i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 136 — #1 i
i
i
i
i
i
NEVIDNOST
LINDA BITENC1 IN MIHA RAVNIK1,2
1Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani,
2Institut »Jožef Stefan«
Ključne besede: ogrinjalo nevidnosti, transformacijska optika, negativni lomni količnik,
metamateriali
V članku je predstavljena ideja oblikovanja ogrinjala nevidnosti s pomočjo transfor-
macijske optike. Transformacija prostora in s tem geometrija širjenja elektromagnetnega
valovanja je tesno povezana z lastnostmi medija, skozi katerega se valovanje širi, kar po-
meni, da potrebujemo ustrezno krajevno odvisnost lomnega količnika, tudi z negativnimi
vrednostmi. Zahtevano se – v principu, vsaj v zelo določenem frekvenčnem območju in ob
primernem obvladovanju izgub svetlobe – lahko doseže z umetno oblikovanimi optičnimi
metamateriali, katerih lastnosti so posledica njihove strukture na skali pod valovno dol-
žino svetlobe. Predstavljen je tudi eksperiment dvodimenzionalnega cilindričnega plašča
nevidnosti v mikrovalovnem frekvenčnem območju.
INVISIBILITY
In this contribution we present the concept for creating an invisibility cloak using
transformation optics. Coordinate transformation and the geometry of propagation of
electromagnetic waves are closely connected to the properties of the medium through
which the waves travel, meaning that appropriate spatially dependent refractive index
profiles are needed, including with negative values. Negative refractive index is connected
to new material properties which are not present in conventional materials. Today, in
principle, the required material parameters can be realised with the use of optical meta-
materials, whose properties are determined by their structure, subjected to limitations in
the material absorption and sufficient frequency width of the response. We also present
an experiment of two-dimensional invisibility cloak at microwave frequencies.
Uvod
Predmet vidimo, ker zaznamo od njega odbito, oddano ali sipano svetlobo.
Odboj lahko preprečimo z uporabo popolnih absorberjev, katerih pomanj-
kljivost je, da ustvarijo senco, ki opazovalcu izda njihovo prisotnost. Tudi z
ustrezno geometrijo objekta lahko onemogočimo odboj nazaj proti viru ele-
ktromagnetnega valovanja. Omenjena tehnika se uporablja npr. pri letalih,
ki jih želijo skriti pred radarjem. Očitno pa je, da bo na ta način oblikovano
letalo nezaznavno le iz smeri vpadnega valovanja, iz vseh drugih smeri pa ne
bo učinka nevidnosti. Za popolno nevidnost predmeta moramo torej doseči,
da se bo vpadno elektromagnetno valovanje širilo v prostoru enako, kot če
predmeta ne bi bilo. Ker po navadi ne želimo spremeniti lastnosti izbranega
136 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 137 — #2 i
i
i
i
i
i
Nevidnost
predmeta z namenom, da bi ga naredili nevidnega, oz. bi bilo to zelo težko,
če sploh mogoče, za to uporabimo tako imenovani plašč nevidnosti. S tem
imamo v mislih optično napravo, ki naredi predmet nezaznaven v nekem
frekvenčnem območju elektromagnetnega valovanja, pri čemer posplošimo
pojem nevidnosti, ki ga navadno povezujemo z vidno svetlobo, na – vsaj v
principu – poljubno frekvenčno območje [1].
Svetloba se v prostoru širi tako, da potuje po najkraǰsi optični poti, kar je
znano kot Fermatov princip. V splošni teoriji relativnosti pa se pot svetlobe
lahko ukrivi. Einstein je namreč prǐsel do spoznanja, da gravitacijsko polje
prostor deformira. Spremeni se metrika prostora, ki podaja informacijo o
tem, koliko je prostor na nekem delu stisnjen oz. raztegnjen [5, 20]. Ker je
oblika Maxwellovih enačb invariantna na transformacijo v prostor z novo
metriko, iz tega sledi, da se svetloba širi v skladu z novimi koordinatami,
zaradi česar se žarek pri potovanju mimo telesa z veliko maso (npr. Sonca)
ukrivi. Če bi nam uspelo na podoben način poljubno spremeniti metriko
prostora tako, da bi elektromagnetno valovanje vodili okoli predmeta in nato
nazaj na njegovo prvotno trajektorijo, ga zunanji opazovalec ne bi mogel
zaznati [11, 2].
Pot širjenja svetlobe lahko spreminjamo s pomočjo medija s krajevno
odvisnim lomnim količnikom. Kot primer omenimo lečo, na kateri se žarek
zlomi v skladu z lomnim zakonom. Skratka, optične lastnosti medija, skozi
katerega potuje svetloba, določajo poti žarkov [2, 19]. Na ta način lahko
z uporabo medijev oblikujemo želene učinke geometrije in s tem svetlobo
poljubno usmerjamo, kar nam omogoča zanimive aplikacije, med njimi tudi
plašč nevidnosti. Pristop, ki nam s pomočjo koordinatnih transformacij
omogoča načrtovanje ustreznih lastnosti materialov, ki nato želeno usmer-
jajo elektromagnetno valovanje, imenujemo transformacijska optika [2, 19].
