i
i
“Strnad-teorija” — 2010/5/31 — 14:15 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 15 (1987/1988)
Številka 2
Strani 116–121
Janez Strnad:
TEORIJA IN POSKUS. NEWTON IN GRAVITACIJ-
SKA KONSTANTA. MERJENJE GRAVITACIJSKE
KONSTANTE
Ključne besede: fizika, gravitacija, poskus.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/15/874-Strnad.pdf
c© 1987 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
'-'-/1 "
r L ""
TEORIJA IN POSKUS
Današnji fiziki si enako kot G. Galilei in 1. Newton prizadevajo, da bi spoznali
tajnosti narave . Med tedanjim in sedanjim raziskovanjem pa ne gre spregle-
dati vsaj dveh pomembnejših razlik. G. Galilei je sam postavil teorijo prostega
padanja in delal poskuse in meril s kotalečimi se kroglicami. V tistih časih in
tudi še pozneje so isti fiziki postavljali teorije, načrtovali poskuse in jih delali,
gradili merilne naprave in merili.
Nekako na začetku našega stoletja pa so naloge postale tako obse-
žne, da so si fiziki razdelili delo. Vse bolj so nekateri samo postavljali teorije
in računali, drugi pa samo načrtovali poskuse, gradili naprave in merili. Prvi so
teoretiki, drugi eksperimentalci. Delitev je šla še dalje , tako da se marsikateri
izmed današnj ih raziskovalcev razume samo na majhen del teorijske ali
eksperimentalne fizike.
Druga sprememba je segla še globlje. Nekdaj so raziskovali le možje, ki so
bili pripravljeni skromno živeti ali so imeli kako premoženje. Saj so že obstajale
univerze in akademije in marsikateri vladar al i mesto ali država so podpirali
raziskovanje, toda plačila in podpore ponavadi niso bile izdatne. G. Galilei in
1. Newton sta bila prej izjemi: sploh nista živela slabo. Galilei je znal zahtevati
ustrezno plačilo, ker je moral skrbeti za družinske člane,!. Newton pa je postal
nadzornik kraljeve kovnice in je zapustil nečakinji veliko premoženje. Kljub te-
mu je bila znanost za današnje pojme tedaj zelo omejena . V našem stoletju,
posebno po drugi svetovni vojni, pa je "znanost postala velika". Organizirano
raziskovanje na univerzah, akademijah in inštitutih, tudi na številnih inštitutih
industrijskih ustanov, podjetij. in urejen način zbiranja denarja preko razisko-
valnih in drugih skupnosti dajeta znanosti mnogo širši okvir in veljavo, a jo
tudi zavezujeta.
Naravoslovje hodi po dveh nogah, teoriji in poskusu ... Zdaj postavi naprej
eno, zdaj drugo nogo. Nenehen napredek je mogoč samo z uporabo obeh -
s teorijskim razmišljanjem in potem s preskušanjem ali odkrivanjem novih zvez
pri poskusih in potem stem, da pristavimo teorijsko nogo in jo porinemo
naprej in tako dalje izmenoma ...
R.A . Millikan, Nobelovo predavanje 1924
116
V idealni predstavi se eksperimentalec suče okoli naprav, ki jih je zgradil,
in meri. Poleg tega mora preskrbeti denar, material in instrumente, nadzoro -
vati včasih številne tehnike in laborante in obdelovat i rezultate merjenj . Vse to
pogosto t raja leta in leta in edini namen tega dela je natančnejša vrednost
kakega parametra ali konstante ... Teoretik pa v idea lni predstavi sedi za pisalno
mizo v čisti in svetli sob i s pogledom na vrt ali ribnik ali v najslabšem primeru
leži doma na kavču in razmišlja "o naravi stvari" ali računa. Od časa do časa
prekine to z zanimivimi diskusijami o raznih zna nstvenih in splošnih proble-
mih .., V resnici seveda razmere niso tako preproste. V 19. stoletju, da ne go-
vorimo o prejšnjih stoletjih, še ni bilo jasne delitve fizikov na eksperimentalce
in teoretlke, Glede na sposobnosti in želje so seveda nekateri več eksperimenti·
rali , drugi več računali, večina pa je delala oboje . Čedalje bolj zapletena ekspe-
rimentalna tehnika, hitra rast števila fizikov, tekmovanje med njimi, večanje
znanstvene uspešnosti in kopičenje informacij je povzročilo "delitev dela" in
ločiteveksperimentalcev in teoretikov.
