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C/

GEORGS FREIHERO V0\

LOGARITHMISCH-TRIGONOMETRISCHES

HANDBUCH.

VIERUNDZWANZIGSTE AUFLAGE

, ODER

SECIISTER ABDRUCK DER NEUEN STEREOTY!’■ Al SGABE.

HERAUSGEGEBEN

V 0 N

D R . i  A. HCLSSE.

J  *— - -

LEIPZIG

WEIDMANN’SCHE BUCHHANDLUNG.

1843. .

2A3 .1^4- 2uha^ i  24

H 1».

.

*- < -'■.<4 ■••’

Dr. ALBIN VVEDAM, dipl. ing.

profesor

FAKULTETA ZA ELEKTROTEHNIKO

61000 LJUBLJANA, JUGOSLAVIJA

Tržaška 25

Tel.: + + 38 (061) 261 342

Telex: 31573

61000 LJUBLJANA

Igriška 12

Tel.: 224 646

VORR ED E.

Dei <ler neuen Stereotypenansgabe , deren Anordnung der Unterzeichnete in
Folge einer Aufforderung der Verlagshandlung unternahin , wurde das Princip
festgehalten, den Ueberrest lateinischer Ueberschriften , welcher in der friiheren
Ausgabe zuriickgeblieben war, zn entfernen, ferner, obne die Hauptsachen we-
sentlich zu verandern, nur das aufzunehmen, was durch den Titel gerecht-
fertigt wird, und das, was enlweder in ein Lehrbuch der Mathematik gehiirt,
oder ohne zu grosse Vermehrung des Volumens nur unvollstandig gegeben
verden kann, durch Angeinesseneres zu ersetzen. Der Unterzeichnete nahm
keine Aenderung vor, ohne sich des Rathes competenter Beurtheiler zu hedie-
nen, und hiilt es fiir eine besondere Begiinstigung , dass Herr Hofrath Gauss
in Gbttingen nicht nur den Abdruck seiner bekannten Tafeln crlaubte, sondern
auch deren Anvvendung zur Auflosung der quadratischen Glei-
chungen durch die am Schlusse der Einleitung befindliche Anweisung eigen-
handig erliiuterte.

In Bezug auf neu Hinzugekommenes ist ausser den eruiihnten Tafeln zur
Bcrechnung der Logarithmen von Summen und Differenzen solcher Zahlen, die
| selbst nur durch ihre Logarithmen gegeben sind, anzufiihren, dass die der 0
, nahe liegenden Logarithmen der Zahlen von 100000 bis 107999 am Ende von
Taf. I,, nach dem Vorgange von Babbage und Andcren, achtstellig aufgefiihrt
wurden, was besonders fiir Zinseszinsrechnungen von Vortheil ist, und dass
die Logarithmen der Sinus und Tangenten fiir kleine Winkel von O°bis 1°32'
von Secunde zu Secunde aufgenommen worden sind, was wohl keiner weiteren
Rcchtfertigung bedarf.

Zu den Hiilfstafeln, durch welche die freien Seiten am Ende von Taf. I.
und II. ■■efiiiit werden, ist nichts zu bemerken, als dass die in den friiheren
Aus^aben am Ende der Tafel I. stehenden Logarithmen haufig vorkommender
Zahlen an das Ende der Tafel III. auf das letzte Blatt der gesammtcn Tahellen
verwiesen vurden wodurch das Auflinden derselben erleichtert werden wird.

IV V O H K E D E .

Die in den friiheren Ausgaben im Anhange bcfindlidien Mass- und Ge-
wichtstabellen mussten, da die neue Ausgabe obne PreiserJiohung sclion uiti
melir als vier Bogen stiirker gevvorden ist als die alte, fiir eine grossere Ta-
bellensaininlung vorbehalten werden, welche als ausfiihrlicheres Werk in Jah-
resfrist folgcn wird. Diese griissere Tabellensainnilung wird auch die Gaussische
I Tafel mit den von ihrein Verfasser in der Einleitung angedeuteten drči neuen
Celumnen vermehrt enthalten.

Fiir gTosste Correctheit der neuen Ausgabe ist alle mir mogliche Sorgfalt
angewendet vvorden, und es kiinnen nanientlich die dankenswerthen Bemiihungen
des Herrn Dr. Brandes und des Herrn Dr. Midi a el is nicht mit Stillsehwei-
gen iibergangen werden. Bei wiederholter Durchsicht wurden mehrere in den
friiheren Ausgaben befindliche Fehler entdeckt, von denen die auf die Recli-

Leipzig, den 1. Juli 1839.

Dr. J. /i. Hillsse.

EINRICRTUAG UND GERRAIIGH DER TAIELV.

TAFEL I.

Einrichtung der Tafel.

Diese Tafel enthalt die gemcinen oder
briggischen Logarithmen aller ganzen Zah-
len von 1 bis 99999 mit 7 und von 109000
bis 107999 mit 8 Decimaistellen. Auf Seite
2— 5 stehen in der mit N iiberschriebenen
Columne die Zahlen von 1 bis 999 und da-
neben in der mit Log. iiberschriebenen Co¬
lumne ihre vollstandigen Logarithmen (Cha-
racteristik und Mantisse). Von Seite 6 an
ist die leicht zu erganzende Characteristik
der Logarithmen vveggelassen und die Ta¬
belle mit doppeltem Eingange versehen.

Von Seite 6—185 stehen in der ersten
mit N iiberschriebenen Columne der Ord-
nung nach alle Zahlen von 1000 bis 9999,
in der mit 0 iiberschriebenen zvveiten Co¬
lumne ihre Logarithmen; die 3. bis 11. Co¬
lumne, vvelche mit 1,2... 8, 9 iiberschrie-
ben sind, enthalten die vier letzten Stellen
der Logarithmen derjenigen funfstelligen Zah¬
len, deren 4 erste Ziffern auf gleicher Zeile
in der ersten Columne links stehen und de¬
ren funfte Ziffer die Columnen-Ueberschrift
bildet; die drei ersten Stellen dieser Loga¬
rithmen, vvelche fiir eine grossere Anzahl
auf einander folgender Logarithmen gleich
bleiben, sind nur in der zvveiten mit 0 iiber¬
schriebenen Columne angefuhrt, und cs
gehoren jedesmal diese 3 ersten Stellen zu
allen neben und unter ihnen stehenden vier-
stelligen letzten Theilen der Mantissen, so
vvie auch zu den unmittelbar iiber ihnen
stehenden, welche mit einem Sternchen (*)
versehen sind. Ausserdein enthalt jede Seite

rechts eine besondere mit P. P. (partes pro-
portionales, Proportionaltheile) und Diff.
bezeichnete Abtheilung, die zur Bestimmung
der Logarithmen dient, welche zvvtschen
die in der Tabelle aufgenommenen fallen;
es sind hier die Proportionaltheile aufge-
fiihrt, welche zu den in der Tabelle ste¬
henden Logarithmen bei einem bestimmten
Unterschiede zvveier Logarithmen zuzusetzen
sind, wenn die zugehorige Zalil in der 6.
und 7. Stelle noch eine geltende Zilfer be-
sitzt. Die unter einander stehenden Ziffern
1 — 9 bezeichnen daher die sechste Stelle der
Zahl, die daneben stehendenZahlendic auf die-
selben fallendenProportionaltheile fiir die iiber
ihnen stehende Diffierenz zvveier in der Ta¬
belle hinter einander folgenden Logarithmen.

Von Seite 186—201 hat die Tafel eine
ganz ahnliche Einrichtung, nur mit dem
Unterschiede, dass hier in der mit N iiber¬
schriebenen Columne funfstellige Zahlen ste¬
hen, dass die Columnentitel 0. ..9 die sechste
Stelle der Zahlen ausmachen, dass die Man¬
tissen der Logarithmen in zvvei Theile zu
4 Stellen zerlegt sind, von denen die unter
der Columne 0 stehenden 4 ersten ebenso
vvie fruher zu einer grosseren Anzahl nach-
folgender gehoren, und dass sich bei den
Proportionaltheilen die unter einander ste¬
henden Ziffern 1...9 auf die siebente Stelle
der Zahl beziehen.

