i
i
“1354-Vidav-Resitev” — 2010/7/26 — 13:12 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 25 (1997/1998)
Številka 6
Strani 332–336
Ivan Vidav:
REŠITEV ENAČBEx2 +y2 = 10nx +y V NARAV-
NIH ŠTEVILIH
Ključne besede: matematika, reševanje enačb, desetiški sestav, rekre-
acijska matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/25/1354-Vidav.pdf
c© 1998 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
Mat ematika I
REŠITVE ENAČBE x 2 + y2 = l0 n x + y
V NARAVNIH ŠTEVILIH
V nekem časopisu za razvedrilo je bi lo pred nedavnim postavljeno tole
vprašanje : Kako (se pravi, s kak šnimi računskimi op erac ijami) do bimo
iz šte vil 88 in 33 šte vilo 8833? Prav preprost o, bi rekli: številki 88 in
33 damo skupaj , pa je že pred nami 883 3. Vendar t a odgovor ne velja.
Vsota in produkt st a namreč neodvisna , v ka t erem sestavu računamo , v
deset iškem , dvoj iškem ali kakem drugem. Če pa damo skupaj številki, ki
predst avlj at a števili x in y , rezu lt at ni odvisen samo od x in y temveč
t ud i od sestava, v ka t erem sta zapisana x in y . Zat o zlepljanje št evilk ni
prava računska operac ija.
Odgovor na zgornje vprašanje se je glasil takole: 8833 dob im o, če 88
in 33 kvadriramo in kvadrat a seštejem o. R es je
882 + 332 = 7744 + 1089 = 8833 .
Podobno lastnost im a t a števili 10 in 1. Tuka j je 102 + 12 101, vsoto
101 pa dobimo, če staknem o skupaj 10 in 1.
Ali so še drugi t aki pari?
Iščemo torej pare naravnih štev il x in y , ki se odlikujejo s tole las tno-
stjo:
(8 ) Vsota x 2 + y 2 je enaka številu, ki ga dobimo, če damo
skupaj številki, ki v desetiškem sestavu predstavljata x
in y.
Pa vzem imo poljubni na ravni števili x in y , zap isani v desetiškem
sest avu . K atero število do bim o, če staknemo skupa j štev ilki za x in y
(in sicer x na levi, y na desni)? Im enujmo to število z. Deni mo, da je y
n- mestno število (n 2': 1) . Razlika z - y , za p isana v deseti škem sest avu,
ima očitno na konc u n ničel , njen e začetne štev ke pa določajo x. Pot em-
t akem je ta razlika enaka lO n x , iska no število z pa je lO n x + y . Tor ej:
Če damo skupaj številki, ki predstavljata naravni števili
x in y v desetiškem sestavu, in ima y n mest, dobimo število
lO n x + y .
Matematika
Naravni šte vili x in y , ki sestavljata par z las tnostjo (S), zadoščata
potemtakem enačbi
(1)
se pravi enačbi iz nas lova . Rešitev v naravnih številih x , y , n pa določa
par z last nostjo (S) le pri pogoju , daje n število mest , ki jih ima y , zapisa n
v desetiškem sestavu.
Pri izbranem n pomeni enačba (1) v ravnini, oprem ljeni s pravo-
kotnim koordinatnim sistemom, krožni co, ki gre skozi izhodišče (točka s
koordinatama x = O, y = Ozadošča enačbi) . Pomnožimo to enačbo s 4 in
jo nato zapišimo v tejle ekvivalent ni obliki
Iz nj e razb eremo, da ima središče kro žnic e (1) koordinati p
q = ~ . Postavimo
x = 2x - IOn , Y = 2y - 1 ,
pa je pred nami enačba
(1*)
(2)
(3)
Če sta x in y naravni števili , st a X in Y celi števili.
P ri danem n je desna stran 102n + 1 znano število, in sicer liho. Vse
celoštevilske rešitve enačbe (3) naj demo tako, da zapišemo 102n + 1 na
vse mogoče načine kot vsoto dve h kvadratov celih števil. Naj bo npr .
kjer sta A in B naravni števili. Eno izmed njiju je sodo, drugo liho .
Smemo vzeti, da je A sodo in B liho . Ta razcep nam da 8 reš itev enačbe
(3) v celih številih, namreč
X= ±A , Y =±B lil X = ±B, Y = ±A ,
kjer lahko vzame mo povsod poljuben znak.
334 Matematika I
Iz zapisa (2) vid imo, d a je X so d in Y lih . Torej moramo postaviti
2x - IOn = ±A lil 2y - 1 = ± B .
Od tod izračunamo
1 .
y = - (l ±B).
2
(4)
Ker je A ::; IOn, j e x naravno število , kat erikoli znak vzamemo pri A.
Zaradi B 2': 1, pa je y naravno število samo pri znaku + pri B . Torej nam
da vsak razcep števila 102n + 1 na vsoto dveh kvadratov dve rešitvi enačbe
(1) v naravnih številih . Dobljeni par x, y pa ima zahtevano last nost le v
primeru, kadar je y n-mestno število.
