i i “Vadnal-magicni-kvadrati” — 2010/5/28 — 11:26 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 14 (1986/1987) Številka 6 Strani 289–293 Alojzij Vadnal: MAGIČNI KVADRATI Ključne besede: matematika. Elektronska verzija: http://www.presek.si/14/859-Vadnal.pdf c© 1987 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. MAGiČNI KVADRATI Uvod Magični kvadrat sestavljajo v kvadratno matriko urejena naravna števila . V njem so vsote števil v vrsticah, v stolpcih in v obeh diagonalah med seboj enake. Lahko tudi zahtevamo, da ima magični kvadrat še kake dodatne lastnosti, npr. da njegovi elementi sestavljajo kako predpisano množico naravnih števil. Magični kvadrat razsežnosti 4 x 4 z vsotami 34 na množici {1, 2, 3, ..., 16}: 16 5 9 4 3 10 6 15 2 11 7 14 13 8 12 1 srečamo pri renesančnem umetniku in učenjaku Albrechtu Diirerju (1471- -1528); ta ga je 1. 1514 ovekovečil na bakrorezu "Melanholija". Iz približno istega razdobja poznamo "kitajski" magični kvadrat razsežno- sti 6 x 6 z vsotami 111 na množici {1, 2, 3, " ', 36 } 27 29 2 4 13 36 9 11 20 22 31 18 32 25 7 3 21 23 14 16 34 30 12 5 28 6 15 17 26 19 1 24 33 35 8 10 Za to priložnost je sestavil pisec "šahovski" magični kvadrat razsežnosti 8 x 8 z vsotami 64: 15 5 4 12 5 11 6 6 6 9 11 9 8 7 10 4 10 6 6 9 9 6 9 9 3 12 11 2 10 8 7 11 5 8 10 8 3 15 8 7 8 8 12 7 1 8 15 5 9 4 8 6 22 4 5 6 8 12 2 11 6 5 4 16 289 A Diirer n i bil samo velik umetnik, ampak se je uspešno ukvarjal tudi z naravoslovjem, še posebno pa z geometrijo. Objavil je dela o perspektivi in o geometrijsk ih konstrukcijah z ravnilom in šestilom. Človeške organe je proučeval z opisnogeometrično metodo tako , da jih je projiciral na vse tr i projekcijske ravnine. Ne vem , kako je A. Diirer sestavil upodobljeni magični kvadrat. Morda je bil tedaj že znan kot "Jupitrova mizica"? Morda se je pretolkel do njega z uqi- banjem? Morda je uporabil metodo, ki jo je opisal Borut Za lar v 5. številki letošnjega " Preseka" ? Z matematičnega vidika gre pri sestavljanju magičnega kvadrata za reševa- nje sistema več linearnih enačb s še večjim številom neznank; ob tem pa morajo biti neznanke naravna števila in morajo zadoščati še kakim dodatnim zahtevam . Za začetek se lotimo magičnih kvadratov dimenzije 3 x 3 . Poskusimo sestaviti magičn i kvadrat razsežnosti 3 x 3, ki ima v prv i vrst ici števila 37 19 34 Z ugibanjem je kr iž; lahko, da se nam sploh ne posreči. Pomagajmo si torej z algebro . Pri sestavljanju magičnega kvadrata razsežnosti 3 x 3 z vsotami s je treba v naravnih številih rešiti sistem 8 enačb z 9 neznankami. Sistem enačb in reševanje sta podana v tabelarični obliki. (stran 323) Iz sistema enačb lelimini ramo neznanke ZI, Z 2 in Z 3: Zl=S -X1-Y1 Z2=S-X2-Y2 Z 3=S-X3-Y3 in dobimo sistem enačb II. Iz tega eliminiramo in dobimo sistem III . Iz tega eliminiramo 290 1 2 3 4 5 6 7 8 desna stran enačbe 5 5 5 5 5 5 5 1 5 2 1 1 5 3 1 1 1 1 2s II 7 1 -1 1 -1 O 8 -1 1 -1 1 O ---------------------------------------------- 1 1 III 2 1 3 2 8 -1 1 1 IV 2 3 3 4 1 V 2 1 -1 1 2 1 2 -1 1 1 -3 3 -2 3 5 S 25 O 5 5 25 5 5 in dobimo sistem IV. Iz tega eliminiramo in dobimo sistem dveh enakih enačb V. Po primernem izboru vredn.osti Xl, X 2 , X 3 dobimo retrogradno iz elirnl- nacijskih enačb: 291 1YI = - (-2XI + X 2 + 4X3 )3 Y2 = ..1 (X 1 + X 2 + X 3 ) 3 1Y3 = - (4X 1 + X 2 - 2X3 ) 3 1ZI = 3" (2XI + 2X2 - X 3 ) Z 2 =i(2X1-X2 +2X3 ) Z3 = i (-Xl + 2X2 + 2X3 ) Ob zahtevi, da morajo biti neznanke naravna števila , dobimo od tod naslednje navodilo za sestavljanje magičnih kvadratov razsežnosti 3 x 3 . Izhajajoč od naravnih števil XI , X 2 inX3 z vsoto s=XI +X2 +X3 lahko sestavimo magični kvadrat, če števila zadoščajo naslednjim pogojem: 1. Vsota s je delj iva s 3. 2. Vsako števi lo je manjše od vsote drugih dveh števil. 3 . Veljata neenačbi: 2XI