Robotizirani jojo: strategija vodenja z uporabo nelinearnih dinamičnih sistemov
Tadej Petrič, Andrej Gams, Leon Žlajpah
Institut "Jožef Stefan ", Jamova cesta 39, 1000 Ljubljana, Slovenija E-požta: tadej.petric@ijs.si
Povzetek. V prispevku je predstavljena uporaba nelinearnih dinamičnih sistemov za izvajanje ritmičnih nalog. Za nalogo je bila izbrana naprava jojo. To je naprava, sestavljena iz dveh diskov, povezanih s tanko osjo. Vodenje naprave jojo je nelinearna dinamična naloga in zahteva nenehno adaptacijo frekvence izvajanja. Za vodenje te naloge je bil uporabljen imitacijski sistem, kije sestavljen iz dveh nivojev. Prvi nivo sestavljajo prilagodljivi frekvenčni oscilatorji, njegova naloga pa je prilagajanje frekvence vhodnega signala. Naloga drugega nivoja je generiranje trajektorije. Ta nivo sestavlja sklop diferencialnih enacb. Zmogljivost imitacijskega sistema, da se lahko prilagodi frekvenci vhodnega signala, nam omogoca uspešno igranje naprave jojo. V prispevku so predstavljeni uporaba nelinearnega dinamicnega sistema za vodenje dinamicnih ritmicnih nalog in rezultati vodenja realnega sistema.
Ključne besede: posnemanje gibanja z robotom, periodicne naloge, jojo, adaptivni oscilatorji
Robotic yoyo: a control strategy based on nonlinear dynamic systems
Extended abstract.
The paper presents the use of a nonlinear dynamic system to preform a certain rhythmic task. The object of the task was a device named yoyo. It is a toy made of two discs connected with a short thin axle, dynamic in nature, highly non-linear and requiring on-line adaptation of the frequency at which it is preformed. The nonlinear dynamic system used to preform this task was of two layers. The first layer was used to adapt to the frequency of the input and was based on adaptive-frequency oscillators. The second layer was used to provide the desired trajectory and is based on a set of differential equations. The ability of the imitation system to adapt to the frequency of the input signal allowed us to successfully play with the yoyo. Results for real-world experiments are presented, thus validating the use of the proposed nonlinear dynamic system for controlling dynamic rhythmic tasks.
Key words: movement imitation with robot, periodic task, yoyo, adaptive oscillators
1 Uvod
V zadnjih letih je v robotiki opaziti povecan razvoj algoritmov za izvajanje periodicnih oz. ritmicnih nalog [1, 2]. Med te naloge spadajo povsem vsakdanje naloge, kot je npr. hoja [3] ali rokovanje [4], ter naloge vodenja ra-zlicnih naprav, kot sta npr. napravi jojo [1] in ziroskopska naprava imenovana Powerball [2, 5, 6]. Tako naprava
jojo kot ziroskopska naprava Powerball sta nelinearna di-namicna sistema, ki za uspešno izvedbo zahtevata sinhro-nizirano gibanje upravljavca in naprave. Njuno vodenje je za cloveka povsem preprosto. Izvedba teh nalog z roboti pa je zahteven problem, ki zahteva uporabo naprednih algoritmov vodenja in kompleksnih senzorskih sistemov [1, 2]. Generiranje robotske trajektorije in njeno moduliranje je v robotiki zahteven problem, ki za splosšen sistem se ni rešen. Eden od pristopov je generiranje trajektorije s posnemanjem oz. imitacijo [7].
