OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
OBZORNIK MAT. FIZ. LJUBLJANA LETNIK 63 ŠT. 3 STR 81-120 MAJ 2016
C  KM Y 
2016
Letnik 63
3
i
i
“kolofon” — 2016/10/18 — 13:38 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, MAJ 2016, letnik 63, številka 3, strani 81–120
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
c© 2016 DMFA Slovenije – 2000 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Klep” — 2016/10/13 — 8:52 — page 81 — #1 i
i
i
i
i
i
MATRIČNO KONVEKSNE MNOŽICE
IGOR KLEP
Institut Jožef Stefan
Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko
Math. Subj. Class. (2010): 46L07, 13J30
V prispevku predstavimo matrično konveksne množice, ki so naravna posplošitev
konveksnosti za matrične prostore. Ogledali si bomo ustrezno različico matričnega Hahn-
Banachovega izreka in njegovo uporabo.
MATRIX CONVEX SETS
In this article we explore a natural extension of the notion of convexity to matrix
spaces, the so-called matrix convex sets. We shall give an appropriate analog of the
Hahn-Banach theorem and present some of its applications.
Uvod
Podmnožico K evklidskega prostora Rn imenujemo konveksna, če za po-
ljubni točki x, y ∈ K vsa daljica, ki povezuje x in y, leži v K. Funkcija
je konveksna, če je območje nad njenim grafom konveksna množica. Ta
preprost koncept izvira iz geometrije in se uporablja kot orodje v mnogih
znanostih. Konveksnost je pomembna v ekonomiji in financah (splošna te-
orija ravnotežja predvideva konveksne preference), statistiki in verjetnosti
(glej npr. Jensenovo neenakost) ter v matematični optimizaciji. Slednja
vsebuje kot samostojno vejo konveksno optimizacijo, ki je zaradi nedav-
nih prelomnic (metoda notranjih točk [13] in semidefinitno programiranje
oz. linearne matrične neenakosti [16]) aktualna tema v matematiki in raču-
nalnǐstvu. Konveksnost naredi optimizacijo zanesljivo, saj je vsak lokalni
minimum v tem primeru globalen.
V tem sestavku si bomo ogledali posplošitev pojma konveksnosti v ma-
tričnih prostorih. Pojem je vpeljal Wittstock [18], mi pa bomo sledili šoli
Effrosa [5].
Matrično konveksne množice
Simetrične in pozitivno semidefinitne matrike
Spomnimo, da je realna n×n matrika A = (aij)i,j simetrična, če je A = At,
kjer smo z At označili transponiranko matrike A. Z drugimi besedami, A
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3 81
i
i
“Klep” — 2016/10/13 — 8:52 — page 82 — #2 i
i
i
i
i
i
Igor Klep
je simetrična, če za poljubna 1 ≤ i, j ≤ n velja aij = aji. Množico vseh
simetričnih n× n matrik bomo označili s Sn.
Lastne vrednosti simetrične matrike so vselej realne. Če so vse lastne
vrednosti nenegativne (oz. pozitivne), potem je A pozitivno semidefini-
tna (oz. definitna), kar označimo z A  0 (oz. A  0). Pozitivno semidefi-
nitnost lahko ekvivalentno vpeljemo na več načinov: simetrična matrika A
je pozitivno semidefinitna natanko takrat, ko velja katera koli izmed nasle-
dnjih izjav:
(i) 〈Av, v〉 = vtAv ≥ 0 za vse vektorje v ∈ Rn;
(ii) obstaja realna matrika B, za katero velja A = BtB;
(iii) obstaja simetrična realna matrika C, za katero velja A = C2;
(iv) vsi glavni minorji matrike A so nenegativni.
Povsem analogno lahko karakteriziramo tudi pozitivno definitne matrike.
Množica vseh pozitivno semidefinitnih n × n matrik tvori konveksen
stožec S0n v Sn. Na sliki 1 je predstavljen rob stožca vseh 2 × 2 pozitivno
semidefinitnih matrik ( x yy z ) kot podmnožica R3.
V nadaljevanju bo ključno vlogo imela Löwnerjeva delna ureditev
na Sn, ki jo porodi S0n : za A,B ∈ Sn,
A  B ⇐⇒ A−B  0.
(Kroneckerjev) tenzorski produkt matrik
Pogosto bomo posegali tudi po tenzorskem produktu matrik, zato si na
kratko oglejmo njegove lastnosti. Če je A = (aij)i,j matrika velikosti m× n
in B matrika velikosti p× q, potem je
A⊗B =
a11B · · · a1nB... . . . ...
am1B · · · amnB

matrika velikosti mp× nq. Kroneckerjev produkt je bilinearen, asociativen
in skoraj komutativen: obstajata permutacijski matriki P,Q, za kateri velja
B ⊗A = P (A⊗B)Q.
Če sta A,B kvadratni, smemo vzeti Q = P t. V tem primeru sta torej A⊗B
in B ⊗A ortogonalno ekvivalentni. Velja tudi
(A⊗B)(C ⊗D) = AC ⊗BD,
82 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“Klep” — 2016/10/13 — 8:52 — page 83 — #3 i
i
i
i
i
i
Matrično konveksne množice
Slika 1
kadar sta produkta AC in BD definirana. Operatorska norma1 tenzorskega
produkta je produkt norm, transponiranka tenzorskega produkta pa je ten-
zorski produkt transponirank.
Matrično konveksne množice
Fiksirajmo naravno število g. Naš univerzum bodo g-terice realnih sime-
tričnih matrik vseh velikosti nad realnimi števili,
Sg :=
⋃
n∈N
Sgn.
Na Sg vpeljemo operacijo direktne vsote: za A ∈ Sgn in B ∈ Sgm postavimo
A⊕B :=
(
A 0
0 B
)
=
((A1 0
0 B1
)
, . . . ,
(
Ag 0
0 Bg
))
∈ Sgn+m.
1Operatorska norma n×m matrike W je definirana kot ‖W‖ := max{‖Wx‖ | x ∈
Rm, ‖x‖ = 1}. Operatorska norma je submultiplikativna: ‖VW‖ ≤ ‖V ‖ · ‖W‖, kadar je
produkt VW definiran.
81–99 83
i
i
“Klep” — 2016/10/13 — 8:52 — page 84 — #4 i
i
i
i
i
i
Igor Klep
Tako si lahko Sg mislimo kot neskončno disjunktno unijo ali pa kot stopni-
často množico. Podmnožica K ⊆ Sg je zaporedje
K =
(
K(n)
)
n
,
kjer je K(n) ⊆ Sgn.
Definicija 1. Podmnožico K ⊆ Sg imenujemo matrično konveksna, če
zadošča naslednjim pogojem:
(0) 0 ∈ K (vsebovanost izhodǐsča);
(1) K ⊕ K ⊆ K: za vse A,B ∈ K velja A ⊕ B ∈ K (zaprtost za direktne
vsote);
(2) (zaprtost za ∗-konjugiranje s skrčitvami) za vse n,m ∈ N, vsako skrči-
tev2 V ∈ Rn×m in vsak A = (A1, . . . , Ag) ∈ K(n) velja
V tAV := (V tA1V, . . . , V
tAgV ) ∈ K(m).
Omenimo, da je predpostavka (0) nebistvena, a jo tukaj privzamemo,
da se izognemo nekaterim tehničnim zapletom. Če (0) izpustimo, lahko v
(2) predpostavimo le zaprtje za ∗-konjugiranje z izometrijami V .
Opomba 2. Podmnožici K ⊆ Sg, ki zadošča aksiomu (1) in aksiomu (2) za
ortogonalne matrike V , pravimo prosta množica. Proste množice so domene
in kodomene prostih preslikav, s katerimi se ukvarja prosta analiza [17, 10].
Zgled 3. Preden se lotimo študija matrično konveksnih množic, si poglejmo
nekaj zgledov.
(a) Fiksirajmo g-terico simetričnih matrik Ω ∈ Sgn. Potem je
K := {V t(Iµ ⊗ Ω)V | µ ∈ N, V ∈ Rnµ×m je skrčitev, m ∈ N} (1)
matrično konveksna množica. Tukaj z ⊗ označujemo Kroneckerjev tenzorski
produkt matrik. Če zapǐsemo
V =
V1...
Vµ
 ,
2Matriki V rečemo skrčitev, če je njena operatorska norma ≤ 1. Ekvivalentno: ma-
trika I − V tV je pozitivno semidefinitna, I − V tV  0. Simetrična matrika S je skrčitev
natanko takrat, ko je −I  S  I.
84 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“Klep” — 2016/10/13 — 8:52 — page 85 — #5 i
i
i
i
i
i
Matrično konveksne množice
kjer Vi ∈ Rn×m, potem je
V t(Iµ ⊗ Ω)V =
µ∑
j=1
V tj ΩVj ,
V tV  I pa se prepǐse v
∑
j V
t
j Vj  I.
Očitno je 0 ∈ K, saj lahko v (1) postavimo V = 0. Pokažimo sedaj, da
je K ⊕K ⊆ K. Vzemimo V t(Iµ ⊗ Ω)V, W t(Iν ⊗ Ω)W ∈ K. Tedaj je
V t(Iµ ⊗ Ω)V ⊕W t(Iν ⊗ Ω)W = (W ⊕ V )t(Iµ+ν ⊗ Ω)(W ⊕ V ) ∈ K.
Zaprtost K za ∗-konjugiranje s skrčitvami je še preprosteǰsa. Za V t(Iµ⊗
Ω)V ∈ K(n) in skrčitev W ∈Mn(R) velja
W tV t(Iµ ⊗ Ω)VW = (VW )t(Iµ ⊗ Ω)(VW ),
hkrati pa je
‖VW‖ ≤ ‖V ‖ · ‖W‖ ≤ 1
zaradi submultiplikativnosti operatorske norme.
Množica K je najmanǰsa konveksna množica, ki vsebuje Ω. Pravimo ji
matrično konveksna ogrinjača množice {Ω} in jo označimo s
K = mat-konv{Ω}.
(b) Vzemimo sedaj Ω1, . . . ,Ωr ∈ Sg. Tedaj je najmanǰsa matrično konve-
ksna množica K, ki vsebuje vse Ωj , enaka mat-konv{Ω1 ⊕ · · · ⊕ Ωr}.
Očitno je Ω1⊕· · ·⊕Ωr ∈ K, saj je K zaprta za direktne vsote. Hkrati pa
vsaka matrično konveksna množica, ki vsebuje Ω1 ⊕ · · · ⊕ Ωr, vsebuje tudi
vsak Ωj , saj velja npr.
Ω1 =

I
0
...
0

t
Ω1
Ω2
. . .
Ωe


I
0
...
0
 .
S tem smo pokazali, da so vse matrično konveksne množice, ki so napete s
končno mnogo tericami matrik, vselej napete kar s singletonom.
(c) Naj bo ε > 0. Definirajmo prosto ε-kroglo s sredǐsčem v izhodǐsču 0:
Nε :=
⋃
n∈N
{X ∈ Sgn | ‖X‖ ≤ ε} =
{
X ∈ Sg | ε2I 
∑
j
X2j
}
.
Preprosto je preveriti, da je Nε matrično konveksna množica.
81–99 85
i
i
“Klep” — 2016/10/13 — 8:52 — page 86 — #6 i
i
i
i
i
i
Igor Klep
(d) Vzemimo A = (A1, . . . , Ag) ∈ Sgd in tvorimo enični matrični šop veli-
kosti d:
Λ(x) := Id + x1A1 + · · ·+ xgAg. (2)
Matrični šop lahko seveda vrednotimo v Rg: za x ∈ Rg je Λ(x) identiteta
plus ustrezna linearna kombinacija matrik Aj . Veliko bolj zanimivo pa je
vrednotenje v Sn za n ≥ 2. Če so X1, . . . , Xg ∈ Sn, potem definiramo
Λ(X) = In ⊗ Id +X1 ⊗A1 + · · ·+Xg ⊗Ag ∈ Sdn.
Sedaj tvorimo linearno matrično neenakost Λ(x)  0 in njeno množico
rešitev, t. i. (prost) spektraeder
DΛ =
⋃
n∈N
{X ∈ Sgn | Λ(X)  0}.
Vse skalarne točke DΛ(1) = DΛ ∩ Rg tvorijo konveksno podmnožico Rg.
Množica DΛ je matrično konveksna. Res, Λ(0) = I  0, torej je 0 ∈
DΛ(1). Zaprtost DΛ za direktne vsote sledi iz
Λ(X ⊕ Y ) = Λ(X)⊕ Λ(Y ),
zaprtost za ∗-konjugiranje s skrčitvami pa iz
Λ(V tXV ) = I ⊗ I +
∑
j
(V tXjV )⊗Aj
= (V ⊗ I)t
(
I ⊗ I +
∑
j
Xj ⊗Aj
)
(V ⊗ I) + (I − V tV )⊗ I
= (V ⊗ I)tΛ(X)(V ⊗ I) + (I − V tV )⊗ I  0.
Matrični šop (2) po navadi označimo z ΛA(x).
(e) Oglejmo si konkretna primera prostih spektraedrov. Definirajmo
∆(x1, x2) := I3 +
0 1 01 0 0
0 0 0
x1 +
0 0 10 0 0
1 0 0
x2 =
 1 x1 x2x1 1 0
x2 0 1
 ,
Γ(x1, x2) := I2 +
(
1 0
0 −1
)
x1 +
(
0 1
1 0
)
x2 =
(
1 + x1 x2
x2 1− x1
)
.
86 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“Klep” — 2016/10/13 — 8:52 — page 87 — #7 i
i
i
i
i
i
Matrično konveksne množice
Skalarne točke prostih spektraedrov D∆ in DΓ je preprosto izračunati npr. s
pomočjo minorjev (razdelek (Kroneckerjev) tenzorski produkt matrik). Ve-
lja
D∆(1) = {(X1, X2) ∈ R2 | X21 +X22 ≤ 1},
DΓ(1) = {(X1, X2) ∈ R2 | X21 +X22 ≤ 1}.
Množici D∆(1) in DΓ(1) sovpadata. Po drugi strani pa je preprosto videti((
1
2 0
0 0
)
,
(
0 34
3
4 0
))
∈ D∆ \ DΓ,
zato iz ∆(X1, X2)  0 ne sledi Γ(X1, X2)  0. Velja pa obratna implika-
cija: DΓ ⊂ D∆. To bomo podrobneje razložili v razdelku Uporaba Hahn-
Banachovega izreka, glej zgled 17.
Ker je 1 x1 x2x1 1 0
x2 0 1
 =
x1 1 0x2 0 1
1 0 0
t1 0 00 1 0
0 0 1− x21 − x22
x1 1 0x2 0 1
1 0 0

in je konjugacijska matrika obrnljiva,x1 1 0x2 0 1
1 0 0
−1 =
0 0 11 0 −x1
0 1 −x2
 ,
sledi
D∆ = {(X1, X2) ∈ S2 | 1−X21 −X22  0}.
(f) Iz matrično konveksnih množic lahko tvorimo nove matrično konveksne
množice, npr. s preseki, kartezičnimi produkti, zaprtji. Tukaj vse te kon-
strukcije izvajamo stopničeno; npr. zaprtje K ⊂ Sg je
K =
⋃
n∈N
K(n),
pri čemer K(n) ⊆ Sgn opremimo z inducirano evklidsko topologijo.
