44 Didakta 193 RAZVOJ POJMA ŠTEVILO PRI PREDŠOLSKEM OTROKU / Jasmina Bunšek, mag. prof. predšolske vzgoje / Vrtec Najdihojca, enota Biba, Ljubljana Prispevek izhaja iz vsebine magistrskega dela Razumevanje pojma število pri 3–5-letnih otrocih (2016), ki je nastalo pod mentorstvom dr. Tatjane Hodnik Čadež, Pedagoška fakulteta v Ljubljani. Članek na začetku predstavi, kaj je štetje, od zgodovinskega momenta do njegovih principov. Nato predstavi razvoj štetja pri predšolskem otroku. Razvoj pojma število zajema spoznavanje in ponotranjenje števil v različnih odnosih, poimenovanj za števila in nazadnje načela štetja. Vse dimenzije števil in štetja morajo otroci razumeti, da lahko prav štejejo. Članek v nadaljevanju predstavi, kdaj se začne razumevanje števil in potem predstavi še nekaj raziskav in teoretičnih dognanj, kako otroci osvojijo razumevanje števil. Sledi razlaga, zakaj je za otroke pomembno poznavanje besed števil in kako to vpliva na učenje štetja. ŠTETJE V štetju je prvi smisel števil (Ferbar 1990: 9). Po latinsko pomeni rationem putare šteti. Beseda ratio pomeni odnos med stvarmi in beseda putare pome- ni odžagati ali obrezati drevo. Ko so Rimljani govorili o štetju, so razumeli naslednje: »Opazuj odnos stvari in na- redi zareze v lesu.« Štetje je operacija, ki mnogosti priredi eno. Je povratno enolična preslikava elementov pre- števane množice v množico prvih ne- kaj naravnih števil (prav tam). Štetje pomeni pripisati število, da bi lahko primerjali velikosti različnih sklopov objektov ali dogodkov (Cooke 2007). Proces štetja vključuje odmišljanje po- sameznih individualnih razlik med predmeti, ki jih štejemo, in nato vzpo- rejanje dveh skupin predmetov: ene s predmeti, ki jih štejemo, in druge s predmeti, s katerimi štejemo (Devidé 1984: 20). Štetje je določanje skupnega števila stvari v neki množici, tako da vsako stvar označimo s številom, za eno večjim, kot je število, s katerim smo označili prejšnjo stvar (Knapp in Bass 1999). Štetje je na videz enosta- ven proces, vendar je pravzaprav zelo kompleksno. Poznati moramo dovolj poimenovanj (števil), da lahko prešteje- mo vse predmete, ki jih želimo prešteti (Liebeck 1995). Najmanjše število za štetje je 1. En način za predstavo štetja števil je prazna ravnina s števili kot izmenjujočimi se kamni, začenši z 1, ki se nadaljujejo v neskončno (Cooke 2007). Načela štetja Otrok v predšolskem obdobju veliko šteje, rad zapisuje števila in ugotavlja največje možno število (Hodnik Čadež 2004). Veščina štetja je pogojena z ra- zumevanjem principov. Načela štetja so (Manfreda Kolar 2006): - načelo povratno enoličnega prirejanja, - načelo urejenosti ali ustaljenega vrstnega reda, - načelo kardinalnosti, - načelo nepomembnosti vrstnega reda, - načelo abstrakcije. Prva tri načela pojasnjujejo pravila procesa, kako šteti. Četrto načelo pove, kaj lahko štejemo, peto pa povezuje vsa prejšnja načela (Manfreda Kolar 2006). Načela štetja po Gelmanovi in Gallistelu (Cordes in Gelman 2005) ve- ljajo za besedne in nebesedne situacije. RAZVOJ POJMA ŠTEVILO PRI PREDŠOLSKEM OTROKU Mnoge strokovnjake zanima, kako otroci osvojijo števila in štetje. Gea- ry (1994), meni, da že dveletni otroci redno vključujejo števila v svoje aktiv- nosti. Te vključujejo samotne epizode, kot na primer štetje igrač ali prigriz- kov, kot družabne igre. Starši in otroci vključujejo števila s petjem pesmi, v katerih so tudi števila, s štetjem prstov in z aktivnostmi, ki zahtevajo razu- mevanje edinstvenosti posameznega števila, npr.: »Daj TV na 5. postajo.