Robotske trajektorije lahko posnemamo na razlicne nacine [8]. Preprosteje je, da si zapomnimo casovno indeksirane vektorje [9]. Veckrat se uporabijo bolj kompaktni zapisi trajektorij, npr. z uporabo zlepkov [10] ali pa verjetnostnih zapisov v obliki skritih modelov Markova [11]. Eden od kompaktnejsih zapisov je tudi uporaba dinamicnih primitivov imenovanih DMP [12], ki trajek-torijo zapišejo z vektorjem utezi, rekonstruirajo pa jo z linearno kombinacijo jedrnih funkcij. Dodatna prednost DMPjev je tudi zapis trajektorije z diferencialno enacšbo drugega reda, ki zagotavlja zvezno in odvedljivo trajek-torijo.
Pri izvajanju periodicšnih nalog je bistveno dolocšiti osnovno frekvenco gibanja [6]. Da lahko izlocijo osnovno frekvenco gibanja, morajo sistemi posnemanja gibanja najprej obdelati demonstracijski signal [8]. V clanku opisujemo uporabo sistema za posnemanje gibanja, ki deluje na podlagi DMP, kjer je dolocanje osnovne
32 Petric, Gams, Zlajpah
frekvence demonstracijskega signala vključeno v sam sistem. Tako sistem ne potrebuje nobene dodatne obdelave signala in omogoča sprotno prilagajanje frekvenci zunanjega signala. Sistem deluje vzporedno v dveh nivojih. Prvi nivo določi frekvenco merjenega signala, drugi pa zagotavlja sledenje obliki trajektorije. Dvo-nivojski sistem posnemanja gibanja, ki smo ga uporabili za izvedbo periodične naloge vodenja naprave jojo, temelji na frekvenčno prilagodljivih oscilatorjih in nelinearnih dinamičnih sistemih [8] oz. DMPjih. V [8] so avtorji pokazali, da je sistem uporaben za določanje frekvenče vhodnega signala, učenje oblike ene periode vhodnega signala in posnemanje naučenega signala s poljubno frekvenčo in amplitudo. V tem prispevku bomo pokazali, da se lahko podobno strukturiran sistem uporabi za vodenje dinamičnih nelinearnih periodičnih nalog, kot je vodenje naprave jojo.
Robotsko vodenje naprave jojo je ze bilo predmet več raziskav [1, 13, 14]. Razviti so bili namenski algoritmi vodenja s klasičnim pristopom na podlagi modeliranja sistemov. Nas raziskovalni izziv je namesto klasičnega pristopa z matematičnim modeliranjem uporabiti pristop, ki se zgleduje po človeku. Povprečni uporabniki te naprave o dinamiki ne vedo kaj dosti, kljub temu pa se večina kaj hitro nauči uporabljati napravo. Podobno velja tudi za predlagani imitačijski sistem, saj ta ne temelji na modelih vodene naprave, temveč je odvisen le od merljivega periodičnega signala. Takšna struktura vodenja bistveno poenostavi sinhronizačijo robota z zadano nalogo in omogoča preprosto doseganje človeku podobnih rezultatov pri izvajanju nalog, ki zahtevajo sinhro-nizačijo z vodeno napravo.
V naslednjih poglavjih je najprej podan opis predlaganega sistema vodenja (2. poglavje). V 3. poglavju je opisan eksperimentalni sistem in dokumentirani so rezultati vodenja. Sklepi so podani v 4. poglavju.
2 Imitacijski sistem
Imitačijski sistem je bil podrobno opisan za uporabo v čikličnih periodičnih nalogah v [8]. Avtorji so pokazali, da je sistem uporaben za določanje frekvenče vhodnega signala, učenje oblike ene periode in posnemanje naučenega signala pri poljubni frekvenči in amplitudi. V tem prispevku je predstavljena uporaba imitačijskega sistema za določanje frekvenče periodične naloge, sinhro-nizačije robota s spečifično nalogo in modulačijo pred-definirane trajektorije. Predlagana struktura vodenja omogoča vodenje različnih periodičnih nalog, ki imajo vsaj eno merljivo periodično veličino.