Auf jeder Seite ist ubrigens von S. 6
an als Ueberschrift bei N die erste auf ihr
stehende Zahl. bei L der Anfang des er¬
sten auf ihr vorkommenden Logarithmus zur
Erleichterung des Aufschlagens angefuhrt.

VI EINRICHTUNG UND GEBRAUCH DER TAFELN.

Aufsuchen des Logarithmus filr
einen gegebenen Zdhlicerth.

1) Hat die Zahl vveniger als 4 Stel¬
len, so suche man sie auf Seite 2 — 5 in
der Columne N auf, der in der Columne
Log. daneben stehende Logarithmus ist dann
ohne alle Aenderung der zn ihr gehorige,
wenn die Zahl nur aus Ganzen ohne Deci-
malbruch bestand , z. B.

log. 62 = 1. 792 3917,
log. 240 = 2.3802112,
log. 989 = 2. 995 1963.

Befinden sich aber unter den Stellen der
Zahl eine oder mehrere Decimalstellen, so
vvird nach der Regel , dass zn einer und
derselben Aufeinanderfolge von
Ziffern einer Zahl auch eine und
dieselbe Mantisse ge h ort, die Zahl
in der Columne N so aufgesucht, als ent-
hielte sie kein Decimalzeichen, und bei dem
zugehorigen Logarithmus unter Log. nur
die Characteristik nach der Regel geandert,
dass die Characteristik eines Lo¬
garithmus um eine Einheit kleiner
ist, als die Anzahl ganzer Stellen
in der zugehorigen Zahl; z. B.

log. 6.2 = 0.792 3917,
log. 54.7 = 1.737 9873 ,
log. 8.97 = 0.952 7924.

2) Hat die Zahl 4 Stellen , oder bei
mehr Stellen von der 5ten an lauter Nul-
len, so sucht man die vierstellige Zahl in
der ersten Columne auf Seite 6 — -185 aut
und findet daneben in der mit 0 uberschrie-
benen Columne die siebenstellige Mantisse,
zu welcher die Characteristik nach der oben
angegebenen Regel zugesetzt werden muss;
z. B.

log. 1193 = 3.076 6404,

log. 5636 = 3.750 9710,

log. 318300 = 5. 502 8366 ,

log. 48760000 = 7. 688 0637.

Sollten von den 4 Stellen der Zahl eine
oder mehrere Decimalstellen sein, so hat
dies, vvie vorher, keinen Einfluss auf die
Mantisse und nur die Characteristik ist nach
der Anzahl der Stellen, welche die Ganzen
der Zahl haben, zu andern; z. B.

log. 11.93 = 1.076 6404,
log. 5.636 = 0.750 9710,
log. 318.3 = 2. 502 8366.

Die Logarithmen 1-, 2- und 3stelliger
Zahlen kann man ebenfalls auf Seite 6 —185
finden, sobald man diese Zahlen durch An-
hangung von Nullen zu 4stelligen Zahlen
erganzt ; so steht z. B bei 4800 auf Seite 82
dieselbe Mantisse (681 2412) , vvie bei 48
auf Seite 2 und vvie bei 480 auf Seite 3,
und man kann daher den log. 48 oder log.
480 ebenso gut auf Seite 82 abnehmen als
auf Seite 2 und 3, vvenn man nur die Cha¬
racteristik der Stellenzahl gemass einrichtet.

3) Hat die Zahl 5 Stellen oder von der
6ten Stelle an nur Nullen, so suche man
die 4 ersten Stellen, vvie vorher , auf und
gehe auf der entsprechenden Zeile in die
Columne ein, vvelche mit der 5ten Stelle
der Zahl uberschrieben ist; hier findet man
die 4 letzten Stellen der Mantisse des zu¬
gehorigen Logarithmus, die 3 ersten Stel¬
len stehen in der mit 0 uberschriebenen
Columne entvveder in derselben Zeile, oder
ineistentheils eine oder einige Zeilen hoher,
oder, vvenn die 4 letzten Stellen mit einem
Sternchen (*) versehen sind, eine Zeile tie-
fer. Die Characteristik ist naturlich vvieder
nach der Anzahl der Stellen zu bestimmen,
vvelche die Ganzen der Zahl ausmachen;
z. B.

log. 48314 = 4.684 0730,

tog. 61926 = 4. 791 8730,

log. 74305 = 4.871 0180,

log. 10429 = 4.018 2427,

log. 2192600 = 6. 340 9594.

Auch hier gilt das fruher ervvahnte Ver-
fahren, vvenn einige Stellen der Zahl De¬
cimalstellen sind, so dass z. B. vvird
log. 7.4305 = 0.871 0180.

Funfstellige Zahlen , vvelche zvvischen
10000 und 10800 liegen, konnen auch von
Seite 186 — 201 aufgesucht vverden, wo
man die Sstellige Mantisse ihres Logarith¬
mus unter der Columne 0 findet; so ist fiir
eines der vorigen Beispiele

log. 10429 = 4. 0182 4267.

4) Ist die Zahl 6stellig oder mehrstellig
mit Nullen von der 7. Stelle an , so suche
man zu den 5 ersten Stellen den Logarith¬
mus vvie vorher, bestimme den Unterschied
des so gefundenen Logarithmus und des
darauf folgenden, nehme von den unter die-
sem Unterschiede (in der Abtheilung P. P.)
stehenden Proportionaltheilen denjenigen,
vvelcher neben der mit der 6. Stelle

EINRICHTUNG UND GEBRAUCH DER TAFELN.

X

trachte die bei ihm stehende Ziffer eben-
falls als Ote Stelle der zu suchenden Zahl,
ziehe den gefundenen Proportionaltheil von
der vorher gefundenen Differenz ab, suche
das Zehnfache dieses Unterschiedes eben-
falis unter den Proportionaltheilen und
schreibe die Ziffer, welche bei dem am
nachsten liegenden grosseren oder kleineren
Proportionaltheile steht, als 7te Stelle der
gesuchten Zahl an. Die Characteristik des
Logarithmus bestimnit auch hier, wie vor-
her, den eigentlichen Werth der fur die
Mantisse gefundenen Ziffernfolge. Es sei
z. B. der Logarithmus 3.503 5701 gege-
ben, so gelten nach Seite 49

fur 503 5592 die Ziffern 31883.

gegeben 5701

Differenz 109, wofur bei 136 steht 8

folglich die gesammte Ziffernfolge 318838
und num. (log. — 3.5355701) — 3188.38.

Ist ferner der Logarithmus 0.2870326
gegeben, so ist nach Seite 24 zu setzen
fur 2870175 ....... 19365..

gegeben 0326

Differenz 151

fiir 134 (bei Diff. 224) . . 6.

fur 170.8

folglich die gesammte Ziffernfolge 1936568
und num. (log. = 0.287 0326) = 1.936568.

Es kann sich auch treffen, dass fur eine
unter den Proportionaltheilen aufzusuchende
Differenz, wenn diese niimlich kleiner als
der kleinste angegebene Proportionaltheil ist,
die Ziffer 0 gilt; z. B. ist der Logarithmus
8. 789 6307 gegeben, so gilt nach Seite 109
fur 789 6301 . 61607..

gegeben 6307

fur die Differenz 6 (bei 70) ... 0.

fur 60.9

folglich die gesammte Ziffernfolge 6160709
und num. (log. = 8.789 6307) = 616070900.

