Kompjutorska simulacija skručivanja odijevaka kompleksne
geometrije
Computer Simulation of Solidification of Compiex Geometry
Castings
V, Grozdanič*1, J. Črnko*1
1. UVOD
Pri proizvodnji odijevaka složene geometrije od velike su pomoči modeli kojima se simulira njihovo skručivanja jer je več za kompjutorskim terminalom moguče odrediti tok njihova skručivanja, vrijeme skručivanja, mjesta moguče pojave defekta u odljevcima, te utjecati na njihov dizajn kako bi se proizvedli zdravi odljevci. Medutim. raznolikost i kompleksnost oblika odijevaka umnogome otežavaju simulaciju skručivanja jer je potrebno primije-niti kompleksan matematički aparat da bi se proces opi-sao matematičkim modelom koji uz osnovnu diferencijal-nu jednadžbu provodenja topline sadrži početne i gra-nične uvjete. Diferencijalna jednadžba rješava se nume-rički primjenom metode konačne razlike ili konačnog elementa. Metoda konačne razlike može biti eksplicitna i implicitna a po svojoj matematičkoj formulaciji nešto je jednostavnija od metode konačnog elementa, što je uv-jetovalo da se ta metoda prije koristila pri rješavanju kru-čivanja odijevaka. Ne ulazeči u prednosti ili nedostatke navedenih metoda opčenito je prihvačeno da se kod modeliranja skručivanja odijevaka manje složene geometrije za numeričko rješavanje parcijalne diferencijalne jednadžbe koristi metoda konačne razlike. Primjer od-Ijevka relativno složene geometrije predstavlja kučište ventila (slika 1), čiji matematički model skručivanja sadrži numeričko rješenje parcijalne diferencijalne jednadžbe implicitnom metodom promjenljivog smjera.
2. MATEMATIČKI MODEL
Pri operacionalizaciji matematičkog modela potrebno je riješiti parcijalnu diferencijalnu jednadžbu provodenja topline koja odgovara geometrijskom uzoru kučišta ventila (slika 1)m:
SJ= a (52T 15T j 82T
8t 8r2 rSr 8z2
(1)
Kako u horizontalnoj osi simetrije kučišta ventila vri-jedi da je r = 0, jednadžbu (1) potrebno je modificirati pomoču L'Hospitalovog pravila nakon čega se dobije diferencijalna jednadžba slijedečeg oblika:
8t 8r2 Sz2
(2)
Početni uvjeti. Temperatura kalupa i njegove vanjske strane jednaka je Ts, dok je temperatura metala u kalupu jednaka temperaturi lijevanja TL. Početna temperatura na
Institut za metalurgiju, Sisak
1. INTRODUCTION
Computer simulation of solidification is very helpful for castings of compiex geometry since it enables reii-able determination of the course of solidification. the tirne required for complete solidification and the points of potential casting defects. The simulation can also con t rib u te to improve casting design in order to assure sound castings. However, the simulation is very difficult in the čase of complex gecmetrical shape because it re-guires the elaboration of a sophisticated mathematical model vvhich beside basic differentiai equation of heat fiow must include initiai and boundary conditions also.
4 ioo
<M00
50
j 300
Slika 1
Kučište ventila s odgovarajučim dimenzijama. Fig. 1
Vaive housing vvith corresponding dimensions.
graničnoj plohi izmedu odljevka i kalupa dobije se rješa-vanjem Fourierove diferencijalne jednadžbe provodenja topline u slučaju kontakta dvaju polubeskonačnih medija:
T,=TS + -
1+-
n
(3)
Izvod jednadžbe (3) dan je u Dodatku 2.
Granični uvjeti. Vanjska strana kalupa drži se pri konstantnoj temperaturi Ts. Na dodirnoj plohi kalup-me-tal, metal-jezgra i kalup-jezgra postoji kontinuitet toplin-skog toka odnosno vrijedi granični uvjet četvrte vrste:
. STm . 5Tk 'm — ^k	(4)
on on	
	(5)
8n Sn	
	(6)
5n 8n	
(Ar)2
2 r, Ar +
+
-rn+1/2 nTn + 1/2 i Tn +1/2	. -rn+1/2_rn
■m, j	"T" 'i+1.|__1 'i. j 'i. j
(Az)2
za drugi At/2 vrijedi
a,in At/2
(7)
rn + 1 o T" + 1 _L Tn + 1 Tn + 1 Tn + 1
1 i, j-1—^ 'i. j 'i.j + 1 ^ i-n '
(Ar)2
i.i + i_
2 rAr
i. M
+
rn + 1/2 o yn + 1/2 i -rn + 1/2	-rn + 1/2_-rn + 1/2
•i-1, j ^ 'i,j	'i + Vj _ 1 'i.j_1 i. j
(8)
(Az)2	aUn At/2
Diferencijalna jednadžba provodenja topline (2) nu merički se riješava na slijedeči način:
— za prvi At/2 vrijedi
2T"g —2 T"., | Tr_rV2-2 T^t1 /2 + TT+Vf _
(Ar)2
(Az)2
-rn + 1/2 -rn 1 ' i. 1 1 1. 1
L, , „ At/2
(9)
Differential equation can be so/ved numerically by the method of finite difference or finite elements. The meth-od of finite difference can be expiicit or impiicit. in re-spect to mathematical formulation it is more simple than the method of finite element therefore it has been used more frequently for the solving of solidification problem. VVithout consideration of shortages and advantages of the both methods it has generally been accepted that for modeiiing of solidification of casting vvith iess com-plex shape the method of finite difference is more suit-able for numerical solution of corresponding partial differential equation. Valve housing (Fig. 1) is an exampie of a casting vvith comparatively complex geometry. Mathematical model of its solidification contains numerical solution of partial differential equation by impiicit method of variabie direction.