Projekcija matrično konveksne množice je ponovno matrično konveksna:
če je K ⊂ Sg+h matrično konveksna, potem je tudi
projg K :=
⋃
n∈N
{X ∈ Sgn | ∃Y ∈ Shn : (X,Y ) ∈ K}
matrično konveksna.
81–99 87
i
i
“Klep” — 2016/10/13 — 8:52 — page 88 — #8 i
i
i
i
i
i
Igor Klep
(g) Podajmo še eno konstrukcijo matrično konveksnih množic. Za podmno-
žico K ⊆ Sg označimo s
K◦ =
⋃
n∈N
{A ∈ Sgn | ∀X ∈ K : ΛA(X)  0}
njeno polaro. Opazimo, da bi lahko v definiciji namesto ΛA(X)  0
zahtevali ΛX(A)  0, saj sta matriki ΛA(X) in ΛX(A) ortogonalno ek-
vivalentni; prehodna matrika je celo permutacijska in realizira izomorfizem
A⊗B 7→ B⊗A.3 Preprosto je videti, da je K◦ matrično konveksna množica.
Opazimo tudi, da ◦ obrača inkluzije: če je K ⊆ K̃, potem velja K◦ ⊇ K̃◦.
(h) Vrnimo se k prostim kroglam iz (c). Za ε > 0 velja
N 1
gε
⊂ N ◦ε ⊂ N√g
ε
.
Pokažimo najprej prvo inkluzijo. Če je ‖A‖ ≤ 1gε , potem za vsak X ∈ Nε
velja
‖A1 ⊗X1 + · · ·+Ag ⊗Xg‖ ≤ gmax
j
‖Aj‖ ·max
k
‖Xk‖ ≤ 1.
Sledi
ΛA(X)  0,
zatorej je A ∈ N ◦ε .
Za desno inkluzijo vzemimo poljuben A ∈ N ◦ε . Potem za vsak Xj norme
ε velja
1 ≥ ‖Aj ⊗Xj‖ = ‖Aj‖ · ‖Xj‖ = ε‖Aj‖,
torej je ∥∥∥∑
j
A2j
∥∥∥ ≤ g
ε2
.
Osnovne lastnosti matrično konveksnih množic
Sedaj smo pripravljeni, da si ogledamo preproste lastnosti matrično konve-
ksnih množic. Najprej razložimo, od kod ime.
Lema 4. Naj bo K ⊂ Sg matrično konveksna. Tedaj je za vsak n ∈ N
množica K(n) = K ∩ Sgn konveksna.
3V angleščini tej preslikavi rečemo canonical shuffle.
88 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“Klep” — 2016/10/13 — 8:52 — page 89 — #9 i
i
i
i
i
i
Matrično konveksne množice
Dokaz. Vzemimo realni števili s, t, za kateri velja s2 + t2 = 1, in naj bosta
X,Y ∈ K(n). Definirajmo skrčitev
V =
(
sIn
tIn
)
in poračunajmo:
s2X + t2Y = V t
(
X 0
0 Y
)
V = V t(X ⊕ Y )V ∈ K(n).
Naj bo K ⊂ Sg prosta množica. Pravimo, da je K zaprta za zožitve
na invariantne podprostore, če za vsak X ∈ K(n) in vsak podprostor
H ⊂ Rn dimenzije m, ki je invarianten za X, velja
X|H ∈ K(m). (3)
Strogo gledano X|H seveda ni m×m matrika, temveč le linearna preslikava
na m razsežnem podprostoru H ⊂ Rn. V izjavi (3) vsebovanost v K(m)
preverjamo s kakšno od matrik, ki jih tej linearni preslikavi priredimo glede
na ortonormirano bazo H. Ali je dobljena matrika element K(m), je neod-
visno od izbire baze, saj je množica K prosta in zato zaprta za ortogonalno
∗-konjugiranje.
Izrek 5. Naj bo 0 ∈ K ⊂ Sg prosta podmnožica, ki je zaprta za zožitve na
invariantne podprostore. Potem je K matrično konveksna natanko takrat,
ko je K(n) konveksna za vsak n ∈ N.
Dokaz. Implikacija (⇒) drži po preǰsnji lemi. Poglejmo si še obrat. Vze-
mimo X ∈ K(n), podprostor H ⊂ Rn in naj bo L ortogonalni komplement
H v Rn. Glede na direktno vsoto Rn = H⊕L naj ima X zapis
X =
(
A B
Bt C
)
.
Če z V označimo izometrijo H → Rn, potem je V ∗XV = A. Hkrati je(
A 0
0 C
)
=
1
2
(
A B
Bt C
)
+
1
2
(
1 0
0 −1
)(
A B
Bt C
)(
1 0
0 −1
)
element K(n), saj je K(n) konveksna in je matrika
(
1 0
0 −1
)
ortogonalna.
Ker je H invarianten podprostor za
(
A 0
0 C
)
, dobimo še A = V ∗XV ∈ K.
Od tod sledi, da je V ∗XV ∈ K za vsako izometrijo V .
81–99 89
i
i
“Klep” — 2016/10/13 — 8:52 — page 90 — #10 i
i
i
i
i
i
Igor Klep
Naj bo W : H → Rn poljubna skrčitev. Potem je
V : H → Rn ⊕H, x 7→
(
Wx,
√
I −W tWx
)
=
(
W,
√
I −W tW
)
x
izometrija. Ker je 0 ∈ K, za vsak X ∈ K(n) velja X ⊕ 0 ∈ K. Sledi
W tXW = V t
(
X 0
0 0
)
V ∈ K.
Zgled 6. Podajmo še primer nekonveksne proste množice v S2, katere ska-
larne točke tvorijo konveksno podmnožico v R2. (Nekomutativnemu) poli-
nomu p = 1− x41 − x22 priredimo prosto semialgebraično množico
Dp := {(X1, X2) ∈ S2 | p(X1, X2)  0}.
x1
x2
1
1
Slika 2. TV zaslon Dp(1) =
{
(x1, x2) ∈ R2 | 1− x41 − x22 ≥ 0
}
.
Čeprav je množica Dp(1) konveksna, Dp ni matrično konveksna. Z ne-
koliko računske spretnosti je možno pokazati, da podmnožica Dp(2) v 6-
razsežnem evklidskem prostoru S22 ni konveksna. Res, za
X1 =
(
1
2 −
1
4
−14 −
1
4
)
, Y1 =
(
2
7
5
6
5
6 0
)
, X2 =
(
1
2 −
1
4
−14
7
16
)
, Y2 =
(
3
10
5
6
5
6 0
)
velja (Xj , Yj) ∈ Dp(2) in
(
1
2(X1 +X2),
1
2(Y1 + Y2)
)
6∈ Dp(2).
90 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“Klep” — 2016/10/13 — 8:52 — page 91 — #11 i
i
i
i
i
i
Matrično konveksne množice
Slika 3. »Tipičen« trirazsežni prerez TV zaslona Dp(2).
Rečemo, da je 0 v notranjosti podmnožice K ⊂ Sg, če je Nε ⊆ K za kak
ε > 0. Množica K je omejena, če obstaja N ∈ N, za katerega je ‖X‖ ≤ N
za vse X ∈ K. Ekvivalentno: K ⊂ NN . (Tukaj velja opozoriti, da je ta
zahteva močneǰsa od omejenosti vseh K(n).)
Lema 7. Denimo, da je K ⊂ Sg matrično konveksna. Potem so naslednje
trditve ekvivalentne:
(i) 0 ∈ Rg je v notranjosti množice K(1);
(ii) 0 ∈ Sgn je v notranjosti množice K(n) za kak n ∈ N;
(iii) 0 ∈ Sgn je v notranjosti množice K(n) za vse n ∈ N;
(iv) 0 je v notranjosti množice K.
Dokaz. Očitno velja (iv)⇒ (iii)⇒ (ii). Predpostavimo, da drži (ii). Potem
obstaja ε > 0 z Nε(n) ⊆ K(n). Ker je
Nε(1)⊕ · · · ⊕ Nε(1) ⊆ Nε(n),
in je Nε zaprt za ∗-konjugiranje s skrčitvami, je tudi Nε(1) ⊆ K(1), torej
velja (i).
81–99 91
i
i
“Klep” — 2016/10/13 — 8:52 — page 92 — #12 i
i
i
i
i
i
Igor Klep
Slika 4. Nekonveksen 2-razsežni prerez Dp(2).
Naj sedaj drži (i), tj. Nε(1) ⊆ K(1) za kak ε > 0. Trdimo, da je Nε/g2 ⊆
K. Vzemimo poljuben X ∈ Nε/g2 . Očitno je[
−ε
g
,
ε
g
]g
⊆ K(1).
Ker ima vsak Xj normo ≤ ε/g2, imajo v njegovi diagonalizaciji Xj =
U∗
(
λ1
. . .
λn
)
U vse λj absolutno vrednost ≤ ε/g2. Zato je (0, . . . , 0, gλk,
0, . . . , 0) ∈ K(1) in nato zaradi zaprtosti za direktne vsote
(
0, . . . , 0,
g
(
λ1
. . .
λn
)
, 0, . . . , 0
)
∈ K. Samo še ∗-konjugiramo z U in dobimo
(0, . . . , 0, gXj , 0, . . . , 0) ∈ K.
Sledi
X =
1
g
(
(gX1, 0, . . . , 0) + · · ·+ (0, . . . , 0, gXg)
)
∈ K.
Opomba 8. Pri študiju matrično konveksnih množic se po navadi omejimo
na takšne, ki vsebujejo 0 v notranjosti. Če ima K(1) kakšno notranjo točko,
npr. a ∈ Rn, potem preprosto s translacijo
K − a =
⋃
n∈N
{X − aIn | X ∈ K(n)}
92 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“Klep” — 2016/10/13 — 8:52 — page 93 — #13 i
i
i
i
i
i
Matrično konveksne množice
prevedemo na takšen primer. Če K(1) nima notranje točke, potem pa leži
v kakšnem afinem podprostoru {` = 0} [3, Theorem 2.4]. Kratek račun
pokaže, da iz `K(1) = 0 sledi `|K = 0. Torej lahko iz enačbe ` = 0 izra-
zimo kakšno od spremenljivk in s tem preidemo na nižje razsežen ambientni
prostor. Postopek nadaljujemo, dokler K(1) nima notranje točke.
Trditev 9. Naj bo K ⊂ Sg.
(1) če je 0 v notranjosti množice K, potem je K◦ omejena;
(2) K ⊂ K◦◦; z drugimi besedami, za vse n ∈ N velja K(n) ⊂ K◦◦(n);
(3) K je omejena natanko takrat, ko je 0 v notranjosti množice K◦.
Dokaz. Če ima K izhodǐsče v notranjosti, potem je Nε ⊆ K za neki ε > 0.
Torej je K◦ ⊆ N ◦ε ⊂ N√g
ε
omejena. Tukaj smo za zadnjo inkluzijo uporabili
zgled 3(h).
Trditev (2) je tavtologija. Res, za X ∈ K(n) želimo pokazati ΛX(A)  0,
kadarkoli velja ΛA(Y )  0 za vse Y ∈ K. To pa je preprosta posledica
dejstva, da sta matriki ΛX(A) in ΛA(X) ortogonalno ekvivalentni.
Če je K omejena, potem je 0 očitno v notranjosti množice K◦. Obratno,
če je 0 v notranjosti množice K◦, potem iz (1) sledi, da je K◦◦ omejena. Ker
nam (2) pove, da velja K ⊂ K◦◦, je tudi K omejena.
Lema 10. Za podmnožico K ⊆ Sg+h si oglejmo njeno sliko projK ⊆ Sg pri
projekciji proj : Sg+h → Sg. Terica A ∈ Sg je element (projK)◦ tedaj in le
tedaj, ko je (A, 0) ∈ K◦.
Dokaz. A ∈ (projK)◦ natanko tedaj, ko za vse X ∈ projK velja ΛA(X)  0.
Slednje je ekvivalentno Λ(A,0)(X,Y )  0 za vse X ∈ projK in vse Y ∈ Sh,
kar je ekvivalentno Λ(A,0)(X,Y )  0 za vse (X,Y ) ∈ K. To pa se zgodi
natanko takrat, ko (A, 0) ∈ K◦.
Matrični Hahn-Banachov izrek
V tem razdelku si bomo ogledali eno glavnih orodij pri delu z matrično
konveksnimi množicami – analog Hahn-Banachovega izreka. Kot prva sta ga
dokazala Effros in Wikler [5], alternativni dokaz pa si bralec lahko ogleda v
[9]. Dokaz je razmeroma zapleten in predolg, da bi ga lahko tukaj predstavili.
Podrobneje pa si bomo pogledali nekaj posledic in uporab tega izreka.
81–99 93
i
i
“Klep” — 2016/10/13 — 8:52 — page 94 — #14 i
i
i
i
i
i
Igor Klep
Izrek 11 (Matrični Hahn-Banachov izrek). Naj bo K matrično konve-
ksna množica, katere stopnice K(n) so zaprte. Če X ′ ∈ Sgn ne leži v K(n),
potem obstaja eničen matrični šop Λ(x) velikosti n, za katerega je Λ(Y )  0
za vse Y ∈ K in Λ(X ′) 6 0.
Naslednja posledica pove, v kakšnem smislu lahko izrek 11 razumemo
kot matrični analog Hahn-Banachovega izreka. Hkrati nas prepriča, da so
prosti spektraedri ustrezni analogi polprostorov iz klasične konveksnosti za
univerzum Sg.
Posledica 12. Naj bo K zaprta matrično konveksna množica. Potem je K
enaka preseku vseh prostih spektraedrov, ki jo vsebujejo.
Nadaljnje lastnosti matrično konveksnih množic
Najmanǰso zaprto matrično konveksno množico, ki vsebuje K ⊂ Sg, bomo
označili z mat-konvK.
Trditev 13. Naj bo K ⊂ Sg.
(1) Če za neki m ∈ N velja 0 ∈ K(m), potem je K◦◦ = mat-konvK.
(2) Če je K zaprta matrično konveksna množica, tedaj velja K = K◦◦;
Dokaz. Začnimo s točko (1). Najprej opazimo, da je 0 ∈ mat-konvK(m), in
ker je mat-konvKmatrično konveksna, dobimo 0 ∈ mat-konvK(1). Denimo,
da W 6∈ mat-konvK. Potem nam izrek (11) da obstoj eničnega matričnega
šopa ΛA (kjer velikost matrik A ni večja od velikosti W ), ki loči W od
mat-konvK: ΛA(W ) 6 0 in ΛA(X)  0 za vse X ∈ mat-konvK. V poseb-
nem je A ∈ K◦. Ker sta matriki ΛW (A) in ΛA(W ) ortogonalno ekvivalentni,
sledi ΛW (A) 6 0 in W /∈ K◦◦. Torej je K◦◦ ⊂ mat-konvK. Obratna inkluzija
sledi iz trditve 9(2). Točka (2) je preprosta posledica točke (1).
Posledica 14. Če je K ⊂ Sg, potem je K◦◦ = mat-konv
(
K ∪ {0}
)
.
Dokaz. Ker je K◦ = (K ∪ {0})◦, sledi
K◦◦ = (K ∪ {0})◦◦.
Po trditvi 9(1) in (13) sedaj dobimo
mat-konv
(
K ∪ {0}
)
= (K ∪ {0})◦◦.
