IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE ISSN 0473-7466 2013 Letnik 60 5 OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO OBZORNIK MAT. FIZ. • LJUBLJANA • LETNIK 60 • ŠT. 5 • STR. 161-200 • SEPTEMBER 2013 OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, SEPTEMBER 2013, letnik 60, številka 5, strani 161-200 Naslov uredništva: DMFA-založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski racun: 03100-1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešic, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. Clani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o rečipročnosti z Ameriškim matematičnim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi meseč. Sofinančira jo Javna agenčija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije. © 2013 DMFA Slovenije - 1921 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz matematike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvleček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in čitirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyright). Prispevki so lahko oddani v računalniški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj napisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima rečenzentoma, ki morata predvsem natančno očeniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Ce je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TgX oziroma LTgX, kar bo olajšalo uredniški postopek. JOSIP PLEMELJ IN PRAVILNI SEDEMKOTNIK MILAN HLADNIK Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 12F05, 97G40 Plemljev pristop h konstrukciji (stranice) pravilnega sedemkotnika zahteva nekaj predhodne matematične razlage. Ogledali si bomo tudi rahlo dopolnitev in dve novejsi varianti Plemljeve ideje. JOSIP PLEMELJ AND REGULAR HEPTAGON Plemelj's approach to the construction of (the side of) the regular heptagon requires some preliminary mathematical explanations. Also a slight addition and two recent variations of Plemelj's idea will be given. Leta 1892 je devetnajstletni Josip Plemelj, cigar okroglo obletnico (sto štirideset let) praznujemo letos, odkril preprosto konstrukcijo pravilnega sedemkotnika, temelječo na tretjinjenju kota. Objavil jo je sicer sele pred dobrimi sto leti, leta 1912, v nemscini v casopisu Monatshefte für Mathematik und Physik [7], leta 1954 pa so jo v slovenskem prevodu Nika Prijatelja v Obzorniku [8] lahko spoznali tudi slovenski bralci. Njegova metoda se danes velja za eno najbolj elegantnih in najbolj pogosto citiranih konstrukcij tega lika (glej npr. [1, 3, 4, 5, 6]). V tem sestavku si bomo ogledali Plemljev pristop k problemu razdelitve kroznice na sedem enakih delov. Privoscili si bomo majhno dopolnitev Plemljeve resitve, da bomo poleg stranice dobili tudi obe sedemkotnikovi diagonali. Spoznali bomo tudi dve novejsi, na Plemljevi ideji sloneci sorodni konstrukciji (oglisc) pravilnega sedemkotnika (prvo je prispeval Andrew M. Gleason, drugo John H. Conway). Na kratko bomo predstavili sirsi teoreticni okvir o moznih konstrukcijah pravilnih veckotnikov. Najprej na kratko ponovimo nekaj znanih dejstev o geometrijskih konstrukcijah z evklidskim (in izpopolnjenim) orodjem, posebej o konstrukcijah pravilnih veckotnikov. Pri tem je pomembno, katere realne korene kubicnih enacb z racionalnimi koeficienti znamo konstruirati z izbranim orodjem. Splošno o konstrukciji z ravnilom in Sestilom Znano je, da lahko tocko (x, y) v koordinatnem sistemu konstruiramo z (ne-oznacenim) ravnilom in sestilom natanko takrat, ko se dasta njeni koordinati x in y, izhajajoc iz enote 1, izracunati s stirimi osnovnimi racunskimi operacijami in z (veckratno) uporabo kvadratnega korena (glej npr. [10]). Bolj učeno to izrazimo z zahtevo, da morata pripadati koordinati y večkratni kvadratni razširitvi obsega racionalnih števil Fk = Q(\/di> \/d2> • ••, Vdk), ki jo dobimo postopoma z zaporednimi enostavnimi kvadratnimi razširitvami Q = Fo C F1 C F2 C ••• C Fk, tako da za vsak i = 1,2,..., k obsegu Fi-1 dodamo kvadratni koren iz nekega pozitivnega nekvadratnega elementa d € Fi-1, torej Fj = Fj^vd); vsak element v Fj je oblike p + q\/dj s p, q € Fi-1 (glej npr. [6], pogl. 1, ali [9], razdelek 5.6). Ravninski kot pa lahko konstruiramo, kadar zmoremo konstruirati njegov kosinus (ali sinus). Naslednja trditev opisuje prepreko za konstrukcijo korenov kubičnih enačb samo z ravnilom in sestilom. Trditev 1. Če kubična enačba z racionalnimi koeficienti nima racionalnega korena, nobenega njenega korena ne moremo konstruirati samo z ravnilom in sestilom. Dokaz. Denimo, da so a, b, c € Q in da enačba x3 + ax2 + bx + c = 0 nima racionalnih korenov (da je torej, kot rečemo, nerazcepna nad obsegom racionalnih stevil Q), ima pa koren, ki ga je mogoče konstruirati z ravnilom in sestilom. Kot prej označimo F0 = Q in Fk = Q(\/di, \/d2, • • •, Vdk), pri čemer naj bo Fk najmanjsa večkratna kvadratna razsiritev obsega racionalnih stevil, ki vsebuje tak konstruktibilen koren. Ta koren je torej oblike p + q\/dfc, kjer je p, q € Fk-1 in q = 0, sicer bi bil koren ze v Fk-1. Ce vstavimo koren p + q\fdk v enačbo in poračunamo, dobimo (p3 + 3pq2dk + ap2 + aq2 dk + bp + c) + (3p2q + q3dk + 2apq + bq)\fd~k = 0^ Od tod vidimo, da morata biti oba oklepaja enaka nič. Ce vstavimo tudi p — q\/dfc, dobimo podoben izraz, le da je med obema oklepajema minus. To pa pomeni, da je tudi p — q\/dk koren iste enačbe (različen od p + q\/dk zaradi q = 0). Naj bo r tretji koren iste kubične enačbe, tako da imamo razčep x3 + ax2 + bx + c = (x — r)(x — p — q\Zdk)(x — p + = (x — r)(x2 — 2px + p2 — q2 dk )• S primerjavo koeficientov pri potenci x2 ugotovimo, da mora biti a = —r—2p oziroma r = —a — 2p. Koren r, ki po predpostavki ni racionalen, lezi torej v Ffc_i, zato ga lahko konstruiramo z ravnilom in sestilom. To pa je v nasprotju s privzetkom, da je Fk najmanjsa kvadratna razsiritev obsega Q, v kateri tak koren obstaja. ■ Zgled 1. Ker se z uporabo formule za trojni kot lahko takoj prepričamo, da je en koren enačbe x3 — 3x — 1 = 0, ki očitno ne premore nobene racionalne reSitve, enak 2cos(n/9) (druga dva sta 2 cos(5n/9) in 2 cos(7n/9)), iz trditve 1 vidimo, da z ravnilom in sestilom ne moremo nacrtati stevila 2cos(n/9), torej tudi ne tretjiniti kota n/3. Prav tako ne moremo z ravnilom in sestilom nacrtati , ki zadosca enacbi x3 — 2 = 0 brez racionalnih