2. MATHEMATICAL MODEL
In the elaboration of mathematical model the follovv-ing partiai differential equation of heat fiovv corresponding to valve housing (Fig. 1)"' should be solved:
Toplofizička svojstva materijala. Pri simulaciji skručivanja kučišta ventila toplinska svojstva kalupa, metala i jezgre uzeta su kao funkcija temperature'2' (Dodatak 3).
3. IMPLICITNA METODA PROMJENLJIVOG SMJERA
Diferencijalna jednadžba provodenja topline (1) odnosno (2) s odgovarajučim početnim i graničnim uvjeti-ma riješena je numeričkom metodom konačne razlike -implicitnom metodom promjenljivog smjera13'. Metoda se sastoji u tome da se vremenski interval podijeli na dva koraka. U prvoj polovini vremenskog intervala diferencijalna jednadžba rješava se implicitno u z smjeru, a eksplicitno u r smjeru. Za drugu polovinu vremenskog intervala postupak je obrnut, tj. diferencijalna jednadžba rješava se implicitno u r smjeru a eksplicitno u z smjeru. Diferencijalna jednadžba provodenja topline (1) numerič-ki se rješava na slijedeči način:
— za prvi At/2 vrijedi
T" _9 T" 4-T" T" _Tn
'i.j-1 ^ 'j.i^ 'i.i+1 | 'i.i + 1 'i.H
8T_ tfT.m T.&T.
JraPŠ? + 75r+s/
(1)
Since for horizontal axis of valve housing symmetry r= 0 equation (1) should be modified according to L'Hospital's ruie vvhich results in the eguation:

8t ^Sč' 8z*	(2>
Initial conditions. Mold temperature and temperature of its outer side is equai to Ts vvhereas the temperature of metal is equai to casting temperature TL. Initial temperature at the mold/casting boundary interface can be obtained by solving Fourier's differential equation for heat flow through the contact area of two semiinfinite medias:
TL-TS
T,= Ts+-
1+-
(3)
Derivation of eq. (3) is given in Appendix 2.
Boundary conditions. Outer mold surface maintains constant temperature Ts. On contact mold/metal, metal/ core and moid/core area there is a continuous heat fiovv for vvhich boundary condition of the fourth sort holds:
8Tm _ k 8Tk Sn k8n STm_kSTi " 8n 8n
k 8n 'Sn
(4)
(5)
(6)
Thermophysical properties of material, it has been asummed that thermal properties of mold, metat and core are temperature dependent'2'. (Appendix 3).
3. IMPLICIT METHOD OF VARIABLE DIRECTION
Differential heat flow equations (1) and (2) vvith corresponding initial and boundary conditions have been numerically solved by impiicit method of variabie direction'3'. The method utiiize division of tirne interval into two steps. In the first half of tirne interval the equa-tion is solved implicitly for z and explicitly for r direction. The procedure is reversed in the second half of tirne interval.