Wollte man auf ahnlichc Art noch die
8te Ziffer bestimmen, so vvurde die Rich-
tigkeit derselben der Ausdehnung der Ta-
feln zufolge nicht verburgt werden konnen.
Liegen aber die 4 ersten Stellen der Man¬
tisse des Logarithmus zvvischen 0000 und
0334, so kann die Zahl von S. 186—201
auf eine dem Vorhergehenden vollkommen
analoge Art bis auf 8 Stellen ganz richtig
gefunden werden.

3) Ist ein Logarithmus gegeben, wel-
cher eine positive Mantisse und eine nega¬

tive Characteristik enthalt, so suche man
fur seine positive Mantisse, wie vorher, die
zugehorige Ziffernfolge, setze so viele Nul-
len vor dieselbe, als negative Einheiten
vorhanden sind, und trenne die erste Nuli
von den iibrigen durch das Decimalzeichen.
Hat der Logarithmus ausser der negativen
Characteristik auch noch eine kleinere po¬
sitive, so bringe man ihn erst durch gleich-
massige Verminderung der positiven und der
negativen Characteristik auf die Form, dass
die positive Characteristik =- 0 vvird; ist
z. B. 2.366 9223 — 4 gegeben, so lasst
sicb dafur setzen 0.366 9223 — 2; fiir die
Mantisse 3669223 gilt die Ziffernfolge
2327675, folglich ist

num. (log.= 0.366 9223 — 2) = 0.0232 7675.

4) Ist zu einem ganz negativen Loga¬
rithmus, z. B. zu — 2.366 9214, die Zahl
zu finden, so kann man denselben betrach-
ten, als sei er von 0, d. h. von log. 1 ab-
gezogen, fiir denselben, als ware er posi-
tiv, den Zahlvverth suchen und denselben
als Nenner unter den Zahler 1 setzen, daher
num. (log. = — 2.3669214) =

1 1000  ■
232.767 232767 5

oder man venvandelt den negativen Loga¬
rithmus durch Subtraction von log. 1, wo
man statt log. 1 nicht 0, sondern die nachst
hohere Characteristik, positiv und negativ
genommen, setzt, in einen Logarithmus mit
negativer Characteristik und behandelt
denselben nach Nr. 3, wo man nicht, wi e
vorher, einen gemeinen, sondern einen De-
cimalbruch erhalt. Auf die letzte Art wird
aus dem angefuhrten Beispiele

3.000 0000 — 3
2,366 9214 _

0.633 0786 — 3.

daher ist num. (log. = — 2.366 9214)
= num. (log. =•= 0.633 0786 — 3)

= 0. 004296142.

Die beiden Hulfsiafeln

auf Seite 202 dienen zur Verwandlung brig-
gischer Logarithmen in naturliche oder um-
gekehrt. Es sei z. B. log. nat. n  zu fin¬
den; da log. n  =0.497 1499 ist, so
wird nach der ersten Hulfstafel zu setzen
sein

EINKICHTUNG UND GEBRAUCH DER TAFELN.

furd.Stellendesbrigg.log. im naturlichen

O    0.
4    0. 921 0340

9    0.207 2327

7.... - 16 1181

1.. .- 2303

4.. - 921

9. - 207

_9 ---21

log. nat. n  = 1. 144 7300,
vvobei die letzte Stelle unsicher ist (richti-
ger ist namlich log. nat. n  = 1.144 7299).

Hatte der briggische Logarithmus eine
negative Characteristik, so miisste dieselbe
vor der Vervvandlung dadurch entfernt
vverden, dass man die angedeutete Sub-
traction aosfiihrt und auch die Mantisse
negativ macht; z. B. aus 0. 791 1485 — 2

XI

vvurde man erst —.1.208 8515 machen und
dami nothvvendig auch einen negativen na-
tiirlichen Logarithmus erhalten.

Soli ferner der naturliche Logarithmus
2.718 2818 in einen briggischen verwandelt
vverden, so ist nach der zvveiten Hiilfstafel
zu setzen

fur d. Stellen d. nat. log. iin briggischen

2.... ....- 0.868 5890

7    0.304 0061

1. ... - 4 3429

8 .... - 3 4744

2... -- 869

8.. - 347

1. - 4

_8 - 3

log. num. (log. nat. = 2.718 2818)

= 1.180 5347.



TAFEL II.

Einrichtung der Tafel.

Auf den Seiten 204 und 205 befinden
sich die in den ersten 7 Decimalstellen noch
nicht von einander abvveichenden Logarith-
men der Sinus, Tangenten und Bogen fur
alle Zehentheil - Secunden der ersten Minute
des ersten Grades.

Auf Seite 206 — 228 sind die Logarith-
men der Sinus und Tangenten fur alle ein-
zelnen Secunden von 0°0' bis 1 < ’32' auf-
gefiihrt, vvelche zugleich die Logarithmen
der Cosinus und Cotangenten aller einzel-
nen Secunden von 88 “ 28 ' bis 90 ’ sind;
um sie in dieser doppelten Bedeutung leicht
auffinden zu konnen, hat die Tabelle zvvei
Kopfe und zvvei Seiteneingange; der obere
Tabellenkopf und die erste oben mit S. und
unten mit " bezeichnete Columne beziehen
sich auf die aufgefuhrten Logarithmen als
Sinus und Tangenten; der untere Tabellen¬
kopf und die letzte unten mit S. und oben
mit " bezeichnete Columne gehoren aber zu
den Logarithmen als Cosinus und Cotan¬
genten betrachtet. Jede Seite enthalt 4
der oben vorvvarts und unten ruckvvarts
zahlenden Minutenspalten und in jeder Mi-
nutenspalte befinden sich (im Sinne des obe-
ren Tabellenkopfes betrachtet) die Loga¬
rithmen der Sinus vollstandig aufgenommen,

vvahrend von den Logarithmen der Tan¬
genten nur die 4 letzten Stellen angegeben
sind. Findet sich kein besonderes Zei-
chen vor, so hat der Logarithmus der
Tangente die 3 ersten Stellen der Man¬
tisse, so vvie die Characteristik mit dem
auf derselben Zeile umnittelbar vor ihm
stehenden Logarithmus des Sinus gemein;
ist dagegen den 4 Stellen ein Sternchen (*)
vorgedruckt, so gehoren zu denselben als
erster Theil die 3 ersten Stellen und die
Characteristik vom Logarithmus des eine
Zeile (oder bei zvvei Sternchen zvvei Zei-
kn) tiefer stehenden Sinus.

Auf Seito 229—264 sind die Logarith¬
men der Sinus, Cosinus, Tangenten und
Cotangenten der ersten 6 Grade von 10 zu
10 Secunden aufgefiihrt; da dieselben zu¬
gleich auch die Logarithmen der 6 letzten
Grade des Quadranten sind, so vverden sie
in dieser doppelten Beziehung vvieder durch
einen doppelten oben und unten angesetzten
Tabellenkopf und eine links abvvarts und
rechts aufvviirts zahlende Minuten - und Se-
cundenspalte ebenso, vvie vorher, hervorge-
hoben. Die mit M. und S. bezeichneten
Columnen enthalten die Minuten und Se¬
cunden fur die oben oder unten angegebe-
nen Grade, die mit Sec. iiberschriebene
Columne von Seite 229—236 zahlt die Se¬

fi*

Xl£ EINRICHTU5IG UND GEBRAUCH DER TAFELN.

cunden vom Anfange an fortlaufend; die
neben Log. Sinus befindliche mit Diff. 1"
bezeichnete Columne gibt mit kleinern Zif-
fern den auf 1 Secunde fallenden mittleren
Unterschied fur den betreffenden Logarith-
mus des Sinus, die mit G. D. 1" bezeich-
nete Columne aber den auf 1 Secunde fal-
Jenden mittleren Unterschied sovvohl fur
Log. Tang., als auch fur Log. Cutang., da
dieseiben einen gleichen Unterschied haben ;
endlich enthalt die auf S. 237 beginnende
Columne D. 1" neben Log. Cosin. den auf
jede Secunde fallenden Unterschied fur Log.
Cosin., vvelcher anfanglich vveggeblieben
ist, da er bei den geringen Differenzen der
auf einander folgenden Logarithmen augen-
blicklich ermittelt vverden kann.

