, method of false position α Matematika v šoli ∞ XXI. [2015] ∞ 14-23 015 α Predstavitev metode napačne predpostavke Metoda napačne predpostavke se omenja že na Rindovem in Moskovskem papirusu, ki izvirata približno iz 1850 let pred našim štetjem. Oba papirusa sta se zaradi suhega podnebja zelo dobro ohranila. Po Slovarju slovenskega knjižnega jezika je predpostavka mnenje oziroma trditev, ki se v danem primeru sprejme za izhodišče ne gle- de na resničnost. Ideja te metode je naslednja: predposta- vimo, da je poljubno izbrano število rešitev danega problema. Rezultat izvedene opera- cije iz naloge na izbranem številu nam pove, kolikokrat je izbrano število večje oziroma manjše od rešitve naloge. Na osnovi tega odnosa popravimo začetno predpostavko in pridemo do rešitve. Na Rindovem papirusu se omenja nasled- nja naloga: Naloga 1 – Neznano število I Če nekemu številu dodamo četrtino tega števila, dobimo 15. Izračunaj to število. Rešitev: Neznano število je 12. Danes bi se lotili naloge z reševanjem enačbe. V tistih časih pa so uporabili me- todo napačne predpostavke. Uporabimo jo tudi mi. Predpostavimo, da je neznano število 4. Potem je četrtina tega števila 1. Ko nezna- nemu številu dodamo četrtino tega števila, dobimo 5. To je kar trikrat premalo, zato bomo za neznano število vzeli trikrat več in poskusili znova. T okrat naj bo neznano število 12. Četrtina od 12 je 3. Če številu 12 dodamo četrtino šte- vila 12, dobimo 15, kar smo želeli. Torej smo našli neznano število, ki je 12. Ta metoda se pojavlja v literaturi pod raz- ličnimi imeni. Zanjo je značilno, da začnemo s konca, uganemo rezultat ali pa si ga izmis- limo in preprosto preizkusimo. S postopkom poskusov in napak ali s postopkom izboljša- nih poskusov pridemo do rešitve. S tem postopkom želimo doseči več kot le rešitev naloge. Pričakujemo, da bo učenec s svojo izkušnjo problem ponotranjil, dosegel razumevanje in nalogo rešil na matematični način. Nekateri lahko to naredijo takoj, dru- gi pa po več izkušnjah. V devetem razredu lahko učenci v takem procesu spoznajo, kaj so znani podatki, kaj je neznanka, kako zapi- sati enakost oziroma enačbo, kako preveriti pravilnost rezultata. Zgoraj omenjeno nalogo in druge smo ponudili učiteljem kot izhodišče za preizkus metode napačne predpostavke pri pouku matematike. β Reševanje naloge Neznano število I V nadaljevanju navajamo nekatere ugotovit- ve učiteljev ob delu z učenci in primere reše- vanja besedilnih nalog s pomočjo omenjene metode. 1. način reševanja Predstavljamo primer reševanja dveh učen- cev (Slika 1, Slika 2), ki sta izbrala drugačni metodi. Učiteljica, ki je učence v 8. razredu pri do- datnem pouku seznanila z metodo napačne predpostavke, je zapisala: Ob tem jim nisem dala nobenih drugih navodil, ampak sem pustila, da se sami lo- tijo naloge na način, ki se ga najprej spom- nijo oz. ki jim je najbližji. Večina učencev se je naloge lotila z metodo poizkušanja in po nekaj poskusih našla pravilno rešitev. 016 Metoda napačne predpostavke [ S l i k a 1] Reševanje učenca, ki je prišel do pravilne rešitve s sklepanjem na podlagi odstotkov. Učenec je nalogo rešil z znanjem odstot- kov in pravilnim sklepanjem: Število 15 je enako 125 % iskanega števila, potem je naredil sklep, da je 25 % enako šte- vilu 3 ter nadalje sklepal, da je celota 100 % enaka 12. Vidimo, kako učenec domiselno uporab- lja svoje matematično znanje pri reševanju matematičnih problemov. 