P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 30 (2002/2003) Številka 3 Strani 142-147
Marko Razpet:
KOTI V PRAVILNEM PETKOTNIKU
Ključne besede: matematika, geometrija, pravilni petkotniki, koti. Elektronska verzija: http://www.presek.si/30/1519-Razpet.pdf
© 2002 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
142
Matematika
KOTI V PRAVILNEM PETKOTNIKU
Kot je razvidno na sliki, v pravilnem pet kotniku ABC DE s središčem v točki S povsem naravno nastopajo koti 18°,36°]540 in 72°, ki so vsi večkratniki kota 18°.
Za kote 30°, 45° in 60° ni težko najti vrednosti kotnih funkcij, saj si pomagamo z enakostraničnim trikotnikom in kvadratom. Rezultatov si tudi ni težko zapomniti. Navadno pa najdemo v učbenikih za kotne funkcije kotov, ki jih srečamo v pravilnem petkotniku, precej zapletene izpeljave. Za nekatere od njih je treba obvladati celo kompleksna števila ter enačbe tretje in četrte stopnje. Ogledali si borno, kako lahko enostavneje dobimo izraza za sinus in kosinus kota 54°. Rezultat nam omogoča izračun vrednosti kotnih funkcij t. udi za ostale kote v pravilnem petkotniku in geometrijsko konstrukcijo pravilnega petkotiiika, Če poznamo njegovo stranico a.
Najprej opazimo, da velja
E
A
C
2 ■ 54° = 270° - 3 ■ 54° .
Nato se spomnimo znanih identitet
sin 2a = 2 sin o cosa , eos 2« = 1 — 2 sin2 a, sin(270° — a) = — cosa
Matematika	143
Nekoliko manj znana je identiteta za kosinus trojnega kota, ki pa jo dobimo iz adieijskega izreka in prejšnjih identitet (ali tudi iz Moivrcove formule):
cos 3a — cos(2a + a) = cos 2a cos a — sin 2a sin a = cos a(l — 4 sin2 q) . Označimo
x — sin 54° , y = cos 54° . Očitno je0<x<lin0<y<1, Ker velja
sin(2 ■ 54°) = — cos(3 ■ 54°},
dobimo od tod najprej
2xy = ~y(l - 4x2) , po krajšanju z y in po preureditvi pa je pred nami kvadratna enačba
4x2 - 2x - 1 = 0 .
Njeni rešitvi sta
®l=.i(l+-VS), = ^(1 — \ZŠ) •
Ker je X2 negativno število, imamo nazadnje
sin540 = -J(l + v/5).
Število
+ n/5)
smo že srečali v Preseku (Presek 27 (1999/2000), 34). Imenujemo ga števiio zlatega reza (zlato razmerje, označujemo ga tudi t), ker nastopa pri zlatem rezu, zlatem pravokotmku, zlati spirali. Potence števila <f> s celimi eksponenti se linearno izražajo s <j> samim, koeficienti pa so Fibonaccijeva števila. Trditev temelji na tem, da število <j> = 2x\ zadošča enačbi <f> 2 = = <j)+ 1, iz katere dobimo <f>n, oziroma enačbi = tj> — 1, ki narn da izraze za <p ~n, kjer je n naravno število.
144	Matematika
Nekateri menijo, da se oznaka <f> uporablja v čast starogrškemu kiparju Fidiji, ki je zlati rez uporabljal pri svojili mojstrovinah, drugi pa stavijo, da oznaka pride od Fibouaccija. Kakorkoli že je, velja
sin 54° = ^ d>.
Podobno idejo, ki nas privede do kvadratne enačbe, lahko uporabimo tudi za sinus kota 18°. Začnemo z enakostjo 2-18° = 90°—3-18° in nadaljujemo podobno kot pri sinusu kot a 54°. Lahko pa uporabimo dobljeni rezultat in enakost
2sin2 18° = 1 — cos36° = 1-sin54° = ^(2 - <j>).
Tako dobimo najprej
nato pa

S številom o se izražajo tudi
sin 36° =	sin 72° = ~+j> ■
Prav tako lahko s številom 4> zapišemo tudi kosinuse, tangense in kotangense tistih večkratnikov kota 18°, ki ležijo med kotoma 0° in 90°, kot kaže razpredelnica.
kot	sin	tg	
18°		iV"35 - 20<£	72°
36°		77-44>	54°
54°	y	^15 + 204>	3C°
72°	JV2 + 0	V3 + 4<¿>	18°
	cos	ctg	kot
Bralec bo z lalikoto zapisal vrednosti v zgornji razpredelnici v običajni obliki, s kvadratnimi koreni. Čemu nam vse to lahko koristi?