Za ustrezne optične transformacije – torej želene poti in trajektorije sve-
tlobnih žarkov – lahko potrebujemo optične materiale z lastnostmi, ki jih v
naravi ne najdemo, na primer negativni lomni količnik. Zato potrebujemo
optične metamateriale. To so umetno oblikovani materiali, sestavljeni iz
struktur, manǰsih od valovne dolžine elektromagnetnega valovanja, ki do-
ločajo njihove lastnosti. Odziv metamaterialov se lahko izrazi z efektivno
permeabilnostjo in dielektričnostjo, pri čemer se z ustreznim načrtovanjem
njihovih sestavnih (mikro ali nano) struktur doseže želene optične lastnosti
[5, 15].
V nadaljevanju bomo opisali primer transformacij, s katerimi dosežemo,
da se elektromagnetno valovanje izogne delu prostora, v katerega lahko skri-
jemo predmet. Predstavili bomo primer plašča nevidnosti v sferičnih koor-
dinatah. Komentirali bomo tudi pomen negativnega lomnega količnika in
način oblikovanja metamaterialov, s katerimi ga lahko dosežemo.
136–152 137
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 138 — #3 i
i
i
i
i
i
Linda Bitenc in Miha Ravnik
Ogrinjalo nevidnosti z uporabo transformacijske optike
Transformacije prostora
Sprememba faze elektromagnetnega valovanja na poti ∆x je enaka (ωc )n∆x,
kjer je ω kotna hitrost, c hitrost svetlobe, n lomni količnik, produkt n∆x
pa imenujemo optična pot. Uvedemo preslikavo ∆x′ = n∆x, ki ohrani
fazo valovanja, hkrati pa predstavlja transformacijo koordinat. Lomni ko-
ličnik je, kot smo že prej omenili, lahko prostorsko odvisen. Uporabili bomo
Maxwellovi enačbi pri izbrani frekvenci in upoštevali linearno konstitutivno
relacijo,
∇×E = −iωµµ0H, ∇×H = iωεε0E. (1)
Ker so Maxwellove enačbe invariantne na koordinatne transformacije, imajo
v novem prostoru enako obliko [11, 2]
∇′ ×E′ = −iωµ′µ0H′, ∇′ ×H′ = iωε′ε0E′. (2)
V novem koordinatnem sistemu zapǐsemo polji E in H ter µ in ε, ki se
transformirata kot tenzorja, saj po navadi postaneta anizotropna. Dobimo
torej [8]
E′(x′) = (AT )−1E(x), H′(x′) = (AT )−1H(x),
ε′ =
AεAT
detA
, µ′ =
AµAT
detA
, (3)
kjer je A Jacobijeva matrika, Ai′j =
∂xi′
∂xj
[14].
Invarianca Maxwellovih enačb na koordinatne transformacije je ključ-
na lastnost, ki nam v transformacijski optiki omogoča tesno povezavo med
preslikavo koordinat in lastnostmi medija. Maxwellove enačbe pretvorjene v
prostor z novo metriko predstavljajo enolično obnašanje svetlobe, lahko pa
ga interpretiramo na dva načina. Pri prvem razumemo, da tenzorja na levi
in desni strani enačaja v enačbah (3) predstavljata iste lastnosti materiala, a
v drugih prostorih (topološka interpretacija). Pri drugi možni interpretaciji
pa sta oba tenzorja zapisana v običajnem prostoru kartezičnih koordinat (v
Evklidski metriki), a predstavljata različne lastnosti materiala (materialna
interpretacija). Razliko lahko vidimo na sliki 1.
Primer (A) predstavlja prazen prostor v kartezičnih koordinatah, v ka-
terem je pot žarka narisana z odebeljeno črto. Primera (B) in (C) predsta-
vljata transformiran prostor, v katerem veljajo Maxwellove enačbe s trans-
formiranimi količinami (2). Primer (B) prikazuje prazen prostor, v katerem
je znotraj kroga z radijem b upoštevana koordinatna transformacija. Slika
(C) prikazuje primer, kjer se ohranijo kartezične koordinate, spremenijo pa
se lastnosti medija na kolobarju med radijema a in b. Na ta način lahko
najprej izračunamo želeno transformacijo praznega prostora in jo nato s
138 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 139 — #4 i
i
i
i
i
i
Nevidnost
pomočjo enačb (3) prevedemo na lastnosti materiala, ki jih potrebujemo
za dosego želenega učinka [14]. To nam omogoča dejstvo, da imata spre-
memba metrike prostora in lomni količnik medija (oz. ε in µ) enako vlogo
v Maxwellovih enačbah [20].
Slika 1. Prikaz poti žarka, označene z debeleǰso črno črto, skozi prazen prostor kartezičnih
koordinat (A) in skozi transformiran prostor prikazan s transformacijo metrike (B) ter s
profilom lomnega količnika (C).
Do sedaj smo obravnavali poljubno preslikavo. Izkaže pa se, da je koor-
dinatna transformacija, prikazana na sliki 1, tudi ustrezna transformacija za
načrtovanje plašča nevidnosti. Zavedati se moramo, da to ni edina možna
preslikava, je pa enostavna in zato primeren zgled. Obravnavamo dvodi-
menzionalen prostor.