« Več avtorjev poudarja, da otroka števil ne moremo naučiti s pripovedovanjem. Manfreda Kolar (2006) pravi, da se mo- ramo odrasli zavedati, da otrok samo s štetjem ne usvoji pojma števila, enako dejstvo je poudarjeno tudi v Kurikulu- mu za vrtce (2007). Ponavljanje števil po vrstnem redu v matematiki bi lahko primerjali s ponavljanjem črk v abece- di z branjem, trdi Labinowicz (2010). Odnosi so miselne zgradbe, ki jih ne moremo posredovati zgolj besedno. Besede so lahko uporabne šele takrat, ko otrok preko svojih lastnih izkušenj s predmeti ustvari odnos do njih. Otrok svojega logičnega spoznanja ne prido- bi iz predmetov samih, temveč tako, da se z njimi ukvarja in notranje gra- di svoje dejavnosti, se strinja Piaget (prav tam). »Štetje je ponavljajoča se dejavnost, iz katere otrok postopno izlušči njene ti- pične lastnosti.« (Manfreda Kolar 2006: 15) Ponotranjeno razumevanje načel otroku omogoča, da v svoji okolici prepoznava različne situacije štetja, v katerih ne vidi le nekega nesmiselnega početja, pač pa organizirano aktivnost, katere namen je določiti število sku- pine predmetov (prav tam 2006: 32). Starejši kot je otrok, večja je verjetnost, da šteje pravilno znotraj posameznih pogojev (Cordes in Gelman 2005). Pri soočanju otroka z zahtevami štetja na uspešnost pomembno vpliva kontekst, za katerega je otrok zelo dovzeten (Manfreda Kolar 2006). Kdaj in do koliko znajo otroci šteti? Kako hitro se otroci naučijo šteti, je delno odvisno od številskega sistema njihove kulture (Papalia idr. 2003: 233). Pri številih do deset še ni velikih razlik, pozneje pa so. Na primer, kitaj- ski sistem velja za enostavnejšega od angleškega, saj Kitajci po številu deset štejejo v prevodu deset-ena, deset-dva, deset-tri itd., medtem ko imajo Angleži Didakta 193 45 po številu deset, število ´eleven` in ´twelve`, kar ne predstavlja tako logič- ne strukture kot kitajski sistem (Fayol in Seron 2005). Strokovnjaki so različnega mnenja, pri kateri starosti in do koliko znajo šteti otroci. Majhna števila, tj. od 1 do 4, lahko brez štetja ocenijo že otroci pred prvim letom starosti (Marjanovič Umek 2004). Starkey in Cooper (1980, v Geary 1994) sta ugotovila, da že dojenčki, stari 4–7 mesecev in pol, razlikujejo med dvema količinama dveh od treh predmetov, ne pa štiri od šestih. Wynn (1996, v Cordes in Gelman 2005) je po- dobno ugotovil, da 6-mesečni dojenčki ločijo 2 od 3 poskokov lutke zajčka. Strauss in Curtis (1984, v Geary 1994) sta ugotovila, da 10- do 12-mesečni otroci razlikujejo dva od treh pred- metov, vendar ne štirih od petih. Pod določenimi pogoji je nekaj dojenčkov razlikovalo tri od štirih predmetov. To so ugotavljali tako, da so merili čas gledanja na dva pladnja z različ- nim številom predmetov. Védenje, da se dva predmeta razlikujeta od treh, ni bilo odvisno, ali so bili videni ali slišani. Otroci so sposobni kodirati ali si zapomniti količine do 3 ali 4 predmete, naj bo to na vizualni ali zvočni osnovi. Ti rezultati ne pome- nijo, da dojenčki razumejo na enak način kot predšolski otroci. Pomenijo le to, da so sposobni razlikovati med količinami. Vrstni red usvojenih števil je naraščajoč. Ferbar (1990) predlaga, da štetje otrokom predstavimo z en, dva, tri, mnogo. Izkustveno se mnogo začne s tri. Ni naključje, da imamo v jeziku ednino, dvojino in množino. Wynn (1990, 1992b, v Cordes in Gel- man 2005) je prišel do spoznanja, da razvojno