korenov. Zgled 2. Podobno lahko pokazemo, da tudi konstrukcija pravilnega sedem-kotnika z evklidskim orodjem ni mozna. Ce namrec lezijo oglisca pravilnega sedemkotnika na enotski kroznici s srediscem v koordinatnem izhodi-scu, jih lahko predstavimo v kompleksnem kot resitve enacbe z7 — 1 = 0. Ena od resitev je 1, druge pa zadoscajo simetricni enacbi seste stopnje z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0. Takoj lahko preverimo naslednje: ce kompleksno stevilo z resi to enacbo, potem realno stevilo x = z + 1/z resi enacbo tretje stopnje x3 + x2 — 2x — 1 = 0, ki nima racionalnih resitev. Zato nobenega njenega korena ne moremo konstruirati samo z ravnilom in sestilom, tudi ne stevila x = 2cos(2n/7), ki doloca tocki (1,0) najblizje oglisce pravilnega sedemkotnika (v prvem kvadrantu) oziroma kompleksni koren z = e2ni/7 prvotne enacbe z7 — 1 = 0 z realnim delom x/2. Kot dopolnilo zadnjemu zgledu povejmo, da je problem konstrukcije pravilnih veckotnikov z ravnilom in sestilom ze zelo dolgo resen. Osnovni izrek s tem v zvezi pravi (primerjaj npr. [6]): Izrek 2 (Gauss-Wantzel). Pravilni n-kotnik lahko konstruiramo z ravnilom in sestilom (tj. z evklidskim orodjem) natanko takrat, ko je naravno število n oblike n = 2mpip2 . ..pk, kjer je m, k > 0 (pri k = 0 mora biti m > 2) in so pi, i = 1, 2,..., k, različna Fermatova prastevila, tj. prastevila, ki so za ena večja od potence stevila 2. Zadostnost je ugotovil Carl Friedrich Gauss (1777-1855) v svoji razpravi Disquisitiones Arithmeticae leta 1801. V njej je tudi navedel, da enaka konstrukcija drugih pravilnih veckotnikov ni mozna, korekten dokaz tega dejstva pa je leta 1837 objavil francoski matematik Pierre Laurent Wantzel (18141848). Wantzel je tudi prvi dokazal, da tretjinjenje poljubnega kota in podvojitev kocke iz zgleda 1 nista mozna. Ker (za zdaj) poznamo samo pet Fermatovih prastevil, namrec 3, 5,17, 257 in 65537, lahko (za zdaj) z evklid-skim orodjem konstruiramo samo pet pravilnih veckotnikov s prastevilsko stranico, od vseh n-kotnikov pa npr. tiste, kjer je n = 3, 4, 5, 6, 8,10,12,15, 16,17,20,24,30,32,34, 40,48, 51 itd. Vidimo, da pravilnega sedemkotnika ni med njimi. Geometrijsko reševanje kubične enačbe Potem ko smo v trditvi 1 spoznali, da z evklidskim orodjem uspemo le v zelo posebnih primerih, si oglejmo, kako bi sploh lahko geometrijsko konstruirali realno resitev enačbe tretje stopnje z racionalnimi koeficienti. Splosno kubično enačbo ax3 + bx2 + cx + d = 0, kjer je a = 0, lahko s substitucijo x = t — b/(3a) vedno prevedemo v obliko t3 — 3pt + 2q = 0. (1) Izrek 3 (Cardano). Vse tri rešitve enačbe t3 — 3pt + 2q = 0, p, q € R, lahko zapišemo v obliki to = 3—q + VD + 3—q — VD, (2) ti = w 3—q + VD + w2 3—q — vD, 12 = w2 ^—q + VD + w ^—q — VD, (3) kjer je D = q2 — p3 in w = e2ni/3 tretji koren enote1. Pri tem moramo tretja korena, ki nastopata v zgornjih formulah, izbrati tako, da je njun produkt enak p. Kadar je D > 0, je resitev (2) realna (t0 = t0), resitvi (3) pa konjugirano kompleksni (t1 = t2). Pri D = 0 in p, q = 0 imamo enojni koren — 2q/p in dvojni koren q/p, saj lahko zapisemo t3 — 3pt + 2q = (t + 2q/p) (t — q/p)2. Pri D = 0 in p = q = 0 obstaja seveda en sam trojni koren, ki je enak nic. Najbolj zanimiva je situacija, ko je D < 0 (in mora zato biti p > 0). Tedaj ima enacba t3 — 3pt + 2q = 0 tri realne resitve, ki pa se po Carda-novih formulah izrazajo s tretjimi koreni iz kompleksnih stevil —q ± W—D. Kadar enacba (1) nima racionalnih korenov, se kompleksnim stevilom ne moremo izogniti in izvesti vse racune samo v realnem, zato tako situacijo tradicionalno imenujemo (po latinsko) casus irreducibilis, ceprav je enacba (1) seveda razcepna nad R. Da dobimo tretji koren iz kompleksnega stevila, pa je treba izracunati (realni) tretji koren iz njegove absolutne vrednosti, v danem primeru torej 31 — q ± iV—D| = 6q2 — D = -6/p3 = vp, in tre-tjiniti njegov argument. Iz tega vidimo, da je nerazcepni primer kubicne enacbe nujno povezan s tretjinjenjem kota. xIzraz — 108D, ki je enak (to — ti)2(to — t2)2(t^—12)2, imenujemo determinanta enačbe (1). V nerazcepnem primeru lahko v enačbi (1) neznanko izrazimo s kosinu-som nekega kota: t = 2^Jpcos 6 in dobimo ^y/p(4cos3 6 — 3cos 6) + q = 0 oziroma cos 36 = — q/(py/p). Tu je namrec zaradi zahteve D = q2 — p3 < 0 desna stran po absolutni vrednosti pod 1, zato tak kot 36 obstaja. Ce ga znamo tretjiniti, dobimo 6 in s tem eno resitev to = 2^/pcos 6; drugi dve dobimo, ce kotu 6 pristejemo ali odstejemo 2n/3. Denimo zdaj, da so koeficienti a,b,c,d prvotne kubicne enacbe racionalni. Potem sta racionalna tudi koeficienta p in q izpeljane enacbe (1) in ju znamo konstruirati z ravnilom in sestilom, kakor hitro izberemo enoto. Predpostavimo, da je D = q2 — p3 < 0. Resitve lahko v tem primeru dobimo geometrijsko, vendar moramo, kot smo videli, poleg ravnila in sestila uporabiti tudi eno od naprav za tretjinjenje kota (na kratko kotni trisek-tor), saj samo z evklidskim orodjem konstrukcija v splosnem ni mozna (glej trditev 1). Naj ob tem pripomnimo, da ta metoda deluje samo tedaj, ko ima kubicna enacba (1) vse tri korene realne. Vedno namrec dobimo tri kote, ce ze najdemo enega. Ce bi npr. hoteli izracunati 32 kot pri podvojitvi kocke, nam uvedba trigonometricne funkcije ne bi pomagala, ker ima enacba x3 — 2 = 0 le en realni koren. Povzemimo: Trditev 4. Kubično enačbo z racionalnimi koeficienti lahko rešimo geometrijsko z uporabo ravnila, šestila in kotnega trisektorja natanko takrat, ko ima vse tri korene realne. Pri enacbi (1) je torej to res natanko takrat, ko je D = q2 — p3 < 0 oziroma p3 > q2. Za geometrijsko konstrukcijo tretjega korena iz realnega stevila ali, bolj splosno, korena kubicne enacbe (1) tedaj, ko je D > 0, je treba uporabiti druge metode. Plemljeva konstrukcija pravilnega sedemkotnika Vprasajmo se, ali lahko konstruiramo stranico pravilnega sedemkotnika s = 2sin(n/7), ce poleg ravnila in sestila kot legitimno metodo dopustimo tudi tretjinjenje kota. Odgovor je pritrdilen. Trditev 5. Stranica pravilnega sedemkotnika je enaka s0 = 1/t0, kjer je to = (2/\/3) cos 6 in cos 36 = 3^/3/(2^) oziroma, tg36 = 1/(3^/3). Poleg tega sta mala in velika diagonala, s1 in s2, enaki s1 = — 1/ti, s2 = —1/t2, kjer je ti = (2/^3)cos(6 + 2n/3) in t2 = (2/^3)cos(6 — 2n/3). Dokaz. Spoznali smo ze, da stevilo x = 2cos(2n/7) resi