Gre za preslikavo iz tako imenovanega virtualnega oz. elektromagnetnega
prostora, ki je na sliki označen s črko A, v fizični prostor, označen s črko
B. Virtualni prostor je prazen, zato elektromagnetno valovanje sledi ravnim
linijam, ki se v transformiranem fizičnem prostoru zdijo ukrivljene. Presli-
kava namreč točko preslika v krožnico končne velikosti, v našem primeru
z radijem a, in prostor znotraj radija b temu primerno deformira. V delu
prostora r < a se ustvari »luknja«, kamor elektromagnetno valovanje ne
more prodreti, temveč potuje okoli praznega območja ter se nato vrne na
začetno trajektorijo in nadaljuje pot enako, kot če predmeta ne bi bilo. Tako
oblikovana optična naprava ustvari iluzijo, da se elektromagnetno valovanje
širi skozi prazen prostor, medtem ko je notranjost razširjene točke skrita
zunanjemu opazovalcu [11, 6]. S transformacijo na sliki 1 bi torej lahko
oblikovali cilindrično ogrinjalo nevidnosti. S podobno transformacijo lahko
oblikujemo tudi sferično ogrinjalo, če si na shemi namesto krožnic s polme-
136–152 139
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 140 — #5 i
i
i
i
i
i
Linda Bitenc in Miha Ravnik
roma a in b predstavljamo sferi. Iz enačb (3) opazimo, da lahko na splošno
komponente transformiranega tenzorja zavzamejo katerokoli vrednost, s tem
pa lahko lomni količnik v materialu, s katerim bi morali nadomestiti trans-
formacijo, zavzame tudi negativne vrednosti. Posledično je bila realizacija
takega plašča nevidnosti do odkritja metamaterialov nemogoča [2].
Primer ogrinjala nevidnosti v sferičnih koordinatah
Slika 2. Trajektorije žarkov elektromagnetnega valovanja skozi del prostora z medijem,
ki ustreza koordinatni transformaciji, prikazani z enačbo (4). Slika predstavlja shemo
prečnega prereza sferičnega ogrinjala nevidnosti.
Predstavimo zgled načrtovanja potrebnega profila lomnega količnika z
uporabo transformacijske optike za primer sferičnega ogrinjala nevidnosti,
ki je prikazano na sliki 2. Uporabimo sferno simetrično preslikavo, ki celoten
volumen krogle s polmerom b preslika v del krogle z notranjim radijem a in
zunanjim radijem b. Določimo transformacijo:
r′ = f(r) =
b− a
b
r + a; 0 ≤ r ≤ b in (4)
r′ = r; r > b.
Preslikava je zvezna, saj na zunanjem radiju oba pogoja določata r′(b) = b.
Da lahko želeno preslikavo dosežemo z optično napravo (medijem) končne
velikosti, je smiselno, da transformacijo definiramo na omejenem prostoru,
medtem ko del prostora r > b ostane nespremenjen.
Ker je transformacija sferno simetrična, velja, da so enotski vektorji v
obeh prostorih ekvivalentni, kar opǐsemo z zvezo,
xi′
r′
=
xi
r
δi′i. (5)
140 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 141 — #6 i
i
i
i
i
i
Nevidnost
Če izrazimo r′ in ga vstavimo v enačbo preslikave (4), dobimo zvezo med x′
in x, ki jo potrebujemo za izračun Jacobijeve matrike. Z nekaj računanja
lahko zapǐsemo Jacobijevo matriko kot (glej [14])
Ai′j =
∂xi′
∂xj
=
r′
r
δi′j −
axixk
r3
δi′iδkj .
S pomočjo determinante Jacobijeve matrike lahko določimo ustrezne para-
metre medija za izvedbo ogrinjala nevidnosti. S kraǰsim računom lahko
pokažemo, da je determinanta Jacobijeve matrike enaka (glej [14])
detA =
r′ − a
r
(r′
r
)2
. (6)
Zdaj imamo vse potrebne elemente, da izračunamo ε′ in µ′ po enačbi (3).
Ker smo predpostavili, da je prostor koordinat ~r prazen, sta oba tenzorja v
začetnem prostoru enaka identiteti. Z upoštevanjem transformacije dobimo
ε′ in µ′ izražena z enačbo
ε′ = µ′ =
b
b− a
(
I − 2ar
′ − a2
r′4
~r′ ⊗ ~r′
)
(7)
(glej [14]), kjer je I identična matrika.
Iz enačbe (7) želimo izraziti posamezne komponente dielektričnosti in
permeabilnosti. Izberemo orientacijo koordinatnega sistema, za katero vemo,
da se bo izraz poenostavil, torej ~r = (r, 0, 0). Ker je preslikava sferno sime-
trična, je ugodno izbrati sferne koordinate in bazo. V matriki tenzorskega
produkta tako ostane le ena komponenta in dobimo (slika 3) (glej [11])
ε′r = µ
′
r =
b
b− a
(r′ − a)2
r′2
,
ε′φ = µ
′
φ = ε
′
θ = µ
′
θ =
b
b− a
.