Auf Seite 265 — 303 sind die Logarith¬
men der Sinus, Cosinus, Tangenten und
Cotangenten der VVinkel von 6° — 45°,
vvelche zugleich die Logarithmen der Cosi¬
nus, Sinus, Cotangenten und Tangenten
der Winkel von 45° — 84" sind, nur von
Minute zu Minute aufgefiihrt; mit VVegfall
der Secundencolumnen ist die ganze Ein-
richtung ebenso, wie die vorher beschriebene.

Die Lange der gesammten trigonometri-
schen Linien, vvelche durch die Logarith¬
men der Tafel H. vorgestellt vverden, be-
ziejien sich auf einen JJalbinesser =
10000000000, dessen Logarithmus daher
10 ist.

Anfsuchen einer trigonometrischen
Function fur einen gegebenen VVinkel.

1) Wie auf Seite 204 — 228 fur einen
Winkel eine trigonometrische Function und
umgekehrt gefunden vverden kann, bedarf
keiner Erlauterung; ebenso vvenig der Fali,
vvenn ein Winkel bis 6° oder iiber 84°
bloss durch Minuten und Zehner von Se-
cundeu, oder wenn ein VVinkel iiber 6 ’
und unter 84° bloss durch Minuten ohne
Secunden bestimmt ist.

2) Es sei zu einem VVinkel, welcher
kleiner ist als 1 0  20' und in den Secunden
auch Einer hat, z. B. zu 0° 49' 26", der
Logarithmus des Sinus zu finden; man ver-
wandle durch die mit Sec. uberschriebene
Columne Seite 229-236 sovvohl den zu
findenden VVinkel 0° 49 ' 26", als auch den
nachst kleineren in den Tabellen aufgefiihr-

ten 0» 49'20" in Secunden; man erhalt dann
2966" und 2960"; hierauf suche man in
Taf. I. log. 2966 und log. 2960, ziehe den
letzteren von dem ersteren ab und rechne
die Differenz zu log. sin. 0° 49' 20"; das
Resultat ist (nach dem Satze, dass sich
die Sinus und Tangenten kleiner TVinkel vvie
die zugehorigen Bogen verhalten, folglich
die entsprechenden Logarithmen in einer
arithmetischen Proportion stehen) der ge-
suchte Logarithmus; namlich

log. sin. 0° 49' 20" = 8.156 8517
log. 2966 — log. 2960 = 8794

log. sin. 0“ 49' 26" = 8.157 7311.

Ebenso wird log. tang. 0M9' 26" ge¬
funden ; es ist namlich

log. tang. 0» 49' 20" = 8. 156 8964
log. 2966 - log. 2960 = 8794

log. tang. 0» 49 ' 26" = 8.157 7758.

Beide Resultate kann man direct auf
Seite 218 finden; es ist dort

log. sin. 0» 49 ' 26" = 8.157 7310,
log. tang. 0° 49 ' 26" = 8.157 7759.

Fur log. cot. 0° 49' 26" musste der
namliche Unterschied (log. 2966 — log. 2960)
abgezogen vverden, da die Cotangenten bei
vvachsendem VVinkel abnehmen, daher ist
log. cotang. 0° 49 ' 20" = 11.843 1036
log. 2966 — log. 2960 = 8794

log. cotang. 0" 49' 26" = 11.842 2242.

Solite endlich log. cos. 0° 49' 26" ge¬
funden vverden, so hatte man die Differenz
zvvischen log. cos. 0° 49 ' 20" und log. cos.
0° 49' 30", namlich 3, mit 6 /io zu  multi-
pliciren und, da die Cosinus bei wachsenden
VVinkeln ebenfalls kleiner vverden, das Re¬
sultat von dem in den Tabellen gefundenen
Logarithmus abzuziehen; daher ist

log. cos. 0° 49' 20" ■= 9.999 9553

_ 3 X = _2_
log. cos. 0» 49''26" = 9.999 9551.

3)  Ist der VVinkel grosser als 88° 40',
so findet man fur den Sinus die zu addi-
rende Correction des in den Tabellen ste-
henden nachst kleineren Logarithmus, wie
vorher bei dem Cosinus; es ist z. B.

log. sin. 88° 53' 40" = 9.999 9191

4 X  7io = 1

log. sin. 88» 53' 42" = 9.999 9192.

Fur Cosinus, Tangente und Cotangente
dagegen wird die mit Sec. uberschriebene
Columne ebenso wie bei Nr. 2 benutzt.
Es ist daher

EINBICHTUNG CND GEBRAUCH DER TAFELN. XII?

log. cos. 88“ 53' 40" = 8.285 4310
log. 3980 - log. 3978 = 2183

log. cos. 88“ 53' 42" = 8.285 2127;

ferner

log. tang. 88“ 53' 40" = 11.714 4882
log. 3980 — log. 3978 = 2183

log. tang. 88 “ 53 ' 42" = 11.714 7065;

endlich

log. cot. 88’ 53' 40" = 8.285 5118
log. 3980 — log. 3978 = 2183

log. cot. 88“ 53' 42" = 8.285 2935.

4) Ist fur einen bis auf einzelne Secun-
den bestimmten VVinkel, vvelcher zvvischen
1 “ 20 ' und 88 “ 40 ' liegt, eine trigono-
metrische Function anzugeben, so suche
man die zu dem nachst kleineren VVinkel,
vvelcher noch in der Tafel steht, gehorige
Function und nehme die dabei stehende Dif-
ferenz zvvischen ihr und der zu dem nachst
grosseren gehorigen Function so vielmal, als
die Anzahl der in der Tafel nicht mit ange-
gebenen Secunden betragt; dasProduct vvird
zu der genommenen Function addirt oder
subtrahirt, je nachdem die Function mit
grosser vverdendem Winkel vvachst oder
abnimmt. Z.B. fur log. sin. 10“ 36'25" ist

log. sin. 10» 36' 0" = 9.264 7030
(Diff. = 112.43) X 25 = 2811
log. sin. 10“ 36' 25" = 9.264 9841;

fur log. cos. 10“ 36' 25" ist

log. cos. 10“ 36' 0" = 9.992 5250
(Diff. = 3.94) X 25 = 98

log. cos. 10“ 36' 25" = 9.992 5152;

fur log. cot. 84“ 22' 17" ist

log. cot. 84“ 22' 10" = S. 993 8298
(Diff. = 215.7) X 7 = 1510

log. cot. 84“ 22' 17" = 8.993 6788;

fur log. tang. 84“ 22' 17" ist endlich
log. tang. 84“ 22' 10" = 11.006 1702
(Diff. = 215.7) X 7 =, 1510

log. tang. 84“ 22' 17"= 11.006 3212.

5) Die trigonometrischen Functionen al-
ler Winkel, vvelche grosser als 90° sind,
lassen sich durch die VVinkel zvvischen 0“
und 90“ bestimmen; liegt der VVinkel, z. B.
a, fur vvelchen eine Function zu bestimmen
ist, zvvischen 90“ und 180’, so suche man
dieselbe Function fur 180 — a ; liegt der-
selbe zvvischen 180“ und 270“, so suche
man die entsprechende Function fur a — 180,
und liegt endlich der VVinkel a  zvvischen
270’ und 360“, so suche man die verlangte
Function fur 360 — a.

6) Ist der Logarithmns des Sinus, Co-
sinus, der Tangente oder Cotangente fur
den Halbmesser == 1 zu bestimmen, so
ist von der entsprechenden Function
die Characteristik 10 abzuziehen; z. B.
log. cos. 86“ 27' 20" = 8.7911485 nach
den Tabellen; daher = 8.7911485 —10 =
0.7911485 — 2 fur den Halbmesser = 1.
Mit Hulfe der Tafel I. lassen sich aus den
so erhaltenen Resultaten die naturlichen
Langen der trigonometrischen Linien fur
den Halbmesser = 1 leicht auffinden.