kubicno enacbo x3 + x2 — 2x — 1 = 0. (4) Ker je x = 2(1 — 2sin2(n/7)) = 2 — s2, vidimo, da stranica pravilnega sedemkotnika zadoSca enacbi (2 — y2)3 + (2 — y2)2 — 2(2 — y2) — 1 = 0 oziroma enacbi y6 — 7y4 + 14y2 — 7 = 0. To enacbo Seste stopnje lahko zapiSemo tudi v obliki y6 — 7(y2 — 1)2 = 0, zato razpade v dve kubični enacbi: y3 — \/7(y2 — 1) = 0 in y3 + \/7(y2 — 1) = 0. S substitucijo t = 1/y in odpravo ulomkov dobimo lepsi enacbi tretjega reda: t3 — t — 1/\/7 = 0 in t3 — t + 1/\/7 = 0. Dovolj je obravnavati samo prvo enacbo, saj dobimo drugo iz nje z zamenjavo t ^ —t. Slika 1. Graf funkcije f (t) = t3 - t - 1/^7 z označenimi ničlami. Kot pokaze enostavna analiza (glej sliko 1), ima enacba t3 — t — 1/\/7 = 0 (5) en pozitiven koren, enak ravno reciprocni vrednosti stranice pravilnega sedemkotnika, tj. to = 1/so, in dva negativna korena, enaka ti = —1/si in t2 = —1/s2, kjer je s1 = 2sin(2n/7) in s2 = 2sin(3n/7) = 2sin(4n/7), kar spoznamo enako kot za s0. Iz slike 2 vidimo, da pomeni s1 krajso in s2 daljso diagonalo sedemkotnika. \ / 7 * 0 P2 P Slika 2. Zgornja polovica v enotski krog včrtanega pravilnega sedemkotnika. Vsekakor ima enacba t3 — t — 1/\/7 = 0 vse tri korene realne in je tudi oblike t3 — 3pt + 2q = 0, ki smo jo obravnavali v drugem razdelku. V nasem primeru je p = 1/3 in q = -1/(2\/7), tako da je D = q2-p3 = 1/28-1/27 = -1/(28■ 27) < 0. Ce torej pišemo t = (2/\/3)cos 0, dobimo enakost cos 36 = 3^/(2^) = ./27/28 oziroma tg36 = 1/(3\/3). Ko iz ene od zadnjih dveh enacb izračunamo kot 0 med 0 in n/2, dobimo z njim izraZeno tudi stranico pravilnega sedemkotnika: s0 = 1/to = \/3/(2cos 0). Preostala dva (negativna) korena enačbe (5) dobimo seveda v obliki ti = (2/v/3) cos(6 + 2n/3) oziroma t2 = (2/\/3) cos(0 — 2n/3), od koder brez tezav izrazimo s kotom 0 tudi diagonali s1 in s2. ■ Mimogrede: kot 0 je majhen, enak priblizno 3°37/52//; stranica sedemkotnika, vcrtanega v enotski krog, znasa priblizno 0,8677675, krajsa diagonala 1,5636630 in daljsa 1,9498558. Plemelj je na tem dejstvu zgradil svojo elegantno resitev [8] (glej sliko 3): Izrek 6 (Plemelj). V enakostraničnem trikotniku ABC naj točka D raz-polavlja, točka E pa tretjini stranico AB. Nadalje naj bo točka F na daljici DE taka, daje kot ZDCF enak tretjini kota ZDCE. Potem je C F stranica pravilnega sedemkotnika, ki je včrtan enotski kročnici. A Slika 3. Plemljeva konstrukcija stranice pravilnega sedemkotnika. Dokaz. Stranica osnovnega enakostranicnega trikotnika AABC naj bo dol-zine 1, tako da ima pravokotni trikotnik ACDE eno kateto, CD, enako visini enakostranicnega trikotnika, torej dolzine a/3/2, drugo, DE, ki lezi na stranici AB, pa dolzine 1/2 — 1/3 = 1/6. Kot pri C v tem trikotniku oznacimo s 30 in takoj ugotovimo, da je tg30 = 1/(3\/3). Poleg tega je dolzina hipotenuze C F v novem trikotniku ACDF enaka V3/(2 cos 0), torej ravno stranica pravilnega sedemkotnika, ki ga lahko vcrtamo v krog s polmerom 1 (glej trditev 5). ■ To je Plemljeva eksaktna konstrukcija (stranice) pravilnega sedemko-tnika. Pri njej ocitno potrebujemo tretjinjenje nekega kota (od prej vemo, da zgolj evklidsko orodje ne zadosca), namrec kota ZDCE. Plemelj je v originalnem članku [7] (glej npr. slovenski prevod [8]) navedel tudi pribliZno resitev, ko namesto tretjinjenja kota pri C v pravokotnem trikotniku CDE tretjinimo kar kateto DE. Tedaj dobimo nekoliko vecjo vrednost za stranico pravilnega sedemkotnika; napaka pri tem približku je (pri krogu s polmerom 1 m) samo 0,038 mm. Se bolj preprosto pribliZno resitev pa dobimo, ce za stranico pravilnega sedemkotnika namesto hipo-tenuze pravokotnega trikotnika CDF izberemo kar njegovo kateto CD, tj. visino prvotnega enakostranicnega trikotnika ABC. Ta priblizek, imenovan tudi indijski, je ze v 1. stoletju nasega stetja poznal Heron iz Aleksandrije 10-70), za njim pa v 10. stoletju Abul Wafa (940-998), poslednji veliki bagdadski matematik in astronom; slednjega mimogrede omenja tudi Plemelj v svojem clanku. Konec 15. in v zacetku 16. stoletja sta enak priblizek uporabljala npr. Leonardo da Vinci (1452-1519) in Albrecht Diirer (1471-1528) v svojih studijah o upodabljanju pravilnih likov. Dopolnitve in sorodne konstrukcije Ko ze poznamo daljico, ki predstavlja stranico v enotski krog vcrtanega pravilnega sedemkotnika, jo seveda lahko nanesemo na ustrezno kroznico, in dobimo se druga oglisca sedemkotnika. Zanimivo pa je, da lahko s preprosto dopolnitvijo Plemljeve konstrukcije najdemo tudi dolzini obeh sedemkotni-kovih diagonal. To je ugotovil in leta 1988 objavil znani ameriski matematik Andrew M. Gleason2 (1921-2008). Oglejmo si njegov prispevek [3]. Gleasonova dopolnitev Plemljeve konstrukcije Najprej s preprostim racunom iz enakosti 1/si = —t1 = — (2/\/3) cos(0 + 2n/3) = (2/\/3) sin(n/6 + d) ugotovimo, da velja s1 sin(n/6 + d) = \/3/2. Iz enakosti 1/s2 = —¿2 = — (2/a/3) cos(6> — 2n/3) = (2/^3) sin(n/6 — ff) pa dobimo podobno s2 sin(n/6 — d) = \/3/2. Dopolnimo zdaj Plemljevo konstrukcijo tako, da osnovnemu enakostra-nicnemu trikotniku ABC dodamo se tri skladne enakostranicne trikotnike 2Gleason je celo svojo akademsko kariero preživel kot profesor matematike in naravne filozofije na Harvardu, Čeprav ni nikoli formalno doktoriral. Ukvarjal se je s funkcionalno analizo, kvantno mehaniko, kombinatoriko in s teorijo in prakso kodiranja ter k tem področjem veliko prispeval. Slaven je postal, ko je leta 1952 dokazal, da je vsaka lokalno evklidska topoloska grupa Liejeva (in s tem delno resil peti Hilbertov problem). Zanimal se je tudi za pouk matematike, pisal učbenike in sodeloval pri reformi matematičnega izobraževanja v ZDA. n/6 - 6 C P {3 / 2 Slika 4. Dopolnjena Plemljeva konstrukcija stranice in obeh diagonal pravilnega sedem- ACB, A'BC' in A'C'B', ki imajo po eno stranico skupno, tako kot kaže slika 4. S podaljšanjem daljic CD in CE pridemo do tock C' oziroma B', pri cemer je C C' = 2CD in CB' = 3CE. Podaljšajmo še daljico C F, tako da seka stranico B 'C' v točki S in stranico BC' v točki T. Obenem naj bo P pravokotna projekcija tocke C na podaljsek daljice AC' in Q pravokotna projekcija tocke C na podaljsek daljice BC'. Potem se lahko hitro prepri-camo, da je v pravokotnem trikotniku ACPS kot pri S enak n/6 — 0 in v pravokotnem trikotniku ACTQ kot pri T enak n/6 + 0. Ker je dolžina stranic CP in CQ enaka \/3/2 ( visina