Slabosti in omejitve
Dobra lastnost ogrinjala nevidnosti, oblikovanega s pomočjo obravnavane
transformacije prostora, je, da bo delovalo neodvisno od oblike predmeta in
njegove sestave. Poleg tega nam transformacijska optika omogoča neposre-
dno teoretično oblikovanje ogrinjala z ustrezno transformacijo.
Po drugi strani ima obravnavani pristop močne omejitve. Spomnimo se
preslikave prostora iz slike 1. Žarki imajo v novem prostoru dalǰso pot, saj
morajo obiti »luknjo«, hkrati pa mora žarek priti na drugo stran območja
136–152 141
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 142 — #7 i
i
i
i
i
i
Linda Bitenc in Miha Ravnik
Slika 3. Odvisnost radialnih (A) in kotnih (B) komponent dielektričnosti in permeabilnosti
od radija pri določeni vrednosti parametrov a in b.
z enako fazo, kot če bi potoval skozi prazen prostor. Zato potrebujemo
frekvenčno odvisne parametre materiala in posledično lahko zadostimo po-
gojem transformacije le pri eni frekvenci [11].
Zavedati se moramo še ene mogoče očitne lastnosti našega ogrinjala.
Opazovalec, skrit v njem, bi bil sicer neviden za zunanjega opazovalca, hkrati
pa bi bil v popolni temi. Namreč, če vodimo svetlobo okrog odprtine, potem
tudi nič svetlobe ne more priti do našega skritega opazovalca in posledično
on ne vidi zunanjega sveta [2].
Preslikava, opisana v poglavju Primer ogrinjala nevidnosti v sferičnih
koordinatah, za realizacijo sicer ne potrebuje negativnih vrednosti lomnega
količnika, a na splošno poljubna preslikava lahko zahteva tudi negativne
vrednosti. Primer preslikave oz. optične naprave, ki zahteva negativni lomni
količnik, je popolna leča (oz. leča z negativnim medijem) [10].
Negativni lomni količnik
Lomni količnik je definiran kot n = cv , kjer je c svetlobna hitrost v vakuumu
in v fazna hitrost svetlobe v snovi [17]. Lahko ga izrazimo tudi kot
n =
√
µε. (8)
Materiali, ki imajo eno od vrednosti ε in µ negativno, dovoljujejo le nepro-
pagirajoče rešitve za elektromagnetno valovanje. To vidimo iz enačbe
|k|2 = εε0µµ0ω2.
142 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 143 — #8 i
i
i
i
i
i
Nevidnost
Negativni produkt εµ namreč pomeni, da je valovni vektor imaginaren in se
posledično valovanje v materialu eksponentno zaduši. Negativna vrednost
dielektričnosti pri optičnih frekvencah je značilna za kovine, za katere vemo,
da se svetloba v njih ne more širiti. Običajni materiali, ki so prepustni za
elektromagnetno valovanje, imajo pozitivni vrednosti ε in µ, kar pomeni tudi
pozitiven in realen lomni količnik. Očiten zgled za materiale s pozitivnim
lomnim količnikom v vidnem spektru so na primer voda, zrak in steklo.
Sedaj pridemo do vprašanja, ali bi lahko obstajal tudi material, ki bi imel
tako dielektričnost kot permeabilnost negativni. Pri teoretični obravnavi
omenjenega primera je bilo ugotovljeno, ne samo da bi tak material lahko
obstajal, temveč tudi da bi imel zanimive lastnosti, ki jih niso zasledili še pri
nobenem znanem materialu, med drugim bi imel negativni lomni količnik
in povzročil naj bi obraten Dopplerjev pojav [15]. Prvi, ki je proučeval
lastnosti medija z ε in µ < 0, je bil Victor Veselago, ruski fizik, ki je leta
1968 objavil članek [18], v katerem je predstavil naslednja spoznanja.
V primeru, ko sta dielektričnost in permeabilnost negativni, je njun pro-
dukt pozitiven in efektivni lomni količnik realen. Iz tega sledi, da so mate-
riali z ε in µ < 0 prepustni za elektomagnetno valovanje. Vzrok za njihove
drugačne lastnosti izvira iz razlike med fazno in grupno hitrostjo valovanja.
Grupna hitrost, definirana kot vg =
dω
dk , opisuje energijski tok valovanja
in si jo lahko predstavljamo kot hitrost celotnega valovnega paketa. Fa-
zna hitrost, vp =
ω
k , opisuje širjenje valovnega čela, to je množica točk z
enako fazo, kar vidimo kot hitrost potovanja vrhov in dolin. Pri valovanju
v običajnih materialih sta hitrosti, čeprav se lahko razlikujeta po velikosti,
paralelni. Obravnavajmo sedaj posledice negativnih ε in µ. Sprememba
predznaka ε in µ je v Maxwellovih enačbah (1) enakovredna spremembi
predznaka magnetnega polja, medtem ko rešitev valovne enačbe,
∂2E
∂x2
= εε0µµ0
∂2E
∂t2
,
ostane enaka, kar pomeni, da se ohrani tudi valovni vektor. Zaradi inverzije
magnetnega polja ima Poyntingov vektor, definiran kot P = E×H, naspro-
tno smer. Iz tega sledi, da je pri obravnavanih materialih smer energijskega
toka, določena s Poyntingovim vektorjem, nasprotna smeri valovnega vek-
torja, torej se valovi širijo v nasprotno smer kot žarki valovanja, kar je
prikazano na sliki 5 [10, 12].