— za drugi At/2 vrijedi
OTI1 + 1 OTn + 1 Tn + 1/2 o Tn + 1/2 , xn + 1/2 2 f | i, 2 ~ ^ 1 i, 1 j 1 i-1, 1 ~ ^ 'i.1 + 'i+1. 1
(Ar)2	(Az)2
b,v1 + c1v2 a2v, + b2v2 + c2v3
a3v2 + b3v3 + c3v4
+ bivl + civl + 1
= di = d2 = d3
= dj (11)
Vn = Yn
v( = y, -	i = N-1, N-2, ..., 1
(12) (13)
gdje se p i y računaju iz rekurzivnih formula
Pi = b,	(14)
ri = d,/p,	(15)
P, = b,--3-Pm, =2,3.....N
ci-1
dnzMhl, i = 2,3,...,N
P,
(16) (17)
Consequently, for differential equation (1) and first half of tirne interval At/2 we have:
Tn _P Tn -+- T" Tn _T"
' i. H * ' i. n	''.;+' ' i. H
(Ar)2
2 /- Ar+
, Tn +1 -rn + 1/2
1 11 (10) a, i,„ At/2
Primjenom implicitne metode promjenljivog smjera dobije se sistem simultanih linearnih algebarskih jed-
nadžbi, čije su nepoznanice v,, v2.....vn, a koje imaju tri-
dijagonalni oblik:
+
T"+ »/■?_OTn+ 1/2-L T"+ 1/2 * T"+	T"
' i-1. j i. j + '/+>./__1 ' i. i —I i. i
ai j. n At/2
(Az)2
VVhereas for the second t/2 we obtain:
an-1vn-2 + vn_! + cn_,vn =dN_1
aNvN_, + bNvN	= dN
Posebno efikasan algoritam za rješavanje tridijago-nalnog sistema jednadžbi je:
Tn+ 1_p Tn+ 1 , -rn+ 1 *rn+ 1 _-rn+ 1
' i. j-1 i j "r,i.y+r 'i. j+1
(Ar)2	2 rjAr
jn+ i/2_2 Tn+1/2 + Tn+ 1/2 i Tn+1/2_Tn+1/2
| ' ' i_'_[__■'' 1 i___'__i_i__' !	/o\
(Azf	~ ai.i. n At/2
Numericai solution of the differential equation (2) of heat flovv for first At/2 is:
22TJ£-2TJi T°X\/2-2T°y/2+TX;/2 (Ar)2 +	(Azf
4 T"+ 1'2 T" i 1 i. 1 ~ ' 1. 1
a>. 1. n At/2
(9)
and for second At/2: 2
£77+'-2 77+' 77_t f - 2 T?+ 1/2 + 77+,"? (Ar)2 +	~(Alj2	=
7-n+ 1 Tn+ 1/2 t ' i. 1 ~ ' 1.1
a, m At/2
(10)
U Dodatku 4 navedeni su tridijagonalni koeficijenti koji daju algoritam procesa skručivanja kučišta ventila u pješčanom kalupu.
4.	DIJAGRAM TOKA
Na temelju prikazanog algoritma napisan je program u programskom jeziku ASCII FORTRAN koji je riješen na računalu SPERRY 1100. Detaljan dijagram toka prikazan je na slici 2. Osnovna karakteristika programa je da se koriste dvije matrice temperatura T i T*. Prva matrica sadrži temperature na početku i kraju vremenskog koraka, a druga matrica sadrži temperature na kraju prvog At/2. Na početku programa pridaju se početne vrijed-nosti pojedinim varijablama i konstantama. Potprogra-mom TYP pridaju se početne vrijednosti temperature pojedinim mrežnim točkama, a takoder se tipiziraju sve točke u kalupu, odljevku, jezgri i na njihovim medusob-nim granicama. Nakon ispisa početne temperature ras-podjele pomoču potprograma ISPIS1, sistem algevarskih tridijagonalnih jednadžbi rješava se prvo redak po redak (potprogram RED), a zatim stupac po stupac (potpro-gram STUP). Rezultati se periodički ispisuju po cijeloj geometriji odljevka, kalupa i jezgre (potprogram ISPIS1) ili samo po geometriji odljevka (potprogram ISPIS2) do unaprijed zadanog vremena tmax.
5.	DISKUSIJA REZULTATA
Simulacija skručivanja ventila od čeličnog lijeva s oko 0,25% C u pješčanom kalupu provedena je uz prostorni korak Az = Ar = 1 cm i vremenski korak At = 10 s do vre-
The use of impiicit method of variable direction results in a system of simultaneous iinear algebraic equa-tions vvith variables v1: v2...vn of tridiagonal form:
bM+CtV? a2v,+ b2v2+ c2v3
a3v2+ b3v3+ c3v4
ayM+ b,Vi+ c,vi+1
= d, = d2 = d3
= d, (11)
an-1v n-2 + bN_1VN_1+ , l/N = dN_ j
aNvN_,+ bNvN	= dN
Specially efficient algoritm for the solving of tridiagonal system of eguations is:
vn=Yn
(12)
v(= y, - BlZ+i, /= n-2, .... 1 (13) vvhere /5 and 8 are calculated from recursive formulas
Pi= b,	(14)
Yi— d,/p,	(15)
P<=b,--— Bh1, =2,3,...,N	(16)
c 1—1
Pi
Tridiagonal coefficients vvhich give algorithm of valve housing solidification in sand mould are presented in Appendix 4.
Slika 2
Dijagram toka.