94 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“Klep” — 2016/10/13 — 8:52 — page 95 — #15 i
i
i
i
i
i
Matrično konveksne množice
S pomočjo prostih spektraedrov, njihovih polar in projekcij lahko eks-
plicitno opǐsemo matrično konveksno ogrinjačo singletona, t. i. matrični ali
prosti polieder:
Izrek 15. Naj bo Ω ∈ Sgn.
(1) mat-konv{Ω} = D◦ΛΩ.
(2) Zapǐsimo Ω =
(
(ω`ij)
n
i,j=1
)
`=1,...,g
∈ Sgn. Tedaj je mat-konv{Ω} enaka⋃
m∈N
{(∑
i,j
ω`ijCij
)
`=1,...,g
| Cij ∈Mm(R),
C = (Cij)
n
i,j=1  0,
∑
i
Cii  In
}
. (4)
Dokaz. Oglejmo si najprej točko (2). Po zgledu 3(a) je X ∈ (mat-konv{Ω})
(m) natanko takrat, ko velja
X = V t(Iµ ⊗ Ω)V (5)
za neki µ ∈ N in nµ × m skrčitev V . Vešči bralec bo na desni strani
(5) prepoznal Choi-Krausov zapis povsem pozitivne preslikave. Linearna
preslikava τ med končnorazsežnimi podprostori realnih simetričnih matrik
je povsem pozitivna natanko tedaj, ko je oblike
τ(x) =
µ∑
j=1
V tj xVj = V
t(Iµ ⊗ x)V
za matrike (ustrezne velikosti) Vj [14, Proposition 4.7]. Tukaj smo z V ozna-
čili stolpec (V1, . . . , Vµ). V našem primeru velja še
∑
j V
t
j Vj  I, saj je V
v (5) skrčitev. Tako vidimo, da je g-terica X element (mat-konv{Ω})(m)
takrat in le takrat, ko je za vsak i matrika Xi slika τ(Ωi) povsem pozitivne
preslikave τ : Lin{I,Ω1, . . . ,Ωg} → Sm, ki pošlje I v skrčitev. Po Arveso-
novem razširitvenem izreku [14, Theorem 6.2] lahko τ razširimo do povsem
pozitivne preslikave τ̂ : Md(R) → Mm(R). Sedaj pa uporabimo Choijevo
matriko [14, Theorem 3.14]. Preslikava τ̂ : Md(R) → Mm(R) je povsem
pozitivna natanko takrat, ko je njena Choijeva matrika
C := (Cij)
n
i,j=1  0,
kjer je
Cij = τ̂(Eij).
81–99 95
i
i
“Klep” — 2016/10/13 — 8:52 — page 96 — #16 i
i
i
i
i
i
Igor Klep
Ker je
τ̂(Ω`) =
∑
i,j
ω`ij τ̂(Eij) =
∑
i,j
ω`ijCij ,
leži X v množici (4). S tem je točka (2) dokazana. Ugotovimo lahko tudi,
da je množica mat-konv{Ω} zaprta, celo kompaktna, saj je slika kompaktne
množice po (4).
Posvetimo se sedaj točki (1). Najprej dokažimo inkluzijo (⊂). Vzemimo
poljuben A = V t(I ⊗ Ω)V ∈ mat-konv{Ω}. Trdimo, da je A ∈ D◦ΛΩ . Za
vsak X ∈ DΛΩ velja
ΛA(X)
u∼= ΛX(A) = ΛX
(
V t(I ⊗ Ω)V
)
 (V ⊗ I)tΛX(Ω)(V ⊗ I)
= (V ⊗ I)tP tΛΩ(X)P (V ⊗ I)  0,
(6)
kjer smo z
u∼= označili ortogonalno ekvivalenco, P pa je ortogonalna matrika,
za katero velja P tΛΩ(X)P = ΛX(Ω). Pri tem prva neenakost v (6) sledi z
enakim računom kot v zgledu 3(d). Torej je A ∈ D◦ΛΩ .
Za obratno inkluzijo bomo uporabili matrični Hahn-Banachov izrek 11.
Denimo, da X 6∈ mat-konv{Ω}. Potem obstaja matrični šop ΛA, za katerega
velja
ΛA|mat-konv{Ω}  0, ΛA(X) 6 0.
Prva neenakost je ekvivalentna ΛA(Ω)  0 in s tem ΛΩ(A)  0. V posebnem
A ∈ DΛΩ . Hkrati pa velja
ΛX(A)
u∼= ΛA(X) 6 0,
torej X 6∈ D◦ΛΩ , kar smo želeli dokazati.
Razred prostih spektraedrov ni zaprt za polare; je pa polara spektraedra
projekcija spektraedra po izreku 15. Izkaže se, da je slednji razred zaprt za
polare [8].
Uporaba Hahn-Banachovega izreka
V tem razdelku si oglejmo presenetljivo uporabo izreka 11. Opisali bomo,
kdaj za enična matrična šopa ΛA in ΛB velja DΛA ⊂ DΛB . Ekvivalentno,
ΛB|DΛA  0.
Posledica 16 (Linearni Positivstellensatz [7]). Naj bo A ∈ Sgd in B ∈
Sge. Naslednji trditvi sta ekvivalentni:
96 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“Klep” — 2016/10/13 — 8:52 — page 97 — #17 i
i
i
i
i
i
Matrično konveksne množice
(i) DΛA ⊂ DΛB ;
(ii) B ∈ mat-konv{A}, tj. obstaja µ ∈ N in skrčitev V , da velja
B = V t(Iµ ⊗A)V.
Dokaz. Uporabimo izrek 15, ki nam poda naslednjo verigo ekvivalenc:
DΛA ⊂ DΛB ⇐⇒ D
◦
ΛA
⊇ D◦ΛB
⇐⇒ mat-konv{A} ⊇ mat-konv{B} ⇐⇒ B ∈ mat-konv{A}.
Omenimo, da v točki (ii) posledice 16 lahko postavimo meje na µ. Brez
škode za splošnost lahko namreč zahtevamo µ ≤ de. Dokaz tega ni preza-
pleten, a uporabi teorijo povsem pozitivnih preslikav in ga zato izpuščamo.
Bralec lahko podrobnosti najde v [7]. Posledica ima vedno preprosto inter-
pretacijo v jeziku povsem pozitivnih preslikav: DΛA ⊂ DΛB natanko takrat,
ko obstaja povsem pozitivna preslikava, ki pošlje Ai 7→ Bi in slika I v skr-
čitev.
Zgled 17. Vrnimo se k zgledu 3(e). Pokažimo, da velja DΓ ⊆ D∆. Defini-
rajmo
V1 :=
[
1 1 0
0 0 1
]
in V2 :=
[
0 0 1
1 −1 0
]
.
Potem je
2∆(x1, x2) = V
t
1 Γ(x1, x2)V1 + V
t
2 Γ(x1, x2)V2,
kar s pomočjo posledice 16 da iskani zaključek.
Nadaljnje teme
Prispevek sklenemo s kratko diskusijo oz. kažipotom za nadaljnje teme.
Gleichstellensatz
Naravno vprašanje je, kdaj dva matrična šopa določata enak prost spektra-
eder, tj. DΛA = DΛB . Najprej opazimo, da je to vprašanje nekako ekviva-
lentno vprašanju obstoja vložitve med spektraedroma:
DΛA ⊂ DΛB ⇐⇒ DΛA⊕B = DΛA .
Rečemo, da je matrični šop ΛA minimalen, če za vse terice matrik B,
ki so manǰse velikosti od A, velja DΛA 6= DΛB . Z nekaj truda je mogoče
dokazati, da je dovolj, če minimalnost preverjamo le za »podšope« ΛA.
Tukaj podšop označuje skrčitev matričnega šopa ΛA na skupen invariantni
podprostor za A.
81–99 97
i
i
“Klep” — 2016/10/13 — 8:52 — page 98 — #18 i
i
i
i
i
i
Igor Klep
Izrek 18 (Linearni Gleichstellensatz [7]). Naj bosta A ∈ Sgd in B ∈ S
g
e.
Predpostavimo, da sta matrična šopa ΛA in ΛB minimalna. Potem sta
naslednji trditvi ekvivalentni:
(i) DΛA = DΛB ;
(ii) d = e in obstaja ortogonalna matrika U ∈Md(R), za katero velja
B = U tAU.
Izrek 18 poda geometrijsko karakterizacijo teric matrik glede na ortogo-
nalno konjugiranje. Dokaz tega izreka uporabi Arvesonovo nekomutativno
Choquetjevo teorijo [1, 2] in ga bomo izpustili. Bralec ga lahko najde v [7].
Na tem mestu omenimo še algebraično karakterizacijo teric matrik glede
na ortogonalno konjugiranje. Procesijev izrek [15] pove, da sta g-terici
A1, . . . , Ag ∈ Md(R) in B1, . . . , Bg ∈ Md(R) ortogonalno ekvivalentni na-
tanko takrat, ko velja
sledw(A,At) = sledw(B,Bt)
za vse besede w v x, xt dolžine d2.
Konveksni Positivstellensatz
Posledica 16 opǐse matrične šope ΛB, ki so pozitivno semidefinitni na spek-
traedru DΛA . V tem smislu gre za tipičen izrek iz realne algebraične geome-
trije [4], ki se ukvarja s polinomskimi neenakosti. Zanimiva je tudi naslednja
posplošitev na nekomutativne polinome p, ki so pozitivno semidefinitni na
prostem spektraedru DΛA .
Izrek 19 (Konveksni Positivstellensatz [6]). Naj bo p nekomutativen
matrični polinom in Λ enični matrični šop. Potem je p|DΛ  0 tedaj in le
tedaj, ko je
p = hth+
∑
f tjΛfj (7)
za matrične polinome (ne nujno kvadratne) h, fj. Če je stopnja p kvečjemu
2r+1, potem je v (7) stopnja h kvečjemu r+1, stopnje fj pa so vse omejene
z r.
Izrek 19 je »perfekten« Positivstellensatz, saj potrebuje le nenegativnost,
certifikat (7) ima optimalne meje na stopnje, možno pa je izpeljati tudi
meje na velikost matrik, ki jih potrebujemo za p|DΛ  0. Hkrati lahko
98 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“Klep” — 2016/10/13 — 8:52 — page 99 — #19 i
i
i
i
i
i
Matrično konveksne množice
izrek razumemo kot nelinearno algebraično posplošitev povsem pozitivnih
preslikav. Dokaz [6] tega izreka je povsem drugačen od dokaza posledice 16,
ki smo ga predstavili zgoraj. Sloni namreč na separaciji konveksnih množic
in Gelfand-Naimark-Segalovi konstrukciji ter reši nekomutativen problem
momentov.
C∗-konveksnost
Matrični konveksnosti soroden pojem najdemo tudi v kontekstu C∗-algeber.
Tam govorimo o C∗-konveksnih množicah [12, 11].
LITERATURA
[1] W. B. Arveson, Subalgebras of C∗-algebras, Acta Math. 123 (1969), 141–224.
[2] W. B. Arveson, The noncommutative Choquet boundary, J. Amer. Math. Soc. 21
(2008), 1065–1084.
[3] A. Barvinok, A course in convexity, Amer. Math. Soc., 2002.
[4] J. Bochnack, M. Coste in M.-F. Roy, Real algebraic geometry, Ergebnisse der Mathe-
matik und ihrer Grenzgebiete 3, Springer, 1998.
[5] E. G. Effros in S. Winkler, Matrix convexity: operator analogues of the bipolar and
Hahn-Banach theorems, J. Funct. Anal. 144 (1997), 117–152.
[6] J. W. Helton, I. Klep in S. McCullough, The convex Positivstellensatz in a free
algebra, Adv. Math. 231 (2012), 516–534.
[7] J. W. Helton, I. Klep in S. McCullough, The matricial relaxation of a linear matrix
inequality, Math. Program. 138 (2013), 401–445.
[8] J. W. Helton, I. Klep in S. McCullough, The Tracial Hahn-Banach Theorem, Polar
Duals, Matrix Convex Sets, and Projections of Free Spectrahedra, sprejeto v objavo
v J. Eur. Math. Soc., http://arxiv.org/abs/1407.8198, ogled: 1. 8. 2016.
[9] J. W. Helton in S. McCullough, Every free basic convex semi-algebraic set has an
LMI representation, Ann. of Math. (2) 176 (2012), 979–1013.
[10] D. S. Kaliuzhnyi-Verbovetskyi in V. Vinnikov, Foundations of free noncommutative
function theory, Amer. Math. Soc., 2014.
[11] B. Magajna, On C∗-extreme points, Proc. Amer. Math. Soc. 129 (2001), 771–780.
[12] P. B. Morenz, The structure of C∗-convex sets, Canad. J. Math. 46 (1994), 1007–
1026.
[13] Y. Nesterov in A. Nemirovskii, Interior-Point Polynomial Algorithms in Convex Pro-
gramming, SIAM, 1994.
[14] V. Paulsen, Completely bounded maps and operator algebras, Cambridge Univ. Press,
2002.
[15] C. Procesi, The invariant theory of n× n matrices, Adv. Math. 19 (1976), 306–381.
[16] L. Vandenberghe in S. Boyd, Semidefinite programming, SIAM Review 38 (1996),
49–95.
[17] D.-V. Voiculescu, Free analysis questions II: The Grassmannian completion and the
series expansions at the origin, J. reine angew. Math. 645 (2010), 155–236.
[18] G. Wittstock, On matrix order and convexity, North-Holland Mathematics Studies
90 (1984), 175–188.
81–99 99
i
i
“intervju” — 2016/10/18 — 13:31 — page 100 — #1 i
i
i
i
i
i
INTERVJU
POGOVOR S PROFESORJEM JOSIPOM GRASSELLIJEM
O mirnem, preudarnem, vedno nevsiljivo
prijaznem in natančnem ter priljubljenem
profesorju Josipu Grasselliju smo ob njegovi
devetdesetletnici in ob njegovi smrti janu-
arja 2016 lahko prebrali že marsikaj. Ker je
bil med kolegi in sodelavci znan po svoji ve-
liki delavnosti in skromnosti, ni čudno, da
o splošneǰsih izkušnjah njegovega pestrega
in tudi preizkušenj polnega življenja ni ve-
liko znanega. V skladu z njegovim prepri-
čanjem, da »to najbrž za druge ni bilo za-
nimivo«.
Pričujoči pogovor z njim je nastajal več
let. Pisec teh spominov sem se s profesor-
jem Grassellijem zadnjič srečal 23. 12. 2015.
Vselej, tudi še na zadnjem srečanju tik pred
božičem, je bil veder in bister, natančnega spomina in vsaj za zunanjega
opazovalca vedno dobrovoljen. Zdel se je neizčrpen vir informacij, ki pa jih
je vedno odmerjal zadržano s premǐsljeno preudarnostjo in skrbjo, da sogo-
vornika ne bi obremenjeval z nepomembnimi podrobnostmi. Ob želji, da bi
o kakem dogodku ali izkušnji povedal kaj več, je vsaj s kretnjo nakazal po-
mislek, ali je to res dovolj zanimivo, in ob primernem vztrajanju je z mirno
lahkotnostjo iz prej nepomembne opombe nastala cela zgodba. Glede na-
tančnosti opisovanja dogodkov so se te zgodbe zdele podobne ›fokusiranju
in zumiranju‹ posameznih podrobnosti fraktalne strukture. Josip Grasselli
je bil tudi predan družinski človek. Z ženo Ano sta imela dva sinova, devet
vnukov in devet pravnukov.