2. način reševanja, nepravilen [ S l i k a 2] Reševanje učenca, ki ni dobil pravilne rešit- ve, ker je naredil napako pri zapisu enačbe. Z učenci smo se pogovorili o njihovem načinu razmišljanja in reševanja, nato pa sem jim na kratko predstavila metodo na- pačne predpostavke. Vidimo, da ima učenec težave pri zapisu enačbe in pri odštevanju racionalnih šte- vil (15 – ) je izračunal kot 15 – 4 + 0,25 = = 11,25, kjer izkazuje zanimivo miselno zmedo. γ Reševanje naloge – Neznano število II Naloga 2 – Neznano število II Sedmina vsote nekega števila in števila 3 je 5. Za katero število to velja? Rešitev: Število 32. Ena od učiteljic je zapisala: Učencem sem najprej predstavila meto- do napačnega predpostavljanja. Odločili so se, da bodo med nalogami v učbeniku sami izbrali tako, za katero so prepričani, da bi jo znali z metodo napačne predpostavke samostojno rešiti. Ob skupnem predpostavljanju in postop- nem nakazovanju rešitve so do rezultata prišli vsi učenci. Pri samostojnem delu pa so nekateri naleteli na naslednje težave: – Niso vedeli, kako bi nalogo začeli reše- vati, ker so že od prej poznali postopek reševanja enačb in niso mogli sprejeti drugačnega načina razmišljanja. – Zanemarili so del besedila »vsota števila in števila 3«, tako da niso dobili pravil- ne rešitve. – Trije učenci niso razumeli naslednjega dela naloge: »sedmina vsote nekega šte- vila in števila 3« in so potrebovali dodat- ne usmeritve. Preizkus so vsi naredili pravilno. Samostojno je devet učencev pravilno zapisalo enačbo in jo tudi pravilno rešilo. Ker praviloma rešimo veliko podobnih be- sedilnih nalog, učenci nimajo težav pri za- pisu enačb in tudi ne pri samem reševanju. Iz opisanega sledi, da vsiljevanje postopka reševanja ni smiselno. Z drugimi metoda- mi reševanja besedilnih nalog naj bi učence opremili z namenom, da jih bodo uporabili, kadar ne znajo primera rešiti z nastavitvijo 017 aritmetičnih oziroma algebrskih izrazov in enačb ali sploh ne vedo, kako se naloge lotiti. δ Reševanje naloge Stroški prevoza Naloga 3 – Stroški prevoza Skupni stroški prevoza treh vrst avtomo- bilov iz tovarne letno znašajo 32100 €. Razmerje stroškov je 2 : 7 : 6. Izračunaj stroške prevoza za vsako vrsto avtomobi- lov posebej. Rešitev: 4280 €, 14980 €, 12840 € Ena izmed učiteljic je pri dodatnem po- uku v 8. razredu učencem dala omenjeno nalogo, ki jo lahko rešimo z metodo napačne predpostavke. V svojem poročilu je zapisala: Preden sem jim to metodo razložila, so nalogo rešili sami na svoj način. Zanimalo me namreč je, ali bo kdo uporabil meto- do napačne prepostavke. To se ni zgodilo. Vseh 12 učencev je nalogo rešilo na način, ki je spodaj skeniran (Slika 3). [ S l i k a 3] Reševanje naloge Stroški prevoza brez uporabe metode napačne predpostavke Nato sem jim razložila, kako bi to na- logo rešili z metodo napačne predpostavke. Nad to metodo niso bili preveč navdušeni – zdelo se jim je pretežko. Zato sem jim še enkrat ta postopek razložila na lažji nalogi in mnenje o tej metodi so hitro spremenili. Pravijo, da pa je številske besedilne naloge lahko reševati po tej metodi. Ta primer potrjuje izkušnjo predhodnega. V osmem razredu učenci take naloge že re- šujejo z razmerji, zato jim je bil predstavljeni način reševanja težji. Z omenjeno metodo bi lahko pomagali učencem, ki razmerij ne razumejo oziroma jih ne znajo v danem pri- meru uporabiti ali pa bi uporabo te metode na tej nalogi spodbujali že prej, ko razmerij še sploh ne poznajo. Poglejmo zapis ene izmed učiteljic, ki je pri dodatnem pouku matematike reševala naloge z metodo napačne predpostavke in zapisala: Metodo smo uporabili in pokomentira- li kar na prvem primeru, ki je naveden v forumu. Učenci so omenili, da to metodo že uporabljajo, predvsem pri tekmovanju iz znanja matematike za Vegovo priznanje – KENGURU. Ko smo reševali naloge s tekmovanj prejšnjih let, sem jih prosila, naj bodo pozorni, kdaj uporabljajo to metodo. O metodi se lahko pogovorimo tudi brez rabe besede predpostavka. Uporabi- mo učencem znane besede: možna rešitev, predvidimo rezultat, uganimo rešitev in jo preizkusimo. Primerno nalogo s tekmovanja Matematični kenguru, pa lahko uporabimo za opredelitev metode, torej za uvodni mobi- lizacijsko-motivacijski primer. 