Ko smo obravnavali omejitve v izvedbi ogrinjala nevidnosti, smo že ome-
nili, da potrebujemo disperzijo. Obravnavajmo sedaj še zahteve na nivoju
energije. Za gostoto energije velja enačba (glej [18])
w =
1
2
∂(εε0ω)
∂ω
E2 +
1
2
∂(µµ0ω)
∂ω
H2, (9)
136–152 143
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 144 — #9 i
i
i
i
i
i
Linda Bitenc in Miha Ravnik
ki se v primeru, da ε in µ nista frekvenčno odvisni, poenostavi v enačbo
w =
1
2
εε0E
2 +
1
2
µµ0H
2, (10)
iz katere sledi, da bi bila v primeru, kjer sta tako ε kot µ negativni, skupna
energija negativna, kar pa seveda ni mogoče. Iz tega sledi, da morata biti ε
in µ frekvenčno odvisni [18].
Slika 4. Črni puščici predstavljata smer žar-
kov valovanja torej smer širjenja energije,
medtem ko sivi puščici prikazujeta smer va-
lovnega vektorja na meji med praznim pro-
storom ter sredstvom z negativnim lomnim
količnikom.
Slika 5. S črno puščico je prikazana
smer grupne hitrosti torej smer energij-
skega toka, s puščico sive barve pa smer
valovanja oz. fazne hitrosti v sredstvu z ne-
gativnim lomnim količnikom.
Lomni zakon drži tudi za lom v materiale z negativnim lomnim količni-
kom,
sin θ2
sin θ1
=
n1
n2
,
kjer pridemo do spoznanja, da je lomni kot pri prehodu iz medija s pozi-
tivnim v medij z negativnim lomnim količnikom negativen, kar pomeni, da
žarek ostane na isti strani vpadne pravokotnice, kot je prikazano na sliki 4.
Kot zgled si zamislimo slamico v kozarcu vode. Ker ima voda večji lomni
količnik kot zrak, se svetloba na prehodu med medijema lomi k vpadni pra-
vokotnici, zato se zdi, da je slamica zlomljena. Če bi voda imela negativni
lomni količnik −1, bi bila potopljen in nepotopljen del slamice kot preslikana
čez gladino vode.
Optični metamateriali
Optični metamateriali so umetno narejeni materiali, katerih optične lastno-
sti primarno izhajajo iz njihove praviloma mikroskopske strukture in manj
144 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 145 — #10 i
i
i
i
i
i
Nevidnost
iz same kemične sestave snovi. Posebej oblikovane sestavne enote določajo
odziv materiala na elektromagnetno valovanje. Zgodovina metamaterialov
sega veliko dlje od njihovega uradnega odkritja. Že v srednjem veku so
bili obrtniki seznanjeni z učinki, ki jih povzročijo steklu dodani kovinski
nanodelci. Tako modificirano steklo ima namreč značilno barvo, odvisno
od velikosti in oblike dodanih delcev. Svetovno znan primer je Likurgova
čaša [21], narejena iz stekla z dodanimi zlatimi nanodelci, ki izvira še iz
rimskih časov. Čaša se zdi zelenkaste barve, kadar je osvetljena od zunaj –
svetloba se torej odbije – in rdečkaste barve, kadar je osvetljena od znotraj,
torej da svetloba potuje skozi steklo čaše. Lastnost je posledica površinskih
plazmonov na površini zlatih delcev [21].
Odziv optičnega metamateriala na elektromagnetno valovanje, ki ima
valovno dolžino veliko večjo od razdalj med gradniki materiala in njihovih
velikosti, lahko opǐsemo z dielektričnostjo in permeabilnostjo, ki predsta-
vljata efektiven odziv sistema. Svetloba ima veliko večjo valovno dolžino od
strukture zlatih delcev v steklu Likurgove čaše, zato vidimo samo efektiven
odziv snovi – torej zeleno ali rdečo barvo. V takem primeru si torej nehomo-
gen material lahko predstavljamo kot homogenega in njegov odziv opǐsemo z
ε in µ. Prednost teh optičnih metamaterialov je, da z ustrezno oblikovanimi
osnovnimi gradniki lahko dosežemo optične lastnosti, kakršnih ne zasledimo
pri običajnih materialih. Med drugim lahko v določenem – praviloma ozkem
– frekvenčnem območju dosežemo hkrati negativne vrednosti ε in µ [15, 12].
Električni odziv materiala
Podobno kot plazmo sestavlja plin nabitih delcev (ionov in elektronov) so
v kovini prosto gibajoči se elektroni, zato se lahko odvisnost dielektrične
konstante kovine opǐse z odvisnostjo dielektričnosti plazme,
ε(ω) = 1−
ω2p
ω2
, ω2p =
ρe2
ε0me
, (11)
kjer je ωp plazemska frekvenca, ρ številska gostota elektronov, e osnovni
električni naboj in me masa elektrona. Iz frekvenčne odvisnosti dielektrične
konstante iz enačbe (11) opazimo, da je za ω < ωp, dielektričnost negativna
(slika 6).