Fig. 2
Fiow diagram.
mena tmax = 200 s. Temperatura lijevanja bila je 1580° C a početna temperatura kalupa i jezgre 25° C. Na temelju sukcesivnih temperaturnih ispisa za pojedine mrežne točke dobije se vrijeme skručivanja desnog toplinskog centra od 136 s i lijevog toplinskog centra 181 s, što ujedno predstavlja vrijeme skručivanja cijelog odljevka. Na temelju pomicanja izosolidusa (slika 3) može se zaključiti da su mjesta moguče pojave defekta (lunkera) upravo mjesta gdje završava skručivanje toplinskih cen-tara, odnosno u bližini unutarnjeg ugla odljevka. Iz slike 3 uočava se da jezgra bolje odvodi toplinu od kalupnog materijala jer su izosolidusi pomaknuti više prema periferiji odljevka.
Točnost simulacije skručivanja čeličnog ventila u pješčanom kalupu ograničena je s tri aspekta: predpostavkama uvedenim pri definiranju matematičkog mode-
4.	FLOW DIAGRAM
Based on the presented algorithm a computer program was written in ASCII FORTRAN and sotved on SPERRY 1100 computer. A detailed ftow diagram is seen on Fig. 2. The main feature of the program is its use of two temperature matrixes name/y T and T*. First matrix contains temperatures at the start and end of tirne step. The other contains temperature at the end of first At/2. Initial values are assigned to program var-iables and constants. Program module TYP provides for initial values of temperatures of particular net points as well as for standardization of ali points in mold. casting. core and theirs boundary interfaces. Module ISPIS1 prints out initial temperature distribution. The system of tridiagonai equations is then sotved firstiy row by row (module RED) and then cotumn by column (module STUP). Resuits are periodicaily printed over the whole geometry of casting, mold and core (module ISPIS1) or over the casting geometry oniy (module ISPIS2) untill the prescribed tirne tmax.
5.	DISCUSSION
Simulation of the soiidification of 0.25% C steel valve housing casted in sand mold is carried out by space step Az=Ar = 1 cm and tirne step Af= 10 s till tmax=200s. Casting temperature vvas 158CPC vvhereas the initial temperature of mold and core vvas 25> C. On the basis of successive temperatures print out for particular net points, soiidification tirne 136 s for the right and 181 s for the teft heat centre is obtained. The later value is also soiidification tirne for entire casting. By isosolidus shift as seen in Fig. 3 it can be conciuded that potentiai defect sites are obviously the points of final soiidification of heat centres i.e. in the vicinity of inner corner of the casting. From fig. 3 it can be seen that cooling rate of the core is higher than that of the mold since isosolidus curves are shifted outvvard.
The accuracy of the simulation is iimited depending on the assumptions utiiized in mathematical model, method of numerical analysis and the utiiized values of thermophysical material properties. Severa! assumptions have been used in the e/aboration of the mathematical modeI. The most important are: the heat transfer rate is comptete. the casting temperature is equal to initial temperature of metal in the mold and the mold/cast-ing interfacial thermal contact is perfect. The first assumptions restrains the analysis to the mold-casting-
Slika 3
Napredovanje izosolidusa (1449°C) u odljevku za vremena 20, 80 i 140 s. Fig. 3
Progress of isosolidus (1449° C) after 20. 80 and 140 s.
la, primjenjenoj metodi numeričke analize i korištenim vrijednostima toplofizičkih svojstava materijala. Pri postavljanju matematičkog modela krenulo se od više pretpostavki od kojih su najvažnije pretpostavka o pot-punom provodenju topline, pretpostavka da je temperatura lijevanja jednaka početnoj temperaturi metala u kalupu i pretpostavka o savršenom toplinskom kontaktu na graničnoj plohi kalupa i odljevka. Prva pretpostavka og-raničuje razmatranje skručivanja na sistem kalup-odlje-vak-jezgra u kojem se toplina prenosi samo provode-njem, što znači da se ne razmatraju parcijalni procesi prijenosa topline vezani uz vlagu u kalupu i jezgri. Druga pretpostavka predstavlja pojednostavljenje uvedeno da se izbjegne kompleksno razmatranje protjecanja metala kroz uljevni sistem i kalupnu šupljinu povezano s prijela-zom topline. Pretpostavka o savršenom toplinskom kontaktu na graničnoj plohi odljevka i kalupa prihvatljiva je iz razloga što se na graničnoj plohi tek djelomično javljaju plinski zazori, pa se pri matematičkoj formulaciji uzima da vrijedi granični uvjet četvrte vrste. Parcijalna diferencialna jednadžba provodenja topline riješena je nume-ričkom metodom konačne razlike - implicitnom metodom promjenljivog smjera koja je odabrana iz razloga što ima veliku točnost pri aproksimaciji i prostora i vremena. Metoda je drugog reda s obzirom na diskretizaci-ju prostora i vremena. Nedovoljno poznavanje toplofizičkih svojstava materijala posebno pri visokim temperaturama značajno utječe na simulaciju skručivanja. To se posebno odnosi na toplinska svojstva kalupnog materijala i jezgre, koja je moguče odrediti samo eksperimentalnim putem a pri visokim temperaturama pokazuje širok dijapazon rasipanja.
