ISSN 0351-6652 Letnik 24 (1996/1997) Številka 5 Strani 290-295
Primož Potočnik:
NENAVADNA ARITMETIKA ALI NE POSKUŠAJTE TEGA V ŠOLI!
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/24/1306-Potocnik.pdf
© 1997 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
NENAVADNA ARITMETIKA ALI NE POSKUŠAJTE TEGA V ŠOLI!
Gotovo ne bi poželi prevelikih simpatij svojih učiteljic oziroma učiteljev matematike, Če bi pri kontrolnih nalogah pisali enakosti
1 + 1 = 0, 1+3 = 2, 2 + 3=1, 2-3 = 5, 3-7 = 9.
Bojim se, da vas iz kaše ne bi izvlekel niti pričujoči prispevek, zato vam toplo priporočam, da (ne)znanja, ki ga boste pridobili s prebiranjem naslednjih vrstic, ne uporabite v soli.
Za kaj gre? Vzemimo dve naravni števili a in b ter ju zapišimo dvojiško. Naj tu povem, da bomo v nadaljevanju število 0 vseskozi prištevali k množici naravnih števil.
a = a0 + ni * 2 + U'2 • 2J + ... + an ■ 2" = o,,«,,-! . .	a,- 6 {0,1}
b=b9 + b1 -2 + 62-2- + ... + bm -2m =£pmi>mM ...60(2); b; e {0,1}.
Definirajmo vsoto števil a in b na običajen način, le da pri seštevanju v kupčku ne prenašamo viška v naslednji stolpec. Da ne bo prihajalo do zmede, bomo takšno seštevanje označevali s ©, navadno pa s +. Velja torej
c = a ® b, kjer c =	., .	s = max{m, 71}
in Ch = a k + bk (mod 2) . Oglejmo si zgled. I = 1(2), 8 = 11(2),
1(2) Ubl
10(3) •
Ko smo V desnem stolpcu sešteli 1 + 1, smo dobili 2 = 10(2), kar Je P° modulu 2 enako 0.1 Desni stolpec rezultata je zato enak 0, Pri običajnem seštevanju bi enico prenesli v levi stolpec, tu pa tega nismo storili.
1 Da je neko število a po modulu m enako številu b, pomeni, da je število a — b deljivo s številom to, oziroma, da dasta števili a in b pri deljenju s številom m enaka ostanka.
Tako definirano seštevanje ima vse lepe lastnosti navadnega seštevanja. Z lahkoto se namreč lahko prepričamo, da velja:
(a © b) ffi c— a © (£>® c),	(1)
a® b = b ©a ,	(2)
0 © a = a ® 0 = a .	(3)
Poleg teh običajnih lastnosti pa velja še mnogo manj običajna:
n©a = 0,	(4)
To pa lahko preberemo tudi drugače:
Za v s a. ko na ravno število a obstaja tako naravno število b, da velja «®6 = i»®£i-0.
Takšnemu številu, ki je v našem primeru kar enako številu a samemu, rečemo običajno k a nasprotno število. Ugotovili smo torej, da ima v množici naravnih števil vsako število svoje nasprotno število glede na operacijo ©. To pa je že lastnost, ki je navadno seštevanje ne premore. Tu bi bilo naravnemu Številu a obratno število število —a, ki pa ni več naravno, saj je negativno, če je le a £ 0. Gimnazijci bodo ugotovili:
Množica naravnih števil tvori skupaj z operacijo © komutativno (Abelovo) grupo.
Pomeni, da je operacija © v nekem smislu celo lepša kot +, saj navadno seštevanje v množici naravnih Števil ne tvori grupe.
Podobno kot smo definirali operacijo ©, definirajmo še množenje ©. Števili a in t>, ki j u množimo, spet napišemo dvojiško in množimo v kupčku kot običajno, le da pri seštevanju po stolpcih ne prenašamo viška na naslednji stolpec. Zapisano s simboli
aii.®S.— 1 ■ • ■ ®o(2) ©	I ■ ■ ■ 2) cscs-l ■ ■ ■ Co(2) I
kjer
s — iti -b /t in ck = ( o,,-6j)(mod 2) .	(M)
i+j=k
Spet si oglejmo zgled; 7 = 111(2), 3 = 11(2}!
111(2) O 11(2) 111 111
1001(3) =9.