Strukturo imitačijskega sistema sestavljata dva nivoja, kot to prikazuje slika 1. Prvi nivo predstavlja kanonični dinamičšni sistem (nabor diferenčialnih enačšb). Naloga na tem nivoju je izločšiti osnovno frekvenčo vhodnega signala, kije katerakoli merljiva periodična veličina. (Če se
imitacijski sistem uporabi za učenje trajektorije, kot v [8], je zelena trajektorija enaka vhodnemu signalu. Drugi nivo sistema je izhodni dinamičšni sistem, katerega izhod je zelena trajektorija robota. Diferenčialne enačbe tega sistema so drugega reda, kar zagotavlja gladko in odvedljivo trajektorijo. Izhodni signal sestavimo z linearno kombi-načijo uteznih in jedrnih funkčij —.
Kanonični	i		Izhodni
dinamični	<		dinamični
sistemJg	<1	w r	sistem
			
Slika 1. Predlagana dvonivojska struktura sistema vodenja. Vhod v sistem je merjena periodična veličina yin, izhod je želena trajektorija robota yd. <l je fazni zamik med vhodnim in izhodnim signalom in r je parameter amplitude izhodnega signala
Figure 1. Proposed two-layered structure of the control system. The input yin is a measured periodic quantity and the output is the desired trajectory yd of the robot. <l is the phase lag between the input and the output signal and r is the amplitude parameter
Algoritem imitacijskega sistema je naslednji. Kanonicni dinamicni sistem izloci osnovno frekvenco i in fazo <. Ti velicini sta povezani z izhodnim dinamicnim sistemom in dolocata frekvenco zelene trajektorije. Oblika trajektorije je podana z vnaprej naucenim vektorjem utezi w in jedrnimi funkcijami —. Trajektorija se sinhronizira s frekvenco i s sidranjem jedrnih funkcij — na fazo <. Naslednji poglavji podrobno opisujeta posamezna nivoja imitacijskega sistema.
2.1 Kanonični dinamični sistem
Naloga kanonicnega sistema je izlociti osnovno frekvenco i, zagotoviti stabilno ciklicno obnašanje sistema in s tem dolociti fazo <. Kanonicni dinamicni sistem sestavlja mnozica frekvencno prilagodljivih faznih oscilatorjev [15, 16]. Oscilatorji so zdruzeni v povratno zanko [8, 17], kot to prikazuje slika 2.
Matematicna struktura M adaptivnih frekvencnih oscilatorjev je podana z enacbami:
<i = - Ke(t) sin <,	(1)
uji = -Ke(t) sin <i;	(2)
e(t) = yin(t) - y(t),	(3)
M
y(t) = X2 ai c°s <i,	(4)
i=1
a i = ne(t)c°s <i,	(5)
kjer je K konstanta medsebojne povezanosti, <i faza i-tega oscilatorja, e(t) vhod v oscilatorje, yin vhodni signal, M število oscilatorjev, ai amplituda i-tega oscilatorja in n konstanta ucenja.
Vsi oscilatorji imajo enak vhodni signal e(t), kot to prikazuje slika 2. Zaradi negativne povratne zanke (3),
l^l(t), 01
(
¿ = Q
az (P z (g - y) - z) +
\
N
Y. ^iwir
i=l_
N
i=i
y = Qz.
(6)
(7)
ki zagotavljata, da sistem monotono konvergira k trajek-toriji, ki oscilira okoli sidriScne tocke g. N je Število jedrnih funkcij. Parameter r doloca amplitudo izhodnega signala. Nelinearen Člen v enacbi (6) doloca Zeleno obliko trajektorije z mnoZenjem jedrnih funkcij in vnaprej definiranega vektorja uteZi w (wi G w, i = 1 ,...,N). Jedrne funkcije — imajo Gaussovo obliko in so podane z enacbo
iji = exp (h (cos (0 - ci) - 1)).