Po pogovorih z njim sem dobil občutek, da pogled na življenje, ki se
mirno in sprijaznjeno ozira bolj v preteklost kot v prihodnost, in lucidna
vitalnost ter modrost devetdesetletnika drug drugega dopolnjujejo in tvorijo
nerazdružljivo harmonijo.
Spoštovani profesor Josip Grasselli, ko ste študirali vi, je bil študij precej
drugačen, kot je danes. Doštudirali ste leta 1951. Kakšni so vaši spomini
na leta študija? Na vaše učitelje? Na kolege študente v tistih letih?
Jeseni leta 1945 sem se vpisal na filozofsko fakulteto, smer matematika s
fiziko. Tiste čase so študenti matematike skupaj s študenti tehnike poslu-
šali predmet Matematika I v prvem letniku in predmet Matematika II v
100 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“intervju” — 2016/10/18 — 13:31 — page 101 — #2 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Josipom Grassellijem
drugem letniku. Ta dvoletni predmet sta izmenoma vodila profesorja Josip
Plemelj in Rihard Zupančič. Jeseni leta 1945 bi moral začeti Zupančič, a
ker je maja ob koncu vojne odšel v Avstrijo, so se predavanja iz Matematike
I začela šele okrog novega leta 1946, ko je njegovo mesto prevzel profesor
Anton Vakselj. Spomladi 1946 je začel predavati profesor Ivan Vidav. Za
drugi, tretji in četrti letnik matematikov so bila predavanja skupna. V trile-
tnem ciklu je profesor Plemelj zaporedoma predaval Algebro s teorijo števil,
Diferencialne enačbe in variacijski račun ter Teorijo analitičnih funkcij; pro-
fesor Vidav pa Projektivno geometrijo, Diferencialno geometrijo in Izbrana
poglavja iz matematike. Tudi predavanja iz fizike so se leta 1945 zakasnila,
ker so profesorja Antona Peterlina zadržali v Italiji, kamor je šel po nakupih
opreme za fizikalni laboratorij. On je v prvem letniku za študente matema-
tike in tehnike predaval predmet Eksperimentalna fizika, v triletnem ciklu
pa spet združeno za drugi, tretji in četrti letnik skupaj Elektromagnetno
polje in optiko, Kvantno teorijo I in II ter Mehaniko in statistično mehaniko
s termodinamiko. Vaje so imeli profesorji sami.
Za študente drugih, tretjih in četrtih letnikov so vsa predavanja in vaje
potekale v takratnem matematičnem seminarju nad vratarjevo ložo v po-
slopju Univerze na Kongresnem trgu. V prostoru je bilo kakih 25 sedežev.
Profesor Plemelj je med predavanji hodil od table do okna, ki je gledalo na
Kongresni trg. Bil je pravi umetnik v zapisovanju gotskih tiskanih črk, ki
jih je uporabljal npr. za označevanje grup. Nekoč je na tablo napisal po-
tenco in namesto »na« rekel »hoch«; takoj je to opazil in pripomnil: »Pred
tridesetimi leti sem predaval nemško.« Vedno je predaval brez kakršnihkoli
zapiskov, kakor tudi profesor Vidav. Profesor Peterlin je zelo poredko na
predavanje s seboj prinesel kak listič in kdaj nanj tudi pogledal. Bili so
izjemni učitelji. Ohranjam spoštovanje in hvaležen spomin do vseh.
Diplomski izpit je bil sestavljen iz treh delov A, B in C. Del C je zajemal
eksperimentalno fiziko in ga je bilo mogoče opravljati po drugem letniku.
Del B, ki je obsegal uporabno matematiko in teoretično fiziko, je bilo mogoče
opravljati po tretjem letniku, del A, ki je obsegal teoretično matematiko, pa
po četrtem letniku.
Koliko slušateljev je bilo v moji generaciji vpisanih na matematično fi-
zikalno smer, ne vem. Na predavanja in vaje nas je hodilo le pet: Lado
Kuster, Frantar . . . imena se ne spomnim, Ivanka Habej in Bibijana Do-
bovǐsek Čujec. Od omenjenih sva med živimi le še dva, jaz in Bibijana
Dobovǐsek Čujec, ki je že od šestdesetih let v Kanadi, kjer se je uveljavila
kot profesorica in raziskovalka v jedrski fiziki. Sedaj je seveda že upoko-
jena. Leto za našo generacijo in v vǐsjih letnikih na skupnih predavanjih
sta bila tudi pozneǰsa kolega na fakulteti Rajko Jamnik in France Križanič.
Nekoliko poseben status je imel tudi Saša Ravter. On je že med vojno štu-
diral matematiko v Gradcu in ne vem točno, kaj so mu od tega priznali.
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3 101
i
i
“intervju” — 2016/10/18 — 13:31 — page 102 — #3 i
i
i
i
i
i
Intervju
Bil je zelo dober računar in vem, da ga je profesor Peterlin vabil na neki
urad zaradi njegovih velikih sposobnosti računanja. Kot otrok je preživel
meningitis in je imel trajno poškodbo obraza. Videti je bilo, kot bi se stalno
smejal. Najbrž je tudi zato imel kot učitelj težave z avtoriteto. Pozneje je
sicer odšel v duhovnǐski poklic.
Kaj pa rana mladost in spomini na gimnazijska leta? Ste obiskovali gimnazijo
v Celju? Spomini na takratne učitelje? Vas je druga svetovna vojna doletela
kot gimnazijca?
V osnovno šolo sem hodil v Šentjurju, deška in deklǐska osnovna šola sta
bili ločeni. V letih 1935 do 1941 sem obiskoval škofijsko klasično gimnazijo1
v Šentvidu nad Ljubljano. Starši za to šolo niso niti vedeli, svetoval mi
jo je župnik Peter Švegelj, ki je takrat vodil župnijo v moji domači vasi
na Kalobju2. Dijaki smo stanovali v Zavodu sv. Stanislava in smo se le za
božične, velikonočne in poletne počitnice vračali domov. Šola je bila precej
stroga. V 1. razredu nas je bilo v dveh paralelkah 80, v 4. razredu nas je
ostalo le še 30. Med mojimi profesorji so bili: prevajalca iz grščine in latin-
ščine Frančǐsek Jere in Franc Omerza, skladatelj Matija Tomc, slikar Stane
Kregar; matematiko me je učil Ivan Knific, ki je veliko potoval po svetu
in o tem pisal in predaval; zgodovino in zemljepis je učil Maks Miklavčič,
po vojni profesor zgodovine na teološki fakulteti v Ljubljani. Jezikoslovec
Anton Breznik je bil ravnatelj. Na voljo smo imeli bogato knjižnico. V
raznih krožkih od prirodoslovnega do šahovskega smo lahko dopolnjevali
znanja, pridobljena pri rednem pouku. S pevskim zborom, ki ga je vodil
prof. Tomc, smo nastopali na radiu, v unionski in frančǐskanski dvorani (ki
je sedaj del Mestnega gledalǐsča). Obvezno smo se učili tudi nemščino, ki
sicer v spričevalu ni bila niti navedena; prostovoljni (in brezplačni) so bili
tečaji italijanščine, češčine, angleščine in stenografije.
Pogosto so prihajali predavat o raznih temah zanimivi zunanji gosti.
Naj omenim le tri. Pisatelj F. S. Finžgar je govoril o Prešernovi literarni
zapuščini in kako je bila tiste dni s prispevki šolarjev odkupljena Prešernova
rojstna hǐsa v Vrbi. Svetopisemski strokovnjak Andrej Snoj je prikazal svoj
obisk Palestine in tamkaǰsnje razmere. Planinski pisec Janko Mlakar je
šaljivo pripovedoval svoje spomine.
Na dan 31. marca 1941 se je vse to v hipu končalo. Ob petih popoldne
je v učilnico, v kateri smo se po pouku oskrbovanci učili, stopil prefekt3
in rekel, da moramo po vǐsjem ukazu v eni uri zapustiti hǐso. Teden dni
1To je bila osemletna gimnazija, enakovredna današnjim zadnjim štirim letom OŠ in
štiriletni gimnaziji.
2Kalobški rokopis je nastal med letoma 1643 in 1651. Vsebuje pesmi z molitvami in
katekizmom v slovenskem jeziku.
3›prefekt‹: glavni nadzorni učitelj/vzgojitelj v dijaškem domu.
102 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“intervju” — 2016/10/18 — 13:31 — page 103 — #4 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Josipom Grassellijem
pozneje se je začela vojna. Od tedanjih osemnajstih sošolcev jih je vojna
vzela 9. In to na vseh straneh. Umrli so kot vpoklicani nemški vojaki, kot
domobranci, kot partizani. Nečak znanega umetnostnega zgodovinarja in
akademika Franceta Steleta, s katerim sva bila prijatelja in sva si še nekaj
časa dopisovala, je bil tudi vpoklican v nemško vojsko. Tega ni želel, pa je
bil – verjetno tudi kot visok, postaven in blond – dodeljen v SS.
Zadnja dva letnika takratne osemletne gimnazije sem pod okupacijo do-
končal v Celju. Dobil sem nove sošolce in prvič sošolke. Prostori gimnazije
so bili takrat v neki vili. Gimnazijsko poslopje (danes nasproti celjskega
gledalǐsča), v katerem so bili prej le zadnji trije razredi gimnazije, je namreč
zasedla nemška vojska. Profesorji so bili iz Avstrije in Nemčije. Učili so do-
bro, ideološke propagande se ne spomnim. Slovenščina je bila prepovedana.
Vozači iz vse šole smo prihajali uro ali več pred poukom v šolo. Vsi smo se
zbrali v eni od učilnic, kjer nas je nadzoroval dežurni profesor. Kar nas je
bilo iz našega razreda, smo sedeli čisto zadaj; namesto da bi ponavljali učno
snov, smo klepetali slovensko. Nadzorujoči, ki je sedel spredaj pri katedru,
nas ni slǐsal ali pa se za to ni zmenil. Nekoč smo bili morda preglasni in se
je oglasil: »Ich höre eine fremde Sprache« – slǐsim tujo govorico. Utihnili
smo, posledic pa ni bilo. Naslednje jutro je spet vse potekalo po starem.
Vpoklic k vojakom je tudi to šolanje prekinil.
Bili ste vpoklicani v nemško vojsko in kot vojak ranjeni. Kdaj je bilo to?
Kako ste doživljali ta vpoklic? Ste takrat kot mlad in občutljiv človek sploh
vedeli, kaj se je dogajalo pod nacistično Nemčijo po vsej Evropi in v okviru
svetovne vojne po vsem svetu? Kako in kje ste doživeli konec druge svetovne
vojne? Bi lahko vsaj nekatere izmed teh kompleksnih spominov delili z
mlajšimi rodovi?
Konec novembra 1942 je po pošti prispel poziv, naj se 9. 12. 1942 do 12.
ure javim v Strasbourgu (kjer sedaj zaseda Evropski parlament). Čez dober
mesec dni je bila matura; vpoklicanim so bila takrat poslana maturitetna
spričevala, ocene so bile vzete iz redovalnic. Po vojni je bilo treba za veljav-
nost tega spričevala opraviti nekaj dodatnih izpitov. Poziv je štel obenem za
vozovnico po progi Maribor–Celovec–München–Stuttgart–Strasbourg. Po-
tovala sva skupaj s sosedovim Ivanom, ki je dobil enak poziv. Na vožnji
po južni Nemčiji sva se v kupeju pogovarjala. Ko so sopotniki slǐsali, da
prihajava kot rekruta iz Spodnje Štajerske, je nekdo prezirljivo rekel, da se
bomo taki sedaj naučili kulturnega življenja. V vojaških enotah pozneje
sicer prezirljivega odnosa nisem nikoli zaznal. Na železnǐski postaji v Stras-
bourgu se nas je znašlo pet Slovencev, vojaška kontrola nas je napotila v
Manteuffelkaserne. Čez dva, tri dni je prǐsel večji transport novincev, med
njimi precej Slovencev. Začel se je dril. Zelo naporno, vežbanje dopoldne
in popoldne, vežbalǐsče precej iz mesta, bril je strupeno mrzel veter. Po-
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3 103
i
i
“intervju” — 2016/10/18 — 13:31 — page 104 — #5 i
i
i
i
i
i
Intervju
noči nas je zbujal letalski alarm; zatekali smo se v zaklonǐsča, ki so bila del
francoske Maginotove obrambne črte in dobro urejena. Januarja 1943 so
našo stotnijo premestili v Francijo, v mestece Saint Die pod Vogezi. Ena
od vojašnic je nosila ime po generalfeldmaršalu Wiztlebnu, ki je bil med
zarotniki proti Hitlerju leta 1944 po mučenju obešen. Vojaške vaje so bile
tu lažje, bilo je topleje. Dobivali smo plačo 1,10 marke na dan. Ta denar
je četni ekonom kar obdržal in brez nasprotovanja vojakov za pribolǰsek
običajni prehrani kdaj kupil kaj dobrega, predvsem dodatne porcije mesa,
včasih pa tudi vino. Vedeli smo, da so si nadrejeni oficirji in drugi, ki so bili
›pri koritu‹, privoščili kaj več kot preostali, a mladi in lačni, kot smo bili,
s tistim denarjem tako ne bi imeli kaj početi in smo bili zadovoljni, da smo
kdaj dobili kak pribolǰsek. Spomnim se tudi na primer, da je ob porazu pri
Stalingradu poveljnik čete prijezdil na vežbalǐsče in nam to sporočil. Zani-
mivo je, da je bilo v njegovem sporočilu in našem doživljanju novice polno
mešanih občutkov. Po eni strani veselje ob znamenju, da se vojna mogoče
le bliža koncu, po drugi strani pa strah, saj smo hočeš nočeš bili nemški
vojaki.
V desetniji smo bili štirje Slovenci in šest Nemcev. Mi smo med sabo
govorili slovensko. Pri vsakodnevnem čǐsčenju puške je bilo za pogovor
dovolj časa. Nekoč sem rekel, da na fronti ne bom mogel streljati na človeka.
Razprava o tem se ni nadaljevala, dobil sem le kratek odgovor: »Bo pa on
nate.« Čeprav sem bil potem na fronti in celo ranjen, pa je bila moja služba
bataljonskega kurirja takšna, da mi ni bilo treba sprožiti niti enega samega
strela.
V začetku pomladi 1943 se je naša četa znašla v Heilbromnu, mestu se-
verno od Stuttgarta. Poslali so nas na štiridnevni dopust. Po vrnitvi se je
šušljalo, da bomo šli na afrǐsko fronto. A se je obrnilo drugače. Posamezne
skupine so pošiljali na razne kraje, največ na atlantsko obalo. V vojašnici
nas je bilo ogromno Slovencev. Potem ko so oblikovali razne čete, ki so bile
poslane v različnih smereh – med vojaki je bilo seveda polno Slovencev –
nas je v vojašnici ostalo le nekaj deset, in to sami Slovenci. Jaz sem imel
nekakšno neuradno vlogo prevajalca, saj sem dobro govoril tudi nemško4.