gledano otroci lahko podajo najprej le en predmet, preden lahko podajo dva, in dva, preden lahko po- dajo tri. Wynn (prav tam) pravi, da ko otrok enkrat osvoji štiri predmete, to naj bi bilo pri približno 3 letih in pol, potem razume tudi večje sklope predmetov. V. Manfreda Kolar (2006) in L. Marjanovič Umek (2004) se stri- njata, da otroci med tretjim in petim letom starosti pravilno preštevajo le majhne množice predmetov. Siegler (1998, v Papalia idr. 2003) pa meni, da zna do petega leta večina otrok šteti do dvajset ali več. V. Manfreda Kolar (2006) pravi, da se proces razumevanja številskega sistema pri otroku odvija počasi od približno tretjega leta starosti dalje. Otrokov ra- zvoj koncepta se od zaznavnega do ab- straktnega razvije do približno sedme- ga leta otrokove starosti. L. Marjanovič Umek (2004) meni, da se med tretjim in petim letom zgodi pomemben prehod k razumevanju velikosti števila. Powell in Nurnberger-Haag (2015) menita, da se otroci bistvenih struktur štetja učijo med drugim in šestim letom starosti. Veščina preštevanja je pred razumeva- njem načel, torej otroci znajo prešteva- ti, preden poznajo načela štetja. Otrok pridobi razumevanje proceduralnih načel štetja pri starosti treh let in pol (Manfreda Kolar 2006). Vseeno pa otro- ci prej razumejo načela, kot pa znajo pravilno, torej brez napak, šteti. Razu- mevanje glavnih števnikov se razvojno pojavi pred razumevanjem vrstilnih števnikov (Marjanovič Umek 2004). Kako otroci osvojijo pojem števila? Otrok od poimenovanja posamičnih predmetov postopno preide na štetje. Za tem se razumevanju pojma število približa z razvrščanjem 1-1 (Kurikulum za vrtce, 2007). Sprva otroci uporablja- jo le zaznavne informacije, da združijo enake predmete za štetje. Potem jih klasificirajo skupaj enake po obliki, vendar različne barve, nato predmete, ki se razlikujejo, vendar so enake bar- ve, in tako naprej, dokler ne začnejo za štetje zbirati zelo heterogenih pred- metov (Cordes in Gelman 2005). Otroci najprej premorejo le konkretno razu- mevanje števila, abstraktnega pa ne. Otrok lahko usvoji koncept abstrakcije števila le na osnovi zadostnega števila konkretnih izkušenj, zato bi mu morali omogočiti dodatne konkretne izku- šnje, dokler le-te ne bi izzvale sponta- nega procesa abstraktnega mišljenja (Manfreda Kolar 2006). Beckman (1924, v Manfreda Kolar 2006) je domneval, da otroci najprej štejejo majhne množice in šele po- zneje ponotranjijo vzorce teh množic. Skliceval se je na dejstvo, da otroci glasno štejejo, ko morajo določiti moč majhnih množic. Glasno štetje s sta- rostjo upada. Če bi velikost množic otroci zaznavali intuitivno, bi zadoščal čas ene sekunde, je sklepati iz raziska- ve R. Gelman in M. Tucker (1975, v Manfreda Kolar 2006). Pri preštevanju majhnih množic, od 2 do 5 predme- tov, so bili triletni otroci uspešnejši pri optimalnih pogojih, tj. pri daljšem času, ki so ga imeli na voljo. Zanimivo je tudi, da so bili 4- in 5-letni otroci pri množicah moči 2 in 3 uspešni že po 1 sekundi, pri množicah moči 4 in 5 pa se je njihova uspešnost izbolj- ševala z daljšanjem časa. Kaj to po- meni? Prva interpretacija R. Gelman in Gallistela (1978, v Manfreda Kolar 2006) pravi, da otrok najprej šteje tudi najmanjše množice, s prakso pa si pridobi sposobnost neposrednega zaznavanja množice kot celote. Vendar je ta sposobnost še vedno omejena le na najmanjše množice (moči 2 in 3), pri večjih pa se še vedno poslužuje štetja. Zaznavni procesi po