Za kovine je plazemska frekvenca navadno v ultravijoličnem frekvenč-
nem območju [12]. Iz odvisnosti ωp vidimo, da lahko plazemsko frekvenco
zmanǰsamo, če zmanǰsamo številsko gostoto elektronov ali povečamo nji-
hovo efektivno maso. Zahtevano lahko dosežemo z oblikovanjem materiala,
sestavljenega iz prepleta efektivnih »žic«, ki so lahko organizirane v mrežo
[12]. Elektronska gostota je tako efektivno močno zmanǰsana v primerjavi
s celim kosom kovine, saj se elektroni nahajajo le v žicah, med katerimi je
136–152 145
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 146 — #11 i
i
i
i
i
i
Linda Bitenc in Miha Ravnik
Slika 6. Shema frekvenčne odvisnosti dielektrične konstante plazme.
veliko praznega prostora.
ρeff =
ρπR2
A2
,
pri čemer je ρ elektronska gostota v žicah, A razdalja med žicami in R
njihov polmer. Poleg tega je efektivna masa elektronov povečana zaradi
lastne induktivnosti žic [12]
meff = ln
(
A
R
)
µ0e
2πR2ρ
1
2π
.
Če so žice tanke in razmaki med njimi primerno veliki, na primer nekaj
mikronov za radij žice in nekaj milimetrov za razmake med njimi, lahko
znižamo plazemsko frekvenco na mikrovalovno območje [12]. Struktura,
prikazana na sliki 7, se tako efektivno obnaša kot redka plazma.
Resonanca v odzivu metamateriala pa nam lahko omogoči večji odziv
materiala v okolici resonančne frekvence, zato se danes široko raziskuje
različne geometrije optičnih metamaterialov. Znan primer so periodično
urejene žice s prekinitvami, katerih dielektrični odziv se opisuje z Drude-
Lorentzovim modelom [10],
ε(ω) = 1−
ω2p − ω20
ω2 − ω20 + iωΓ
,
kjer Γ predstavlja izgube, ωp (plazemska frekvenca) in ω0 (resonančna fre-
kvenca) pa sta določeni zgolj z geometrijskimi parametri na enak način, kot
je bilo predstavljeno na primeru materiala, ki je prikazan na sliki 7. Za
146 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 147 — #12 i
i
i
i
i
i
Nevidnost
Slika 7. Metamaterial sestavljen iz tankih neskončnih žic, urejenih v osnovno kubično
mrežo.
Slika 8. Primer frekvenčne odvisnosti realne in imaginarne komponente dielektričnosti pri
določeni vrednosti parametrov Γ in ωp (Γ/ω0 = 0,2 , ωp/ω0 = 3).
ω0 < ω < ωp je realni del dielektričnosti negativen (slika 8). S spreminja-
njem resonančne frekvence preko spreminjanja materialnih in geometrijskih
parametrov se lahko torej nastavlja frekvenčno območje, kjer je dielektrič-
nost negativna.
Z Drude-Lorentzovim modelom lahko razložimo tudi, zakaj v naravi ni
znanega materiala z negativnim lomnim količnikom. Odziv snovi določajo
elektroni, vezani v harmonskem potencialu z resonančno frekvenco ω0. Tako
vezani elektroni se obnašajo kot harmonski oscilatorji, ki jih vzbuja oscili-
136–152 147
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 148 — #13 i
i
i
i
i
i
Linda Bitenc in Miha Ravnik
rajoče električno polje. Pri frekvencah elektromagnetnega valovanja pod
resonančno nihajoči elektroni lahko sledijo polju in posledično inducirana
polarizacija kaže v smeri polja. Podobno kot relativni odmik glede na smer
vzbujanja pri klasičnem harmonskem oscilatorju, v vzbujanem dielektriku
inducirana polarizacija nad resonančno frekvenco elektromagnetnega valova-
nja spremeni predznak. Nad resonančno frekvenco, in hkrati v njeni bližini,
je odziv materiala torej negativen [10].
Resonančne frekvence dielektričnosti se navadno pojavljajo pri relativno
visokih frekvencah, na primer za kovine v optičnem frekvenčnem območju,
medtem ko so resonance v magnetnih sistemih praviloma pri nižjih frekven-
cah [10]. Negativna dielektričnost in permeabilnost se torej značilno ne
pojavljata v enakem frekvenčnem območju, kljub temu da bi v splošnem
fizikalne zakonitosti dovoljevale obstoj takega materiala [10].
Magnetni odziv materiala
Magnetni odziv tipičnih materialov (na primer kovin) pri frekvencah nad
GHz območjem praviloma postane majhen [7], zato potrebujemo umetno
oblikovane materiale, pri katerih je magnetni odziv prisoten tudi pri vǐsjih
frekvencah.
Magnetni odziv lahko dosežemo s tokovno zanko, podobno kot so pri
naravnih materialih magnetne lastnosti pogosto posledica tokov zaradi kro-
ženja elektronov (spin). Tok po zanki lahko ustvarimo s pomočjo indukcije.