(8)
Slika 2. Povratnozacna struktura M nelinearnih frekvenčno prilagodljivih oscilatorjev
Figure 2. Feedback structure of M nonlinear adaptive frequency oscillators
se razlika med vhodnim signalom in vsoto posameznih faznih signalov priblizuje nicli. Takšna struktura se lahko prilagodi razlicnim frekvencnim komponentam vhodnega signala. Število frekvencnih komponent je odvisno od števila uporabljenih frekvencnih oscilatorjev. Ker je za izvajanje periodicšnega giba pomembna samo osnovna frekvenca, sledi strukturi logicni blok, ki doloci osnovno frekvenco. Izbira oscilatorja z osnovno frekvenco je pomembna, saj izbrani oscilator poganja drugi nivo im-itacijskega sistema.
Kanonicšni dinamicšni sistem se lahko uporabi tudi kot samostojen imitacijski sistem [17]. Z dodanim izhodnim dinamicnim sistemom zagotovimo predvsem vecjo robustnost sistema na razlicšne perturbacije in mozšnost kompleksnih trajektorij z majhnim sštevilom oscilatorjev.
2.2 Izhodni dinamični sistem
Izhodni dinamicni sistem se uporablja za generiranje in moduliranje oblike izhodnega signala. Kot je prikazano na sliki 1, so vhodi v izhodni dinamicni sistem: osnovna frekvenca Q, faza amplituda trajektorije r in vektor utezši w. Ta vektor skupaj z diferencialnimi enacšbami in jedrnimi funkcijami — doloca obliko izhodnega signala drugega reda.
Enacbe (6-11) veljajo za eno prostostno stopnjo signala. Za vec prostostnih stopenj se algoritem poveze vzporedno. Obnasanje dinamicnega sistema je naslednje: trajektorija y potuje proti sidrišcu g, kar podaja enacba
Njihovo širino doloca h, porazdeljenost na eni periodi pa Cj. V našem primeru je Cj enakomerno porazdeljen med 0 in 2n v N korakih.
Predlagani dvonivojski imitacijski sistem se lahko uporabi ne samo za generiranje in moduliranje izhodnega signala, temvec tudi za ucenje nove trajektorije. Ta prispevek se osredinja na generiranje in moduliranje izhodnega signala. Kot je bilo prikazano v [8], se lahko sistem uporabi tudi za ucenje nove trajektorije, in sicer tako, da se v vsakem koraku spremeni vektor utezi w z metodo progresivne lokalne uteznostne regresije (ang. incremental locally weighted regression) [18]. S podanim ciljem ftarg(t) in r(t) je posodobitev w v rekurziji podana z
w-	r(t)er (t),
Pi
1 Â
Pi -
12 t2 Pi r
tt + Pi r
er (t) = ftarg (t) - Wi r(t).
(9) (10) (11)
V tem primeru je il frekvenca, dobljena iz kanonicnega dinamicnega sistema, az in sta pozitivni konstanti,
Zacetno stanje rekurzije je Wi = 0 in Pi = 1, kjer je i = 1,...,N. S tem algoritmom smo dolocili uteznostni vektor za vnaprej definirano trajektorijo za vodenje naprave jojo. Rezultate ucenja zelene trajektorije prikazuje slika 4.
Dodatna prednost izhodnega dinamicnega sistema je gladko moduliranje izhodnega signala. To je pomembno, kadar imamo opravka s hitrimi dinamicšnimi nalogami.
3 Vodenje naprave jojo
V tem poglavju je predstavljena uporaba imitacijskega sistema za robotsko vodenje naprave jojo. Na eksperimentalnem sistemu je predstavljena uporaba imitacij-skega sistema z merjeno silo v povratni zanki in z relativnim polozajem naprave jojo v povratni zanki. Uporabili smo razlicni napravi jojo. Njuni parametri so podani v tabeli 1.