Brez težav se prepričamo, da velja
(a©&)©e-a©(6©4,	(5)
a 0 i = i> 0 a,	(6)
1 0 a = a 0 1 = a	(7)
iti da veže obe operaciji zakon distributivnosti
(a © b) 0 c = (a © c) © (b 0 c).	(8)
Dogovorimo se takoj, da bomo izraz a © (6 © c) pisali poenostavljeno a © 6 © c in pri tem tiho privzeli, da. ima množenje prednost pred seštevanjem.
Gimnazijec bo iz zakonov (5) - (8) zopet, ugotovil, da množica naravnih števil skupaj z operacijama © in 0 tvori kolobar (komutativen in z enoto 1), podobno kot ga tvori množica celih števil z operacijama običajnega seštevanja in množenja.2
Poleg tega, da operaciji © in 0 prekašata navadni operaciji seštevanja in množenja v tem, da prelevita množico IX v kolobar, pa velja še nekaj zanimivih lastnosti.
Spomnimo se, kolikokrat smo si želeli, da bi smeli kvadrirati dvoclenik kar po domače (o + i)2 = a' + h2, in se vedno znova spraševali, zakaj je svet tako grd, da moramo vrivati še mešani člen 2ab. No, če bi namesto operacij + in • uporabljali operaciji © in 0, bi bilo vse lepše. Velja namreč
(a® b)2 = a2 ®b2 . Pri tem izraz ti3 pomeni seveda a © a in ne a ■ a.
2 Vse zgornje in sledeče trditve bo bralec, ki je seznanjen z nekaj teorije algebre, najlaže dokazal, če bo opazil, da je kolobar (IN, ®,0) izoinnrfen kolobarju polinomov
nad obsegom ostankov po deljenju s številom 2, torej 2vt[A'] Izomorfizem podaja preslikava an . . .	tlnxn + ... 4 a^.
Z uporabo pravii (4), (6) in (8) se v zgornjo trditev prepričajmo.
(a © bf = (o. © b) Q (o © b) =. (a © 6) ® a © (a © b) © b = =a0a©6©affia©6©fc©&= = a2 © (a © b © u © 6) © 62 = a2 © t3 .
Za vajo izpeljimo formulo za ©-vsoto prvih n naravnih števil. Z nekaj poskušanja uganemo in na koncu z uporabo popolne indukcije do kažemo formulo
1 © 2 © ... © 71 = <
1	za 4|(n + 3)
n + 1	za 4](n + 2)
0	za4|(n + l)
n	za 4|n
Bralec lahko sam izpelje še formuli za ©-vsoto prvih n sodih in prvih n lihih Števil.
Zanimivo je opazovati praštevila v kolobarju (IN,©,©), Pojem pra-števila je tu definiran enako kot pri običajnih operacijah - praštevilo v kolobarju (IN, ©,©}, recimo mu ©-praštevilo, je takšno naravno Število p, ki ga lahko napišemo kot produkt p = a © /> drugih dveh naravnih števil le, če je eno od Števil nt in b enako 1, drugo pa p. Dodatno predpišemo še, da število 1 ni praštevilo. Pisec članka je poiskal vsa ©-praštevila, ki so manjša od 500.
2,3,7,11,13,19,25,31,37,41,47,55,59,61,67,73,87,91,97,103,109, 115,117,131,137,143,145.157,107,171,185,191,193,203,211,213,229, 239,241,247,253,283,285,299,301,313,319,333,351,355,357,301,369, 375,379, 391,395,397,415,419,425,433, 445,451,403,471,477,487,499.
Vidimo, daje med njimi nekaj običajnih praštevil, ni pa vseli. Prav tako niso vsa ©-praštevila običajna praštevila. Zanimivo je, da se tudi tu pojavljajo tako imenovani dvojčki, to so pari praštevil, ki se razlikujejo le za 2, npr.
(11,13), (59,61), (115,117) ...
Postavimo si lahko vprašanje, ali je takšnih parov praštevil neskončno, a bojim se, da odgovorili nanj ni enostavno. Pri običajnih praštevilih je enako vprašanje eno od najslavnejših odprtih problemov teorije števil.
Čeprav se zdijo vprašanja v zvezi s ©-praštevili enako težka kot vprašanja o običajnih praštevilih, je avtorju le uspelo dokazati zanimiv izrek.