Zanimivo je tudi, da smo v vojski pogosto prepevali v slovenskem jeziku in
nihče ni temu nasprotoval. Povsem drugače je bilo kot doma, kjer so nem-
ške oblasti preganjale slovenščino. Pogosto se je zgodilo, da so nas slovenske
fante, ki smo znali lepo zapeti, celo spodbujali k petju tudi drugi, ki jezika
niso razumeli. V vojski smo bili sicer fantje vseh narodnosti. Dobro se spo-
mnim skupine nemških vojakov, ki je zelo lepo prepevala po rusko. Pozneje
4Ana Grasselli, soproga profesorja Grassellija, upokojena anglistka, je ob priliki pove-
dala, da je bil Josip zelo nadarjen za jezike. Govoril je gladko nemško, francosko in tudi
angleško.
104 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“intervju” — 2016/10/18 — 13:31 — page 105 — #6 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Josipom Grassellijem
sem izvedel, da so bili oblikovani iz skupine ruskih ujetnikov, ki so verjetno
iz pragmatizma in obupa nad nesmiselnostjo vojne sprejeli uniformo, ki jim
je omogočila vsaj začasno znosno življenje. Zanimivo je tudi, da nas je v
Heilbromnu, ko nas je, kot rečeno, v vojašnici ostalo le nekaj deset Sloven-
cev, nekoč nagovoril neki major, ki je govoril slovensko. Navduševati nas je
začel za ›nemško stvar‹ in omenjal celo hrabrost naših očetov v prvi svetovni
vojni. Bili smo tiho kot grob, saj se je začetno navdušenje nad slovenščino
ob vsebini nagovora hitro poleglo. To ga je ujezilo, začel nas je zmerjati in
togoten je odšel.
Pozneje smo bili v mestu Karlsruhe na Bodenskem. Tam se je sestavljala
marškompanija (oz. maršbataljon) za odhod na rusko fronto, spet smo bili
skupaj z Nemci in vojaki drugih narodnosti. Dopolnjevali smo opremo, do-
bili železno porcijo (Eisen Portion), ki je bila po strogem ukazu namenjena
za skrajno stisko, a so jo nekateri kljub temu takoj pojedli. Vsebovala je
konzervo, nekaj prepečenca in mogoče še kaj – ne spomnim se več natančno.
Imeli smo tudi zadnji zdravnǐski pregled. Potrdili so mi kratico »k.v.«, ki
je bila zapisana v vojaško knjižico že ob naboru. Kratica »k.v.« je pome-
nila »kriegsverwendungsfähig« – sposoben za frontno službo. Ker se črka
»v« v nemščini bere kot »f«, je nemški matematik Carl Siegel5 za kratico
»k.v.« rekel, da pomeni »Kanonenfutter«. Odhod na rusko fronto smo do-
življali kot usoden dogodek, njegovega konca smo se bali in se ga nismo
upali izgovoriti. Dobro se spomnim, da je bil organiziran obred sv. maše,
na kateri nam je vojaški kurat podelil skupinsko odvezo; malo jih je bilo, ki
se tega obreda niso udeležili. (Najbrž so bile čete sestavljene predvsem iz
pripadnikov katolǐske veroizpovedi.)
Po vsem tem smo se vkrcali na vlak, v živinske vagone z napisom: 8 konj
ali 40 mož. V našem vagonu smo bili le štirje Slovenci. Na dolgi vožnji smo
si zapeli, spominjajoč se domačih krajev; ko smo zapeli prvič, so bili glasovi
tihi; a nemški tovarǐsi so nas spodbujali, naj pojemo glasneje. Radi so nas
poslušali, čeprav niso razumeli niti besedice. Srečevali smo se s transporti
italijanskih vojakov, ki jih je rimska vlada odpoklicala z vzhodnih bojǐsč. S
pikrimi pripombami na italijansko hrabrost so ta srečanja spremljali stari
frontni vojaki v vagonu. Deveti dan vožnje se je vlak ustavil v Kerču na
Krimu. Z ladjo smo nadaljevali pot čez Kerčka vrata na azijsko stran, na
polotok Taman, na kubansko mostǐsče (ime po reki Kuban). Fronta je po-
tekala v loku od Temrjuka ob Azovskem morju do Novorossijska ob Črnem
morju, kakšnih 30 do 40 km od Kerčkih vrat. Na novo so nas porazdelili.
5Carl Ludwig Siegel (1896–1981): pomemben nemški matematik, posebej aktiven na
področju teorije števil in mehanike. Bil je študent Maxa Plancka in Georga Frobeniusa.
Kot velik nasprotnik nacizma je drugo svetovno vojno preživel na Institute for Advanced
Study, Princeton, ZDA. V Nemčijo se je vrnil po vojni in leta 1951 postal profesor na
Univerzi v Göttingenu.
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3 105
i
i
“intervju” — 2016/10/18 — 13:31 — page 106 — #7 i
i
i
i
i
i
Intervju
Dodeljen sem bil v bataljonski štab kot kurir. Najbrž zato, da bi bil po
potrebi tolmač Slovencem, ki nas je bilo v bataljonu precej. Stotnik Haupt-
man Boli je bil prijazen in razumevajoč mož iz Kölna. Do takrat nisem bil
v osebnem stiku z nobenim od nadrejenih vojakov. Zato me je presenetilo,
da se je on rad pogovarjal z mano. Izvedel sem, da se je njegova enota
ob napadu na Jugoslavijo ustavila v Sredǐsču ob Dravi. V pogovorih sem
mu povedal marsikaj. Med drugim, da so okupacijske oblasti izselile mojo
teto z družino v Srbijo, da so bratranca zaprli v koncentracijsko taborǐsče
Matthausen, kjer je umrl, in še marsikaj drugega. Občutil sem, da mi je
bil naklonjen. V času vojnega zatǐsja in ko smo bili prosti, smo včasih celo
šli na kopanje blizu znanega letovǐsča Anapa. Bilo nas je kakih pet ali šest
kurirjev in stotnik Hauptman je vedno povabil koga izmed nas, da je šel z
njim. Na teh ›izletih‹ so potekali vsi tisti bolj zaupni pogovori. Pozneje
so se bataljonski poveljniki zamenjali; novi major Wentzel je bil zadržan, z
njim nikoli nisem imel nobenega osebnega pogovora.
Dne 26. julija 1943 popoldne sem majorja Wentzela in njegovega na-
mestnika spremljal v neki bunker. Stopal sem nekaj korakov za njima in
njunega pogovora nisem razumel. Ko smo se vračali, je priletela granata in
dva velika drobca sta me zadela v kolk. Oficirja pred mano sta odhitela,
morda me nista opazila. Dobro se spomnim, kako sem se ranjen plazil po
strelskem jarku mimo mrtveca. Na nekem mestu sem izmenjal par besed
s stražarjem Slovencem, ki je moral nadzirati območje, vidno iz jaška. Ko
sem se zvlekel nekoliko naprej, je tudi njega zadelo. Priplazil sem se do
bunkerja z romunskimi vojaki. Vzeli so me medse in me za silo obvezali.
Ko se je znočilo, so me spravili do glavne bolnǐske postaje. Tu so nas vse
ranjene cepili proti tetanusu, nas oskrbeli in poslali naprej. Ležali smo po
tleh tovornjaka, cesta je bila luknjasta in ob vsakem sunku se je zaslǐsalo
stokanje. Zbudil sem se v zasilni vojaški bolnici (Feldlazarett) v Anapi,
turističnem mestu ob Črnem morju. Spomnim se, da sem čez dan ali dva
skupaj z nekaterimi drugimi ranjenci ležal na nosilih na letalǐsču pri Anapi.
Po radiu je bilo slǐsati poročila in prav takrat sem slǐsal novico, da so v
Rimu odstavili Mussolinija. Spomnim se, da sem razmǐsljal, da to najbrž
pomeni skoraǰsnji konec vojne. Žal pa je vojna trajala še skoraj dve leti. Iz
Anape so nas z letalom prepeljali v Kerč, kjer so me operirali. Spomnim se
dolge sobe, v kateri je bila vrsta (kakih šest) operacijskih miz, pri dveh sta
delali ruski zdravnici. Ker sem dobil anestezijo, ne vem, kdo me je operiral.
Mogoče sta bili prav ruski zdravnici. Izrezali so mi granatna drobca, oba
velika kot prst, eden je bil ostro zakrivljen. Izrezana drobca so mi zavita v
gazo obesili okrog vratu. Po operaciji so me z dalǰsimi in kraǰsimi presledki
in predvsem z bolnǐskimi vlaki pošiljali iz ene vojaške bolnice v drugo. Naj-
prej v Kherson ob Dnjepru, kjer so me od pasu navzdol obdali z mavcem,
tako da se nisem mogel nič premikati. Naslednji postanek je bil Lvov, pa
106 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“intervju” — 2016/10/18 — 13:31 — page 107 — #8 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Josipom Grassellijem
potem Belaja Cerkov južno od Kijeva. Sledila je vrnitev v Nemčijo, kjer
so nas ranjence razporedili na razna mesta. Znašel sem se v kraju Traben-
Trarbach ob reki Moselle med mestoma Trier in Koblenz. Vojaška bolnica
je bila lepo urejena, videti je bila kot počitnǐski dom. Bila je v prostorih
tovarne Mannesman, ki je izdelovala cevi. V okolici je bilo veliko vinogra-
dov, bila je že jesen in letina je bila dobra. Spomnim se, kako so domačini
prinesli sladkega grozdja. Za božič 1943 sem – šepajoč in s palico – že hodil.
Po priporočilih zdravnikov sem bil v letu 1944 premeščen v vojaško bolnico
v Novem Celju blizu Žalca. Prihajali so ranjenci z italijanske fronte in tudi
udeleženci spopadov s 14. partizansko divizijo (ki se je prek Hrvaške prebila
na Štajersko). Med ranjenimi vojaki na nemški strani sta bila vsaj dva Slo-
venca. Izhoda nismo imeli. Ob nedeljah se je bilo mogoče pod vodstvom
oficirja udeležiti maše v Žalcu. Takrat sem lahko hodil z berglo in pozneje
s palico.
V marcu 1944 sem dobil kratek dopust. Bili so posebni občutki priti
domov kot invalid. Na dom so takrat prǐsli partizani, prvič sem se srečal z
njimi. Trije mladi fantje, s seboj me niso vzeli, ker sem bil »neuporaben«.
Odnesli so mi vojaško uniformo in v njenem žepu granatne drobce iz moje
rane. Eden mi je rekel: »Zakaj si šel v nemško vojsko? Boš videl, kaj bo po
vojni s teboj.« Odgovoril sem: »Kje ste bili, ko sem moral v nemško vojsko?
Nikjer vas ni bilo.« Naša vas je tedaj premogla 26 hǐsnih številk, 14 nas je
bilo mobiliziranih v nemško vojsko. Raztresenih po vsej Evropi; od dveh
bratov je bil eden na severu Finske, drugi v Atenah; naš sosed v Trondheimu
na Norveškem, tretji pri izstreljevanju V1 in V2 itd. Štirje so padli, eden
se je konec leta 1944 ob dopustu pridružil partizanom. Bili so res hudi časi.
Spomnim se, da so partizanski fantje bratu hoteli vzeli birmansko uro, pa
se je z njimi (nasmeh) ›uspešno‹ skregal in uro obdržal.
Junija 1944 so me odpustili iz vojaške bolnice. Napoten sem bil v Kon-
stanco ob Bodenskem jezeru na švicarski meji, kjer je bila »Genesungskom-
panie« (četa okrevanja). Vozil sem se po tirolski železnici skozi Innsbruck in
naprej čez Bregenz in Lindau. V kasarno v Konstanci sem prǐsel 12 ur pre-
pozno, a kazni za ta prestopek ni bilo. Kmalu po prihodu je bil atentat na
Hitlerja, čez noč so se straže podvojile, salutiranje je nadomestil hitlerjanski
pozdrav. Ponovno prestavljen sem se skozi slikoviti Schwarzwald pripeljal v
vojašnico blizu letovǐsča Baden-Baden. Kasarna je bila nova, a polna stenic;
zadovoljen sem bil, da jim moja kri ni prijala. Spet je bilo treba na pot,
tokrat v avstrijski Gradec k »Heeresentlassungsstelle« (vojaški urad odpu-
stitve iz vojne službe). Prek Dunaja sem se pripeljal tja. Po raznovrstnih
zdravnǐskih pregledih so me konec avgusta 1944 kot invalida odpustili iz
vojske. Dali so mi dva para perila, nakaznico za obleko in plašč, čevlje sem
dobil že prej. Invalidnina je znašala 45 takratnih nemških mark mesečno.
Dobival sem jo le osem mesecev. Leta 1946 sem moral na nabor jugoslo-
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3 107
i
i
“intervju” — 2016/10/18 — 13:31 — page 108 — #9 i
i
i
i
i
i
Intervju
vanske armade; dali so mi izkaznico: stalno nesposoben. Z leti se je stanje
toliko popravilo, da sem brez težav hodil celo v hribe. Se mi je pa pozneje,
leta 1957, na ranjenem mestu noga ognojila, nujna je bila ponovna opera-
cija. Rentgenska slika je pokazala, da so tam še ostanki granate. Kirurg je
našel še en majhen del granate, vsega pa menda ne. Še danes, če ležim na
ranjenem boku, me boli.
Kako in kje ste dočakali konec vojne?
Konec vojne sem dočakal doma. Bil je čuden vakuum. Mučno obdobje
negotovosti . . . in kaotičnih razmer.
Ste kot bivši nemški vojak zaradi tega po vojni kdaj imeli težave?
Tista grožnja partizanskih fantov marca 1944 me je ves čas vznemirjala. Se
pa po koncu vojne ni uresničila. Tudi nobenih drugih težav nisem imel.
Ko sem nekoč šepal po stopnicah, me je dohitel prof. Peterlin in me
vprašal, kaj mi je. Povedal sem mu, da sem bil ranjen v nemški vojski.
Rekel je: »Imam rešpekt pred vami.« Če sem v seminarju sedel v prvi klopi,
je noga molela pred klop, ker je nisem mogel skrčiti. Prof. Plemelj je ob
neki priliki malo butnil vanjo. Pripomnil je: »Ali čutite vreme?« Ko sem se
ob nastopu službe javil pri predstojniku oddelka za splošne predmete prof.
Ervinu Prelogu, ki je bil pozneje tudi rektor Univerze, sem omenil, da sem
bil v nemški vojski. Sicer je iz življenjepisa, ki ga je bilo treba priložiti
prijavi na razpis, to že vedel. Dejal je (zdelo se mi je, da z nekim posebnim
razumevajočim tonom) le: »Takrat je bilo pač tako.« Pozneje sem izvedel,
da je bil tudi on mobiliziran v nemško vojsko.
Kdo so bili vaši starši? Kakšno družino ste imeli? Je bil za vašo družino
vaš odhod v gimnazijo in internat v Ljubljano težka in finančno zahtevna
odločitev? Kako je vaša družina preživela vojno?
Imeli smo nekaj malega zemlje, sicer pa je imel oče trgovino in gostilno.
Zaradi mojega odhoda v Ljubljano je bilo kar težko, saj je bila šolnina visoka.
Vsak mesec, če se prav spomnim, je bilo treba plačati okrog 500 dinarjev.