Opravljene so bile razlicšne raziskave ter izpeljani ra-zlicni algoritmi za vodenje naprave jojo [1, 13, 14]. Ti algoritmi se med seboj locijo glede na merjeno velicino, ki je v povratni zanki. Na primer, velicšina je lahko relativna visina naprave jojo, ki se lahko meri z uporabo racunalniškega vida. Kot je opisano v [1], je pri
t+1
w
34 Petrič, Gams, Zlajpah
Tip	ra [m]	l [m]	m [kg]
A	0.01	0.85	0.2564
B	0.01	0.7	0.2564
Tabela 1. Parametri naprav jojo, uporabljenih v eksperimentih Table 1. yoyo parameters used in experiments
človeku informacija o visini ključna za uspesno igranje z napravo. V [13] so avtorji pokazali, da za uspesno robotsko vodenje naprave jojo zadostuje tudi samo merjenje sile na vrvici. V obeh primerih algoritma vodenja temeljita na natančnem poznavanju dinamičnega obnasanja naprave. V tem prispevku pa je namesto klasičnega modeliranja uporabljen pristop, ki posnema človeka. Vodenje ne temelji več na modelih vodene naprave, temveč je odvisno le od poljubnega periodično merljivega signala. Taksna struktura vodenja bistveno poenostavi sinhronizačijo robota z napravo. Sinhro-nizačija ne temelji več na poznavanju dinamike naprave jojo, temveč se vzpostavi s pomočjo frekvenče in trenutne faze merjenega periodičnega signala. To prinese dodatno prednost, saj je vhodni signal lahko katerakoli merljiva periodična veličina vodene naprave.
Za izvedbo eksperimenta je bil uporabljen robot Mitsubishi PA-10 s sedmimi prostostnimi stopnjami. Na vrh robota smo pritrdili senzor sil in navora JR3, nanj pa dvoprstno prijemalo. V poglavju 3.2 je prikazana dodatna uporaba kamere, s katero smo merili relativno visino naprave jojo. Eksperimentalno postavitev podaja slika 3. Implementačija imitačijskega sistema je izvedena v okolju MATLAB/SIMULINK s frekvenčo 100 Hz.
Slika 3. Eksperimentalni sistem Figure 3. Experimental setup
Za izvedbo kakrsnekoli naloge z napravo jojo je treba najprej definirati obliko trajektorije v eni periodi. Uporabili smo vzoreč, kije opisan v [1]. Vzoreč temelji na analizi gibanja naprave in omogoča vodenje naprave jojo. Obliko zelene pozičije h, hitrosti h in pospeska h podaja slika 4.
Uteznostni vektor w za obliko trajektorije na sliki 4 smo določili s pomočjo algoritma, opisanega z enačbami (9) - (11). Naučeni signal je prikazan s črtkano črto na
Slika 4. Vnaprej definirana oblika trajektorije vrha roke za igranje z napravo jojo
Figure 4. Pre-defined hand motion pattern for playing yoyo
sliki 4. Uteznostni vektorje osnova za kreiranje izhodnega signala iz imitačijskega sistema. Frekvenča in faza izhodnega dinamičnega sistema ter s tem tudi sinhro-nizačija robota z zadano nalogo je določena s kanoničnim dinamičnim sistemom. Gibanje robota smo omejili v eni smeri (gor-dol) s pomočjo inverznega kinematičnega modela. V nadaljevanju so predstavljeni rezultati vodenja z merjeno silo v povratni zanki (poglavje 3.1) in merjenim polozajem v povratni zanki (poglavje 3.2).
3.1 Vodenje pri sinhronizaciji z merjeno silo
Shema vodenja ob sinhronizačiji z merjeno silo je predstavljena na sliki 5. Kot je razvidno, imitačijski sistem generira in modulira zeleno trajektorijo vrha robota, na katerem je pritrjena naprava jojo. Sila F, ki se meri s senzorjem sil in navorov JR3 na vrhu robota, zaključuje povratno zanko vodenja.