Aufsucken des Winkels zu einer
gegebenen Function.

Man suche den gegebenen Logarithmus
in der Columne auf, vvelche oben oder
unten den Namen der gegebenen Function
hat; steht der Logarithmus selbst in der
Tabelle, so nehme man, vvenn der Name
der gegebenen Function iiber der Columne
steht, die oben angeschriebenen und links
herunter zahlenden Grade, Minuten und Se¬
cunden; vvenn dagcgen der Name der ge¬
gebenen Function unter der Columne steht,
so gelten die unten angeschriebenen und
rechts hinauf zahlenden Grade, Minuten und
Secunden.

Steht der gegebene Logarithmus nicht
selbst in der Tabelle, so suche man am
entsprechenden Orte den nachst kleineren
Logarithmus und nehme den dazu gehori¬
gen Winkel ab, subtrahire dann die in der
Tabelle gefundene Mantisse von der des
gegebenen Logarithmus und dividire den
Unterschied durch die beigeschriebene Dif-
ferenz fur eine Secunde, vvelche fur den
nachst kleineren und nachst grosseren Loga¬
rithmus in den Tabellen statt findet. Die im
Quotienten erhaltenen Secunden sind mit dem
vorher gefundcnen VVinkel entvveder durch
Addition oder durch Subtraction zu verei-
nigen, je nachdem die gegebene Function
(vvie die Sinus und Tangenten) mit dem
VVinkel gleichzeitig vvachst, oder (vvie die
Cosinus und Cotangenten) mit vvachsendem
VVinkel abnimmt. Es sei z. B.

log. cot. x  9.1756843; dann ist
log. cot. 81“ 2 9'0"= 9.1153622

no 3221 (Untersch.)

143.64 (entspr.Diff.)

81“ 28' 37.6" = x.

XIV EINR1CHT11NG LND GEBRACCH DER TAFELN.

Ferncr sel log. sin. .r = 7.934 7679;
dami ist (nachS. 231)
log. 0 « 29 ’ 30 " = 7.933 5428 _

, „ _ 12251 (Untersch.)

2446.7 (entspr.Diff.)

0° 29' 35" = x.

Dasselbe Resultat ergibt sich direct ohne
alle Zwischenrechnung auf Seite 213.

Sollen sehr kleine Winkel, fur welche
die Logarithmen der Sinus oder Tangenten
gegeben sind, bis auf Decimaltheile der
Secunde gefunden vverden, so dient die
Tabelle von Seite 206 — 228. Es sei z. B.

log. sin. x  = 7.882 9921;

dann ist (nach Seite 212)

log. sin. 0» 26' 15" = 7.882 8512
log. sin. x —-log. sin. 0° 26' 15" = 1409
log.sin. 0° 26' 16"—log.sin.0°26' 15" = 2757

x  = 0» 26' 15.51".

Wenn der aufzusuchende Winkel zu dem

gegebenen Logarithmus einer Cotangente
kleiner ist als 1° 32', so kann man, da
log. tang. 4" log. cotang. = 0 oder in den
Tabellen = 20 ist, 20 — log. cotang. in
der Abtheilung von Seite 206 — 228 unter
den Tangenten aufsuchen und dazu den
'Vinkel abnehmen, welcher nun auch der

gcsuchte VVinkel fur die gcgebene cotang.
ist; cin glciches Vcrfahren lasst sich an-
vvenden, wenn zu cinem VVinkel unter 1 0  32'
log. cot. aufzusuchen ist; man sucht nam-
lich auf Seite 206—228 log. tang. und zieht
denselben von 20 ab.

Soli zu einem Logarithmus einer trigo-
nometrischen Function, welche sich auf den
Halbmesser 1 bezieht, der zugehorige
Winkel gefunden werden, so ist zuerst
10.000 0000 zu addiren. Ist dagegen die
naturliche Lange einer tirigonometrischen
Function fur den Halbmesser 1 gegeben,
so ist entvveder in Tafel III. einzugehen
oder fur dieselbe aus Taf, I. der Logarith¬
mus zu suchen, vvelcher dann wie vorher
behandelt wird.

Die Hulfstafel

auf Seite 304, vvelche fur den Halbmesser 1
die Lange des Kreisumfanges bis auf 11
Decimalstellen fur alle Grade von 1 —100
und von da von 10 zu 10 und 30 zu 30
Graden, so wie fur alle einzelnen Minuten
eines Grades und fur alle einzelnen Secun-
den einer Minute enthalt, bedarf keiner
vveiteren Erklarung.

TAFEL III.

auf Seite 305 — 351 enthalt die vvirkliche
Lange der trigonometrischen Linien von
Minute zu Minute fur den Halbmesser 1.
Sie hat vollkommen dieselbe Einrichtung
vvie die vorhergehende Tafel, und bedarf
daher weiter keiner Erlauterung, als in
Bezug auf das Aufsuchen von Cotangenten
zu kleinen Winkeln. Die aufeinanderfolgen-
den Cotangenten solcher Winkel haben nam-
lich zu grosse und zu verschiedene Diffe-
renzen, als dass durch eine blosse Hinzu-
fugung von Proportionaltheilen der Diffe-
renzen die Cotangenten solcher Winkel, die
nicht unmittelbar in der Tabelle stehen,
richtig gefunden werden konnten. Es ist
in diesem Falle der wahre Werth der Co¬
tangente entvveder dadurch zu bestimmen,
dass man in der vorhergehenden Tabelle den
Logarithmus derselben aufsucht und den

zugehorigen Zahlvverth aus Tafel I. abliest,
oder dass man ein vvirkliches Tnterpola-
tionsverfahren anvvendet. Zu dem letzteren
dient die Formel:

C =C — n D  — »C 60 —”)  n, _
” m  60 m  2x60* m

n  (60 — W ) (2X60 —»)  „„ _

‘ 2X3X603 » ■"

in vvelcher C m  die nachst grossere in den
Tabellen noch stehende Cotangente ist,
vvelche zu dem Winkel wi gehort, n  die
Anzahl Secunden bedeutet, um welche der
gegebene Winkel m  +» den noch direct
aufgefiihrten m  iibertrifft, J) m  die bei C m
stehende Differenz, also C m  —  ^m + l 6e-
deutet, und so ahnlich D' m  die entspre-
chende zvveite Differenz oder D — D , ,

•n m Tl
U. s. w.

EINRICI1TUNG IM) GEBRAUCH »ER TAFELN. XV

TAFEL IV.

auf Seite 351—356 gibt fur den Radius 500
die Sehnen aller IVinkel von 0° bis 125°
von 5 zu 5 Minuten bis auf drei Decimal-
stellen an und hat eine leicht zu uberse-
hende Einrichtung. Soli die Sehne eines
nicht durch 5 Minuten aufgehenden VVinkels
angegeben werden, so ist die Differenz
zvvischen der nachst kleineren noch ange-
gebenen Sehne und der nachst folgenden
aufzusuchen und die entsprechenden Pro-
portionaltheile der ersteren zuzurechnen.
Soli z. B. die Sehne zu 97» 8' 15* ge-
funden vverden, so ist nach Seite 355 die
Sehne von

97» 10' = 749.919
97» 5' = 749. 437

0. 482.

Durch die Proportion 5': 3' 15* = 0.482: p
erhalt man die auf den Ueberschuss 3' 15 “
fallenden Proportionaltheile:

pg 9J ? 2 *< 3 --_ 25  == 0.313,
folglich die Sehne zu 97“ 8' 15* =
749.437 -f- 0.313 = 749.750. — Die Ta-
belle dient besonders zur Construction rich-
tiger Winkel mit dem verjungten Maassstabe
und zur Bestimmung der Grosse der Win-
kel, deren Sehnen durch eine 5 Ruthen lange
Kette gemessen wurden.