Izrek: Če je od 2 različno število p t dvojiškim zapisom p» ■■ - pv(2) 0-praŠtevilo, je 0-praŠtevilo tudi število p = p„ .., -
Dokaz: Najprej opazimo, daje zadnja dvojiška cifra p0 števila p enaka 1, saj bi se drugače število p lahko zapisalo kot produkt p = = p„ ■ ■	0 J0(3), to pa je v protislovju z dejstvom, da je p od 2
različno 0-praštevilo.
Z grško črko r označimo funkcijo, ki naravnemu številu a = = an ... a0f 2) priredi število r(a) = a0,.. onj2)- Velja torej p = r(p). Ker se Število p konča na cifro 1, očitno drži enakost t (t (p)) = p. Funkcija t pa ima še eno zelo lepo lastnost - je multiplikativna:
r(a® b) = r (o) © r(6).
V to se prepričamo s pomočjo definicije (A/), ker pa je račun kar dolg in nič kaj težak, ga izpuščam.
Predpostavimo sedaj, da število p ni 0-praŠtevilo. Tedaj obstajata od 1 in p različni naravni števili a in b. tako da velja p = a&b. Vendar tedaj velja tudi
P = r(r(p)) = r(p) ?=t r(a O b) = r(a) © r(fc) .
Ker je p 0-praštevilo, je eno od števil r(a) in t(6), denimo ~(n), enako 1. Ker je a ^ 1, je število a oblike 10 ,. .0(2). To pa je nemogoče, saj bi bila tedaj zadnja števka produkta p t udi enaka 0, kar pa ni, saj je zadnja Števka števila p hkrati prva števka števila p.
Predpostavka, da število p ni ©-praštevilo, nas je pripeljala v protislovje, kar pomeni, daje bila napačna. S tem je izrek dokazan.
Za konec naj vas še prepričam, da operaciji © in © nista povsem za lase privlečeni in da imata lahko tudi precejšnjo uporabno vrednost. Tisti bralci, ki berejo Presek že več let, se morda spomnijo zmagovalne strategije pri igri Nim, kije bila opisana v 4. številki Preseka šolskega leta 1985-86. Naj na hitro ponovim.
Nim je igra, ki jo igrata dva igralca s pomočjo 15 vžigalic, ki jih na začetku razporedita v pet kupčkov po 1, 2, 3, 4 in 5 vžigalic. Igralca
izmenoma jemljeta vžigalice s kupčkov tako, da vsakič pobereta s poljubnega kupčka poljubno število vžigalic (vsaj eno in največ toliko, kot jih na izbranem kupčku je). Zmaga tisti, ki pobere zadnjo vžigalico.
Kako igrati, da bomo zmagali? Denimo, daje v trenutku, ko smo na potezi, v posameznih kupčkih Q\ , a-j,..., a^ vžigalic. Seštejmo s = = «i © o-2 ® ... © «5- Ce je vsota s enaka 0, smo izgubljeni, Ce pa je .s- ^L 0, je gotovo (kot se izkaže) res a, ©s < a* za vsaj en indeks i < 5. Ko poiščemo tak indeks, poberemo z /-tega kupčka toliko vžigalic, da jih bo ostalo še cii © s. Ker je a,- © s < a,-, je to dovoljena poteza. Tedaj se bo naš nasprotnik znašel v situaciji a\,..., a{ © s,,.., as z vsoto
s = Oi © ... © a,- © s © .., © a5 = s © 5 = 0
in bo izgubljen, saj bo s svojo potezo vsoto 0 gotovo pokvaril. Od tod sledi, da našemu nasprotniku nikoli ne bo uspelo doseči situacije, ko bodo vsi kupčki prazni, saj je takrat vsota s enaka nič.
Na začetku je vsota 1 © .. .©5 enaka 1, kot se to lepo vidi iz formule za vsoto prvih n naravnih števil, in zato tisti, kije na potezi, dobi (denimo tako, da vzame osamljeno vžigalico s prvega kupčka). Naša formula nam pove tudi, da bi bila za prvega igralca igra izgubljena, če bi igrali z 28 vžigalicami in 7 kupčki, saj je vsota 1 © ... © 7 enaka. 0.
Primož Potočnik