i i “Razpet” — 2019/2/13 — 8:14 — page 186 — #3 i i i i i i prepise Fibonaccijevega temeljnega dela. Zato je opisana knjiga prijetno branje, pri katerem ni treba znati veliko matematike. Rečemo lahko, da je knjiga mešanica zgodovine, matematike in osebnih doživetij. Devlin ima objavo Liber abbaci za velik mejnik v razvoju evropske in svetovne matematike, podobno kot vzpon računalnǐstva v drugi polovici 20. stoletja. Oboje je zelo spremenilo svet. Danes si ne moremo več predstav- ljati, kakšno bi bilo življenje brez desetǐskih številk in računanja z njimi, kaj šele brez informacijsko komunikacijske tehnologije. Devlin tudi ne pozabi omeniti Indije, kjer so že veliko pred Fibonacci- jem poznali desetǐski mestni zapis števil in računanje z njimi. Pa tudi ne perzijskih in arabskih matematikov, ki so vse to znanje prenesli na območje Sredozemlja. Devlinova nova knjiga je razdeljena na predgovor, 16 poglavij in dodatek, v katerem je na kratko predstavljena vsebina vseh poglavij Fibonaccijeve knjige Liber abbaci. Konča pa se z bibliografijo in indeksom. Marko Razpet VESTI Bojan Mohar je prejel prestižno nagrado Kanadskega kraljevega združenja Profesor dr. Bojan Mohar je prejel prizna- nje John L. Synge Award za leto 2018. Podeljuje ga Royal Society of Canada, tj. Kanadsko kraljevo združenje, ki je podob- na ustanova kot naša Akademija znanosti in umetnosti. Združuje in nagrajuje razis- kovalce in umetnike, ki so dali pomembne prispevke Kanadi. Nagrado, ki se imenuje po matematiku J. L. Syngeu, dajejo za iz- redne raziskovalne dosežke na kateremkoli področju matematike. V zadnjih treh de- setletjih jo je dobilo osem matematikov. Kratka obrazložitev pravi: i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kom resijo, nekako za faktor 2. Pri m lih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantiz cijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija ne akovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsej grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Profesor Bojan Mohar na Univerzi Simon Fraser od leta 2005 zaseda prestižno katedro Canada 186 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5 i i “Razpet” — 2019/2/13 — 8:14 — page 187 — #4 i i i i i i Bojan Mohar je prejel prestižno nagrado Kanadskega kraljevega združenja Research Chair. Je med vodilnimi v svetu na področju Teorije grafov. Znan je po svojih rešitvah odprtih problemov in domnev. V večini njegovih del je vidna kombinacija kombinatorike, geometrije, topologije in algebre. Njegovi globoki rezultati v topološki in strukturni teoriji grafov so trajno vplivali ne samo na topološko teorijo grafov, temveč tudi na teoretično računalnǐstvo in druga področja. i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij » točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Mohar je objavil sam ali s sodelavci več kot 310 znanstvenih člankov. V tisku ali sprejetih pa ima še več kot 30 člankov. Skupaj z danskim mate- matikom Carstenom Thomassenom je avtor pomembne monografije Graphs on surfaces. Leta 1996 je bil izvoljen za člana Društva za industrijsko in uporabno matematiko (SIAM). To društvo ga je v letu 2018 skupaj s 27 drugimi znanstveniki z vsega sveta odlikovalo s prestižnim naslovom Siam Fellow. Je tudi redni član Inženirske akademije Slovenije. Bojan Mohar je leta 1990 prejel Kidričevo nagrado, leta 2009 pa je postal ambasador Re- publike Slovenije v znanosti. Leta 2016 je dobil Eulerjevo medaljo za leto 2010 (ni napaka!). Medaljo podeljujejo za izredne dosežke v kombinatoriki. Mohar vsako leto za več mesecev pride v Slovenijo. Tu dela v programski skupini Teorija grafov v okviru Inštituta za matematiko, fiziko in mehaniko (IMFM) in na Fakulteti za matematiko in fiziko (FMF) Univerze v Ljubljani. Mohar je eden od dveh glavnih urednikov ugledne revije Journal of Com- binatorial Theory Series B. Je tudi glavni urednik za področje Teorije grafov pri reviji Electronic Journal of Combinatorics. Zanimiv intervju, ki ga je 3. oktobra 2018 Bojan Mohar imel na Radiu Slovenija, lahko poslušate na [1]. Mimogrede, kot še eno ilustracijo uspešnosti Kanade pri privabljanju talentov z našega konca omenimo, da je v letu 2018 Kanadsko kraljevo združenje odločilo, da nagrado Rutherford Memorial Medal in Chemistry dobi Tomislav Frǐsčić, ki je diplomiral 2001 v Zagrebu in je zdaj profesor na Univerzi McGill. LITERATURA [1] M. Delač, Prof. dr. Bojan Mohar, Slovenski matematik je prejel prestižno nagrado Kanadskega kraljevega združenja, Radio Prvi, 3. 10. 2018, dostopno na radioprvi. rtvslo.si/2018/09/intervju-158/, ogled 21. 12. 2018. Peter Legǐsa Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5 187