V.L. Ginzburg, Sodobni problemi fizike in
astro fizike, DZS, Ljubljana 1978, str. 76
NEWTON IN GRAVITACIJSKA KONSTANTA
Pravzaprav je presenetlj ivo, koliko si je 1. Newton pomagal z gravitacijskim za-
konom, ne da bi ga poznal do podrobnosti. Ni namreč določil gravitacijske
konstante. Privlačna sila med drobnima telesoma je sorazmerna z maso enega in
drugega telesa in obratno sorazmerna s kvadratom njune razdalje . Da pa bi
lahko izračunali silo med telesoma, bi morali poznati še sorazmernostni koefi-
cient, gravitacijsko konstanto K:
F = «mm'rr?
Iz astronomskih opazovanj gravitacijske konstante ni mogoče določiti, saj
ne poznamo privlačne sile, obeh mas in razdalje. Na Zemlj i bi jo lahko določili,
če bi imeli podatek o masi Zemlje: privlačno silo , to je težo telesa, njegovo ma-
so in radij Zemlje poznamo. Pri krogeino simetričnem telesu za točko zunaj
telesa glede gravitacije lahko veliko telo nadomestimo z drobnim telesom z
enako maso v njegovem sred išču. Iz prejšnje trditve izhaja na drugi strani, da bi
lahko "stehtali Zemljo" , se pravi določili njeno maso, če bi poznali gravita-
cijsko konstanto .
1. Newton je to skoraj naredil. V predlogu X, izreku X v 3. knjigi je ugoto-
vil: " Ker je navadna snov na zemeljskem površju dvakrat težja kot voda in
117
malo niže v rudn iki h t ri- do štirikrat t ežja ali celo petkrat težja, je verjetno ko
Iič i na vse snovi na Zemlji pet - ali šestkrat težja, kot če bi bila vsa Zemlja iz
vode. '
Vzemimo, da je Zemlja v povprečju 5,5-krat gostejša od vode. Z znanim
radijem 6400 k ilometrov i zračunamo njeno maso:
mz = pV = p.4 1Tr/ 13 = 5500 kgm-3 .41T(6,4.106 m)3 13 = 6.10 2 4 kg
Zemlja pr ivlači telo z maso 1 kg s težo 9,8 N, tako da je gravitacijska konstanta
K = Fr2/mmz =9,8 N (6,4.10
6 m)2/1 kg.6. 102 4 kg =6,7.1O-1 1 Nm 2/kg 2
Če upoštevamo, da je 1 N = 1 kgms-2 , lahko enoto zapišemo drugače:
m3Ikgs2 •
Vend ar Newton ni naredil tega koraka. Najbrž le ni zaupal svojemu ugi-
banju o gostoti Zemlje. Zato ni mogel uporabljati naravnost gravitacijskega
zakona, ampak se je moral zadovoljiti z računanjem razmerja , na pr imer
razmerja gravitacijskih sil danih teles v odvisnosti od razmerja njunih razdalj:
F21F1 = (rdr2 )2.
MERJENJE GRAVITACIJSKE KONSTAN TE
Še za Newtonovega življenja so se fiziki spraševali, kako bi določ ili gravita -
cijsko konstanto . Treba je izmerit i zelo majhno privlačno silo med telesoma na
zemeljskem površju . Za začetek so posku sili s silo med drobnim te lesom in go-
ro . Telo so obesili na vrvico in merili odklon vrvice od navpičnice. Francoz
Pierre Bouguer je delal poskuse na ekspedicij i leta 1738 ob Chimborazu v da-
našnjem Ekvadorju . Anglež Maskelyne je meril v škotsk ih gorah. Vendar se za-
misel ni obnesla.