F (t)		Kanonični dinamični sistem^p^j'	O	Izhodni dinamični sistem		x(t)	f"? af • S Jojo	
h(t)			w					
								
Slika 5. Predlagana dvonivojska struktura za vodenje naprave jojo s silo ali relativnim polozajem v povratni zanki Figure 5. Proposed two-layered stručture of the čontrol system for playing with yoyo, using forče feedbačk or relative hieght of the jojo as a feedbačk
Rezultati frekvenčne adaptačije so predstavljeni na sliki 6. Na zgornjem levem diagramu je predstavljena merjena sila v časovnem okviru od 0 do 400 s. Ker je oblika in frekvenča pulzov čez čelotni časovni okvir enaka, sklepamo, daje naprava jojo dosegla stabilno delovanje.
Podrobnejsi vpogled v obliko merjene sile F podaja zgornji desni graf, kjer je časovni okvir od 200 do 210 s. S primerjavo desnih grafov opazimo, da je imitačij-
Slika 6. Vodenje naprave jojo s silo F v povratni zanki (zgornja grafa). Trajektorija robota v smeri x (spodnji desni graf) in frekvenca O (spodnji levi graf). Jojo tipa A Figure 6. Playing yoyo by measuring only the force F (top plots). Robot trajectory x (bottom left plot) and the extracted frequency O (bottom right plot). Yoyo: type A
skemu sistemu uspelo sinhronizirati gibanje robota x z merjeno silo F, ki v tem primeru pomeni merljivo periodično veličino vodene naprave. Na spodnjem levem grafu je ponazorjena frekvenca l, kjer opazimo nihanje okoli določene srednje vrednosti. Vzrok za nihanje okoli srednje vrednosti je v obliki vhodnega signala (sile F), katerega smo zaradi boljše konvergence imitacijskega sistema in povečanja razmerja med šumom in koristim signalom preoblikovali tako, da smo mu povečali njegovo povrsšino.
3.2 Vodenje pri sinhronizaciji z merjenim relativnim položajem
V tem podpoglavju je predstavljena implementacija imitacijskega sistema za vodenje naprave jojo z merjenim polozajem v povratni zanki. Relativni polozaj naprave glede na vrh robota se lahko uspešno doloci s pomocjo merilnega videosistema. V prispevku [1] avtor pravi, da clovek za igranje z napravo jojo potrebuje vizualno informacijo o trenutnem polozaju naprave.
Prav tako kot v poglavju 3.1 je tudi v tem poglavju uporabljen enak princip vodenja, kar ponazarja shema na sliki 5. V tem primeru je vhodni signal v imitacijski sistem relativni polozaj naprave jojo.
Kot je prikazano na spodnjem grafu na sliki 7, se frekvenca l hitro prilagodi frekvenci gibanja naprave jojo. S tem dosezemo stabilno obnasanje naprave. Potek gibanja naprave jojo je prikazan na zgornjem grafu na sliki 7, kjer je s crtkano crto ponazorjena najvecja višina, ki jo naprava doseze v eni periodi. Opazimo, da se kljub temu, daje amplituda giba konstantna, maksimalna višina naprave jojo spreminja. To je posledica nihanja same naprave jojo, ki lahko na trenutke povzroci povecanje trenja med vrvjo in njenima diskoma, kar posledicno zmanjsa dosezeno najvecjo visino naprave.
Frekvenca naprave jojo je odvisna od njenih parametrov in od najvecje višine, ki jo doseze v eni pe-
Slika 7. Vodenje naprave jojo z merjenjem relativne višine h (zgornji graf). Jojo tipa B
Figure 7. Playing yoyo by measuring the relative hihgt h (the top plot). Yoyo: type B
riodi. Na to višino lahko vplivamo z velikostjo amplitude giba. Amplitudna modulacija je z uporabo imitacijskega sistema preprosta in se doseze s spremembo parametra r (glej enacbo (6) in sliko 1).