Matematika	145
V učbenikih običajno najdemo geometrijsko konstrukcijo pravilnega petkouiika, ki je včrtan dani kiožnici. Poskusimo sedaj konstruirati pravilni petkotnik z dano stranico a. Njeni krajišči označimo z A in B, ki bosta hkr&ti že dve oglišči iskanega lika. V A in B narišemo pravokotnici na daljico AB in konstruiramo kvadrat, ABFG. Razpolovišče stranice AG označimo s H, potem pa načrtamo krožni lok s središčem v H skozi F. Krožni lok preseka podaljšek stranice AG v točki I. Na tem podaljšku določimo še točko J, ki je od A oddaljena 2 o.. Ker je po Pitagora ve m izreku
dobimo

\AI\ = \AH\ + \HI\ = l-a+ l-as/l =; a<f>.
Skozi I načrtamo vzporednico stranici AB, ki jo krožili lok s središčem v A skozi J preseka v točki K. Takoj vidimo, da premica skozi A in K oklepa z daljico AB kot 54°. Velja namreč
\AI\ ad> .1 .
Torej je res
<BAK = <AKI = 54°
146	Matematika
Očitne premica skozi A in A* preseka pravokotnico s ko ¿i razpolovišče daljice AB ravno v središču S iskanemu pravilnemu pet kotniku očrtane krožnice. S konstrukcijo iskanega pravilnega petkotnika ABCDE potem ni več težav.
Bralec bo morda konstruiral pravilni petkotnik z dano stranico a še kako drugače, recimo z uporabo diagonal iz oglišča D, Trikotnik AB D je enako k rak z osnovnico a. Kot ob vrhu D pa. meri 36°, Ni težko izračunati dolžine krakov AD in BD. Dobimo
\AD\ = \BD\ = 5 - a<t>. 1 1 1 1 2 sin 18°
Ker že obvladamo konstrukcijo daljicc dolžine a4>1 znamo s tem načrtati tudi trikotnik ABD. Ker merita <ADB in <BDC tudi po 3G°. dodamo ta kot na vsako stran vrha D rnakokrakega trikotnika ABD. Nato odmerimo a iz D vzdolž nosilk daljic D C in DE. S tem imamo vsa oglišča iskanega lika.
Za konec si oglejmo še eno zanimivost v zvezi s kvadrati sinusov večkratnikov kota 7 — 18°. Označimo
a„ = sin2 («7),
kjer je 71 poljubno celo število. Iz že predstavljene razpredelnice domnevamo, da je
an = An + Bn(j>,
kjer so .4,, in B„ racionalna števila. Posebej je sin'(37) = <p2/4 = (1 4-+ 0)/4. Tako imamo na primer Ao = 0, Bq — 0. Ai ~ 1/2. B1 = —1/4, A2 = 3/4. B2 = -1/4, j43 = 1/4, S3 = 1/4 itd. V Preseku smo tudi že dokazali, da realna števila oblike a +■ kjer sta a in b racionalni števili, zaradi iracionalnosti števila <j> lahko v taki obliki zapišemo samo na en način. Seveda za vsako naravno število veljata enakosti A—n = An in B-n — B„.
Z uporabo adicijskega izreka, za funkcijo sinus najprej izpeljemo identiteto
sin2 (a + (3) -Hsin2(fi - ¡3) = 2 sin2 o + 2 sin2 /3 - 4 sin2 a sin2 ff, kamor nato vstavimo a = wy in 0 = 7. Dobimo rekurzivno enačbo za an\
x , K an+1 + £t„_! = anq> + 1 — -p.
Matematika	147
Ker je «o = O in a\ = 1/2 — 0/4, lahko postopoma izračunamo a,2, «3,____
Z metodo matematične indukcije dokazom o, da so vsi členi zaporedja an oblike An +Bn<fi, kjer so A7l in B„ racionalna števila. Torej velja naslednja enačba:
(A„+1 + Bn+1<t>) + (An_! + Ba-i4>) = (A„. + Bn<j>)<t> + 1 - ^.
Ker je 02 = 1 + (p, morata zaradi enoličnosti zapisa An in Bn izpolnjevati enačbi
An+i + An-i = Bn + 1
Bti+i + Bn-1 — An + Bn — - .
Iz dobljenega sistema rekurzivnih enačb laliko korak za korakom izračunamo A„ in B„. Toda pojdimo še korak naprej. Izrazimo
An = Bn+i H- 1 — Bn + \)1
iz druge enačbe in ga vstavimo v prvo. Dobimo rekurzivno enačbo
Bn+2 = BIt+i — Bn + Bn_j — Bn_2 -
Torej je katerikoli Bn izmenična vsota štirih svojih predhodnikov. Podobno najdemo tudi rekurzivno enačbo
An+2 = An+1 ~An + An-1 - 2 + - '
Katerikoli An je izmenična vsota štirih svojih predhodnikov, povečana za polovico. Tako lahko širimo naslednjo tabelo:
n	. . .	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	
An		3/4	1/2	0	1/2	3/4	1/4	1/2	1	1/2	
B,r		-1/4	-1/4	0	-1/4	-1/4	1/4	1/4	0	1/4	...
Prav za konec pa še ena naloga za bralce. Diagonali iz različnih oglišč v pravilnem pet,kotniku se sekata v notranjosti lika. D o kaži te, da je pri tem razmerje daljšega in krajšega odseka enako številu (p.
Marko Razpet