018 Metoda napačne predpostavke ε Reševanje naloge Preizkus znanja Naloga 4 – Preizkus znanja Tine je pri preizkusu dosegel eno tretjino možnih točk, Ana pa eno četrtino možnih točk. Števili doseženih točk v njunih pre- izkusih se razlikujeta za 3. Koliko možnih točk je bilo pri preizkusu? Koliko točk je dosegel Tine in koliko Ana? Rešitev: Tine 12 točk, Ana 9 točk Svet matematičnih čudes 7, Delovni zvezek, DZS, stran 60/naloga 8 1. način reševanja Ulomka in je učenec razširil na skupni imenovalec 12. in Pogledal je, kolikšna je razlika teh dveh števil, oziroma kakšen je števec razlike števil. Ker je razlika doseženih točk v preizkusih 3, mora biti števec 3-krat večji, s tem pa tudi imenovalec (razširjanje). Ugotovitev: možnih točk je 36. Sledilo je samo še preračunavanje točk za Tineta ( od 36 = 12) in za Ano ( od 36 = 9). 2. način reševanja Pri reševanju naloge z metodo napačne pred- postavke bi lahko kombinirali grafično me- todo. Predpostavimo, da ima pisni preizkus 12 točk, ker v tem primeru vemo, koliko je četrtina in tretjina točk. Skupno število točk predstavimo z 12 kvadratki in pobarvajmo število točk, ki sta jih dosegla Tone in Ana (Slika 4). Tone Ana [ S l i k a 4] Reševanje naloge Preizkus znanja v kom- binaciji z grafično metodo Vidimo, da se skupno število točk razliku- je za 1 kvadrat, kar so tri točke. T orej je skup- no število vseh točk --12 kvadratov enako 36 točkam. Ena od učiteljic je v forumu spletne učil- nice zapisala: Ta metoda je bila čisto spontano pre- izkušena oziroma opažena pri nivojskem pouku matematike v 7. razredu v skupini 3. nivoja. Reševali smo besedilne naloge o enačbah iz učbenika Svet matematičnih čudes 7, Delovni zvezek, DZS, stran 60/na- loga 8. Reševanja naloge sem se sama lotila z enačbo. En učenec pa je svoje reševanje sošolcem predstavil, kot je predstavljeno pri 1. načinu reševanja. Tudi drugi učenci so pri nadaljnjih nalogah, ne da bi podrob- no poznali tak način reševanja, uporabljali to metodo. Ko sem jih povprašala, kje še lahko uporabljajo tak način reševanja, so hitro ugotovili: Kenguru! Iz predstavljenega sledi, da si učenci po- magajo pri reševanju z različnimi strategija- mi in ne uporabljajo le reševanja z enačbo. Pri reševanju z enačbo, kjer je x skupno šte- vilo točk, zapišemo . 019 η Reševanje naloge Ribe Naloga 5 - Ribe Ribič je ujel ribo. Prijatelji so ga vpraša- li, koliko tehta. Rekel jim je, da ima rep 1 kg, glava tehta toliko kot rep in polovica trupa, trup pa tehta toliko kot glava in rep skupaj. Koliko tehta riba? Rešitev: 8 kg Poglejmo zapis ene izmed učiteljic: Omenjena metoda je bila predstavlje- na učencem pri dodatnem pouku pri ma- tematike. Metoda se jim je zdela kar do- mača, kajti veliko primerov s tekmovanja na šolskem nivoju rešujejo na tak način. Reševali smo primere, navedene v vašem dokumentu, in bili so dokaj spretni pri re- ševanju. Se pa primeri reševanj bistveno ne razlikujejo od že predstavljenih, zato bom predstavila reševanje druge naloge. Zastavila pa sem jim še dodatno nalogo: Nalogo so rešili presenetljivo hitro. Veči- na jih je po metodi napačne predpostavke zapisala možno maso celotne ribe in potem ugotavljala, ali se izjave, zapisane v nalo- gi, ujemajo z njihovo predpostavko. Vseh 8 učencev je nalogo rešilo samostojno, a