enakostranicnega trikotnika), spoznamo iz primerjave s prej dobljenima enacbama, da je si = CT in s2 = C S. Gleasonova konstrukcija pravilnega sedemkotnika Za primerjavo predstavimo se konkretno konstrukcijo pravilnega sedemkotnika, ki jo navaja Gleason v [3]. Pravzaprav bomo zaradi preglednosti narisali le polovico njegove risbe, sestkrat zmanjsali skalo, da bomo dobili enotsko kroznico, in spremenili oznake oglisc, da bodo bolj podobne tistim na sliki 2. Zacnimo s polkroznico polmera 1, ki ima sredisce O v koordinatnem izhodiscu. Naj bo A = (—1/2,0), B = (1/2,0) in P = (1,0) (glej sliko 5). Potem je tocka C = (0, \/3/2) tretje oglisce enakostranicnega trikotnika △ABC. Konstruirajmo se krozni lok s srediscem v tocki D = (—1/6, 0) od tocke C do presecisca E z daljico OP in na njem izberimo tocko F tako, kotnika. da je kot ZPDF ravno tretjina kota ZPDC. Navpicnica skozi F potem seka prvotno polkroznico v tocki Pi, ki je tocki P = Po najblizje oglisce pravilnega sedemkotnika. Njegova stranica je daljica P0P^1. A D Hl/6 O B <— x/2 —t E P=Pn Slika 5. Gleasonova konstrukcija pravilnega sedemkotnika s tretjinjenjem kota. Dokazimo, da je ta konstrukcija pravilna. Oznacimo kot ZPDF s crko 0, tako da je potem ZPDC = 30 in zato cos30 = 1/(2 \/7) oziroma 4cos3 0 — 3cos 0 = 1/(2\/7). Poleg tega naj pomeni x/2 razdaljo od tocke O do navpicnice skozi F, tako da je cos 0 = (1/6 + x/2)/(2\/7/6) = (1 + 3x)/(2\/7), kar nam omogoca, da iz prejsnje enacbe izlocimo kot 0. Z racunom preverimo, da zadosca x enacbi (4), se pravi, daje x = 2 cos(2n/7), kar je edina pozitivna resitev enacbe (4). Primerjajmo trikotnik ACDO na sliki 5 s Plemljevim trikotnikom ACDE na sliki 3, pa vidimo, daje 30 = n/2 — 30. Bralcu prepuscamo, da se sam od-loci, cigava konstrukcija, Plemljeva ali Gleasonova, je bolj elegantna. Prva nam da stranico, druga pa celo oglisca pravilnega sedemkotnika. Conwayeva konstrukcija pravilnega sedemkotnika Plemljev trikotnik je uporabil tudi John H. Conway3 pri svoji konstrukciji pravilnega sedemkotnika, ki jo povzemamo po [2]. Dva skladna enakostranicna trikotnika s stranico 1 staknimo skupaj v ogliScu O tako, kot kaZe slika 6, in ju razpolovimo z navpičnico skozi stici-sce. Razpolovisce leve stranice zgornjega trikotnika oznacimo z A, navpicnica skozi A naj seka spodnjo osnovnico v tocki B, razpolovisce osnovnice 3John Horton Conway (rojen leta 1937) je znameniti angleski in ameriski matematik (od leta 1986 je profesor na univerzi v Princetonu, prej pa je bil profesor v angleskem Cambridgeu). Deluje na različnih področjih algebre, geometrije, teorije stevil, diskretne in razvedrilne matematike. Odkril je stevilne nove matematične koncepte, uvedel nove algoritme in igre, največjo popularnost pa je pridobil z iznajdbo celičnega avtomata, imenovanega Igra življenja. P, s \ / s \ P ''' A. 3 ? Ah /! :' i \\ / 1 / x/2"\ \\ \ \ \ \ \ '• \ \ \ \ v. V. F D 3\[3/4 / L-o B \ 1/4 \0 'E >0 1 C Slika 6. Conwayeva konstrukcija pravilnega sedemkotnika. spodnjega trikotnika pa naj bo C. Potem je trikotnik AABC podoben Ple-mljevemu trikotniku ACDE na sliki 3 (povečan je s faktorjem 3/2) s kotom ZBAC = 30, saj je tg30 = 1/(3\/3). Tretjino tega kota v smeri od B proti C, tj. Plemljev kot 0, naj poleg navpičnice omejuje daljica AD. Od daljice AD odmerimo na vsako stran kot velikosti n/3 z vrhom v A. Oba nova kraka naj sekata vodoravnico skozi O v točkah E in F. Potem navpičnice skozi tocke D, E, F sekajo enotsko kroZnico s srediscem v O v ogliscih pravilnega sedemkotnika (glej sliko 6). Dokaz pravilnosti te konstrukcije je racunski. Ce oznacimo z x/2 razdaljo OE, vidimo, da je x/2 + 1/4 = (\/3/4)tg(0 + n/3). Z adicijskim izrekom za tangens dobimo od tod \/3tg 0 = (x — 1)/(x + 1). Po drugi strani iz formule za tangens trojnega kota in dejstva, da je tg 30 = 1/(3\/3), najdemo enakost 1 — 3tg2 0 = 3\/3(3tg 0 — tg3 0). Izrazimo tangens z x, pa dobimo po preureditvi zvezo x3 + x2 — 2x — 1 = 0, torej spet znano enacbo (4). Od tod vidimo, daje x = 2cos(2n/7). Podobno kot Gleasonova nam tudi Conwayeva metoda da oglisca v enot-ski krog vcrtanega pravilnega sedemkotnika. Splosna teorija konstrukcij pravilnih veckotnikov s tretjinjenjem kota Za konec omenimo, da velja podobno kot za konstrukcijo z evklidskim orodjem bolj splosna teorija tudi za konstrukcijo poljubnega pravilnega vecko-tnika z uporabo ravnila, sestila in trisektorja. Ustrezni izrek je ze leta 1895 v časopisu Bulletin of the American Mathematical Society prispeval ameriški matematik James Pierpont4 (1866-1938), profesor na univerzi Yale. Dokaz je podoben dokazu izreka 2 in prav tako poteka z uporabo Galoisove teorije obsegov (glej [3]). Pravzaprav je Pierpont namesto kotnega trisek-torja uporabil metodo stoznic, vendar je Gleason dokazal ekvivalenco obeh orodij za namen konstrukcije pravilnega večkotnika, zato Pierpontov izrek formulirajmo kar v Gleasonovi obliki (s tretjinjenjem kota). Izrek 7 (Pierpont-Gleason). Pravilni n-kotnik lahko konstruiramo z ravnilom, sestilom in kotnim trisektorjem natanko takrat, ko je n = 2r3spip2 • • • pk, kjer so r, s, k > 0 (pri k = 0 je n = 2r3s in r/2 + s > 1) in so pi > 3, i = 1,2, • • •, k, različna prastevila oblike p = 2u3v + 1, u, v > 0. Prastevila zgornje oblike imenujemo Pierpontova prastevila (Gleasonova domneva, da jih je neskončno mnogo, se ni dokazana). Mednje spadajo (poleg Fermatovih prastevil) prastevila 7, 13, 19, 37, 73, 97 itd., ne pa npr. 11, 23, 29, 31, 41, 43 ali 47. Vidimo, da pravilni sedemkotnik zadosča Pierpontovemu pogoju (7 = 2-3 + 1), enako trinajstkotnik (13 = 22-3 + 1), ne pa npr. pravilni enajstkotnik. Slednjega torej ni mogoče konstruirati samo z ravnilom, sestilom in trisektorjem. Pogojem izreka 7 pa zadosčajo (poleg tistih, omenjenih ze v zvezi z izrekom 2) npr. tudi naslednja sestavljena stevila: 9, 14, 18, 20, 21, 26, 28, 35, 36, 38, 39, 42, 45, 52 itd. LITERATURA [1] L. Bieberbach, Theorie der geometrischen Konstruktionen, Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe, bd. 13, Verlag Birkhäuser, Basel 1952. [2] J. H. Conway, R. K. Guy, Numbers, Copernicus Springer-Verlag, New York 1996. [3] A. M. Gleason, Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon, Amer. Math. Monthly 95 (1988), 185-194. [4] R. Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond, Springer 2000. [5] R. Hartshorne, Viete's construction of the regular heptagon, spletna stran: http://www.math.berkeley.edu/~robin/Viete/construction.html [6] G. E. Martin, Geometric Constructions, UTM, Springer 1998. [7] J. Plemelj, Die Siebenteilung des Kreises, Monatshefte fur Mathematik und Physik 23 (1912), 309-311. [8] J. Plemelj, Pravilni sedmerokotnik, Obzornik mat. fiz. 5-6 (1954), 134-135. [9] J. Stillwell, Elements of Algebra: Geometry, Numbers, Equations, Springer Verlag 1994. [10] I. Vidav, Rešeni in nerešeni problemi matematike, KnjiZnica Sigma, Mladinska knjiga, Ljubljana 1972. 4Pierpont je doktoriral na dunajski univerzi leta 1894 pri Leopoldu Gegenbauerju in Gustavu von Escherichu. Pri slednjem je leta 1898 doktoriral tudi sedem let mlajsi Ple- K-NUMERICNI ZAKLAD MATRIKE MIRKO DOBOVISEK Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 01A50, 01A55 Za vsako n x n matriko A in vsak k £ N, 1 < k < n, je k-numericni zaklad definiran kot Ak (A) = {A £ C : PAP = A P za neki ortogonalni projektor P ranga k}. V članku je pregled nekaterih novejsih rezultatov o k-numeričnem zakladu matrike. Dokazana je njegova konveksnost in dodan kratek program za risanje Ak(A). HIGHER RANK NUMERICAL RANGE For any n x n complex matrix A and any k £ N, 1 < k < n, let Ak (A) = {A £ C : PAP = A P, P2 = P, P * = P, rank P = k}. An overview of some new results about rank k numerical range is given in the article. Its convexity is proved, and a short program in MATLAB is given for computation of Ak(A). S Cn bomo označevali vektorski prostor kompleksnih n-terk nad obsegom kompleksnih stevil. Skalarni produkt vektorjev x in y iz Cn bomo označili z (x,y), normo vektorja x pa z ||x||. Mnozico kompleksnih matrik velikosti n x n bomo označevali z Mn. Osnovne pojme linearne algebre, ki jih bomo uporabljali, lahko bralec najde v [7]. Definicija 1. Numericni zaklad matrike A je podmnozica kompleksnih stevil, definirana z W(A) = {(Ax,x);x € Cn, ||x|| = 1}. (1) Osnovne lastnosti tega numeričnega zaklada lahko bralec najde dokazane v [4, 5, 1] in se marsikje drugod. Tu jih samo na kratko navedimo. Numeric ni zaklad matrike je vedno zaprta, konveksna in neprazna mnoz ica v kompleksni ravnini. Vedno vsebuje vse lastne vrednosti matrike in numericni zaklad normalne matrike je konveksna ogrinjaca njenih lastnih vrednosti. Pomembna je tudi klasifikacija sebiadjungiranih operatorjev s pomocjo nu-mericnega zaklada. Ce je namrec numericni zaklad operatorja na realni osi, je operator sebiadjungiran. Zgornje lastnosti se da posplositi tudi na operatorje na Hilbertovem prostoru in na elemente operatorskih algeber. V zadnjih letih so se matematiki ponovno zaceli zanimati za k-numeric ni zaklad matrik. Njegove lastnosti namrec potrebujemo pri studiju moz nosti odprave napak pri kvantnih operacijah (kanalih). Oglejmo si, kaj je motivacija za studij k-numericnega zaklada. Pri kvantnem računanju so osnovni elementi informacije kubiti. Te lahko reprezentiramo kot Q = vv*, kjer je v enotski vektor v C2. Ce Q zapi Semo kot matriko, je q = 1 ^ 2 x,y,z € R, x2 + y2 + z2 = 1 1 + z x + iy x — iy 1 — z Stanje k kubitov pa predstavimo kot tenzorski produkt k takih 2 x 2 matrik Qi ® ■ ■ ■ ® Qk■ Informacijo prenesemo po kvantnem kanalu tako, da jo najprej zakodiramo kot stanje n (n > k) kubitov. Potem jo pos ljemo skozi kvantni kanal, kjer se lahko doda nezazelen s um. Na koncu jo dekodiramo in iz stanja n kubitov s sumom dobimo stanje k kubitov. Ce imamo kaksne informacije o vzorcu napak kvantnega kanala, lahko konstruiramo operator za korekcijo kvantnih napak. Tu se ne bomo spu s cali v podrobnosti procesa. Povejmo le se to, da je kvantni kanal/operacija kot preslikava na stanju n kubitov linearna preslikava $ : M2n ^ M2n , ki jo lahko zapisemo v obliki r r $(X ) = £ Tj XT*, J2T**T3 = I2n, j=1 j=1 za neke operatorje Tj ,j = 1, 2, ■ ■ ■, r [2]. Izkaze se, da kadar obstaja pod-prostor V C M2n dimenzije 2k in kvantna operacija ^ : M2n ^ M2n, za katero velja ^($(X)) = X, za vse X € PyM2nPv, lahko napake kvantnega kanala $ odpravimo [6]. S Py smo oznacili ortogo-nalni projektor iz C2" na V. Brez dokaza povejmo, da je to ekvivalentno obstoju podprostora V in nekih stevil \ j, i, j = 1, 2, ■ ■ ■, r, da je Py T* Tj Py = Xij Py, € C i, j = 1, 2, ■ ■ ■ , r. (2) Za vsak i in j nas torej zanima obstoj kompleksnih stevil, za katera velja (2). Zapi s imo definicijo: Definicija 2. Naj bo A matrika velikosti n x n in k > 1 naravno stevilo. Mnozico Ak (A) = (A € C : PAP = A P za neki ortogonalni projektor P ranga k} (3) imenujemo k-numerični zaklad matrike A. Pri k = 1 dobimo običajni numericni zaklad matrike, Ai(A) = W(A), katerega nekaj lastnosti lahko bralec spozna v članku [4]. Osnovne lastnosti obeh numeričnih zakladov so podobne. Dokazi so trivialni. • Za poljubni ¡števili a in ^ je Ak(aA + ,0/) = aAk(A) + ^. • Za poljubno unitarno matriko U je Ak(U*AU) = Ak(A). • Ce je Br x r matrika, ki pripada zozitvi operatorja, podanega z matriko A, in r > k, je Afc(B) C Afc(A). Lahko pa se zgodi, da je Ak(A) za večje k prazna mnozica. Ce ta mnozica ni prazna, je konveksna. Ta lastnost je bila dokazana razmeroma pozno [11]. Nekaj teh numericnih zakladov bomo kasneje tudi narisali. Preden se lotimo dokaza konveksnosti k-numericnega zaklada matrike, dokazimo ekvivalentno definicijo. Trditev 1. Naj bo A matrika velikosti n x n in k naravno število. Potem je A € Ak(A) natanko tedaj, ko obstaja k-razsezen podprostor S C Cn, za katerega velja (A - A/)S ± S. (4) Dokaz. Naj bo A € Ak(A). Potem je za neki projektor P ranga k PAP = AP. Potem pa za vsak x € ImP = S velja ((A - A/)x, x) = ((A - A/)Px, Px) = ((PAP - AP)x, x) = 0. Tudi obratno je ocitno. Naj bo S k-dimenzionalen podprostor, za katerega velja (4). Ce za P vzamemo ortogonalni projektor na S, je za vse x € Cn vektor PAPx - APx v S. Zato je (PAPx - APx, PAPx - APx) = 0. Sledi PAPx = APx za vse x. Torej A € Ak(A). ■ Pri dokazu konveksnosti obicajnega numericnega zaklada problem prevedemo na konveksnost numericnega zaklada 2 x 2 matrike, ki je elipsa (ali degenerirana elipsa). Tu problem prevedemo na konveksnost numericnega zaklada 2k x 2k matrike. To je naredil H. W. Woerdeman leta 2007 [11]. Pri tem si je pomagal z rezultati M. D. Choia [3] iz istega leta. Trditev 2. Mnozica Ak(A) je konveksna, ce je konveksna za vse 2k x 2k matrike. Dokaz. Naj bosta A in ^ različna elementa Ak(A). Potem po