Die beiden Hulfstafeln
zur Vervvandlung von hunderttheiligem Bo-
genmaasse in sechzigtheiliges und umge ■
kehrt auf S. 357 und 358 bedurfen keiner
weiteren Erlauterung, als dass auf S. 358
bei den Graden und Minuten die letzte
Steile der periodischen Decimalbruche, wc
es nothig gevvesen ware, nicht erhoht vvor-
den ist, um die Periode scharfer hervorzu-
heben.

TAFEL V.

auf Seite 360—423 enthalt alle einfachen
Factoren der durch 2, 3, 5 nicht theilba-
ren Zahlen von 1 bis 102000 und alle Prim-
zahlen unter 102000 mit Ausnahme von
2, 3 und 5. Die durch 2, 3, 5 theilbaren
Zahlen geben sich bekanntlich durch einfache
Merkmale als solche zu erkennen und konn-
ten daher hier vvegbleiben. Gegen das Ende
hin kommen in dieser Tafel zuweilen zur
Ersparung des Raumes die 4 ersten Buchsta-
ben vor, und es ist dann stets

a = 11,

b = 13,

c — 17,

d = 19.

Auf jeder Seite befinden sich zwei mit ver-
schiedenen Ueberschriften versehene Abthei-

lungen; die Ueberschriften einer jeden Spalte
geben die Hunderte der aufzusuchenden
Zahl, die unter Z stehenden Zahlen dage-
gen die beiden letzten Ziffern der zu su--
chenden Zahl an, und es gilt fur irgend
eine Zahl diejenige Steile, wo sich die zu
ihren ersten Stellen gehorende Verticalspalte
mit der zu ihren letzten Stellen gehorenden
horizontalen Zeile schneidet. Stehen an
einer solchen Steile nur Punkte, so ist die
aufgesuchte Zahl eine Primzahl, stehen da-
gegen mehrere durch Punkte getrennte Zah¬
len an dieser Steile, so sind dieselben die
einfachen Factoren dieser Zahl. So ist z. B.
32321 nach S. 380 eine Primzahl, dagegen
hat 32333 die einfachen Factoren 7, 31 und
149, und es ist auch 7x 31X 149=32333.—

XVI EINRICHTUNG IV1> GEBBAUCH DER TAFEEN.

Es mag noch darauf aufmerksam ge-
macht vverden, dass die Logarithmen in der
sechsten Columne, vvelche bis zn A = 0.208
positiv sind, von A <-=  0.209 an negativ
vverden; es ist zieinlich gleichgultig, ob
sie in dieser negativen Form oder durch
ihre Complemente angesetzt vverden; also
z. B. fiir A  = 0.367

entvved.B— A =— 0.21180 od.=9.78820.
So lange die Zusatzcoluinnen noch nicht
in einen Abdruck der Tafeln aufgenommen
sind, richte sich jeder beim eigenen Ergan-
zen nach seiner individuellen Gevvohnung.

Fiir die Anvvendung dieser Zusatzcolum-
nen auf die Auflosung der ijuadratischen
Gleichung

pxx -f" 9 X  + r = 0
selbst mussen vier verschiedene Falle un-
terschieden vverden,. namlich

I. p und r haben gleiche Zeichen und
ist nicht kleiner als 4 ;

99

II. p und r  haben gleiche Zeichen und —
ist kleiner als 4;

III. p und r  haben entgegengesetzte Zei-

pr

chen und — — ist grosser als 2 ;

IV. p und r  haben entgegengesetzte Zei-

pr ,

chen und — — ist kleiner als 2.

99

pr

Der Fali, vvo — — = 2 ist, kann so-
99

vvohl zu lil. als zu IV. gezahlt vverden.

Im Falle II. sind die Wurzeln imaginar,
in den ubrigen erhalt man jede der beiden
VVurzeln auf eine doppelte Art. Durch fol-
gendes Schema ist alles leicht zu ubersehen,
vvobei

gesetzt ist, theils zur Abkiirzung, theils
vveil die Rechnung vvirklich in dieser Form
am beguemsten gefuhrt vvird.

Die Bevveise der Vorschriften vvird je¬
der sich leicht selbst entvvickeln konnen.
Ein Beispiel des Gebrauchs mag zum Ue-
berfluss noch hergesetzt vverden.

Es sei gegeben log. p = 0.69897,

log. q  = 0.84510,
log. r  = 0.77815 n.

Also log. f =  0.14613,

log. g = 9.93305 n,
log. JL) = 9.78692.

Man sieht sogleich, dass hier der Fali
IV. statt findet und also 9.78692 in der
sechsten Columne unter B—A  zu suchen

B—A

9.78820

9.78689

sein wird. Was
ware, ist nur

A

0.367

0.368

Zu B —A

von der Tafel hier nothig
Folgendes:
B
0.15520
0.15489

= 9.78692 gehort also

A =  0.36798 = log. a,

vvoraus log. = 9.77815,
log. g a = 0.30103 n
oder B  = 0.15490 = log. b,

vvoraus log. (— ~b~)  9.77815,

log. (— / 6) •== 0.30103 n. •

d er

gcmeinen oder briggischen

L O G A R I T H M E N

allei

natur lichen Z a h 1 e n

v o n 1 bis 108000.


2

BRIGGISCHEN LOGARITHMEN. 11

N. 12500. -•#> L. 096.

2*

BRIGGISCHEN L0GAR1THMEN. 17

N. 15500. L. 100.

3

liRIGG ISCIIE.V LOGABITHMEN. 21

N. 17500. L. 243.

BKIGGISCHEN LOGABITHMEJV. 23

N. 18500. L. 267.

BB1GGISCHEN EOGABITIIMEN. 25

N. 19500. L. 290.

26 I. TAFEL DER GEMEINE* ODER

N. 20000. L. 301.

BBIGGISCHEN LOGABITHMEM. 27

N. 20500. 4>» L 311.

at*

BBIGGISCHEN LOGABITHMEN. 29

N. 21500. L. 332.

5

BR1GGISCHEN J OGARITHMEN. 37

N. 25500. L. 406.

: - ' •" . -. -

38 I. TAFEL DER GEMEINEN ODER

N. 26000. L. 414.

BRIGGISCHEN EOGARITHMEN. 39

N. 26500. L. 423.

e - o. a  3

6

BRIGGISCHEN LOGARITHMEN. 43

N. 28500. L. 454.

BRIGGISCHEN LOGARITHMEN. 47

N. 30500. L. 484.

7

■3

8*

BBIGG1SCHEN L0GAB1THMEN. 63

N. 38500. L. 585.

BR1GGISCHEN EOGARITHMEN. 65

N. 39500. L. 596.

(j(j I. TAFEL DER GEMEINFN ODER

N. 40000. L. 602.

liRIGGISCHBN LOGARITHMBN. 67

N. 40500. L. 607.

»*

68 1. T A F EL DER GEMEINEN ODER

N. 41000. L. 612.

BRIGG1SCHEN LOGARITHMEN. 6.9

N. 41500. L. 618.

70 I. TAFEL DER GEMEINEN ODER

N. 42000. *-:» L. 623.

BKIGG1SCHEN L0GAB1THMEN- 71

1O

74  I. TAFEL DER GEMEIJfEN ODER

N. 44000. L. 64”

1O»

BRIGGISCHEN 10GAR1THMEN. 77

N. 45500. L. 658.

-- ... =71

BKIGGISCHEN LOGABITHMEN. 79 j

N. 46500. ♦** L. 667.

BK1GGISCHEN L0GAR1THMEN. 81

N. 47500. L. 676.

M

82 1. TAFEL DER GEMEINEN ODER

N. 48000. L 681.

11*

12

90 1. TAFEE PEK GEMEINEN ODER

N. 52000. L. 716.

BRIGGISCHES LOGARITHMEN. 91

N. 52500. L. 720.

13*

92  I. TAFEE DER GEMEINEN ODER

N. 53000. L. 724.

94 I. TAFEL DEK GEME1NES ODEK

N. 54000. L. 732.

BK1GU1SCHEN LOGARITHMEN'. 95

N. 54500. L. 736.

BR1GGISCHEN LOGARITHMEN. 97

N. 55500 L. 744.

13

BRIGGISCHEPi L0GAR1THMEN. 99

IN. 56500 L.  752.