tej razlagi niso več označeni kot procesi nižjega tipa, temveč kot napredna oblika za- znavanja, ki se razvije postopno kot nadomestek in olajšava procesa prešte- vanja predmetov. Druga interpretacija zagovarja dejstvo, da se s starostjo otro- ka hitrost štetja veča. Ne glede na to, katera razlaga je pravilna, je dejstvo, da predšolski otroci majhne množice najprej štejejo, v poznejšem razvojnem obdobju pa štetje nadomestijo z bolj učinkovitim načinom določanja števila predmetov, ki temelji na prepozna- vanju številskih vzorcev. Schaeffer in sodelavci (Manfreda Kolar 2006) to sposobnost navezujejo z otrokovo spo- sobnostjo oblikovanja množic z majh- nim številom predmetov in uporabo kardinalnega pravila na teh množicah. Mehanizem prepoznavanja vzorcev je pogojen tako z velikostjo množice kot tudi z načinom predstavitve množic. Meja, do katere otrok še neposredno zaznava moči konkretno predstavlje- nih množic, je višja od meje, do katere prepozna vzorec v svoji mentalni sliki dogajanja (prav tam). Malo znano je, kako otroci pridobi- jo razumevanje in kako razumejo 46 Didakta 193 konvencionalne aritmetične simbole. Powell in Nurnberger-Haag (2015) sta mnenja, da učenje štetja zahteva uskla- ditev med različnimi reprezentacijami količin. V. Manfreda Kolar (2006) se strinja, da je ustvarjanje povezav med različnimi načini reprezentacij potreb- no, da postane matematika vsebinsko bližja otrokom. Obvladovanje formal- ne aritmetike, torej jezika in simbolov, je tesno povezano s prehajanjem med različnimi načini predstavitev nalog. O pridobivanju otrokovega razume- vanja o pisnih aritmetičnih simbolih Manfreda Kolar (2006) predlaga, da otrokove lastne načine ustvarjanja sim- bolnih zapisov raziščemo s konkretno predstavljenimi nalogami, ki jih mora otrok simbolno ponazoriti. Interpre- tacije številskih simbolov, s katerimi se srečuje v vsakdanjem življenju, pa raziščemo s simbolno podanimi na- logami, ki jih mora otrok prevesti v konkretno ponazoritev. BESEDNO ŠTETJE Besedno šteje je ena izmed prvih otro- kovih izkušenj in spoznanj o številu (La- binowicz 2010). Pimm (1995) meni, da ko odrasli sprašujejo otroka po štetju, navadno mislijo na besedno štetje, saj jih ne zanima, ali znajo določiti, koli- ko objektov določene vrste je v zbirki predmetov, ampak ali lahko ustvari- jo pravilen določen nabor govorjenih zvokov v pravem vrstnem redu. Besede števil so besede, vendar so posebne po tem, da jih tvori urejenost in tesno strukturirana zbirka. Možno je šteti predmete ali samo šteti, kar pomeni šteti na glas in v pravem vrstnem redu. Zadnjo vrsto štetja pogosto uporabljajo otroci v igrah, v otroških pesmih ali kot nekaj, kar se navadijo/naučijo do obvladovanja. Besedno štetje začnejo otroci usvajati med drugim in tretjim letom in se razvija še nekaj let. Veliko 2,5-letnih otrok loči besede števil od drugih opi- snih besed. Otroci takrat praviloma še ne uporabljajo standardnega vrstne- ga reda števil – npr. otrok reče »tri, pet«, da prešteje dva predmeta. Vča- sih otroci te starosti celo uporabljajo črke za štetje. Otrok te starosti razume, da različna imena števil predstavljajo različne količine in da je njihovo zapo- redje pomembno (Geary 1994). Otroci morajo prvih nekaj poimenovanj števil povezati bodisi z zaznavno reprezen- tacijo bodisi z neverbalno reprezen- tacijo natančno določene količine za določeno majhno število (Cordes in Gelman 2005). Nekateri teoretiki so mnenja, da otro- kove prve besede štetja