Ker je 102n + 1 = (10n )2 + 12 , lahko vzamemo A = IOn, B = 1
(trivialni razcep) . Ustrezna rešit ev je x = IOn , y = 1 (pri triv ia lnem
razcep u je x naravno število (t j. pozit ivno celo število) samo pri znaku +
na desn i). Ker je y = 1 enomestno število, im a par IOn , 1 last nost (8) le
pri n = 1, to je par x = 10, y = 1, ki smo ga že navedli .
Če želimo dobit i druge pare, moramo najti kak netrivial ni razcep
števila 102n + 1 na vsoto dveh kvadratov. Kdaj tak razcep obstaja? V
članku K ako ugotovimo, da j e naravno število sestavljeno, preden ga raz-
stavimo (Presek , 25 (199 7/98) , str. 130-136) je bi lo dokazano, da je na-
ravno število sestavljeno, če se da vsaj na dva načina zapisati kot vsota
dveh kvadratov. Brez dokaza povejmo, da velja v našem primeru tudi
obratna trditev: Če I0 2n + 1 ni prašt ev ilo , se da vsaj na dva načina izra-
ziti kot vsota dveh kvadratov. Vsak razcep na dva fakt orja določa torej
poleg trivialnega tudi netr ivialn i razcep na vsoto dveh kvadratov.
Zgledi.
Pri n = 1 je število 102 + 1 = 101 praštevilo in obstaja zato samo
t rivialn i razcep na vsoto dveh kvadratov.
Pri n = 2 je 104 +1 = 73 ·137, se pravi sestavljeno štev ilo . Pripadajoči
netrivialn i razcep v vsoto dveh kvadratov se glasi 104 + 1 = 762 + 652 ,
t orej A = 76, B = 65 . Po formuli (4) dobimo para x = 88, y = 33 in
x = 12 , Y = 33.
Pri n = 3 imamo razcep 106 + 1 = 101 ·9901. Oba faktorja na desni
sta prašt evi li . Pripadajoča vsota kvadratov se glasi 106 + 1 = 9802 + 1992
in določa para x = 990 , Y = 100 ter x = 10, Y = 100 .
Matematika
Nekaj nad alj njih primerov kaže razpred elnica:
n = 1 x = 10, y = 1:
n = 2 x = 12, y = 33:
x = 88, y = 33:
n = 3 x = 10, Y = 100:
x = 990, y = 100:
n = 4 x = 588 , Y = 2353 :
x = 9412, y = 2353:
n = 6 x = 116788, y = 32 1168:
x = 8832 12, y = 321168:
x = 123288, Y = 328768:
x = 876712, y= 32876 8:
102 + 12 = 101
122 + 332 = 1233
882 + 332 = 8833
102 + 1002 = 10100
9902 + 1002 = 990100
5882 + 2353 2 = 5882353
94122 + 2353 2 = 94122353
1176882 + 3211682 = 117688321168
8832132 + 3211682 = 883 213321168
1232882 +3287682 = 123288328768
8767122 + 3287682 = 876712328768
Kadar je n delj iv s kakim lihim fak t orj em , je 102n +1 vselej sestavljeno
število. Naj bo np r. n = kr , kjer sta k in r naravni št ev ili in r lih . Iz
formule
ar + br = (a + b)(ar- 1 _ ar- 2b + . .. + br - 1 ) ,
ki velja za vsak lih eks ponent r , dobimo , če vstavimo a = 102k in b = 1,
razcep
Torej ima 102n + 1 = 102k r + 1 fakt or 102k + 1. P oseb ej , kadar je n lih ,
lahko vzame mo r = n , k = 1. Število I0 2n + 1 je v tem prime ru deljivo
s 101. Enačba (1) ima zato pri lihem n poleg rešitve x = IOn , y = 1
vsaj še dve nadaljnj i rešit vi v naravnih številih. To da če je n > 3, ni
pr i fak torju 101 niko li več izpolnj en dodat ni pogoj , da je pripadajoči y
n-mestno število .
Ugotovili smo, da premore enačba (1) za neskončno mnogo n rešitve
x , y v nar avnih številih . 8 te m seveda ni rečeno , da obstaja neskončno
parov z lastnostjo (8). Vsak bralec pa se lahko sam prepriča , da ses tavljata
št ev ili
64 . IOn + 24 24 . IOn + 9
x = ln y =
73 73
par z las tnostjo (8) , če je eksponent noblike 8k + 2, kjer je k poljubno
nen egativno celo št evilo. To rej je takih parov neskončno .
Kaj hhka povemo o paru 2, y, ki je r s t e v  en&Ebe (1) pri nekern n, 
toda gl ni a-rn&n~ Re*? Iz (I9) rmkemo, cia je Zg - 1 < lo", tomj 
y < 4 - 10n. Zato ima y v desetfirn sestavu W j e m u  n mwt. Je tore. 
kmetno GteviIo, pri Eemer je k 5 n. Kadm j j e  k < n, dobimo vsoto 
hdratov x2 + $ taka, da med ltevilki za a in y wiserno n - k niEel. 
V zgledu, navedenem na z&ku, imata gttevili 88 in 33 obs Btevki 
enaki. & postavho dodatni pogoj, da marajo biti v desetigkern zapiau 
vse &zvP. ijtBVil~ z med seboj en& in da mum isto veljati tudi za 21, pa 
je a: = $8 in y = 33 edini par s to ktnostjo. 
Ivan Vidiav