Vsaj na začetku je bilo tako, pozneje pa mislim, da se je šolnina nekoliko
znižala. Za primerjavo, učiteljeva mesečna plača je bila okrog 800 dinarjev.
To je bil za starše velik zalogaj. So bili pa mojemu šolanju naklonjeni in zelo
zaskrbljeni, ker je bilo znano, da so se mnogi mladi, ki so odšli na šolanje v
Celje, ›pokvarili‹ in postali ›barabini‹. Župnikova zagotovila o dobri šoli in
vzgoji v internatu so jih nekoliko pomirila. Vojna je našo družino pošteno
zaznamovala. Mama je ob začetku vojne zaradi neke infekcije umrla. Oče
je ostal sam. Bilo nas je sedem otrok. Bil sem najstareǰsi. Najmlaǰsi brat
še ni dopolnil dveh let. Čeprav je oče zavzeto pomagal partizanom6, so
6Zaradi pomoči partizanom je od njih celo dobil papirje – nekakšne delnice, ki naj bi
108 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“intervju” — 2016/10/18 — 13:31 — page 109 — #10 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Josipom Grassellijem
ga ob koncu leta 1944 ubili. Še vedno ni povsem znano, zakaj. Najbrž je
šlo za kake povsem osebne zamere. Da ne bi prihajalo do zlorab, je vsako
›partizansko naročilo‹ imelo uradno ›potrdilo‹. Menda se je oče zameril
lokalnemu človeku, ker je zahteval ›potrdilo o partizanskem naročilu‹. Očeta
so odpeljali ponoči in na čuden način. Takrat sem že bil doma. Prǐsli so
trije in menda so celo govorili nemško. Oče je namreč ob odhodu rekel, da
ga je prǐsla iskat policija. Naslednji dan je sestra na policiji v Celju izvedela,
da ga tam nimajo. Po poizvedbah pri partizanih pa smo ›izvedeli, da je v
brigadi‹. Dolgo je šlo za zavajanje, saj so od njega prihajali ›pozdravi iz
brigade, kateri naj bi se bil priključil‹. Jaz sem že od začetka slutil, da se je
zgodilo nekaj drugega. Pozneje se je izkazala resnica. Moj brat je namreč
prepoznal očetovo uro in škornje, ki jih je nosil njegov zelo verjetni morilec.
Zanimivo, da je bratu celo uspelo dobiti nazaj očetovo uro. Pozneje je bilo
med ljudmi znano, kdo in kje ga je ubil, pa si v vseh teh letih iz strahu
nismo upali ničesar storiti vsaj za očetov dostojni pokop. Nekateri v družini
si še vedno prizadevamo, da bi to storili. S sinom sem že obiskal mesto,
kjer je bil oče ubit in zakopan. Od pričanj do dovoljenj in odkopa pa je
dolga pot. Takrat so bile zelo kaotične razmere, ko je vsakdo počel, kar je
hotel. Spomnim se tudi kaosa proti koncu vojne. V Šentjurju se je ustavil
vlak, na katerem so bili hrvaški ustaši, ki so se verjetno že umikali proti
severu. V naši hǐsi so se znašli trije mladi fantje v ustaških uniformah in
sosedov partizan je začel streljati v našo hǐso. Na srečo ni bil nihče od
nas zadet. Potem je partizan prǐsel v hǐso in zajel ter odpeljal tri fante.
Seveda nismo nikoli več slǐsali zanje. No, saj se ve, kaj se je zgodilo. To
je bil tisti partizan, ki je ›poročal‹ o našem očetu iz brigade. Toda tudi
njega je doletela kruta usoda vojne. Bilo je že marca 1945, ko so se Nemci
umikali, mislim, da prav na Jožefovo. Zjutraj sem okoli hǐse opazil polno
nemških vojakov. Ne vem točno, kaj se je zgodilo, a Nemci so zajeli oziroma
ubili tudi nekaj partizanov. Verjetno so se spopadli z njimi. Padel je tudi
omenjeni partizan. Zanimivo in žalostno je, da je ta partizan imel dva brata.
Oba sta padla kot mobiliziranca v nemški vojski. Ja, bili so zelo hudi časi
in veliko nedolžnih ljudi je nastradalo in celo izgubilo življenje, vključno z
mojim očetom.
Kako ste se po vojni vrnili k študiju in matematiki? S študijem ste začeli
jeseni 1945 in doštudirali leta 1951. Skupaj s pokojnima prof. Rajkom Ja-
mnikom in prof. Nikom Prijateljem ste leta 1957 dobili asistentsko mesto na
Univerzi. Ste v času 1951–1957 poučevali v gimnaziji? Imate kake zanimive
spomine na delo z dijaki in učitelji v tistih časih?
Oktobra 1950 sem nastopil službo na gimnaziji v Murski Soboti. Službena
jih lahko vnovčil po vojni. Oče je bil po vojni tudi uradno rehabilitiran oziroma odvezan
vsake krivde.
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3 109
i
i
“intervju” — 2016/10/18 — 13:31 — page 110 — #11 i
i
i
i
i
i
Intervju
mesta je dodeljevalo ministrstvo za prosveto v Ljubljani. Želel sem si na
Ptuj; najbrž pod vplivom romana Noetova barka, v katerem Stanko Cajnkar
opisuje dogajanje na tamkaǰsnji gimnaziji pred začetkom druge svetovne
vojne. A sta bili prosti mesti le v Novem mestu in v Murski Soboti. Ker
sem v Novem mestu, čeprav le na izletu, že bil, v Murski Soboti pa še ne
in sem tudi sicer veliko slǐsal in bral o Prekmurju, sem se odločil, da grem
v Mursko Soboto. Ti kraji so bili res odmaknjeni; do Maribora je trajala
vožnja z vlakom štiri ure, do Ljubljane osem ur. Gimnazijsko poslopje je
bilo novo, ravnokar vseljeno. Na poti iz sredǐsča mesta do gimnazije se je
na obzorju videla Kapela pri Radencih kot visok hrib, čeprav le 100 m nad
prekmursko ravnino. Iz zbornice sta se ob jasnem vremenu na južni strani
kazali hrvaški Ivanščica in Medvednica pri Zagrebu. Proti severu je ležalo
Goričko; gričevnata pokrajina, a najvǐsji vrhovi so komaj presegali 400 m
nadmorske vǐsine. Oko je takrat opazilo na hribčku vas Bodonci. Ranjene
noge še nisem mogel skrčiti, a sem se kljub temu veliko vozil s kolesom; ne
spomnim se, da bi kdaj srečal kakšen avto. Ljudje so bili prijazni; narečju
sem se moral privaditi, da sem jih lahko razumel; mnogi so govorili tudi
madžarsko. V mestu je poleg katolǐske in evangeličanske cerkve stala tudi
velika judovska sinagoga7.
Učiteljski zbor gimnazije Murska Sobota je bil zelo raznolik. Spomnim
se na primer profesorja geografije, po rodu Rusa, ki je po prvi svetovni vojni
pred Stalinom pribežal v Jugoslavijo, in mlade Rusinje, ki je še leta 2003
(na neki obletnici mature, kjer smo se srečali) hvalila Stalina. Mislim, da se
v tistih časih ta dva nista nikoli pogovarjala. V tem obdobju je začela oblast
zastraševati obiskovalce cerkvenih obredov. Nekatere so doletele kazni, kot
so odpoved službe in premestitve. Gimnazija je takrat štela osem razredov;
učil sem v vǐsjih, in to zelo rad. Dijaki so prihajali iz kmečkega okolja,
nekaj iz mestnih družin. Bili so spoštljivi in prizadevni. V šolskem letu
1951/52 me je ravnatelj določil za razrednika osmošolcev. Učil sem jih
fiziko. Bili so zelo sposobni dijaki. Vsi so končali univerzitetni študij in se v
poklicu uveljavili. Pri opravičevanju izostankov sem bil pa preveč popustljiv
in se dobro spomnim, kako me je ravnatelj kregal, ker je hotel biti bolj
strog. Dobro se še spomnim, kako so ob zaključku šolskega leta pripravili
domiselno in dobro izpeljano predajo ključa sedmošolcem. Uradno ta stvar
ni bila zaželena in je veljala za nepotrebno »buržujsko« dedǐsčino.
Murska Sobota je spadala pod tako imenovani obmejni pas; blizu sta bili
madžarska in avstrijska meja. Naš dijak sedmošolec se je odločil za pobeg v
Avstrijo; na meji so ga ustrelili naši graničarji. V šoli se o tem ni smelo javno
govoriti, nobene žalne slovesnosti ni bilo za njim. Mislim, da je bil ustreljen
dijak Erik Koltaj, ali pa je bil Erik njegov brat. V gimnazijo sta hodila dva
7Porušena leta 1954
110 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“intervju” — 2016/10/18 — 13:31 — page 111 — #12 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Josipom Grassellijem
brata. Njegovo izginotje, čeprav smo vsi vedeli, kaj se je zgodilo, je bilo
tabu. Nihče si ni upal niti govoriti o tem. Prizadel nas je ta brezčuten8
odnos.
Na gimnaziji v Murski Soboti sem bil do leta 1953. Od jeseni 1953 do
jeseni 1957 sem služboval na tedanji 2. gimnaziji v Celju. To so bile še
stare osemletne gimnazije. V zadnjem letu tega časa se je na zborovanjih
veliko razpravljalo o predvideni šolski reformi. Gimnazija naj bi se skrčila
na štiri letnike, vpeljana naj bi bila osemletka, klasična gimnazija pa odpra-
vila. Veliko je bilo glasov proti taki spremembi, nestrinjanje so v časopisih
objavljale znane osebnosti. Kot po navadi pri šolskih reformah9 pa to ni nič
zaleglo. Takrat smo v Celju doživeli tudi veliko poplavo10. Spomnim se, da
je bilo več mrtvih in seveda ni bilo pouka.
Kako se spominjate začetka dela kot asistent na univerzi? Takrat ste se
najprej zaposlili na tehnični fakulteti. Se je delo s študenti zelo spremenilo
od takrat do vaše upokojitve?
Septembra 1957 sem začel asistentsko službo na takratni Tehnični fakul-
teti, ki jo je sestavljalo več po stroki ločenih oddelkov. Med njimi je bil
oddelek za splošne predmete, ki je združeval predavatelje matematike, fi-
zike in mehanike; prostore je imel na Lepem potu z lastno matematično
knjižnico. Kmalu zatem so oddelki Tehnične fakultete postali samostojne
fakultete, oddelek za splošne predmete pa je bil priključen Fakulteti za ru-
darstvo, metalurgijo in kemijsko tehnologijo (FARUMEKETE). Ker se je
profesor Anton Vakselj upokojil, je predavanja iz matematike I in II prevzel
profesor Ivan Vidav. S kolegom Nikom Prijateljem sva vodila vaje; istoča-
sno je kolega Rajko Jamnik dobil asistentsko mesto na predhodnici sedanje
Biotehnǐske fakultete.
Podobno kot matematika in fizika so bile nekatere druge naravoslovne
stroke zastopane na več fakultetah. Leta 1960 je prǐslo do nove preureditve.
Vsi ti predmeti so se pridružili Fakulteti za rudarstvo, metalurgijo in kemij-
sko tehnologijo in nastala je Fakulteta za naravoslovje in tehnologijo (FNT).
Eden njenih oddelkov je bil Oddelek za matematiko in fiziko (z odseki za
matematiko, fiziko in mehaniko), pod njegovim okriljem sta se združili obe
matematični knjižnici. Prostori za matematiko na Kongresnem trgu 11 so
bili izpraznjeni leta 1970, ko je bila zgrajena stavba na Jadranski 19.
8Soproga Ana Grasselli, ki je takrat na isti šoli poučevala angleščino, se nama ob čaju
pridruži in dopolni, kako grozni so bili tisti občutki. Pove, da je bila praktično odločena,
da bo brez uvoda pri uri z minuto molka počastila Erikov spomin. Ko pa je prǐsla v
razred, tega ni mogla storiti. In doda, da še dobro, da ni, saj bi se gotovo njuno življenje
zaradi tega zasukalo zelo drugače.
9Z zakonom je bila leta 1958 uvedena osemletna osnovna šola, gimnazije pa so postale
štiriletne.
104. junija 1954 je bila v Celju in okolici velika poplava. Umrlo je 22 ljudi.
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3 111
i
i
“intervju” — 2016/10/18 — 13:31 — page 112 — #13 i
i
i
i
i
i
Intervju
Doktorirali ste pri prof. Vidavu leta 1961 na področju funkcionalne ana-
lize. Slovenska matematična strokovna javnost vas bolje pozna po delih s
področja algebre in teorije števil. Lahko poveste kaj več o tem, kako, kdaj
in zakaj je teorija števil pritegnila vašo pozornost? Leta 2009 je izšlo vaše
zadnje delo Elementarna teorija števil, leta 2008 pa obsežna Enciklopedija
števil s skoraj 700 stranmi. To je zagotovo najobsežnejše delo s področja
teorije števil v slovenskem jeziku. Najbrž gre za delo, ki je nastajalo že
dolgo prej?
Že kot študentu mi je prǐsla v roke knjiga Synthetische Zahlentheorie švicar-
skega matematika Rudolfa Fueterja. Obravnava obseg K = Q(2πi/p) (kjer je
p liho praštevilo) in aritmetiko v njem (definicija celega števila, ideal, raz-
cepitev ideala na praideale, kvadratni in kubični reciprocitetni zakon). Rad
sem jo prebiral. Ko je začela izhajati knjižnica Sigma, me je prof. Prijatelj
nagovoril, da bi napisal kaj o številih. Tako je nastala knjižica Osnove teo-
rije števil. Najbrž me je oboje spodbudilo k večjemu zanimanju za probleme
okrog števil. Po upokojitvi sem začel sestavljati opise nekaterih števil, ki
nosijo posebna imena; opisi so zbrani v Enciklopediji števil. Naslov je izbralo
urednǐstvo, sam sem predlagal naslov Število se predstavi. Seznam števil,
ki sem jih želel predstaviti, je bil večji od v knjigi zajetih števil. Nekaterih
opisov nisem vključil, drugih nisem dokončal. Koristno bi bilo tudi stvarno
kazalo, ki ga nisem sestavil.
Menda ste skupaj s profesorjema Rajkom Jamnikom in Nikom Prijateljem
ter s profesorjem Ivanom Vidavom, ki je bil vaš učitelj in mentor, tudi
prijateljevali ter družno hodili v hribe. Nam lahko zaupate kake spomine in
skupna doživetja? Kake vtise in misli, ki ste jih skupaj doživeli . . . ?