Z uvedbo reguliranja parametra r dosezemo regulacijo maksimalne višine naprave jojo v eni periodi. Vhod v regulator je razlika med referencno in najvecjo vrednostjo polozaja naprave v eni periodi. Uporabili smo PI regulator
u(t) = kpe(t) + ki j e(t)dt,	(12)
s parametroma kp določili empirično.
2 in ki
0.4. Parametra smo
h(t)
Kanonični ! J Izhodni dinamični 0 dinamični
sistem
w
sistem
x(tj
h
ti

Jojo
Slika 8. Predlagana dvonivojska struktura za reguliranje največje višine, ki jo naprava jojo doseZe v eni periodi Figure 8. Proposed two-layered structure of the control system for regulating the peak hight of the yoyo
Rezultati regulacije največje visine, ki jo naprava jojo doseZe v eni periodi, so podani na sliki 9. IzkaZe se, da potem ko se imitačijski sistem sinhronizira z napravo, kar ponazarja frekvenca ! (spodnji graf), ta dobro sledi referenčni vrednosti. Dosezeno vodenje naprave je stabilno. Določena odstopanja, ki so opazena v merjeni relativni višini, so bodisi posledica napake merilnega sistema bodisi posledica ze opisanega nihanja naprave jojo.
4 Sklep
Najpomembnejši prispevek tega dela je uvedba imitacijskega sistema v vodenje dinamicnih ritmicnih nalog, ki so nelinearne in hkrati zahtevajo sinhronizacijo gibanja
21-i-i-i-i-i-i-i-
0 50 100 150 200 250 300 350 400
t [s]
Slika 9. Vodenje naprave jojo z reguliranjem relativne višine h (zgornji graf). Jojo tipa B
Figure 9. Regulating the peak height of the yoyo by measuring the relative height h (the top plot). Yoyo: type B
robota z vodeno napravo. Zaradi preproste uporabe in robustnosti, kijih prinaša predlagani imitacijski sistem, je ta primeren za vodenje takšnih nalog. Pomembno je le, daje vhod v imitacijski sistem ena periodično merljivih veličin sistema. Na primeru naprave jojo so prikazani eksperimentalni rezultati uporabe imitacijskega sistema. Izkaze se, da kljub temu, daje naloga dinamicna, nelinearna in periodicšna, imitacijskemu sistemu uspe pravilno in dovolj hitro razbrati frekvenco in sinhronizirati gibanje robota z gibanjem naprave.
Dodatno je bilo na primeru jojo pokazano, daje sistem neodvisen od vhodne merilne velicšine, dokler je ta ena merljivih periodicnih velicin. V obeh predstavljenih primerih, merjenje sile ali merjenje relativnega polozaja, je sistemu uspelo hitro razbrati pravilno frekvenco in vzpostaviti stabilno delovanje naprave. Po do zdaj objavljenih podatkih je ta sistem edini, kije brez bistvenih sprememb algoritma vodenja sposoben voditi napravo jojo, ne glede na izbrani merjeni signal. Z uvedbo regulacijske zanke za parameter r, ki omogoca amplitudno modulacijo trajektorije, smo dosegli tudi regulacijo najvecje višine, ki jo naprava jojo doseze v eni periodi na realnem sistemu.
5 Literatura
[1]	L. Zlajpah, Robotic yo-yo: modeling and control strategies, Robotica, Vol 24(2), pp. 211-220, 2005.
[2]	P. Cafuta in B. Curk, Neholonomsko robotsko breme, Elektrotehniški vestnik, Vol. 76(3), pp. 103-107, 2009.
[3]	A.J. Ijspeert, Central pattern generators for locomotion control in animals and robots: a review, Neural Networks, Vol. 21(4), 2008.
[4]	T. Kasuga in M. Hashimoto, Human-robot handshaking using neural oscillators, Proc. IEEE Int. Conf. Robotics and Automation, Spain (Barcelona), April, Vol. 4, pp. 3802-3807, 2005.