6. ZAKLJUČAK
U radu je provedena numerička simulacija skručivanja kučišta ventila od niskougljičnog čeličnog lijeva na formuliranom matematičkom modelu. Modelni sistem je kompleksan jer se sastoji od triju materijala: kalupa, jezgre i odljevka relativno složene geometrije. Matematički model skručivanja odljevka postavljen je uz pretpostav-ku da u sistemu postoji samo provodenje topline, što predstavlja fizikalno realnu pretpostavku. Diferencijalna jednadžba provodenja topline koja odgovara geometrij-skom uzoru kučišta ventila odgovarajuče je modificirana i riješena numerički implicitnom metodom promjenljivog smjera s time da je uzeta u obzir temperaturna ovisnost toplofizičkih svojstava pojedinih materijala. Na temelju dobivenog algoritma napisan je program u program-skom jeziku ASCII FORTRAN za računalo SPERRY 1100. Na temelju simulacije konstatirano je vrijeme skručivanja od 181 s, a na temelju pomicanja izosolidusa moguče je odrediti tok skurčivanja te mjesta moguče pojave defekta u odljevku.
Dodatak 1
Popis oznaka korištenih u radu
a — temperaturna vodljivost materijala
a„ b„ cs, dt — koeficijenti uz nepoznanice u tridijagonal-
nom sistemu algebarskih jednadžbi
cp — specifična toplina pri konstantnom tlaku
k — toplinska vodljivost materijala
n — normala
r — prostorna koordinata
t — vrijeme
T — temperatura
v, — nepoznanica u sistemu simultanih algebarskih jednadžbi
z — prostorna koordinata
core system vvith heat conduction oniy, i.e. partia/ heat flovvs associated vvith mold and core moisture are not considered. The second assumptions is simplification in-troduced to avoid complex consideration of metal flovv through gate system and mold cavity and matching heat transfer. The assumption of perfect thermal contact on the interface is acceptable since on/y partial appearance of gaseous ciearance therefore in mathematical formula-tion the boundary condition of fourth kind is usually taken as valid. Partial differential equation for heat flovv is solved by numerica/ method of finite difference - the im-plicit method of variable direction vvhich vvas chosen due to its high accuracy at approximation of both time and space. The method is of the second order in respect to discretion of time and space. Insufficient knovvledge of thermophysical properties of material specially at high temperatures has a strong influence on simulation of the solidification. It holds specia//y in respect to thermal properties of mold and core material vvhich can be determined only by experiment. Moreover vaiues for thermal properties at higher temperatures shovv considerable dissipation.
6. CONCL USIONS
Numerica/ simulation of solidification of lovv carbon steel casting (valve housing) has been carried out on the basis of a suitable mathematical model. The complex model system is composed of three materials: mold, core and casting of comparatively complicated geome-try. Mathematical model of solidification has been elabo-rated assuming thermal conduction as only heat flovv in the system vvhich is considered as a physically real assumption. Differential equation for heat flovv suited to the geometry of valve housing has been modified and numericaiiy solved by the use of implicit method of variable direction. Temperature dependence of thermophy-sical material properties has been taken into account. Based on the obtained algorithm a computer program vvritten in ASCII FORTRAN for SPERRY 1100 computer ivas used for simulation of the solidification. It has been determined that complete solidification takes 181 sec-onds. The progress of solidification as vveil as hot spots i.e., sites of potential shrinkage cavities can be determined by shift of isosolidus.
Appendix 1
Abbreviat/ons used: a - temperature conductivity
a j, bi: C/, d, coefficients adjoining to unknovvns in tridia-gonal system of algebraic equations, cp - specific heat at constant pressure, k - thermal conductivity, n - verticai direction r - space coordinate t - time T - temperature
v, - unknovvn in system of simultaneous algebraic equa-tions
z - space coordinate Indices
i - space coordinate z, value for boundary mold/metal surface
j - space coordinate r, core k - mold L - casting m - metal
s - room, interfacial
Indeksi
i — prostorna koordinata z, vrijednost na graničnoj plohi kalup-metal j — prostorna koordinata r, jezgra k — kalup L — lijevanje m — metal
s — sobno, površinski Dodatak 2
Pri izvodenju jednadžbe za početnu temperaturnu raspodjelu na dodirnoj plohi kalupa i metala potrebno je riješiti parcijalnu diferencijalnu jednadžbu provodenja topline s odgovarjajučim početnim i graničnim uvjetima
8T_
8t 3 Sx2 T(x, O) =TS T(0,X) = T, I T(x, t) I <M
(18) (19)
metal
^(T(x, t)} = 0(x, s) = | e~st T(x, t) dt
(20)
Parcijalna diferencijalna jednadžba (18) u Laplace-ovom području ima oblik:
dx2
1
a	a
Rješenje jednadžbe (21) ima oblik:
0(x s)=c,(s)exl®i-l-c2(s) e~x|/57i-l- —
(21)
(22)
Appendix 2
The following partial differential equation of heat fiow vvith appropriate initial and boundary conditions must be soived in order to derive equation for temperature distribution on mold/metal interface.