Po končanih spomladanskih predavanjih smo vsako leto junija napravili ce-
lodnevni izlet. V začetku smo se z avtobusom ali vlakom odpeljali do kakšne
postaje in od tod pešačili do druge postaje, pozneje smo se vozili z avto-
mobili. Obiskovali smo Gorenjsko, Dolenjsko, Notranjsko in si ogledovali
znamenitosti. Pogovor je tekel o strokovnih vprašanjih, takratnih družbe-
nih razmerah, tudi kakšno smešnico in anekdoto je bilo slǐsati; zmeraj je bil
pogovor odkrit in prostodušen. Tako je bilo tudi, ko smo se po seminarju
iz noveǰse matematike pri prof. Vidavu ali po sejah Društva matematikov,
fizikov in astronomov dostikrat preselili k omizju v kavarni. Naj iz naših
izletov omenim le dva doživljaja. Ko smo se iz Cerknice peljali proti Raki-
tni, vozil je profesor Prijatelj, se je za blagim ovinkom, ko se je avto znašel
na travi pod cesto, debata hitro končala. Vsi smo bili nepoškodovani. Avto
nam je bližnji kmet s traktorjem pomagal zvleči nazaj na cesto in pot smo
lahko nadaljevali, a vozili smo zelo počasi, ker je bil avto poškodovan in
112 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“intervju” — 2016/10/18 — 13:31 — page 113 — #14 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Josipom Grassellijem
je moral v popravilo. Najbrž nas je zaradi prepočasne vožnje ustavila celo
policija. Drugikrat smo bili v Tamarju in smo se ustavili v hotelu blizu
skakalnice v Planici. Pozneje smo v avtu ugotovili, da nas je natakarica pri
računu »prinesla okrog«. Prof. Vidav je pripomnil: »Vsem nam bi morali
vzeti diplome.«
Tisti, ki vas poznamo kot učitelja, se vas spominjamo kot človeka, ki s sklo-
njeno glavo preudarno, natančno in obzirno naslavlja soljudi, probleme in
življenje na sploh. S to preudarnostjo ste doživeli in zabeležili človeško zgo-
dovino od nepopisne stiske ljudi v drugi svetovni vojni in revščine, ki jo je
le-ta povzročila, do današnjega tehnološkega napredka in globoke ekonom-
ske in moralne krize. Kako bi vi komentirali ›napredek‹ oziroma razvoj
človeške družbe? Se splača biti pošten in kaj to sploh pomeni? Kako bi
komentirali vlogo in pomen matematike pri vzgoji mladih?
Doma sem z dežele. Spominjam se beračev, ki so hodili posamič od hǐse do
hǐse, v kriznih letih po 1932 tudi brezposelnih, prihajajočih v skupinah tudi
do deset. Oboji so prosili pomoči. Dobivali so v glavnem kruh in hrano,
včasih kakšen dinar. Veljalo je nenapisano pravilo: proseči ne sme oditi
od hǐse praznih rok. Ko sedaj hodim po ljubljanskih ulicah, tudi srečujem
proseče dlani. Isto se mi je zgodilo v Moskvi leta 1970. Videti je, da je
človeška družba zelo zapleten organizem in ga je težko urediti tako, da ne bi
bilo pomoči potrebnih. S tem ni rečeno, da si za izbolǰsanje stanja ni treba
prizadevati ali da v tej smeri ni bilo nič storjenega.
V mojih otroških letih sta bila avto in radio redkost. Imeti kolo je bilo
bogastvo. Kmečka opravila, kot so košnja, oranje, okopavanje v vinogradu,
mlačev, molža so zahtevala precej napora in truda. Današnji stroji so ta dela
zelo olaǰsali. Podobno velja za gospodinjska opravila, industrijo, gradbeni-
štvo. Vse to je prinesel tehnološki napredek. A žal tudi jedrsko in biološko
orožje, izpopolnjene možnosti vohunjenja in vdiranja v človekovo zasebnost.
Fizik Louis de Broglie v knjigi Matière et lumière ugotavlja, da človeški
razum v znanju, iznajdbah in izumih napreduje v velikih korakih, vzgoja
srca pa zaostaja. Izgubila se je zavest, da se ne sme vse, kar se more. Veliko
je dejavnikov, ki vplivajo na vzgojo srca: družina, šola, okolje. Tudi pouk
matematike, ki navaja učence na natančnost, sprotno preverjanje rezulta-
tov, spoštovanje pravega spoznanja. V vsakdanjem življenju so natančnost,
ocenjevanje lastnih dejanj in trud za resnico pomembne lastnosti. Želeti
je, da te vrline učencem preidejo v navado. Poštenost je osnovna dolžnost
družbi služečega posameznika. Ne smemo se ji izmikati.
Pogovor pripravil Damjan Kobal
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3 113
i
i
“Kramar” — 2016/10/18 — 13:31 — page 114 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
SREČANJE EVROPSKIH MATEMATIČARK V BERLINU
Društvo evropskih matematičark z imenom European Women in Mathema-
tics (EWM) [1] je bilo ustanovljeno leta 1986 in ima nekaj sto članic iz 33
evropskih držav. Slovenska koordinatorka združenja je Polona Oblak. Dru-
štvo EWM tesno sodeluje z žensko sekcijo pri društvu evropskih matema-
tikov European mathematical society (EMS). Leta 2008 sta društvi skupaj
ustanovili znanstveni odbor EMS/EWM Scientific Committee, ki ga sesta-
vlja 12 vodilnih evropskih matematičark. Odbor svetuje npr. pri izboru
predavateljic na različnih znastvenih srečanjih bodisi v organizaciji EWM,
EMS ali drugih.
Društvo EWM je ob 7. kongresu evropskih matematikov (7EMC) organi-
ziralo tudi srečanje evropskih matematičark. Glavni del srečanja je potekal
dan pred kongresom, to je 17. julija 2016, na Tehnični univerzi v Berlinu.
Najprej se je zvrstilo 5 vabljenih predavanj uglednih evropskih matemati-
čark:
• Fanny Kassel (CNRS in Université de Lille), Tessellations of the plane
and beyond ;
• Hannah Markwig (Universität des Saarlanden), Tropical Geometry ;
• Carola Bibiane Schönlieb (University of Cambridge), Seing more in pic-
tures – a mathematical perspective;
• Britta Späth (Technische Universität Kaiserslautern), Theory of finite
groups: Old conjectures, new Challenges;
• Sarah Zerbes (University College London), Elliptic curves and the co-
njecture of Birch and Swinnerton-Dyer.
Sledila je predstavitev raziskave o spolnih vzorcih pri znanstvenih objavah
v matematiki, ki jo je pripravila Helena Mihaljevic-Brandt, zaposlena pri
zbMATH. Zanimiva predstavitev je, skupaj z nekaj podobnimi statistikami,
na voljo tudi na spletu [2].
Predstavitvi je sledila burna diskusija o še vedno majhnem deležu žensk
med matematiki. V večini evropskih držav je med vpisanimi na študij mate-
matike približno polovica študentk, a se ta delež z vsako naslednjo stopnico
v akademski karieri drastično zmanǰsuje. Naj za primerjavo navedem po-
datke Fakultete za matematko in fiziko Univerze v Ljubljani za obdobje od
114 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“Kramar” — 2016/10/18 — 13:31 — page 115 — #2 i
i
i
i
i
i
Srečanje evropskih matematičark v Berlinu
2011–16: delež diplomantk na 1. stopnji je 57 %, diplomantk na 2. stopnji
je 54 %, doktorantk na 3. stopnji pa 46 %. Pomemben preskok se zgodi
v nadaljevanju: med habilitiranimi učitelji matematike na Univerzi v Lju-
bljani je le 14 % žensk, natančneje vsega skupaj 13, od katerih je le 1 redna
profesorica.
Glavna naloga društva EWM je tako po eni strani spodbujati ženske,
da vztrajajo na znastveni poti, in po drugi pomagati ustvarjati akademsko
okolje, ki to omogoča.
Ob koncu predavanj in diskusije je potekala skupščina društva, na kateri
je bilo predstavljeno delo v zadnjih dveh letih ter načrti za prihodnost.
Odločeno je bilo, da bo naslednje srečanje EWM septembra 2018 na Dunaju.
Za novo predsednico društva je bila izbrana Carola-Bibiane Schönlieb.
Drugi sklop dogodkov na 7EMC v organizaciji EMW je potekal v sredo,
20. julija 2016. Takrat sta zbrane matematičarke pozdravila Pavel Exner,
predsedujoči EMS, ter Volker Mehrman, vodja lokalnega organizacijskega
odbora 7ECM. Sledilo je javno predavanje Alessandre Celleti (Università
degli Studi di Roma Tor Vergata) z naslovom Chaotic routes that shaped
the universe: a history of some outstanding women scientists.
V matematični knjižnici je nato potekalo slavnostno odrtje razstave
Women of mathematics throughout Europe. A gallery of portraits [3], na
kateri so bili govorniki: predsednik Matematičnega inštituta TU Berlin,
prodekanja za mednarodno sodelovanje in izobraževanje TU Berlin, nem-
ška zvezna ministrica za izobraževanje in raziskave, predsednik Evropskega
raziskovalnega sveta ter predsednik Fundacije Alexandra von Humboldta.
Izjemno zanimivo razstavo sta pripravili Sylvie Paycha in Sara Azzali
skupaj s fotografinjo Noel Tovia Matoff. Razstavljenih je trinajst portre-
tov matematičark iz različnih delov Evrope na različnih stopnjah znastvene
kariere z različnih matematičnih področjih. Prikazuje žensko perspektivo
poklica in upamo, da bodo prikazane znanstvenice in njihove zgodbe vzor
in spodbuda bodočim mladim matematičarkam.
LITERATURA
[1] European Women in Mathematics, http://www.europeanwomeninmaths.org, ogled:
5. 8. 2016.
[2] Women in math – reports, http://www.europeanwomeninmaths.org/women-in-math/
report, ogled: 5. 8. 2016.
[3] Women of mathematics throughout Europe. A gallery of portraits,
http://womeninmath.net, ogled: 5. 8. 2016.
Marjeta Kramar Fijavž
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3 115
i
i
“Kodre” — 2016/10/18 — 13:37 — page 116 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Carlo Rovelli, Sedem kratkih lekcij iz fizike, DMFA – založnǐstvo,
2016, 74 strani.
Pri DMFA–založnǐstvu je v Presekovi knji-
žnici izšla knjižica Carla Rovellija »Sedem
kratkih lekcij iz fizike« v prevodu A. Ko-
dreta. Omemba »lekcij« v naslovu naj ni-
kogar ne oplaši: avtor je na zgolj sedemde-
setih straneh malega formata, z nekaj ski-
cami o zgodovinskih predstavah o vesolju in
z eno samo enačbo, še to le kot ilustracijo
skrajno elegantne teoretične zamisli, poka-
zal, kako se je s fiziko XX. stoletja razvijalo
naše razumevanje sveta. Osrednji temi sta
teorija splošne relativnosti in kvantna me-
hanika, iz njiju porojeni makrokozmos sveta
zvezd in galaksij ter mikrokozmos osnovnih
delcev, pa poskus premostitve njunih na-
sprotij. Predzadnje poglavje popelje bralca
od pojma toplote prek termodinamike do
črnih lukenj. V zaključku pa najdemo sijajno razmǐsljanje o nas samih, o
razvoju človeške vrste k razumu, ki hoče razvozlati zapleteno sliko sveta.
Knjižica je bila več mesecev na seznamu najbolje prodajanih italijanskih
knjig. Od izida v novembru 2014 do letošnjega maja so prodali 150 tisoč
izvodov. Prevedena je že v blizu 30 jezikov.
Avtorja je v svoji oceni za založbo predstavil prof. Strnad:
»Carlo Rovelli je bil rojen leta 1956. Diplomiral je leta 1981 na univerzi
v Bologni in doktoriral leta 1986 na univerzi v Padovi. Zaradi političnega
delovanja je imel težave z oblastjo. Ker je odklonil služenje v vojski, je
bil nekaj časa zaprt. Po doktoratu je bil raziskovalec na univerzah v Rimu
in Trstu ter na univerzi Yale. Med letoma 1990 in 2000 je bil profesor na
univerzi v Pittsburghu, kjer je bil dalj časa tudi pridruženi profesor na od-
delku za zgodovino in filozofijo znanosti. Leta 1988 je z Leejem Smolinom in
Abhayem Ashtekarjem uvedel [zankovno] kvantno teorijo gravitacije. Vodi
skupino za kvantno gravitacijo na oddelku za fiziko univerze Aix-Marseille.«
O delu pa:
». . . O knjižici »Sedem kratkih lekcij iz fizike« vse dobro . . . Namenjena
je nefizikom in fizik najbrž iz nje ne bo zvedel veliko novega . . . Red bi bil, da
bi tako knjižico izdala splošna (nefizikalna) založba. Na vprašanje, ali [po-
trebujemo] slovenski prevod ali ne, pa je odgovor odločen da . . . Založnǐstvu
116 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“Kodre” — 2016/10/18 — 13:37 — page 117 — #2 i
i
i
i
i
i
Matematičke metode i modeli
DMFA priporočam, da knjižico izda, a jo pospremi s precej večjo reklamo
med ljudmi zunaj Društva, kot jo sicer namenja svojim knjigam.«
Omenjeno knjižico lahko kupite pri DMFA – založnǐstvu po ceni 9,50
EUR.
Alojz Kodre
Ibrahim Aganović, Krešimir Veselić, Matematičke metode i mo-
deli, Sveučilǐste Josipa Juraja Strossmayera, Odjel za matematiku,
2014, 432 str.
Knjiga Matematički modeli i metode avtorjev Ibra-
hima Aganovića in Krešimira Veselića je nova v se-
riji učbenikov teh dveh avtorjev, ki obravnavajo upo-
rabo matematičnih metod v fiziki. Podobno kot prej-
šnje je tudi ta knjiga napisana zelo zanimivo in ra-
zumljivo. Na začetku vsakega poglavja avtorja na
kratko orǐseta fizikalno ozadje problema, nato pa se
temeljito posvetita njegovemu matematičnemu mo-
delu. Večina trditev je dokazanih, dodanih pa je tudi
veliko rešenih primerov. V vsakem poglavju so tudi
naloge za samostojno delo.
Glavna tema knjige je obravnava ravnotežja me-
hanskih sistemov in majhnih nihanj okoli ravnovesnih leg. Avtorja se pri
tem omejita na sisteme s končno mnogo prostostnimi stopnjami in pa na
enodimenzionalne kontinuume. Analogno se na hitro dotakneta tudi enačbe
za prevajanje toplote.
V prvem poglavju začneta z obravnavo ravnotežja sistema točk, ki so
med sabo povezane z vzmetmi ali pa s palicami. Z uporabo Newtonovega
zakona tako v preprostih primerih pridemo do sistema linearnih enačb, kate-
rega matrika je simetrična in tridiagonalna. V splošnem pa se je problema
bolje lotiti tako, da poskusimo minimizirati potencialno energijo sistema.
Tako hitro pridemo do problema iskanja stacionarnih točk funkcije več spre-
menljivk in karakterizacije lokalnih minimumov. Velik del poglavja je name-
njen študiju simetričnih in pozitivnih matrik ter reševanju sistemov enačb.
Pri linearnih sistemih so opisani numerični algoritmi za čim bolj natančno in
stabilno reševanje, bolj splošnih sistemov pa se lotita z Newtonovo metodo.
Drugo poglavje avtorja začneta z obravnavo dušenega in vsiljenega niha-
nja vzmeti. Podrobno opǐseta in ilustrirata različne tipe dušenja ter pojav
resonance. Nato začneta obravnavati majhna nihanja sistemov z večimi
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3 117
i
i
“Kodre” — 2016/10/18 — 13:37 — page 118 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
prostostnimi stopnjami. Tako prideta do problema simultane diagonaliza-
cije para simetričnih matrik, ki mu posvetita velik del poglavja.
Preostali dve poglavji obravnavata podobno tematiko kot prvi dve, le
da gre tokrat za kontinuume. Velik del tretjega poglavja je tako posvečen
enačbam elastostatike, ki so zapisane z uporabo energijskega funkcionala.