[5]	A. Gams, J. Lenarcic in L. Zlajpah, Vrtenje ziroskopske naprave z robotom, Elektrotehniški vestnik, Vol. 74(4), pp. 223-228, 2007.
[6]	T. Petric, A. Gams in L. Zlajpah, Modeling and control strategy for robotic powerball, Proc. Int. Conf. Robotics in Alpe-Adria-Danube Region, RAAD, Romania (Brasov), May 25-27, 2009.
[7]	S. Schaal, Is imitation learning the route to humanoid robots?, Trends in cognitive sciences, Vol 3(6) , pp. 233248, 1999.
[8]	A. Gams, A. J. Ijspeert, S. Schaal in J. Lenarcic, Online learning and modulation of periodic movements with nonlinear dynamical systems, Autonomous Robots, Vol. 27(1), pp. 3-23, 2009.
[9]	S. Kawamura in N. Fukao, Interpolation for input torque patterns obtained through learning control, Proc. Int. Conf. Automation, robotics and computer vision (ICARCV'94), 1994.
[10]	A. Ude, C. G. Atkeson, in M. Riley, Planning of joint trajectories for humanoid robots using B-spline wavelets, Proc. IEEE Int. Conf. Robotics and Automation, California (San Francisco), April, pp. 2223-2228, 2000.
[11]	S. Calinon in A. Billard, Recognition and reproduction of gestures using a probabilistic framework combining PCA, ICA and HMM, Proc. Int. Conf. Machine Learning (ICML), Germany (Bonn), August, pp. 105-112, 2005.
[12]	S. Schaal, J. Peters, J. Nakanishi, in A. Ijspeert, Learning movement primitives, International Symposium on Robotics Research (ISRR2003), Springer Tracts in Advanced Robotics, Ciena, Italy: Springer, 2004.
[13]	H. Jin, Q. Ye, in M. Zacksenhouse, Return maps, parameterization, and cycle-wise planning of yo-yo playing, IEEE Trans. Robotics, In press, 2009.
[14]	A. Gams, T. Petric in L. Zlajpah, Controlling yo-yo and gyroscopic device with nonlinear dynamic systems, Proc. Int. Conf. Robotics in Alpe-Adria-Danube Region, RAAD, Romania (Brasov), May 25-27, 2009.
[15]	J. Buchli in A. Ijspeert, A simple, adaptive locomotion toy-system, Proc. Int. Conf. Simulation of Adaptive Behavior (SAB'04), MIT Press, pp. 153-162, 2004.
[16]	L. Righetti, J. Buchl in A. Ijspert, Dynamic hebbian learning in adaptive frequency oscillators, Physica, Vol. D 216(2) pp. 269-281, 2006.
[17]	L. Righetti in A. Ijspeert, Programmable central pattern generators: an application to biped locomotion control, Proc. IEEE Int. Conf. Robotics and Automation, pp. 15851590, 2006.
[18]	S. Shall in C. G. Atkeson, Constructive incremental learning from only local information, Neural Computation , Vol. 10(8), pp. 2047-2084, 1998.
Tadej Petrič je diplomiral leta 2008 na Fakulteti za elektrotehniko, racunalništvo in informatiko v Mariboru. Zaposlen je kot mladi raziskovalec na Institutu "Jozef Štefan".
Andrej Gams je diplomiral leta 2003 in doktoriral leta 2009 na Fakulteti za elektrotehniko v Ljubljani. Zaposlen je kot raziskovalec na Institutu "Jozef Štefan".
Leon Zlajpah je diplomiral leta 1982, magistriral leta 1985 in doktoriral leta 1989 na Fakulteti za elektrotehniko v Ljubljani. Je raziskovalec in vodja odseka za avtomatiko, biokibernetiko in robotiko na Institutu "Jozef Štefan".