100 1. TAFEL DER GEMEINEN ODEB

N. 57000. L. 755.

BRIGGISCHEW LOGARITHMEN. 101

N. 57500. L. 759.

BRIGGISCHJBN LOGARITHMEN. 103

N. 58500. L. 767.

H4k

!106 1. TAFEL DER GE1HEINEN 04>ER

BK1GGISCHEN L0GA1UTHMEN. 107

N. 60500. L. 781.


108 1. TAFEL DER GEMEINEN ODER

N. 61000. L. 785.

BRIGGISCHEN LOGARITHMEN. 109

N. 61500. L. 788.

110 I. TAFEL »EK GEMEINEN ODEK

N. 62000. L. 792.

BRIGGISCHEN LOGABITHMEN. 113

N. 63500. L. 802.

15

BBIGGISCHEN LOGARITHMEN. 115

N. 64500. L. 809.

15*

BRIGGISCHEN LOGARITHMEN. 117

N. 65500. L. 816.

118 I. TAFEL DEK GEMEJAIEN O»EK

N. 66(100. L- 819-

BRIGG1SCHEN LOGAHITHMEN. 119

N. 66500. L. 822.

IG

IG*

BB1GGISCHEN LOGABITHMEN. 129

N. 71500. L. 854.

17

17’

136 I. TAFEE »ER GEMEINES ODER

N. 75000. L. 875.

>8

BRIGG1SCHEM LOGARITHMEK. 139

N. 76500. L. 883.

IS*

140 L TAFEL DER GEMEENEN ODER

N. 77000. -s^> L. 886.

BKIGGISCHEN LOGAIUTHMEN. 143

IX. 78500. ♦IJ* L. 894.

144 I. TAFEL DER GEME1NEN ODER

N. 79000. ->:ž> L. 897.

19

146 1. TAFEL DER GEMEINBN ODER

N. 80000. L. 903

BRIGGISCHEN LOGAKITHMEN. 147

N. 80500. L 905.

19

152 I. TAFEL D ER GEMEINEN ODER

N. 83000. L. 919.

BBIGGISCHEN L0GAR1THMEN.

153

N. 83500. L- 921.

9 Diff.

20


BBIGGISCHEN L0GAK1THMEN. 155

N. 84500. L. 926.

20*

BRIGGISCHEN LOGARITHMEN. 157

N. 85500. L 931.

161

liRIGGISCIl E,X L0GAR1THMEN

N. 87500. L. 942,

21

BRIGGISCHEN LOGARITHMEN. 163

N. 88500. *T* L. 946.

21*

r ~ - -  "

164 J. TAFEL DER GEMEINEN ODER

N. 89000. L. 949.

466 I. TAFEL DER GEMEINEN ODER

N. 90000. L. 954

—----—--1

BBIGGISCHEiS LOGARITHMEN. 169

N. 91500. L. 901.

22

170 1. TAFEL »ER GEMEINEN ODER

22*

172 I. TAFEL DER GEMEISEN ODER

N. 93000. -*;£* L. 968.

174 I. TAFEL D ER GEMEINEN ODER

23

2,3*

! 180 I. TAFEL. der gemeinen oder

BKIGGISCHES LOGARITHMEN. 181

M. 97500. L. 9S9.

182 I. TAFEL DEB GEMEINEN OBEH

N. 98000. L. 991.

BRlGGlSCHEiV L0GAR1THMEN. 18.3

N. 98500. L. 993.

j 184 I. TAFEE pek gemeinen opek

BRIGGISCHEN LOGABITHMElV.  185

N. 99500. L. 997.

24

186 I. TA FE E DER GBMEINEN ODER

N. 100000. L. 0000.

15RIGG1SCHEN LOGARITIIMEN. 187

N. 100500. L. 0021.


190  I. TAFEL DER GEMEINEN ODER

iv. 102000. L. 0086?

BRIGGISCHBN LOGABITHMBN. 191

N. 102500. L. 0107

BBIGGISCHJBN LOGARITHMBIf. 193

N. 103500. L. 0149.

29

194 I. TAFEL DER GEMEINEN ODER

N. 104000. L. 0170.

35 *

BRIGGISCHEN LOGA BITUMEN. 197

N. 105500. L. 0232

200 I. TAFEL DEK GEMEINEK ODEK

N. 107000. L. 0293.

26

I

der

briggischen

logarithmen

ftir die

SINUS, COS1NUS, TANGENTEN UND COTANGENTEN

der Winkel von 0 bis 90 Grad.

i[206 II* TBIGONOMETKISCHB

0 Grad 0 — 3 Min. ©. L. 4. 6S5.

89  Grad  52 —55 Min. © L. 7.366.

27

27 ‘

F212  H.  TBIGONOMETKISCHB

0 Grad 24 — 27 Min. 0 L. 7,843.

89 Grad 32—35 Min. '& L. 7.910.

L0GAR1THMEN - TAFEL

213

0 Grad 28 — 31 Min @ L. 7.910.

31 Min.

I.  aauouiu.
Log. Cosin. | L. Ct.

30 Min.

Log. Cosin. | L. Ct.
2!) Min.

89  Grad  28—31  Min.  ©  L.  7.968.

L.Tg.
8584
0996
3407
5817
8225
0632
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0374
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4620
6963
9305
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3985
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8660
0996

29 Min.
Log. Sinus
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L-Tg.
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♦0057
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30 Min.
Log. Sinus
"7. 9408419
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7.

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28

28


29

29*

89 Grad  10  -19  Min-

30

30*

'238 H- TR1G0N0METRISCHB

88 Grad 20 — 29 Min.

L0GAR1THMEN -TAFEL. 241

2 Grad 0—9 Min.

87 Grad 50 — 59 Min.

31

31*

87 Grad 10—19 Min.

32

»3

255

LOGARITMIH EN -TAFEL.

4 Grad 20 — 29 Min.

Log. Sinus

DilV.l"

Log. Cosin. ID.l'

Log. Tang.

Log. Cot.

G.D.l"

40

39

21

38


1

31

23

36

24

35

25

1. 6

34

26

33

21

32

28

31

29

1.

30

S.

G.D.l'

Log. Tang.

Log. Cot.

D.l"

Log. Sinus

Log. Cosin.

Diff.l"

85 Grad 30—39 Min.

t

6

7

7

1. 6

1. 6

1. 6

1. 6

1. 6

1. G

1. 7

1. 6

1. 6

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1.

1. G

1. 6

1.

30
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1. 6

1. G

1. G

1. G

1. 6

1. 6

1. G

1. 6

1. G

1. G

1. 6

1. 6

1. 6

1. G

1. 6

1. 6

1. 6

1.

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II. 115 4697
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11.

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11. lil 8925

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11. 108 6160

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11. 107 5293

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2TT. 7
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m. 4
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269. )
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G
7
6
T
G
G
1. 7
1. G
1. 7
1. 6
1. 7
1. 6

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1. G

1. 6

1. 7

1. 6

1. 7

1. G

1.

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8. 8911513

8 891 4209
8 891 6904
8. 891 9597
8 892 2288

8.892 4977
8. 892 7665

8.893 0351
8.893 3036
8.893 5718

8.893 8400

8.894 1079
8. 894 3757
8.894 6433

S.

~0
10
20
30
40
50

0
10
20
30
40
50

0
10
20
30
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50

0
10
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40
50

0
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0
10
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0
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50

0
10
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50

0
10
20
30
40
50

0

M.