Induciran tok v izbranem metamaterialnem gradniku je navadno (pre)šibek
in sledi, da je šibek tudi magnetni moment zanke. Strukturo zato preo-
blikujemo tako, da dobimo resonančno obliko odziva in posledično veliko
večji odziv v okolici resonančne frekvence. Primer resonančne strukture z
magnetnim odzivom so tako imenovani resonatorji z razcepljenim obročem
(split ring resonators) oz. s kratico SRR, ki so v prikazani geometriji se-
stavljeni iz dveh zank, ki sta na nasprotnih straneh prekinjeni, kot lahko
vidimo na sliki 10. Struktura ima tako induktivnost kot kapacitivnost in se
efektivno obnaša kot nihajni krog z resonančno frekvenco ωmag0 =
√
1
LC [7].
Resonančno odvisnost permeabilnosti lahko vidimo na sliki 9.
Primer materiala z negativnim lomnim količnikom
Poglejmo si sedaj primer materiala, ki združuje strukturo sestavljeno iz
SRR (za magnetni resonančni odziv) in mreže žic (za električni resonančni
odziv). Pri samem oblikovanju materiala je pomembno, kako sestavimo
posamezne enote v dvo- ali tridimenzionalno strukturo, da bomo dosegli čim
večji magnetni odziv. Za čim večjo magnetno aktivnost materiala morajo
biti elementi zloženi tako, da bodo prestregli čim več magnetnega pretoka
[12].
148 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 149 — #14 i
i
i
i
i
i
Nevidnost
Slika 9. Shema resonančne odvisnosti re-
alne in imaginarne komponente perme-
abilnosti magnetnega materiala, prikaza-
nega na sliki 10, od frekvence.
Slika 10. Shema optičnega metamateriala,
sestavljenega iz resonatorjev z razcepljenim
obročem.
Primer optičnega metamateriala, oblikovanega za mikrovalovne frekven-
ce, je prikazan na sliki 11. V tem frekvenčnem območju je z upoštevanjem
ustrezne geometrije potrebna značilna velikost vzorca materiala velikostnega
reda 1 cm, medtem ko bi morali biti SRR za resonanco pri optičnih fre-
kvencah velikostnega reda 100 nm, kar je veliko težje doseči [7]. Slabost
metamaterialov s kovinskimi strukturami, pri katerih želene odzive materi-
ala dobimo s pomočjo pojavov povezanih s prostimi elektroni v kovini, je,
da so izgube zaradi absorpcije zelo velike. Danes se zato široko razvijajo
vsedielektrični metamateriali [4].
Slika 11. Metamaterial z negativnim lomnim količnikom v mikrovalovnem frekvenčnem
območju. Značilna velikost strukture je velikostnega reda 1 cm [15].
136–152 149
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 150 — #15 i
i
i
i
i
i
Linda Bitenc in Miha Ravnik
Eksperimentalna realizacija ogrinjala nevidnosti
Eksperiment, s katerim so po teoretičnih napovedih poskušali realizirati ogri-
njalo nevidnosti, so izvedli leta 2006 [13]. Izbrali so cilindrično geometrijo in
oblikovali dvodimenzionalno ogrinjalo za delovanje v mikrovalovnem obmo-
čju. Za predmet, ki so ga skrili v ogrinjalo, so izbrali prevoden valj. Trans-
formacija prostora je podobna tisti, ki smo jo predstavili v poglavju Primer
ogrinjala nevidnosti v sferičnih koordinatah, le da moramo tu upoštevati
cilindrično geometrijo. Izbrali so elektromagnetno valovanje polarizirano v
smeri osi z, zato so relevantne komponente ε′z, µ
′
r in µ
′
θ.
ε′z =
( b
b− a
)2 r′ − a
r′
, µ′r =
r′ − a
r′
in µ′θ =
r′
r′ − a
. (12)
Za lažje implementiranje lastnosti materiala lahko izberemo reducirane pa-
rametre, ki opisujejo enako disperzijsko relacijo,
ε′z =
( b
b− a
)2
, µ′r =
(r′ − a
r′
)2
in µ′θ = 1. (13)
Disperzija namreč določa dinamiko valovanja v plašču. Edina omejitev te
izbire je, da transformacija na robu plašča ni več zvezna, iz česar sledi, da
se zaradi neujemajoče impedance na prehodu pojavijo odboji. Ogrinjalo
nevidnosti – torej ustrezno konstruiran optični metamaterial – je prikazano
na sliki 12.
Slika 12. Dvodimenzionalno ogrinjalo nevidnosti, ki deluje v mikrovalovnem frekvenčnem
območju [13].
