i i “348-Repovs” — 2010/9/7 — 10:06 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 6 (1978/1979) Številka 1 Stran 31 Dušan Repovš: SREDIŠČE KROŽNICE Ključne besede: matematika, geometrija, krožnica, konstrukcije s še- stilom, naloge. Elektronska verzija: http://www.presek.si/6/348-Repovs.pdf c© 1978 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. SREDZS,, KRDZN1,- f o k r a t bosQe moral4 zna t f veBE6 rokovati r gtometrijskim p r l - boram; da pa bo naloga 8s zshtevnel ir , Yam bamo dovol f l i upo- r a b l j a t i somo 9estIlg. Nalogo se g los i takole: REš I TEV NA LOGE "SREDIšCE KROZNIC E" s str . 31 Ko n s t puk c i j a : Dan o krožn ico označ imo s K . l . Izberimo na K poljubno točko X in v njej nari šimo poljubno ve l i ko kr ož ni co K' , ki pa naj bo vseeno tako majh na, da še seka K v dve h razl ičn i h t o č k ah Y' i n y u . (S lika 1 ) 2 . Na r i š i mo v toč ki Y' kr ož ni co L ' polmera Y'X. Ena ko veliko krožn ico L U narišimo t ud i v točki y u . Krožnic i L' in L U se s e ka t a v dve h raz lič nih točkah, v X in Z. (S l i ka 2) 3 . V t očki Z nari šimo kr ož nic o M s polmer om ZX . Krož nica M se- ka krož nico K' v točka h D' in DU . (S l ika 3) 4. V točk i D' narišimo kro žnico N' s polme rom D'X . Enako veli- ko krožnico NU nariš imo v to čki D". Krožnici N' in NU se seka ta v dveh t o č k a h X in S . S je i s ka no središče krožnice K. (Sl ik a 4) Do ka z , da je S res središče kr ožni ce K : (S l ika 5) Denimo, da to ni re s, tore j da je razdalja OS , kje r je O pr avo središče krožnice K, od n ič raz lična . Zaradi s imetr i je v kon- strukc ij i so točke X , Z, S in O ko l i nearne. Iz konstrukc ije s led i , da s t a tr ikotnika XD'S i n XD'Z podobn a, ke r s t a enako - kr a ka i n i mata sk upni kot a v og l išču X . Odtod do bimo zarad i podob nosti razmerje XS :XD' = XD ' :XZ al i XS = ( XD') 2: XZ. Iz e - na kega r az lo ga sta podo bna tudi trikotni ka XY 'O in XY 'Z in spet ve lja razmer je XO : XY' = XY' : XZ. Odtod dobi mo XO = ( XY' ) 2 : X Z. I z konstr ukcije se spomnimo, da je XY ' = XD ' , zato je XS = xo in tako je OS = O, kar smo že l e l i dokaz ati . Du šan Repovš - REŠi T V E NALOG 60 1 K K' 6 1 2 D' 3 62 M K' K' 4 N" N' M K' r \ /x\ I \ I \ / \ N" N' K' 63