na različne načine. Pokazalo se je, da jim je največji problem zapis enačbe oziroma pos- topka, do rešitve pa so vsi zelo hitro prišli. Podajam pa primer učenke (Slika 5), ki je nalogo rešila s premislekom, in sicer: 1. način reševanja [ S l i k a 5] Primer reševanja s premislekom 020 Metoda napačne predpostavke Učenka je sklepala, da je trup ribe sodo število. Ta sklep je najbrž naredila zato, da je posledično masa glave naravno število. Kljub tej »napačni« predpostavki je prišla do pra- vilnega rezultata, ker je v rešitvi naloge masa trupa res sodo število. Poglejmo si še strategijo reševanja te na- loge, kjer si pomagamo s slikovno reprezen- tacijo (Slika 6). 2. način reševanja [ S l i k a 6] Reševanje s pomočjo slikovne reprezenta- cije Naloge bi se seveda lahko lotili reševati na algebrski ravni kot zapis enačbe z eno nez- nanko ali kot sistema enačb z dvema nez- nankama. Še ena naloga o ribah: Naloga 6 – Masa ribe Glava ribe predstavlja mase cele ribe, rep ribe mase cele ribe, trup ribe pa ima maso 30 dag. Koliko je masa cele ribe? Rešitev: Masa ribe je 72 dag. θ Reševanje naloge Sadje Naloga 7 - Sadje Oče je na trgu kupil jabolka, hruške, po- maranče in banane. V košari ima skupaj 44 sadežev. Število jabolk je za 2 večje od števila hrušk, število hrušk je za 8 večje od števila banan, število banan je za 2 večje od števila pomaranč. Koliko je hrušk v košari? Rešitev: 15 [ S l i k a 7] Primer rešitve z metodo napačne predpostavke 021 Učenec je v predstavljenem primeru (Sli- ka 7) kombiniral metodo napačne predpos- tavke z grafično aritmetično metodo. Učenec je najprej predpostavil, da je oče kupil 6 pomaranč, potem izračunal število banan (8), hrušk (16) in jabolk (18) ter števi- lo vseh sabežev (48). Ker je bilo število vseh sadežev za 4 preveliko, je sklepal, da je posa- mezne vrste sadja za en sadež manj. Tako je ponovil izračun pri petih pomarančah in do- bil pravilen rezultat. Iz grafične ponazoritve je lepo razviden način razmišljanja učenca. λ Reševanje naloge Ograja Naslednjo nalogo lahko učenci rešujejo v sedmem in osmem razredu in neuspešne pri reševanju spodbudimo k uporabi metode napačne predpostavke: Naloga 8 - Ograja Ana in Blaž barvata ograjo. Ana barva eno stran ograje, Blaž pa drugo stran. Začneta vsak na svojem koncu. Ana do- poldne prebarva svoje strani ograje, po- poldne pa še od preostanka svoje strani, Blaž pa v celem dnevu prebarva svoje strani ograje. Na koncu dneva je 15,6 m ograje pobarvanih z obeh strani. Kako dolga je ograja? Rešitev: 42 m 1. način reševanja Predpostavimo, da je ograja dolga 70 m, v tem primeru bomo hitro izračunali sedmino in petino celotne dolžine. Ana pobarva dopoldne 30 m ograje osta- ne ji še 40 m. Popoldne pobarva še 10 m. Na njeni strani je tako še 30 m nepobarvane ograje. Blaž pobarva v celem dnevu 56 m ograje. Koliko ograje je pobarvane z obeh strani, vi- dimo na sliki (Slika 8). [ S l i k a 8] Količina pobarvane ograje z obeh strani Z obeh strani je pobarvanih 26 m ograje. Sklepamo lahko, da je predpostavljena dolži- na ograje prevelika. Dolžina ograje [m] Dolžina ograje pobarvana z obeh strani [m] 70 26 7 2,6 42 15,6 S sklepanjem, kot je prikazano v pregled- nici, pridemo do rešitve 42 m. 2. način reševanja Že v začetku si pomagamo z grafično upo- dobitvijo. V nalogi imamo sedmino in pe- tino, zato si ograjo razdelimo na 35 polj. In z vsake strani pobarvajmo del, ki ga je pobarvala Ana in Blaž. Iz slike (Slika 9) vidimo, da je 13 polj po- barvanih iz obeh strani, kar je 15,6 m. Torej eno polje meri 15,6 m : 13 = 1,2 m in celotna ograja 1,2 m . 