8T= &T 8t a 8x2 T(x, Oj= Ts T (O, x)= T, I T(x, t) \< M
(18) (19)
gdje je M - pozitivna realna konstanta.
Jednadžbu provodenja topline potrebno je riješiti za slučaj kontakta dvaju polubeskonačnih medija, kao što je prikazano na slici 4.
vvhere N is a positive reai constant.
Equation of heat flow should be soived for čase of the contact of two semi-infinite media as can be seen in fig. 4.
Partial differential equation (18) must be transformed into common differential equation by Lapiace transfor-mation defined as:
T(x, t)} = 0 (x, s) =] e-sf T(x, t) dt (20)
o
The equation (18) in Lapiace region has the form:
(21)
The solution of (21) has the form:
0 (x s) = c^s)^ + c2(s) +-s (22)
s
Because of temperature limitations \T(x,t)\<M c,= 0 for x—*oo, i.e.
Ts
dx2 a a
Slika 4
Početna temperatura na graničnoj plohi izmedu kalupa i odljev-
ka. Fig. 4
Initial temperature on boundary mold/metal surface.
Parcijalnu diferencijalnu jednadžbu (18) potrebno je prevesti u običnu diferencijalnu jednadžbu, što omogu-čuju Laplaceove transformacije. Laplaceova transformacija definirana je kao:
Q(x,s)= c2e~^+ — s
For boundary condition T(0,t)= T) i.e.
0('O,s;=c2+^=—' dobije se c2=- (T,—TJ. s s	s
Finai res uit in Lapiace region is:
Q(x,s) = ^^ +L
(23)
(24)
By going out of Lapiace region into real space we have:
T(x,t)= (T—TJ erfc (—^=)+ T 2Jaf
(25)
T—T	x
odnosno-'- = erf (—^=1	(25')
T,-T, 2\fat
vvhere the error function is defined as: erf (t)=Y^ e~"2du
Temperature gradient along x - axis is:
ST= TsZzIie-x*/4at Sx \jtat
odnosno x= o= ^—^ 8x	at
Two semi-infinite media (moid and metal) are in inter-facial contact and the boundary condition of fourth kind is valid:
(26)
(27)
(28)
Zbog ograničenosti temperature, odnosno |T(x,t)| <M slijedi c, = 0 za x-+oo, odnosno
0(x,s) = c2e"xt®i + -^ s
(23)
Korištenjem graničnog uvjeta T(0,t)=Th odnosno
0(O,s) = c2 + — = ~ dobije se c2 = - (T—Ts). s s	s
Konačni rezultat u Laplaceovom području je
0(x,s)=T| ^e-^ + ^s s	s
(24)
Prijelazom iz Laplaceovog područja u realno područ-je dobije se
T(x,t) = (T-Ts) erfc (-£=)+T 2|/at
odnosno ——-1 = erf (—
Ts—T, 2Vit'
pri čemu je funkcija pogreške definirana kao
erf (t)=4\e-u2du ]/jtrf
Temperaturni gradijent u smjeru osi x je:
ST = Ts—Tic_x2/4al
8x ynat
,8T.	Ts—T,
odnosno (—) x = o = -^=i Sx	|/nat
(25) (25')
(26)
(27)
(28)
-kk (^)x = 0=-kn
,8T„
U li_I§ — k
TL-T|
T, = TS + k,
n
k„. ' ^
Dodatak 3
Toplofizička svojstva materijala a) Niskougljični čelični lijev (oko 0,25%C)
Toplinska vodljivost, W/mK
T >1499° C	k = 25,96
1499° C > T > 1449° C	k = 207,54-0,12114T
1499° C > T > 893° C	k = 26,6+ 0,00374 T
893° C > T	k = 50,31 - 0,0225 T
Specifična toplina, J/kgK
-kk£f*)x=0=-km(^)x=0	(29)
ox	5x
By including proper temperature gradients:
lc -	n)* = 0 (29)
8x	8x
Uvrštavanjem odgovarajučih gradijenata temperature dobije se
(30)
(31)
T i-Ts
k^nakt
= kr
TL-T,
(30)
Finatiy, initiai temperature distribution on the boun-dary mold/metai surface is obtained:
t^T.+ML
Na graničnoj plohi u kontaktu su dva polubeskonač-na medija (kalup i metal) pri čemu vrijedi granični uvjet četvrte vrste:
|/nakt ' l/xcamt Sredivanjem jednadžbe (30) dobije se početna temperaturna raspodjela na graničnoj plohi izmedu kalupa i odljevka
/+*kl/s	(31)
km" ak
Appendix 3
Thermo-physical properties of the materials
a)	Low carbon (0.25% C) castad steel
Thermal conductivity, W/mK
T> 149SPC	k= 25,96
1499P C> T> 144SP C	k= 207,54-0,12114 T
14990 C> T> 893P C	k= 26,6+ 0,00374 T
893° C> T	k= 50,31-0,0225 T
Specific heat, J/kgK
T> 1499"C cp= 879,2
149SP C> T> 1474° C	cp= 652273,5- 434,585 T
14740 c> T> 14490 C	cp= 436,258 T- 631251,9
1449PC> T> 982°C	cp= 421,36+0,28712 T
982°C> T> 704°C	cp= 1502,8-0,81391 T
704° C> T> 427° C	cp= 143,76+ 1,11535 T 427° C> T cp= 458,86+ 0,37681 T
b)	Core
Thermal conductivity, W/mK
k= 3.246x 10~6 T2 - 3.894x 10~3T+ 3.052
Temperature diffusivity, m2/s
a= 1.689x 10~'2 T2 - 2.174x 10~9T+ 1.785x 10~6
c)	Mold
Thermal conductivity, W/mK
k= 3.937x 10~6T2 - 3.57x 1Cr3T+ 3.421
Temperature diffusivity, m2/s
a= 1.957x 10~12T2 - 1.8x 10~9T+ 1.913x 10~6
Appendix 4
Constants vvhich appear in tridiagonal coefficients a At
Pr-
2 (Ar)2
aAt 4tjAr
P3 = P i P2 p4=Pi+P2
P5 =
At (kA+ kB) 2 c (Ar)2
^ At (kA+ kB) 4 c r/Ar
c=!lA + !<B aa ab
T> 1499° C c0 = 879,2
1499° C > T > 1474° C 1474° C > T > 1449° C 1449° C > T > 982° C 982° C > T > 704° C 704° C > T > 427° C 427° C > T
cp = 652273,5-434,585 T cp = 436,258 T — 631251,9 cp = 421,36 + 0,28712 T cp= 1502,8-0,81391 T cp=143,76 + 1,11535 T cp = 458,86+ 0,37681 T
b)	Jezgra
Toplinska vodljivost, W/mK k = 3,246 • 10-6 T2—3,894 ■ 10~3T +3,052 Temperaturna vodljivost, m2/s a =1,689- 10~12T2—2,174 ■ 10"9 T+1,785- 10"6
c)	Kalup
Toplinska vodljivost, W/mK k = 3,937 ■ 10"6 T2—3,57 • 10"3 T+ 3,421 Temperaturna vodljivost, m2/s a =1,957 ■ 10"12T2— 1,8 • 10"9T+ 1,913 • 10"6
Dodatak 4
Konstante koje se javljaju u tridijagonalnim koefici-jentima
Pi =
p2 =
a At 2 (Ar)2
a At
4r.Ar
P3 = Pi — p2 P4 = P, + P2
Ps =
Pe =
At (kA + kB) 2 c (Ar)2
At (kA + kB) 4 c r,Ar
c = kA+kg
aA 3B
Qi :
q2 =
q3 =
aAt
2 (Az)2
KAAt c (Az)2
kAAt
Q4 =
q5=-
q6 =
c (Az)2
At (kA + kB) 2 c (Az)2
KAsa40D'
c (Ar)2
kBAt c (Ar)2
Tridijagonalni koeficienti
1. Točka (i,j) u kalupu, metalu odnosno jezgri
— prvi At/2:

q2=

aAt 2(Azf
KAAt
c (Az)2
kAAt
q4=
Qs=-
<7s=
c (Az)2
At (kA + kB) 2 c (Az)2
K.sa40D'
c (Ar)2
kgAt c (Ar)2
Tridiagonal coefficients
1.	Point (i,j) in the mold. metal or core; first At/2:
a,=	c,= —q,
b,=	1+2 q,
d,= p3 T:h+ (1-2Pl) 77,+ p477/+,	(32)
—	second At/2: a~ —p3
b,= 1+2 p,
§1 q,nX!/!+ (1—2qJ 1^+ q, r+lf	(33)
2.	Point (i,j) on the boundary surface para/le/ to r axis separating the material A (left) and B (right).
-	first At/2: a~ -q2
b,=	1+ q2+ q3
c,=	q3
d,=	(P-rPe) T"h+ (1-2p5) rij+ (p5+ p6) T°J+, (34)


T,-
'-1.J
AZ
Ti,j T'*1.j Z
Tu-,
Slika 5
Mrežna točka (i,j) na vertikalnoj graničnoj plohi. Fig. 5
Net point (i,j) on verticai boundary surface.