Privlačna sila med laboratorijskima telesoma je še manjša. Bilo jo je mogo-
če izmeriti šele potem, ko je francoski vojašk i inženir Charles Au gust in de
Cou lomb izumil torzijsko tehtnico (slika 1) . Prečka na navpi č ni kovinski ali
kremenov i nitki se malo zasuče, če deluje pravokotno na prečko v njenem kra-
[išču šibka sila. Zasuk je mogoče natančno izmeri t i, če pritrdimo na prečko
zrcalce, usmerimo nanj ozek svetlobni curek in opazujem o premik svetle pege
na oddaljeni steni. S tako tehtn ico se je Coulomb v letih od 1785 do 1789 pre-
pričal, da je si la med naelektrenima telesoma obratno sorazmerna skvadratom
razdalje. Sila je privlačna , če imata naboja nasproten znak , in odboj na, če ima-
ta enak znak.
S torzijsko tehtnico , (slika 2) je Anglež Henry Cavendish leta 1798
prvič izmeril gravitacijsko konstanto . Na krajišče lahke prečke je pritrd il
drobni telesi in izmeril silo med njima in večjima svinčenima kroglama, ki ju je
118
Slika 1. To rzi jska teht ni ca, s katero je
C.A . Coulomb leta 1785 preve ri l zakon za
silo med naelektrenima telesoma. Zakon
ima podobno ob liko kot Newt onov gravi-
tacij ski zakon : sila je sorazmerna z nabo-
jem enega in z naboje m d rugega telesa in
ob ratno sorazmerna s kvadratom razda-
lj e. T oda za razliko od gravi t acije, ki je
vedno p rivlač na, j e ele ktrična sil a pri -
vlačna , če ima t a naboj a nasproten znak ,
in odboj na, če imata enakega. Preč ka s
telesom j e obešena na tank i k ovi nsk i
nitki in zasuk prečke j e sorazmeren s silo.
II.
E
w
F~;;:::= ==f:=========:~
E
w
"-5z======-~.
Slika 2. Torzijska tehtnica, s katero je Henry Cavendish leta 1798 izmeril gravitacijo
med laboratorijskima tele soma in določ il gravitacijsko konstanto 1< ~ 6,7 .10 -1 1 m 3/kgs'.
Naspro ti velikima svinčenima kroglama W z maso po 158 kilogramo v sta drob ni krog li B
na preč ki , ki visi na tanki kovinski nitki. Za radi sil e med krog lama W in B se preč ka zasu-
če. Zasuk prečke je Cavend ish izmeril na skalah A , ki sta ju osvetljevali sveti lki L, skozi
daljnogleda T .
119
notranji sili sistema
o beh kroglic
Tsila velike krog lice
t na malo
1sila ma le k roglicena velikoupor
vzgono
.-
vzqon
i
t<' .-
upo r,-
O
-"teža'"
postavi l nasprot i. Podo ben pos kus naredimo danes brez težav pri pred avanju iz
f izike v prvem let niku na un iverzi. Natančna merjenja pa so veliko bolj za-
htevna . Gravitacijska konstanta sodi med najmanj natančno določene sploš ne
konstante . Leta 1982 sta G.G. Luther in W.R . Towler dobila zanjo
6,6726 .10'\ \ m3 / kgs2 •
Razmišljanje p rihrani ma rs ikateri posku s, a ne vseh
Gal ilejev predhodnik na unive rzi v Pisi Battista Benedett i je (leta 1585)
zasledil nasprotje : Vzemimo, da težje telo pada hitreje od lažjega . Zvežimo obe
telesi. Sestavljeno telo pada hitreje, ker je težje od težjega telesa . Toda težje
telo sili lažje k hitrejšemu gibanju, lažje pa težje k počasnejšemu, tako da se
giblje sestav ljeno telo hitreje kot lažje, a počasneje kot težje. Oboje ne more
veljati, zato padajo vsa telesa enako.
Verjetno je Gal ilei izhajal iz tega spoznanja, k i velja , če ni tr eba upoštevat i
zračnega upora.