35 = 42 m. Ta način reševanja lahko dopolnimo tako, da učenci dobijo trak s 35 polji. [ S l i k a 9] Grafična upodobitev ograje in njeno barvanje 022 Metoda napačne predpostavke μ Reševanje naloge Velikost kotov Naloga 9 – Velikost kotov Izračunaj velikost kota na spodnji sliki. Rešitev: 72 °, 72 °, 36 ° Opisano geometrijsko nalogo ne uvršča- mo med besedilne naloge, kljub temu pa jo lahko rešimo z metodo napačne predpostav- ke. Za reševanje po tej metodi morajo učenci poznati: – vsoto notranjih kotov v trikotniku, – lastnosti kotov z vzporednimi kraki. Torej nalogo lahko rešijo na omenjen na- čin v sedmem razredu, medtem ko bodo v devetem razredu zaradi preprostosti naloge in zapisa enačbe najverjetneje nalogo hitreje rešili z enačbo. π Sklep Za spodbujanje reševanja s predpostavljeno rešitvijo je ključno, da znamo postaviti učen- cem ustrezno vprašanje. Večina učiteljev je v spletni učilnici z nami delila opise svojih ugotovitev po iz- vedeni uri, kjer so učenci reševali ponujene naloge o skupnih stroških prevoza oz. kako izračunati neznano količino. Nekateri učitel- ji so preizkusili tudi nekaj drugih nalog iz različnih učbenikov in drugih virov. Učitelji so metodo preizkušali raznoliko: od 6. do 9. razreda, v homogenih oziroma heterogenih učnih skupinah, pri dodatnem pouku, pri pripravah na tekmovanje ali pri delu z na- darjenimi učenci. Prevladovala sta dva različna pristopa: – Učitelji so najprej razložili metodo na eni od nalog, potem so učenci samostojno re- ševali izbrane naloge. – Učencem so razdelili naloge, ki so jih pos- kusili samostojno rešiti. Nato so skupaj z učenci pogledali načine reševanja in pri tem izpostavili metodo napačne predpos- tavke. Pri nadaljnjem reševanju nalog so jim svetovali, naj uporabijo opisano me- todo. 023 Iz predstavljenih izdelkov in refleksij uči- teljev vidimo, da učencem, ki znajo zastav- ljeni problem rešiti na svoj način, nov način reševanja lahko povzroči pojmovno zmedo. Metodo je smiselno spodbujati pri učencih, ki so pri zastavljenem problemu neuspešni in jim jezik algebre dela težave. Če želimo, da bi vsi učenci reševali nalogo z metodo napačne predpostavke, mora biti zastavljena problem- ska naloga za vse nerešljiva z njim znanimi metodami. V tem primeru morajo učenci najprej priti do spoznanja, da sami ne zna- jo s svojimi pristopi rešiti zastavljene prob- lemske situacije. Dopis uredništva: Zahvaljujemo se učiteljem Barbari Fir, Aniti Nemec, Metki Jemec, Tini Kelc, Ne- venki Baskar, Darji Strah, Mojci Štor, Igorju Koser, ki so v šolskem letu 2010/11 z nami delili svoje izkušnje z metodo napačne pred- postavke v spletni učilnici. φ Viri 1. Sanja Varošanec: Neke metode reševanja problemskih zadataka. Poučak, letnik 4, št. 13, 2003. 2. Marjan Jerman: Zgodovina reševanja polinomskih enačb. Obzornik za matematiko in fiziko, letnik 57, št. 5, 2010. Naloga Vprašanje Razred, za katerega je naloga dovolj zahtevna* Naloga 1 – Neznano število I Katero število bi lahko rešilo nalogo? Preizkusi. Zakaj si izbral število 4? Ali bi lahko izbrali tudi število 5? Ali bi bilo smiselno izbrati število 8? 5. razred, 6. razred, 7. razred Naloga 3 – Stroški prevoza S kolikokrat manjšim zneskom bi bilo smiselno pričeti? Ali lahko približno oceniš najnižji strošek pre- voza? Znaš preizkusiti? 5. razred, 6. razred, 7. razred Naloga 5 –Masa ribe Oceni maso ribe. Ali lahko določiš še katero od lastnosti števila, s katerim bi bilo smiselno poskusiti, ali nalogo reši? 6. razred, 7. razred Naloga 8 – Ograja Katera dolžina ograje bi bila možna rešitev? Oceni dolžino ograje in preveri svojo oceno. Izberi poljubno dolžino ograje in jo preveri po besedilu naloge. 7. razred, 8. razred *Ali za individualno delo posameznih učencev.