	r		
	<	Ar Az	B
Ti-i.J		Ti.j	Ti«1,j Z
	c	Ti.j-1	A
Slika 6
Mrežna točka (i,j) na horizontalnoj graničnoj plohi. Fig. 6
Net point (i,j) on horizontai boundary surface.
ai = Ci = —q, b, = 1+2q1
di = p3 Tni.j-i + (1 —2p,) T" j + p4Ti j + 1
— drugi At/2:
a,	= — P3
b,=	1+2 Pl
d) = q, 1/2 + (1 -2q1) T/1/2 + q, TF+1f,j
— second At/2: a,= -(p5-p6) bj= 1+2 p5 cj— -(Ps+Pe)
dj= q2 T?_y/i+ (1~q2~q3) 7?/ q3 77/,f
(35)
3. Point (i,j) on the boundary surface parai/ei to z axis separating the material A (down) and B (up).
—	first At/2: a- C/= - q4 b- 1 + 2q4
d,= (q5- q6) r>j_ ,+ (1-2p5) Tl+ (q6+ p6) T»J+ , (36)
—	second At/2:
ai= Pe~ Qs b,= 1 + 2ps Cj=- (q6+p6)
d,= q4 r/,'f+ (1-2qjri*1/2 + q4 Tftjf
(37)
4. Point (i,1) out of boundary surface; first At/2:
a,= c,= - q, b;= 1+2q,
(1— 4p,) T",+ 4p1 T"g	(38)
— second At/2:
bj= 1+4p, Cj= 4p,
d,= q, 7/,'f + (1-2q,) T* '/2+ q, 77/,ff
(39)
(32)
5. Point (i, 1) on the boundary surface which separate material A (ieft) and B (right)
— first At/2 : a~ - q2 b-2q4+ 1
dl=(iq-4p5)T"n+4psT"l2	(40)
(33)
2. Točka (i,j) na graničnoj plohi paralelno r osi koja odvaja materijal A (lijevo) i B (desno) — prvi At/2:
a, = -q2
b;=1 +q2 + q3
c,	= q3
d,	= (p5-p6) T" H + (1-2ps) T", + (p5 + p6) "^.h	(34)
— drugi At/2:
a,=	— (Ps—Ps)
b,=	1+2 p5
c,=	—(p5 + p6)
d,	= q2Tj/, + (1-q2-q3) T/1'2 + q3TT/lf
— second At/2: b~ 4p5+ 1
d= q2 7T/f + (1-2qJ '*+ q3 77/,'f
(41)
(35)
3. Točka (i, j) na graničnoj plohi paralelno z osi koja dijeli materijal A (dolje) i B (gore)
— prvi At/2:
a,	= c,= -q4
b,	= 1 + 2q4
d, = (q5 - q6) T7(_, + (1 - 2p5) T" + (q6 + p6) , (36)
— drugi At/2: aj = P6-q5 b, = 1 + 2p5 c,= - (q6+p6) -i cl4 T".*,1 j + (1 -2q4)T"j"
1 i,2
Ti-i.i
' i,1

Slika 7
Mrežna točka (i,1) na vertikalnoj graničnoj plohi. Fig. 7
Net point (i. 1) on vertical boundary surface.
d, = q4 TL+,1;2 + (1 -2a4)T",+ 1/2 + q4 T/,"2
(37)
4.	Točka (i, 1) koja nije na granici
—	prvi At/2: a, = c,=
bi = 1+2q,
di= (1 —4p,) T", +4p, T,n2	(38)
—	drugi At/2: bj = 1+4Pl
c,	= 4pi
d,	= q, T[!+1/2 + (1 —2qi) T"^1/2 + q1 T?+1/2	(39)
5.	Točka (i, 1) na graničnoj plohi koja dijeli material A (li-jevo) i B (desno)
LITERATURA / REFERENCES
1.	E. B. G. Eckert, R. M. Drake, Analysis of Heat and Mass Transfer, McGravv-Hill Kogakusha, Tokyo, 1972.
2.	R. D. Pehlke, A. Jeyarajan, H. Wada, Summary of Thermal Properties for Casting Alloys and Mold Materials, University of Michigan, Ann Arbor, 1982.
3.	J. Douglas, H. H. Rachford, Trans. Amer. Math. Soc. 82 (1956), 421.
—	prvi At/2:
a,	= - q2
b,	= 2q4+1
d,= (1-4p5)^1 + 4p5T[,2	(40)
—	drugi At/2:
b, = 4p5+1 Cj= — 4p5
d, = q2 ^«+(1 -2q4) Ttf1* + q3	(41)