nimajo nume- rične vrednosti (Cordes in Gelman 2005). Piaget (Labinowicz 2010) meni, da lahko ta zmožnost besednega štetja odrasle zavede k sklepanju, da otrok, ki zna šteti, tudi razume pojem števila. Sodobna generacija otrok razodeva veliko zmožnost besednega štetja. Pri tem ne smemo spregledati otrokove zmožnosti le majhnega razumevanja, čeprav pri štetju zelo dobro posnema odrasle. Golo naštevanje števil, brez prisotnih resničnih predmetov, je de- javnost brez smisla, doda Piaget (Labi- nowicz 2010). Fayol in Seron (2005) po drugi strani trdita, da ima besedno šte- tje vrednost. Med otrokovim razvojem se zgodi, da razume več imen za števila in jih povezujejo s kardinalnostjo, ne vedo pa, katero ime povezati s katero množico. V besednem štetju ni ničesar, na kar bi se lahko oprli. Npr. v besedi ‚pet‘ ni ničesar, kar bi se nanašalo na kardinalno vrednost števila. Ime ne nosi nobene informacije o povečanju števila, npr. da je pet, ki sledi po šti- ri, za eno enoto več. Zato navajanje kardinalnih vrednosti brez dvoma predstavlja najtežje rešljiv problem za otroke med 18. meseci in štirim ali petim letom starosti. Sposobnost prepoznavanja enakosti je pri številih ključna sposobnost, ki predpostavlja sposobnost prepoznavanja sklopov ek- vivalentov, čeprav se razlikujejo šte- vilne dimenzije, razen kardinalnosti. Literatura: Cooke Heather (2007) Mathematics for Primary and Early Years, Developing Subject knowlege, second edition. Los Angeles, London, New Delhi, Sin- gapore: SAGE Publications. Cordes, S. in Gelman, R. (2005) The young numerical mind: When does it count? V: Campbell Jamie I. D. (ur.), Handbook of Mathematical Cognition, str. 127–142. New York in Hove. Psychology Press. Devidé Vladimir (1984) Matematika skozi kulture in epohe. Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRC. Fayol, M. in Seron, X. (2005) About Nu- merical Representations V: Camp- bell Jamie I. D. (ur.), Handbook of Mathematical Cognition, str. 3–22. New York in Hove. Psychology Press. Ferbar Janez (1990) Štetje. Novo mesto: Pedagoška obzorja. Geary David C. (1994) Children‘s Mathe- matical Development: Research and Practical Applications. Washing- ton: American Psychological Association. Knapp Brian in Bass Colin (1999). Števila. Murska Sobota: Pomurska založba. Kurikulum za vrtce: predšolska vzgoja v vrtcih (2007) Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport in Urad Republi- ke Slovenije za razvoj šolstva. Labinowicz Ed (2010) Izvirni Piaget. Mišljenje – Učenje – Poučevanje. Lju- bljana: Državna založba Slovenije. Liebeck Pamela (1995) Kako djeca uče matematiku: metodički priručnik za učitelje razredne nastave, nastav- nike i profesore matematike. Zagreb: Educa. Manfreda Kolar Vida (2006) Razvoj pojma število pri predšolskem otro- ku. Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta. Marjanovič Umek Ljubica (2004) Ra- zvojna psihologija. Ljubljana: Znan- stvenoraziskovalni inštitut Filozof- ske fakultete. Papalia Diane E., Olds Sally Wendkos in Feldman Ruth Dusin (2003) Otro- kov svet: otrokov razvoj od spočetja do konca mladostništva. Ljubljana: Educy. Pimm David (1995) Symbols and mea- nings in school mathematics. London and New York: Routledge. Powell Sarah R., Nurnberger-Haag Julie (2015) Everybody Counts, but Usual- ly Just to 10! A Systematic Analysis of Number Representations in Children’s Books. Early Education and Development, letn. (2015) 26: 377–398. London and New York: Routledge.