trditvi 1 obstajata k-dimenzionalna podprostora L in M, za katera velja: (A - A1)L ± L in (A - ^/)M ± M. (5) V preseku L n M je lahko samo vektor 0, saj za x € L n M velja (Ax,x) = A(x,x) in (Ax,x) = ^(x,x), kar pomeni x = 0. Vsota podprostorov L in M, označimo jo z L + M = S, je tako 2k-razsezen podprostor. Označimo ortogonalni projektor na S s PS. Zozitev T preslikave PSA na podprostor S lahko sedaj obravnavamo kot preslikavo 2k-razseznega prostora S vase. Numerični zaklad taksne preslikave pa je po predpostavki konveksna mnozica. Torej za vsak v = tA+(1-t)^, t € [0,1], obstaja projektor PR ranga k na podprostor R, za katerega velja PrTPr = vPr. Ker je R podprostor prostora S, je Q = PRPS ortogonalni projektor ranga k. Velja tudi QAQ = PrPS APr PS = PRT Torej je v € Afc(A). PrPs = vprps = vq. S Lema 3. Naj bosta matriki T in S kongruentni. Potem je 0 € Ak(T) natanko tedaj, ko je 0 € Ak(S). Dokaz. Ce je 0 € Ak(T), potem obstaja k-dimenzionalen podprostor L, da je TL ± L. (6) Naj bo {ui, ..., Uk} ortonormirana baza prostora L in A matrika, ki ima za stolpče vektorje te baze. Zaradi (6) je Tuj ± L,j = 1,2,...,k. (7) Zato je A* TA = 0. Ker je S kongruentna matriki T, obstaja nesingularna matrika X, da je S = XTX*. Ce je B = (X*)-1A, je B*SB = 0. Matrika B ima rang k. Naj bo C matrika, ki stolpce matrike B preslika v ortonormirane, in pisimo BC = E. Dobimo E *SE = C * B*SBC = C *0C = 0, kar pomeni, da je 0 € Ak(S). ■ Trditev 4. Množica Ak(T) je konveksna za vsako matriko T. Dokaz. Trditev 2 nam pove, da je dovolj, da trditev pokažemo za 2k x 2k matrike. Ker je fc-numerični zaklad Ak (T) zaprta množica, je za dokaz konveksnosti dovolj pokazati, da je razpolovisče vsake daljice s krajisčema v Ak (T) spet v mnozici Ak (T). Naj bosta A in ^ elementa mnozice Ak (T). Z afino preslikavo lahko A in ^ premaknemo v —1 in 1. Sedaj moramo dokazati, da je 0 € Ak(T). Trditev 1 pove, da obstajata taka k-razsezna podprostora S+ in S—, da je (T — 1)S+ ± S+, (T + I)S- ± S-. Prostora se sekata trivialno. Definirajmo preslikavo V : C2k ^ C2k, ki je identiteta na S+, ortogonalni komplement S+" pa naj izometricno preslika na S- . Potem je (V*TV — 1)S+ ± S+ in (V*TV + /)S| ± S|. Glede na razcep C2k = S+ ® S+ je blocni zapis matrike S = V *TV = I X Y -/ Pokazati moramo le se, da je 0 € Ak(S). Tudi iz dejstva, da obstaja matrika B velikosti 2k x k, ranga k, za katero velja B*SB = 0, lahko sklepamo, da je 0 € A(S). Ravnamo kot v dokazu trditve 3. Gotovo obstaja taka obrnljiva matrika C (velikosti k x k), da so stolpci matrike A = BC ortonormirani vektorji. Potem pa je A* S A = C *B *SBC = C *0C = 0. Zaradi tega so stolpci matrike A baza prostora L, za katerega je SL ± S. Trditev 1 pove, da je 0 € Ak(S). Iscemo torej matriko Z, da bo 7 X" 7" Y —I Z i/ Z*] Y X I =0. (8) Ko matrike v (8) zmnozimo, dobimo enacbo I + XZ + Z *Y — Z *Z = 0. (9) Pri dokazu eksistence resitve enacbe (9) si pomagamo z algebrajsko Ricca-tijevo enacbo, ki je v splosnem videti takole: A + HB * + BH — HRH = 0, (10) kjer so A = A*, B in R > 0 linearni operatorji, ki delujejo na Cn. Enačba (10) se pojavi pri obravnavi optimalnega vodenja linearnih sistemov, zato je Ze zelo podrobno raziskana. Veliko lahko o tej enačbi zvemo v knjigi [10]. Tam je tudi dokaz, da ima Riccatijeva enačba I B - 1 /)h + ff^B - 2i) - HRH = 0 (11) sebiadjungirano resitev za poljuben operator R > 0. Pokazimo, da od tod sledi eksistenca resitve enačbe (9). Najprej predpostavimo, da sta X in Y v enačbi (9) taksni matriki, da je matrika X — Y* obrnljiva. Označimo njen inverz z J = (X — Y *)-1. Ce vzamemo v enačbi (11) za B = XJ in R = J * J in je H sebiadjungirana resitev enačbe (11), kratek račun pokaze, da je Z = JH resitev enačbe (9). Kadar pa X — Y* ni obrnljiva matrika, najprej resujemo enačbe I +( X + — I J Z + Z*Y - Z*Z = 0, m € N. (12) Sedaj so razlike (X + +1) - Y* obrnljive matrike, razen za kvečjemu končno mnogo m-jev. Pripadajoče resitve Zm lahko omejimo neodvisno od m. Iz (12) dobimo očeno ||Zm||2 = \\Z*mZm\\ < 1 + (||XII + 1/m + ||Y||)||Zm||, ki pove, da je zaporedje matrik {Zm} omejeno. Prostor je končno razsezen in zaradi kompaktnosti ima zaporedje {Zm} vsaj eno konvergentno podza-poredje. Limita katerega koli od teh podzaporedij je resitev enačbe (9). ■ Opomba 1. Pri n = 1 je (11) enačba v C 1 + (b - 1/2)h + h(b - 1/2) - rh2 = 0. Ce pisemo c = (b + b) - 1, je c € R in enačba se spremeni v kvadratno enačbo 1 + ch - rh2 = 0, r > 0. Diskriminanta te enačbe je pozitivna za vse r > 0 in vse c € R in enačba ima realno resitev h = h. Za n > 1 do resitve ne moremo priti na tako enostaven način. Kasneje je bilo dokazano [8], daje vsak k-numerični zaklad presek polrav-nin in zato avtomatično konveksna mnoziča. Rezultat je naslednji: Izrek 5. Naj bo An x n matrika in označimo z A1(t) > A 2(t) > ■ ■ ■ > An (t) lastne vrednosti matrike e%t A + e-itA*, urejene po velikosti. Potem je Ak(A) = € C : e^V + e-it~p < Ak(t), t € [0,2n)}. (13) V istem članku je tudi dokaz, da je fc-numerični zaklad normalne matrike presek konveksnih ogrinjač mnoZic, ki vsebujejo po n-k+1 lastnih vrednosti matrike (stetih z njihovimi večkratnostmi). Ce ima normalna matrika N lastne vrednosti A1,..., An, je Ak(N )= 0 conv(Aj1 ,...,Ajn_fc+1}. 1<7l<" 3k — 2. Pri n < 3k — 2 pa ze lahko najdemo n x n matriko, katere k-numeri cni zaklad je prazna mno zica. Za operator A, delujoc na neskoncno razseznem Hilbertovem prostoru H, k-numericni zaklad definiramo takole: Ak(A) = {y € C : X*AX = 7/fc, X : Ck ^ H, X*X = Ik}. V clanku [9] je dokazano, da je v primeru, ko je H neskoncno razsezen, Ak(A) = 0 za vsa naravna stevila k. LITERATURA [1] F. Bonsall in J. Duncan, Numerical Ranges of Operators on Normed Spaces and Elements of Normed Algebras, Cambridge University Press, Cambridge, 1971. [2] M. Choi, Completely Positive Linear Maps on Complex Matrices, Linear Algebra Appl. 10 (1975), 285-290. [3] M. Choi, M. Giesinger, J. A. Holbrook in D. W. Kribs, Geometry of higher-rank numerical ranges, Linear and Multilinear Algebra 56 (2008), 53-64. [4] M. Dobovisek, Ponceletove krivulje, Obzornik mat. fiz. 60 (2013), 4-14. [5] K. E. Gustafson in D. K. M. Rao, Numerical Range, Springer, New York, 1997. [6] E. Knill in R. Laflamme, Theory of quantum error-correcting codes, Physical Review A 55 (1997), 900-911. [7] F. Krizanic, Linearna algebra in linearna