Parameter µ′r ima radialno odvisnost, zato so SSR orientirani tako, da
njihove osi kažejo v radialni smeri, hkrati pa se s spreminjanjem njihovih
geometrijskih parametrov doseže ustrezne vrednosti ε′z in µ
′
r. Za frekvenco,
150 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 151 — #16 i
i
i
i
i
i
Nevidnost
pri kateri naj bi ogrinjalo delovalo, so izbrali 8,5 GHz, iz česar sledi, da
mora biti λaθ ' 10. Na sliki 13 A vidimo primer simulacije, ki upošteva zve-
zen medij. Na sliki 13 B so pri simulaciji upoštevali reducirane parametre,
nezvezen medij in absorbcijo. Primer C predstavlja sipanje na prevodnem
valju brez plašča, primer D na sliki 13 pa predstavlja dejanski eksperiment
z ogrinjalom. Polja na drugi strani predmeta so oslabljena zaradi absorp-
cije materiala, sicer pa vidimo, da ogrinjalo močno zmanǰsa tako senco kot
odboje [13]. Opisan je eden prvih, če ne prvi primer realizacije, je pa da-
nes to široko aktivno področje raziskav, tako osnovnih kot aplikativnih in
industrijskih [16, 3, 9].
Slika 13. Profil elektromagnetnega valovanja, ki vpada na plašč nevidnosti iz slike 14.
Primera A in B predstavljata simulacijo, primera C in D pa predstavljata eksperiment
[15].
Zaključek
Zmožnost poljubnega usmerjanja elektromagnetnega valovanja bi nam omo-
gočila izvedbo številnih zanimivih optičnih naprav, med katerimi je tudi
ogrinjalo nevidnosti. Odkritje metamaterialov in negativnega loma danes
omogoča, da se z razvojem metamaterialov z majhnimi izgubami in magne-
tno aktivnostjo tudi v optičnem frekvenčnem območju praktične izvedbe
načrtovanih naprav vedno bolj približujejo teoretičnim napovedim. V pri-
spevku smo obravnavali primer uporabe transformacijske optike za načrto-
vanje ogrinjala nevidnosti, poleg tega pa smo predstavili, kako lahko obli-
kujemo materiale z negativnim lomnim količnikom ter kakšne so njihove
lastnosti.
136–152 151
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 152 — #17 i
i
i
i
i
i
Linda Bitenc in Miha Ravnik
LITERATURA
[1] P. Alitalo in S. Tretyakov, Electromagnetic cloaking with metamaterials, Materials
Today 12 (2009), 22–29.
[2] H. Chen, C. T. Chan in P. Sheng, Transformation optics and metamaterials, Nature
Materials 9 (2010), 387–396.
[3] P. Cheben, R. Halir, J. H. Schmid, H. A. Atwater in D. R. Smith, Subwavelength
integrated photonics, Nature 560 (2018), 565–572.
[4] S. Jahani in Z. Jacob, All-dielectric metamaterials, Nature Nanotechology 11 (2016),
23.
[5] U. Leonhardt in T. G. Philbin, General relativity in electrical engineering, New Journal
of Physics 8 (2006), 247.
[6] U. Leonhardt in T. Tyc. Broadband invisibility by non-Euclidean cloaking, Science 323
(2009), 110–112.
[7] Y. Liu in X. Zhang, Metamaterials: a new frontier of science and technology, Chemical
Society Reviews 40 (2011), 2494.
[8] G. W. Milton, M. Briane in J. R. Willis, On cloaking for elasticity and physical equa-
tions with a transformation invariant form, New Journal of Physics 8 (2006), 248.
[9] F. Monticone in A. Alù, Metamaterial, plasmonic and nanophotonic devices, Reports
on Progress in Physics 80, (2017).
[10] J. B. Pendry in D. R. Smith, Reversing light with negative refraction, Physics Today
57 (2004), 37.
[11] J. B. Pendry, D. Schurig in D. R. Smith, Controlling electromagnetic fields, Science
312 (2006), 1780.
[12] J. B. Pendry, Negative refraction, Contemporary Physics 45 (2004), 191.
[13] D. Schurig, J. J. Mock, B. J. Justice, S. A. Cummer, J. B. Pendry, A. F. Starr in D.
R. Smith, Metamaterial electromagnetic cloak at microwave frequencies, Science 314
(2006), 977.
[14] D. Schurig, J. B. Pendry in D. R. Smith, Calculation of material properties and ray
tracing in transformation media, Optics Express 14 (2006), 9794.
[15] D. R. Smith, J. B. Pendry in M. C. K. Wiltshire, Metamaterials and negative refrac-
tive index, Science 305 (2004), 788.
[16] I. Staude in J. Schilling, Metamaterial-inspired silicon nanophotonics, Nature Pho-
tonics 11 (2017), 274–284.
[17] J. Strnad, Fizika 2. del: Elektrika. Optika, Fakulteta za matematiko in fiziko, Lju-
bljana, 2020, 194–200.
[18] V. G. Veselago, The electrodynamics of substances with simultaneously negative values
of ε and µ, Soviet Physics Uspekhi 10 (1968), 509.
[19] L. Xu in H. Chen, Conformal transformation optics, Nature Photonics 9 (2014),
15–23.
[20] The Professor Harry Messel International Science School, Metamaterials and the
science of invisibility – Prof. John Pendry, dostopno na youtu.be/f0iZraLdNuM, ogled
27. 3. 2020.
[21] Lycurgus Cup, dostopno na www.sciencedirect.com/topics/engineering/
lycurgus-cup, ogled 26. 3. 2020.
152 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4