Avtorja bralcu predstavita osnove variacijskega računa in metodo končnih
elementov za približno reševanje integralskih enačb.
V zadnjem poglavju je obravnavana valovna enačba, ki opisuje nihanje
žice oziroma elastičnih nosilcev. Najprej je izpeljana D’Alembertova rešitev
valovne enačbe, nato pa še Fourierova metoda. Naj omenim, da se mi zdi
tako računska kot grafična obravnava valovne enačbe še posebej zanimiva.
Na kratko je opisana tudi diskretna Fourierova transformacija in algoritem
FFT. Poglavje in knjiga se končata z obravnavo transportne enačbe.
Po besedah avtorjev je knjiga namenjena predvsem študentom vǐsjih
letnikov tehnǐskih fakultet in študentom matematike. Zaradi elegantnega
in razumljivega sloga pa jo priporočam vsem, ki uživajo v študiju uporabe
matematičnih metod in modelov za reševanje fizikalnih problemov.
Jure Kalǐsnik
Leo Corry, A Brief History of Numbers, Oxford University Press,
Oxford 2015, 309 strani.
Stare, predgrške civilizacije so števila upora-
bljale le za praktične, prozaične namene, npr.
za meritve zemljǐsč, gradnjo piramid ali štetje
denarja. Corryjeva knjiga pripoveduje zgodbo
o razvoju pojma števila od časa pitagorejcev
(ki so števila prvi dvignili iz utilitarne sfere
v območje večnih idej oziroma entitet z boga-
timi simboličnimi in celo mističnimi pomeni in
so jih prvi študirali zaradi njih samih, v njih
pa so prepoznali tudi ključ do skrivnosti koz-
mosa) do začetka 20. stoletja, ko so se v delih
Peana, Fregeja, Cantorja, Dedekinda in dru-
gih matematikov izkristalizirali trenutno pre-
vladujoči nazori o številih (tako npr. v knjigi
niso obravnavani različni noveǰsi sistemi števil,
še bogateǰsi kot realna števila, npr. Conwayeva
118 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“Kodre” — 2016/10/18 — 13:37 — page 119 — #4 i
i
i
i
i
i
A Brief History of Numbers
surrealna števila). Čeprav to zgodbo vsi matematiki bolj ali manj dobro po-
znamo, jo vselej radi slǐsimo povedano še enkrat – prav kakor otroci, ki se
nikoli ne naveličajo poslušati eno in isto pravljico! Corryjeva pripoved te
zgodbe je za matematike še posebej privlačna zato, ker se nedvoumno osre-
dinja na razvoj matematičnih idej; ne izgublja se v nebistvenih biografskih
podrobnostih o prepirih, dvobojih in drugih prigodah iz življenja matemati-
kov, ne kupuje pozornosti bralca s poceni anekdotami o njihovih čudaštvih
ali značajskih posebnostih, ampak se posveča predvsem njihovemu izvir-
nemu matematičnemu prispevku, ki ga skuša predstaviti kar se da zgoščeno
in razumljivo.
Da danes števila (kot temeljni matematični objekt) prežemajo in urav-
navajo (še posebej prek informacijske tehnologije) naše vse bolj nadzorovano
in digitalizirano življenje tako rekoč na vsakem koraku, je rezultat dolgega
zgodovinskega procesa, v katerem so v različnih kontekstih privzemala raz-
lične vloge (npr. v znanosti, tehniki, organizaciji družbe, itd). Vzporedno
s tem pa so se spreminjala tudi naziranja o tem, kaj je število in kakšne so
njegove uporabe znotraj matematike same. Različni matematični problemi
so terjali kot rešitve števila različnih vrst in jih s tem priklicali v zavest ljudi
oziroma spodbudili njihovo odkritje. Ta zgodovinski proces pa nikakor ni
bil premočrten, temveč vijugav, poln dilem, oklevanj, negotovosti, nepriča-
kovanih obratov in dolgo zasledovanih slepih poti. Da bi bralec lažje sledil
prikazu tega razvoja, avtor v uvodnem poglavju najprej na kratko predstavi
sistem števil, kot ga poznamo danes, odnose med različnimi vrstami števil
(N,Z,Q,R,C) ter nekaj osnovnih lastnosti števil.
V drugem poglavju obravnava različne načine zapisovanja števil. Pozi-
cijski decimalni sistem, kot se uporablja danes, primerja s sistemi zapisova-
nja na Zahodu, ki so mu najbližji oziroma predstavljajo določene njegove
predstopnje. Tako so npr. v Egiptu uporabljali posebne hieroglife za zapis
prvih desetǐskih potenc 1, 10, 100, . . . , 1000000, poznali pa so tudi že ulomke
s števcem 1. Stari Grki so (podobno kot Hebrejci) za zapis enic 1–9, dese-
tic 10–90 in stotic 100–900 uporabljali 27 črk abecede. Šestdesetǐski sistem
Babiloncev, ki se pod vplivom Ptolemejevega Almagesta iz leta 130 še ve-
dno uporablja v trigonometriji in astronomiji, ima to posebnost, da za zapis
števk 1–59 uporablja le dva različna simbola (za 10 in 1). Celo za prepro-
sto seštevanje precej nerodni sistem starih Rimljanov je uporabljal črke za
števila po ključu I za 1, V za 5, X za 10, C za 100, D za 500 in M za 1000.
Na kratko je omenjen tudi Arhimedov sistem zapisovanja velikih števil ter
(od drugih astronomov in matematikov) razmeroma prezrt Ptolemejev pri-
spevek uvedbe ničle v okviru babilonskega šestdesetǐskega sistema.
V tretjem poglavju je lepo razložena temeljna distinkcija, ki je veljala v
starogrški matematiki med aritmetičnimi, diskretnimi števili (aritmos), ki so
bila vselej večkratniki neke osnovne količine, enote, oziroma so predstavljala
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3 119
i
i
“Kodre” — 2016/10/18 — 13:37 — page 120 — #5 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
določeno število določenih stvari (npr. jabolk), in geometrijskimi, zveznimi
magnitudami (megethos), ki so predstavljale bodisi dolžine daljic bodisi plo-
ščine likov bodisi volumne teles, in so bile neskončno deljive. Grki so, po-
dobno kot Egipčani, poznali tudi koncept ulomkov s števcem 1, niso pa imeli
še povsem izčǐsčenega pojma racionalnega števila, saj npr. števila, ki ga mi
označujemo z ulomkom m/n, niso interpretirali kot produkt m(1/n), ampak
kot vsoto m enakih vrednosti 1/n. Po odkritju iracionalnih števil je krizo v
pitagorejski koncepciji števil razrešil Evdoks. Vpeljal je jasno razlikovanje
med količinami in razmerji, ki se je obdržalo še dolgo v zgodovini matema-
tike. To poglavje je pomembno, ker v njem Corry polemizira s prevajalcem
Evklida v angleščino in siceršnjo avtoriteto za starogrško matematiko Hea-
thom in njegovo algebraično interpretacijo nekaterih izrekov iz Evklidovih
Elementov, za katero dokazuje, da je (kljub svoji matematični smiselnosti)
neprimerna, saj v zgodovinskem smislu nasprotuje sami koncepciji števil pri
starih Grkih. Na tem primeru lepo vidimo, da matematike preteklosti (in
problemov, ki jih je reševala s svojimi specifičnimi metodami) ne moremo
pravilno razumeti, če si jo zgolj prevedemo v današnji pojmovni aparat in
simbolično pisavo, ampak moramo, da bi jo lahko resnično razumeli, raz-
mǐsljati v njenih izvornih pojmih. Podobno Corry argumentirano zavrača
tudi anahronizem, ki skuša rezultate starogrških geometrijskih konstrukcij
iz Evklidovih Elementov interpretirati kot zametke nekakšne geometrijske
algebre. Grki so v teh problemih razmǐsljali geometrijsko, ne pa algebra-
ično, in če iz pozicije sedanjosti (ki je do skrajnosti poenostavila zapleteneǰse
koncepte in načine mǐsljenja iz preteklosti) po Descartesovi algebraični revo-
luciji arogantno verjamemo, da jih lahko razumemo (in celo odpravimo kot
trivialne!) s prevodom geometrijskega v algebraični jezik, se zelo motimo.
Prav razumevanje nians, ki jih omogočajo različni jeziki in modusi mǐslje-
nja, torej posluh tudi za fineǰse ravni in dimenzije matematičnega besedila,
ne le hitenje k rezultatu po grobi algebraični poti, je tisto, kar ostaja skrito
pragmatičnemu matematiku, matematičnemu zgodovinarju, katerega misel
je veliko globlja in zahteva veliko več časa in truda, pa ne.
Podobno zgoščeno in kritično poglobljeno obravnava Corry tudi druga
obdobja v zgodovini števil. Tako je npr. v srednjeveški arabski matematiki
geometrija veljala za zanesljiveǰsi izvor matematičnih trditev v primerjavi
z aritmetiko in algebro (to se kaže npr. v priznavanju le pozitivnih rešitev
enačb), ta nazor pa se je v matematiki obdržal vse do konca 19. stoletja.
Različne algebraične enačbe (kot npr. x2+10x = 39) in identitete so reševali
in dokazovali s pomočjo metode dopolnjevanja do popolnega kvadrata in
ustreznih geometrijskih diagramov.
Med 12. in 16. stoletjem so v Evropi najprej sholastiki zavzeto razčle-
njevali Evklidove Elemente v logičnem in strukturnem smislu in posamezne
dele dokazov opremljali z referencami na že dokazane trditve z namenom,
120 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3
i
i
“Kodre” — 2016/10/18 — 13:37 — page 121 — #6 i
i
i
i
i
i
A Brief History of Numbers
da bi izvirno besedilo, ki ga poleg vsebine odlikuje tudi zgoščen slog, didak-
tično izbolǰsali (to je podobno jalovo početje, kot če bi kdo hotel popravljati
Prešernove verze)! To niso bili zgodovinsko in jezikovno zvesti prevodi izvir-
nika, ampak učbeniki, namenjeni praktični uporabi v razredu. Predgovori
in komentarji k tem prevodom so dragoceni dokumenti, ki zgodovinarjem
matematike med drugim omogočajo tudi primerjavo različnih koncepcij o
številih. V obdobju renesanse in po iznajdbi tiska se je število prevodov
Evklida še povečalo. Prva tiskana verzija Elementov se je pojavila v Be-
netkah leta 1482. Prva objavljena latinska verzija, ki je bila neposreden
prevod iz grškega izvirnika, je bila objavljena 1505, prav tako v Benetkah.
Predstave o zgodovini matematike so bile v tem času precej poenostavljene,
zlasti prispevek arabskih matematikov je bil precej podcenjevan. Podobno
se v zgodovini matematike dostikrat prezre pomembne prispevke t. i. manj-
ših narodov. Tej pomanjkljivosti se ne izogne tudi ta knjiga, ko v poglavju
o znanstveni revoluciji, uvedbi decimalnega sistema in iznajdbi logaritmov
poudarja vlogo, ki so jo pri vsem tem odigrali Viéte, Stevin, Neper in Briggs,
pri tem pa Vege in njegovega logaritmovnika niti ne omeni! Ob tem bi se
Slovenci še enkrat morali globoko zamisliti, ali storimo dovolj za prepoznav-
nost naše matematike v svetu. Ali naj zgodovino matematike pǐsejo le t. i.
veliki narodi v t. i. velikih jezikih, ali pa se bomo končno zavedeli tudi po-
membnosti promoviranja dosežkov naših matematikov v svetu, prav tako pa
tudi vrednosti ohranjanja in razvijanja lastnega znanstvenega jezika? Zgo-
dovina razvoja števil, kot je predstavljena v Corryjevi knjigi, nas namreč
tudi opominja, da nikoli ni bilo ene same globalne matematike, enake pri
vseh kulturah, in da so dragocene in vredne posebne pozornosti prav lokalne
posebnosti v načinu mǐsljenja, ki jih pomembno omogočajo prav različni
jeziki, v katerih je ubesedena matematična misel. Vsak jezik namreč od-
pre novo alejo razmǐsljanja, podobno kot nov matematični koncept omogoči
nove raziskave in opustitev starih dogem – tako je npr. Hamiltonovo odkritje
kvaternionov leta 1843 pokazalo, da množenje ni vselej komutativno!
Knjiga Kratka zgodovina števil bralcu poleg pregleda razvoja števil, ki
se v podobnem kritičnem tonu do uveljavljenih, a ne dovolj reflektiranih
pogledov v zgodovini matematike razteza vse do začetka 20. stoletja, ponuja
številna izhodǐsča za razmǐsljanje o matematiki preteklosti in sedanjosti ter
vlogi, ki je odrejena matematiki v današnji orwellowski družbi, ki človeka vse
bolj reducira na številko v računalniku – kar je morda le še ena od številnih
slepih ulic uporabe in razumevanja števil v kratki zgodovini človeštva!
Čeprav se je avtor zavestno omejil na zgodovino števil v okviru evropske
matematike, ta odločitev morda ni bila najbolǰsa; zgodba bi bila veliko
zanimiveǰsa in tehtneǰsa, če bi vključevala tudi poročilo o razvoju števil v
okviru drugih starih civilizacij in kultur.
Jurij Kovič
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3 XI
i
i
“kolofon” — 2016/10/18 — 13:38 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, MAJ 2016
Letnik 63, številka 3
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Matrično konveksne množice (Igor Klep) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81-99
Intervju
Pogovor s profesorjem Josipom Grassellijem (Damjan Kobal) . . . . . . . . . 100–113
Vesti
Srečanje evropskih matematičark v Berlinu (Marjeta Kramar Fijavž) . . . 114–115
Nove knjige
Carlo Rovelli, Sedem kratkih lekcij iz fizike (Alojz Kodre) . . . . . . . . . . . . . . 116–117
Ibrahim Aganović, Krešimir Veselić, Matematičke metode i modeli
(Jure Kališnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117–118
Leo Corry, A Brief History of Numbers (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118–XI
CONTENTS
Articles Pages
Matrix convex sets (Igor Klep) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81–99
Interview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100–113
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114–115
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116–XI
Slika na naslovnici je nastala med prvim feminističnim tednom na Fakulteti za
matematiko in fiziko UL (april 2015), ki je bil posvečen Emmy Noether in ga je
organiziralo študentsko društvo Iskra. Na sliki so upodobljene Emmy Noether
(nemška matematičarka, delovala na področju abstraktne algebre), Simone de
Beauvoir (francoska filozofinja, poleg književnosti študirala tudi matematiko), Sofia
Kovalevskaja (ruska matematičarka, ukvarjala se je s parcialnimi diferencialnimi
enačbami), Marie Curie (poljska fizičarka in kemičarka, prva ženska, ki je prejela
Nobelovo nagrado) in Angela Piskernik (botaničarka, prva Slovenka z doktoratom
iz naravoslovja). Portretiranke so naravoslovke, ki so s svojim delom zaznamovale
svoja raziskovalna področja. Za upodobitev samih žensk smo se odločili, saj so
še zmeraj prepogosto zapostavljene in njihovi doprinosi k razvoju, posebej na
naravoslovnih področjih, pogosto pozabljeni oziroma se jim ne da zadostne teže
in pozornosti. Avtorice slike: Polona Drobnič, Martina Jurak in Nana Wolke.