Aristotel pa je b il prepričan , da vakuum , to je prosto r, v katerem ne b i bilo
zračnega upora, splo h ne obstaja, ker se ga " narava boj i" . Zato je vsaj pod-
zavestno upošteval upor zraka ali druge tekočine.
V tej zvezi je poučno obdelati gibanje drobnih kovinskih ali steklenih kro-
glic v vodi ali gibanje zelo drobnih vodnih kapl j ic v zraku. Za ta primer velja
Aristotelova napoved : kroglica pada s konstantno hitrostjo , ki je tem večja,
čim težja je kroglica .
1hitros.t 1
padanja
teža
1hitros t padanja
Slika 1. Velika kroglica pada v vodi z večjo hitrostjo kot mala kroglica. Z zelo tanko in
dovolj dolgo nitko povezani kroglici pa padata s hitrostjo, ki je večja od hitrosti male kro -
glice, a manjša od hitrosti velike. V vseh treh primerih je po kratkem začetnem odseku
vsota vseh sil enaka nič in gibanje enakomerno.
120
Uporabimo Newtonov zakon, ki ga bomo obdelali pozneje. Na kroglico
delujejo zunanje sile: teža mg = p Vg navpično navzdol in vzgon, to je teža
izpodrinjene vode, mg = p'Vg, in upor 61Tf1]V navpično navzgor . m in p sta
masa in gostota kroglice , a m' in p' masa in gostota vode . Oboje ima enako
prostornino V = 4 1Tf 3 / 3, če je r radij kroglice. Stokesova enačba, po kater i je
upor 61Tf1]V, velja samo, če je hit ro st v dovolj majhna. Pr i t em je 1] viskoznost,
ki pove, kako se voda - na površju miruje glede na kroglico -upira gibanju.
Po Newtonovem zakonu je vsota vseh zunanjih sil enaka z maso pomnože-
nemu pospešku:
ma = (m - m')g - 61Tf1]V
Pospešek a je pozitiven v sme ri navzdol. Pospešek je enak nič, ko je gibanje
enakomerno. Tedaj se giblje kroglica s hitrostjo
v=mg(1-p' lp) /61Tf1]=2f2 (p-p')g I91]
Hitrost je tem večja, č im večja je teža krogi ice .
Ta enačba je "po duhu" blizu "Aristotelovemu zakonu gibanja" . Toda
Aristotel je nekako spregledal upor in menda mislil, da razlika teže in vzgona
"poganja" telo s ko nst antno hitrostjo .
Zdaj povežimo kroglico z večj im radijem f 1 in kroglico z manjšim radijem
f2 z dovolj dolgo vrvico tako , da gibanje ene preko gibanja te koči ne ne zmoti
gibanja druge. Na večjo kroglico deluje zdaj še sila vrvice F navpično navzgor
m1a1 = (ml -m1')g- 61Tf11]V1-F
in na manjšo še enako vel ika sila vrvice navpično navdol
m2a2 = (m2 - m2 'Ig - 61Tf21]V2 + F
Pospeška al in a2 sta enaka nič, ko je gibanje enakomerno . Tedaj se gibljeta
obe kroglici z enako hitrostjo V1 = V2 = vs' Seštejemo obe enačbi in izračuna­
mo to hitrost :
Vs = (ml + m2 - ml' - m2 ')gI61T1] (rl + (2) =
= 2(p -P')(f~ +f~)/91](f1 +(2) =
= 2(p - p ')(fi - f1 rz + f;) 191]
Čeprav pada posamična kroglica tem hitreje , čim težja je , je hitrost Vs med
2 2 2 2
hitrostrna V1 in V2, saj velja f2 < f1 - f1 f2 + f2 < f1 , če je fl < f1 . V tem pri-
meru Benedettijevo nasprotje odpove. Kaka trd itev ima smisel le v določenih
okoliščinah, ko lahko podrobno opredelimo, kaj opazujemo. Aristotelovim
trditvam so manjkale predvsem te podrobne opredelitve.
Janez Strnad
121