i
i
“428-Bezek” — 2010/5/26 — 6:47 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 7 (1979/1980)
Številka 2
Strani 73–76
Danijel Bezek:
O OBSEGU IN PLOŠČINI
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/7/428-Bezek.pdf
c© 1979 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
MATEMATIKA I@I
------------------- - -
o OBSEGU IN PLOščINI
Poznavanje štev i l i n prostor skih povezav je imelo v najsta rej -
ših civil izacijah praktičen pomen .
Geome trijski problemi, kot sta npr. računanje obsega i n plošč i
ne, so bi li povezani z merjenjem kot praktično dejavnost jo. Če
seže mo v zgodovino naza j, vidimo po pisan i h vir ih, da l jude m,
kjub praktičnemu ravnanju in merjenju, do lgo ni bi lo jasno, v
kakšnem medsebojnem odnosu sta si obs e g in p loščina.
1. primer : Grški zgodovinar Tukidid (460 - 396 pr .n .št .) je v
Zgodovin i peloponeških vo jn zap isa l: Za jadranje oko l i dvakrat
večjega otoka porabimo dvakrat daljši čas.
Tukididova ocenitev, da s t a si obseg in ploščina premosoraz me [
na, je bila bolj posled ica njegovega prepričanja, kot pa rezul
tat p rak tičnega posk usa a li matemat ičnega prem is leka .
SI. 1
73
Prob lem odnos a med obsegom in ploščino lahko nekoliko razišče­
mo s poenostavl jenim matematičnim prime rom, kjer je oto k pred -
stavljen s pravo kotnikom, os ta l i liki pa predstav ljajo p lošč iQ
ska dvak rat večji otok ( slo 1).
Ali je obseg pri teh l i ki h tudi dvakrat v e č j i ? Ra zmisli !
2 . pri me r: Polib i j (ok ol i 200 do ok ol i 120 pr.n. št. ) je ne kj e
zap isa l: š e vedno so l j udj e , ki ne morejo razume ti, da i ma prQ
s t a r , odmerjen za vojašk i t abor, pri istem obsegu več a l i manj
prostora za šotore.
S I. 2
Pri razmiš ljanj u si lah ko pomagamo s poenostav ljenim posk usom
(s lo 2) . Sklenjeno nitk o a l i vr v ico napnemo okol i bucik a l i
ž e bl j t č kov , ki pr eds t av l jajo og l išča t ri kotniko v. Dveh og l išč
ne prem i ka mo , s t r etjim pa ob liku j emo na jraz lič nejše tr ikotn i -
ke z i s ti m obsegom .
V s a k i č ugot ov i p loščino nastalega tr ikot n ika i n jih primerjaj
med seboj !
Pos kušaj na red iti ka kš e n z ak ljuče k !
Op omba: Kako se je i s kan j e odnosa med p lošči no in obse gom ra v-
nin s kih l ikov v zgo do vi ni nada l jevalo, si la hko bra lec poišče
v knj ig i Iv an a Vidav a: Re šeni in n er e š e n i p rob lemi matema t i ke
v pogla vj u Izoperimetri čni proble mi .
74
3 . pri mer : Na ra va rešuje prob lem odnosa med plošč i no in obse-
gom na začudenja vreden nač in. Pog lejmo v čebelji panj . Celice
v satovju so pravi lni šestko t niki . Do mne vamo, da j e vprašanje
povezano z ekon o mič nos t j o. To pomeni, d a j e pr i či m man j ši po-
rab i vos ka (i z tega so na rejena stene ce lic), dosežen na jvečji
i z ko r i st e k pr ost or a , ki je na me njen za sk la d iščen je medu .
Al i i maj o če b e le v s vo j i nag on s ki i zbiri pra v? Pog le jmo s i nji
hovo grad ben ištvo v j e z i ku matemat ike.
Tr d i te v : Od vs e h pra vi l n i h mnogok ot nikov, s kat e r imi se da po -
kr i t i r avni no , tako da ni medpros torov, ima praviln i šestkot-
ni k pri istem obsegu n ajv e č j o p lošč ino.
Doka z: a ) Ravni no l ah ko na predp isa ni nač in, tak o da ni me d pr o
storov, pokr ijemo z enakostran ičn imi tr i ko tn iki , kvadrati i n
prav i ln i mi šestko t niki (sl . 3).
51. 3: a ) b} c)
Z dr ugi mi mno goko t ni ki ra vnine ni mo goče pr e kr i t i . Razmiš lj amo
pa tako le : Vs ot a not r anjih kotov m pra v i ln ih n- kot n i kov , ki se
st ikajo v s kup nem og l išč u, je 360 0 .
m( 18 00 (n - Z)l n) = 360 0 a l i t udi
m 2n l( n - Z)
če e n ač b o za m iz ( 1) pr eo bl ik ujemo, dobi mo :
( n - Z)( m - 2) = 4
( 1 )
(Z)
7 5
St e v i l o 4 lah ko na t ri nač i ne zapišemo kot pr odu kt dv eh narav -
n ih š t e vi l: 4 1,1 .4 in 2 . 2
Tak o d obimo z a n tr i r eš i t ve , ki nam pov edo možne mnogoko tni-
ke, s ka t e r i mi se da pokr i t i r avni no. I z ena čb e ( n - 2) = 4
dob i mo pr vo r e š i t ev nj = 6 ; iz enačbe ( n - 2) = 1 do bi mo
d rugo re š i te v n2 3 in i z en a čb e ( n - 2) = 2 do bimo t re -
t jo re š itev n3 = 4
b) Dok a zati j e tre ba, da i ma pri i st em obs eg u ( ozna ka L) pr a-
vi lni š e s t kot n i k od možn i h mn ogo kotn ik ov naj ve čjo pl o š čino .
E n a k os t r a ni čn i Kvad ra t Pravi 1n i
t r ikotn i k še st ko tn ik
Ob r a ze c za
p loš čino, če a 2 13 / 4 a 2 3a 213 / 2
j e stran i ca a
Dolž ina s t ra -
n ic e pri da - L/3 L/ 4 L/ 6
nem ob s egu L
Z obs ego m
iz r a žena pl o- L2 . 13/3 6 L2 / 16 L2 . 13/ 24
š čin a L2 . 0 , 0 48 1 L2 . 0 , 06 25 L2 . 0 , 0 722
Na l oga : Nari š i ena k os t r ani čni t ri kot ni k, kvadr a t in prav i l n i
š e s tk ot n ik , č e je obseg vsa ke ga od njih 20 cm. Postavi j ih ta -
ko , da je s r ed išče oč rtan ih kr ogov za vse mn ogokot n i ke i s t o.
Danijel Be zek
76