analiza,, Drzavna zalozba Slovenije, Ljubljana, 1993. [8] C. K. Li, N. S. Sze, Canonical forms, higher rank numerical ranges, totally isotropic subspaces, and matrix equations, Proc. Amer. Math. Soc. 136 (2008), 3013-3023. [9] C. K. Li, Y. T. Poon in N. S. Sze, Condition for the higher rank numerical range to be non-empty, Linear and Multilinear Algebra 57 (2009), 365-368. [10] P. Lancaster in L. Rodman, Algebraic Riccati equations, Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1995. [11] H. Woerderman, The higher rank numerical range is convex, Linear and Multilinear Algbra 56 (2008), 65-67. http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ http: // www. obzornik.si/ ŠOLA UČITELJ IN RAZISKOVALEC ALES MOHORIC Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Kaj je poslanstvo univerze? V dodatku je citat iz strategije Univerze v Ljubljani [4], vendar podobno velja za vse univerze. Na kratko lahko poslanstvo povzamemo tako, da morajo biti univerzitetni sodelavci raziskovalci in učitelji. Ta izjava nic ne pove, ali sta obe vlogi zdruzeni v eni osebi. Pri tem fakultete ravnajo avtonomno in običajno sodelavci zdruzujejo obe vlogi: so raziskovalci in ucitelji hkrati. Vpras amo se lahko, ali je dober raziskovalec tudi dober ucitelj, ali obstaja med uspe snostjo v obeh vlogah korelacija? Odgovor na to ni enostaven. Najprej skusajmo pojasniti, kaj v doloceni vlogi pomeni pridevnik dober. Dober ucitelj [2] jasno definira ucne cilje, pozna vsebino snovi in strategijo za njeno poucevanje, jasno razlozi svojim studentom, kaj pricakuje od njih in zakaj, strokovno uporablja ob-stojece ucne materiale, da lahko posveti vec casa delu, ki bogati in pojasni snov, pozna svoje studente, prilagaja pouk njihovim potrebam in predvidi napacne predstave v njihovem obstojecem znanju, uci metakognitivne strategije in daje studentom priloznosti, da jih osvojijo, obravnava kognitivne cilje tako na visji kot nizji ravni, spremlja razumevanje studentov s stalno in primerno povratno informacijo, integrira v pouk znanje z drugih predmetnih podrocij, sprejema odgovornost za rezultate pouka, je premi sljen in razmi-slja o svojem delu. Za uspes nost pri tem delu potrebuje naslednje lastnosti: jasno razlaga, rad dela z ljudmi, je navdusen, ima mocno strokovno znanje, zna razporejati svoj cas, je sposoben delati v timu in samoiniciativno, zdrzi stres, je posten, pripravljen na spremembe in uziva v izzivih. Poskusimo podati se karakteristike dobrega raziskovalca. Raziskovalec mora biti kreativen, visoko motiviran, dober resevalec problemov, mora opaziti tezave in mu je izziv, da jih premaga, namesto da se jim izogne. Raziskovalec mora biti sposoben delati kot clan ekipe in delovati kot vodja. Imeti mora strokovno znanje s podrocja svojih raziskav. Potrebuje odlicne pisne in govorne kompetence, da lahko enostavno, ucinkovito in prepricljivo komunicira. Potrebuje raziskovalne izku snje in multidisciplinarno akademsko ozadje, osnovne multimedijske vescine in racunalnisko pismenost. Dober raziskovalec kaze zeljo po novih informacijah, ima izostren obcutek za stvari okoli sebe, rad razpravlja in razmislja o novih pojavih, zna izraziti svoje ideje, uporablja sistematičen pristop pri ocenjevanju razmer. Potrebne lastnosti so: motiviran, radoveden, predan, požrtvovalen. Odlikuje se po znanju, prepoznavanju, znanstvenem pristopu in povezovanju. Dober raziskovalec mora biti objektiven in mora poiskati ter sprejeti dokaze, ki bodisi podpirajo bodisi zavračajo hipotezo. Raziskave opravlja sistematično in uposteva veljavna načela in postopke. Rezultat raziskave mora biti preverljiv. Raziskava mora biti nadzorovana in temeljiti na empiričnih podatkih in ne na nepreverljivih privzetkih. Raziskovaleč mora preveriti rezultate in jih primerjati z obstoječimi, tudi po literaturi, upostevati mora znanstven pristop - opazovani pojav se mora ujemati z opisom. Preveriti mora rezultate in veljavnost drugih hipotez. Raziskovalno delo je sistematično, ponovljivo, nadzorovano (čim manj prostih parametrov), empirično (veljajo samo opazovani rezultati in ne pričakovani rezultati, pri tem se mora raziskovaleč drzati resniče in ne sme ponarejati rezultatov). Raziskovalči morajo biti pogumni in pripravljeni storiti napako ali odkriti kaj novega, presenetljivega. Raziskovalči so vztrajni, potrpezljivi, natančni, analitični, kritični, točni in izvirni. Zapisano velja na splosno za naravoslovje, ki skusa opisati realni svet bodisi z merjenji bodisi z abstraktnimi modeli. Pristop se lahko nekoliko razlikuje drugod, npr. v astronomiji poskusov ne moremo kontrolirati. Tudi v matematiki je drugače, ta vsaj v delu gradi svoje abstraktne svetove neodvisno od zunanje referenčne točke. Pri tem je pomembna le konsistentnost in neprotislovnost zgrajenega sistema, po drugi strani pa natančnost in poglobljenost razumevanja, vpogleda v obravnavano področje. Raziskujemo lahko tudi ze znano, obstoječe s čiljem razsiriti in poglobiti razumevanje, ampak ponovno z vpeljavo novega (le redko z npr. bolj računsko intenzivno analizo danih podatkov). Mnogo opisanih znakov in lastnosti si učitelji in raziskovalči delijo in pričakovali bi, daje dober raziskovaleč tudi dober učitelj. Vendar obstajajo tudi bistvene razlike. Raziskovaleč je ozko usmerjen v svoje področje dela, učitelj pa potrebuje siroko znanje. Motiviranost vrhunskega raziskovalča pri obravnavanju enostavnih, poučevalnih primerov hitro usahne. Tezava je tudi čas, ki ga ena oseba lahko namenja obema področjema. Tu pogosto naletimo na tezave pri poučevanju, saj so karierno pogosto bolj pomembni raziskovalni uspehi oz. se poučevalska vrednost niti ne očenjuje niti ne uposteva. Najdemo lahko razloge, ki podpirajo tezo, da je dober raziskovaleč tudi dober učitelj, in razloge, ki tej tezi nasprotujejo. Veliko raziskav o kore-lačiji ni, zanimiva pa je ena, ki jasno pokaze, da postanejo mladi raziskovalči, ki poleg raziskovalnega dela tudi učijo, boljsi raziskovalči od kolegov, ki ne učijo [1]. Tezava pri ovrednotenju korelačije je v načinu merjenja uspesnosti opravljanja enega od poslanstev. Objektivnih in enostavnih meril za uspesnost ni. Med merili, ki jih uporabljamo za merjenje znanstvene uspesnosti, so število člankov, število citatov ali kombinacija obojega - Hirschev indeks [5]. O ustreznosti zadnje ocene nam da misliti podatek, da