20

33

LOGARITHMEN - TAFEL. 259

5 Grad 0—9 Min.

33*

LOG ARITIIHEN - TAFEL. 263

34

31

33

35*

36

36

[286 n. TRIGONOMETRISCHB

27 Grad.

62 Grad.

37

57  G  r  a  d. ~ I

37’

292 H. TRIGONOM ETKISCHE

33 Grad.

56 Grad.

-- ^=7= ^—-  .. . ■ ■■■■■  'I

LOGAttITHMEN - TAFEL. 297

38 G rad.

51 G rad.


»8*

III.

T A F E L

zur Berechnung

des

LOGARITHME

<1 er

SUMME ODER DIFFERENZ

z w e i e r Za h len,

deren Logarithmen nur gegeben sind.

3»

312 III. FFR  10GAK1THMEN

40

40»

VOV SUMMEN UM) DLFFERENZEiV. 319,

320 HI. FUR LOGARITHMEN

41

M'

Druck von F. A. Brockhaus in Leipzig.

INHALT

’ orrcde.  m

Einrichtung und Gebrauch der Tafeln. v

I. Tafel der gemeinen oder briggischen Logarithmen

aller ganzen Zahlen von 1 — 999 mit 7 Decimalstellen. 2

aller ganzen Zahlen von 1000 — 99999 mit 7 Decimalstellen. 6

aller ganzen Zahlen von 100000 —107999 mit 8 Decimalstellen.186

Hulfstafel zur Vervvandlung briggischer Logarithmen in naturliche.202

Hulfstafel zur Vervvandlung naturlicher Logarithmen in briggische.202

II. Trigonometrische Logarithmentafel

fur die Sinus, Tangente« und Bogen aller Zehentheil - Secunden der ersten

Minute des ersten Grades.204

fur die Sinus und Tangenten aller Secunden von 0° 0' bis 1° 32', oder fur

die Cosinus und Cotangenten aller Secunden von 88’ 28' bis 90° . . . 206
fur die Sinus, Cosinus, Tangenten und Cotangenten von 10 —10 Secunden

von 0’—6’ und von 84° — 90°.229

fur die Sinus, Cosinus, Tangenten und Cotangenten aller einzelnen Minuten

von 6’—84’. 265

Hulfstafel zur Berechnung der Lange des Kreisumfanges fur alle Grade, Minuten

und Secunden fur den Halbmesser 1 bis auf 11 Decimalstellen.304

HI. Tafel zur Berechnung des Logarithmen der Summe oder Differenz zvveier Zah¬

len, deren Logarithmen nur gegeben sind.306

Logarithmen einiger haufig vorkommenden Zahlen.325

Narodna in univerzitetna knjižnica
v Ljubljani

EINRICHTHNG UND GEBRAUCH DER TAFELN. IX

gegeben ist, vvird erhalten, indem man den
Logarithmus der Grundzahl mit dem Ex-
ponenten multiplicirt, z. B.

log. 35.723 s  = 5. log. 35.723 und da
log. 35.723 = 1.552 9479,
so ist log. 35.723 s  = 7.764 7395.

Ist die Grundzahl kleiner als 1, so kann
bel der Multiplication mit dem Exponenten
ausser der negativen Characteristik auch
noch eine positive entstehen; um dem Re-
sultate dann die einfachste Form zu geben,
ersetzt man die positive Characteristik durch
eine Nuli und zieht dieselbe von der Ziffer
der negativen ab; z. B.:

log. 0.02738* «= 4. log. 0.02738,
log. 0.02738 = 0.437 4334 - 2,
log. 0.02738* = 1.749 7336 — 8
= 0.749 7336 - 7.

12) Ist endlich der Logarithmus fiir eine
Wurzelgrosse zu finden, so dividirt man
den Logarithmus der unter dem Wurzelzei-
chen stehenden Zahl durch den Wurzelex-
ponenten; hat der zu dividirende Logarith¬
mus eine negative Characteristik, so muss
man dieselbe, wenn sie noch nicht ein Viel-
faches vom Divisor ist, durch Zusetzung
der nothigen Einheiten zu einem solchen
Vieifachen machen und dieselbe Anzahl
von Einheiten auch an die Stelle der Nuli
als positive Characteristik anschreiben, be-
vor man die Division bevvirken kann; z. B.
log.^8387 = 'A log.8387= ‘/ 4  X 3.923 6066
= 0.9809016;
log. /0.625= ■/, lg.0.625=y 7  [0.795 8800-1]
«=■/,[6.7958800-7]
= 0.9708400-1.

Aufsuchen der Zalil zu einem
gegebenen Logarithmus.

1) Fur den Fali, dass der aufzusuchende
Logarithmus selbst in den Tabellen steht,
suche man die 3 ersten Stellen der Man-
tisse in der mit 0 bezeichneten Columne
von Seite 6 —185; die 4 letzten Stellen
findet man dann entweder in dieser oder
in den 9 folgenden Columnen, und zvvar ent-
vveder in derselben Zeile, in vvelcher die 3
ersten Stellen standen, oder in der zunachst
daruberstehenden, wo sie mit einem Stern-
chen (*) bezeichnet sind, oder in den dar-
unterstehenden Zeilen bis zu der Zeile, in

vvelcher vvieder vom drei Stellen enthalten
sind. Auf derselben Zeile, in vvelcher man
den letzten 4stelligen Theil der Mantisse
fand, stehen in der ersten Columne die 4
ersten Stellen der zugehorigen Zahl, wah-
rend die 5te durch die Ueberschrift der
Columne erhalten wird, in vvelcher der letzte
Theil der Mantisse gefunden vvurde. Da
die Zahl eine ganze Stelle mehr besitzt,
als die Characteristik ihres Logarithmus
Einheiten hat, so hangt es von der Grosse
der Characteristik ab, ob die erhaltenen
Ziffern unmittelbar den gesuchten Zahlvverth
geben, oder ob man ein Decimalzeichen
zvvischen dieselben zu setzen oder Nullen
anzuhangen hat. Z. B. der Mantisse des
Logarithmus 4.6791007 entsprechen nach
Seite 81 die Ziffern 47764, und vvegen der
Characteristik ist auch

num. (log. = 4.679 1007) = 47764
oder 10 *• 6,9 1007  = 47 7 64;

ferner fur die Mantisse des Logarithmus
1.637 0192 gel ten nach Seite 72 die Zif¬
fern 43353 und mit Beriicksichtigung der
Characteristik ist

num. (log. = 1.637 0192) =—. 43.353;
endlich fur die Mantisse des Logarithmus
6.124 9930 gelten nach Seite 12 die Ziffern
13335, folglich ist mit Berucksichtigung
der Characteristik

num. (log. = 6.124 9930) ±=, 1333500.

2) Sind die 4 letzten Stellen des Lo¬
garithmus nicht in den Tabellen zu finden,
was grosstentheils der Fali ist, so suche
man die 3 ersten Stellen der Mantisse, vvie
vorher, und vvahle unter allen zu diesem
ersten Theile der Mantisse gehorenden 4-
stelligen letzten Theilen denjenigen aus, vvel¬
cher den 4 letzten Stellen des gegebenen
Logarithmus am nachsten kommt und noch
kleiner als derselbe ist, bestimme fur diesen
die 5 ersten Stellen der Zahl, ermittele die
Differenz zvvischen den gefundenen und den
gegebenen 4 letzten Stellen und suche die¬
selbe unter den Proportionaltheilen (P. P.)
des zu den gefundenen Stellen gehorenden
Unterschiedes (der in der Tafel auf einan-
der folgenden Logarithmen) auf; die rechts
dabei stchende Ziffer bildet die 6te Stelle
der zu suchenden Zahl. Findet man die
Differenz nicht selbst unter den entspre-
chenden Proportionaltheilen, so nehme man
den nachst kleineren Proportionaltheil, be-

b