ima eden od letošnjih nobelovcev h-indeks enak 5, kar je relativno malo. Agencija za raziskovanje in razvoj ocenjuje raziskovalno uspesnost po pravilniku [6] in ocena je za vsakega raziskovalca dostopna na [7] pod oznako A. Se tezje je vrednotiti uspesnost ucitelja. Kakorkoli jo merimo, je potreben statisticen pristop, ki pa je zaradi obicajno majhnih vzorcev nezanesljiv. Drugi nacin so ankete, ki jih izpolnjujejo studenti. Vendar take ankete bolj merijo priljubljenost ucitelja kot njegovo kvaliteto. Ena od takih preprostih anket je dostopna na internetu [8], kjer lahko kdorkoli ocenjuje ucitelja z oceno od 1 do 5. Take ankete so se bolj podvrzene manipulaciji. Kljub nezanesljivosti kazalcev pa sta grafa na slikah 1 in 2, ki primerjata raziskovalno uspesnost, merjeno z oceno A, in poucevalsko uspesnost, merjeno z oceno na [8], zanimiva. Zbral sem podatke za sodelavce oddelkov za fiziko (slika 1) in matematiko (slika 2) Fakultete za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani. Posamezna tocka v grafu ustreza ocenama raziskovalne in uciteljske uspesnosti posameznega sodelavca. Tockam prilagodimo premico in preverimo ujemanje tock z modelom. 25 OF y = -0,4038x + 10,895 R2 = 0,0033 A 20 ♦ t ♦ ♦ ♦ 15 ♦ ♦ * . . * ♦ * ♦ 2. Vsak teden je na izlet odšlo po n dijakov. Po nekaj izletih so ugotovili, da je bil poljuben par dijakov skupaj vsaj na enem od izletov. Kolikšno je najmanjše število opravljenih izletov? Pa recimo, da bi bil pogoj izpolnjen za manj kot sest izletov. V tem primeru bi bilo skupno stevilo dijakov, ki so se udelezili vseh izletov, najvec 5n. Na vsakem izletu dijak sreca n - 1 drugih dijakov, zato mora vsaj na tri izlete, da sreca vseh 2n - 1 preostalih dijakov. Tako mora vsak od 2n dijakov na vsaj tri izlete in skupno stevilo dijakov na vseh izletih mora biti vsaj 3 • 2n = 6n, kar je v nasprotju z najvec 5n dijaki na vseh izletih. Zato je potrebno stevilo izletov vsaj sest. Slika 3. Ekipa Univerze v Ljubljani v Rilskem samostanu. V nadaljevanju bomo pokazali, da je primer s šestimi izleti izvedljiv. Za motivacijo in idejo bomo najprej poiskali rešitve za majhne n. V primeru n = 2 je konstrukcija jasna. Dijake poimenujmo 1, 2, 3 in 4. Pogoju naloge zadosCajo naslednji izleti parov: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2,4), (3,4). Nekaj veC dela je s primerom n = 3. Dijaki 1-6 lahko opravijo izlete: (1, 2, 3), (1, 2,4), (3,4, 5), (3,4, 6), (1, 5,6), (2, 5, 6). Ko poskusamo konstruirati izlete v primeru n = 4, hitro vidimo, da si lahko pomagamo s primerom n = 2. Idejo lahko posplosimo: Ce je n sodo stevilo, razdelimo 2n dijakov v enako moCne skupine A, B, C in D. Nato opravimo izlete skupin (A, B), (C, D), (A, C), (B, D), (A, D) in (B,C). Enako lahko posplosimo primer n = 3. Ce je n liho stevilo, ki je deljivo s 3, dijake razdelimo v enako moCne skupine E, F, G, H, I in J ter opravimo izlete (E, F, G), (E,F,H), (G, H, I), (G, H, J), (E,I,J) in (F, I, J). V primeru n = 5 ugotovimo, da lahko primerne izlete sestavimo z zvitim lepljenjem primerov n = 2 in n = 3. Nasploh lahko vsako naravno stevilo n > 5 razcepimo na vsoto n = 2x + 3y, kjer sta x in y naravni stevili. Ustrezna diofantska enaCba s spremenljivkama x in y je resljiva, ker sta si stevili 2 in 3 tuji. Tvorimo skupine A, B, C in D z x dijaki ter skupine E, F, G, H, I in J z y dijaki. Potem dobimo iz primera n = 5 idejo za izlete (A, B, E, F, G), (C, D, E, F, H), (A, C, G, H, I), (B, D, G, H, J), (A, D, E, I, J) in (B, C, F, I, J). Tudi prva naloga drugega dne se je izsla presenetljivo slabo. Kljub navidezni enostavnosti le redke elementarne poti pripeljejo do resitve. Študenti so poskusali vse mogoče. PreCej pravilnih resitev je uporabljalo rezultate o preslikavah obmoCij s holomorfnimi funkCijami. II. 1 Naj bo z kompleksno število, za katero je |z + 1| > 2. Pokaži, da je |z3 + 1| > 1. Ker je z3 + 1 = (z + 1)(z2 — z + 1), je dovolj pokazati, daje |z2 — z + 1| > 2. Stevilo z + 1 napisimo v polarni obliki kot z + 1 = re^. Zlahka izračunamo, da je z2 — z + 1 = r2 e2i^ — 3re^ + 3. Zato je |z2 - z + 1|2 = (r2e2i^ - 3re^ + 3)(r2e-2i^ - 3re-i^ + 3) = = r4 + 9r2 + 9 — (6r3 + 18r) cos p + 6r2 (2 cos2 p — 1) = = 12 (r cosp — )2 + \(r2 — 3)2 > \, saj je r > 2. Ce se je le dalo, sem v večerih po tekmovanju sodeloval pri ocenjevanju resitev nalog iz linearne algebre. S popravljanjem naslednje naloge smo se mucili do zgodnjih jutranjih ur. Naloga je se posebej zanimiva, ker poleg intuitivne, a tehnicno se kar zapletene geometrijske resitve obstaja tudi zvita resitev, ki meji na uporabo statistike. II. 3 Naj bodo vi,...,vd enotski vektorji v Rd. Pokaži, da obstaja takšen enotski vektor u G Rd, da je |(«, Vj)| < —U za i = 1,2,..., d. Vd Pri tem (■, ■) oznašuje običajni skalarni produkt po komponentah v Rd. Ce so vektorji vi,..., vd linearno odvisni, temu pogoju zadošča katerikoli vektor u iz njihovega ortogonalnega komplementa. Zato lahko privzamemo, da so vektorji vi,..., vd linearno neodvisni. Naj bo {wi,..., wd} ustrezna dualna baza, to je (vi, Wj) = 5i,j, kjer 5i,j pomeni Kroneckerjev delta. Ker je (vi,wi) = 1, je ||wiy > 1. Za vse mozne izbire predznakov e = (ei,... , ed) G {-1,1}d si poglejmo 2d vsot oblike u£ = ^ d=i eiwi. Za vse k = 1,..., d velja | (ue ,Vk )| = ^£i(Wi,Vfc ) i=1 £iSi,k i=1 = |£k | = 1. Povprečje kvadratov vseh norm \\u£\\2 je enako d d 2 _ o-d^/ V£,Wi, E £jWj £ x i=1 2-d£ M2 = 2-dE E j=i dd i=1 j=1 d d d j2J2(wi,wi )5i,j = E \h\2 -d i=1j=1 i=1 Drugo enakost v drugi vrstici vidimo takole: V primeru i = j je ^£ e| = 1 = 2d. V primeru i = j pa je E £i£j = z^ ^ 1+ y (—1) = 2d-1 - 2d-1 = 0. Ker je povprečje kvadratov norm vsaj d, mora obstajati taksen izbor predznakov e, da je ||u£||2 > d. Ce vzamemo u = p^j-j, je |(u,vi)|< Vd za vse i = 1,..., n. / n \ n { E£j wj ,Vv = 1 Vd = 1 Vd \ j=1 / j=1 Marjan Jerman £i£j = j INTERAKTIVNE TABLE IN POUK MATEMATIKE Pri pouku matematike se na nekaterih fakultetah in gimnazijah tudi pri nas Ze uporabljajo interaktivne table. Ker je pričakovati, da bodo te table (ali kakSni podobni, Se naprednejši sistemi, kot npr. veliki zasloni na dotik) v bliZnji prihodnosti postale običajno orodje profesorjev in predavateljev, morda ni odveč kratka informacija (povzeta po dobro obiskani predstavitvi 9. 10. 2013 na UL FMF na Jadranski 21, kjer sta v predavalnicah 3.05 in 3.10 namesčena dva primera teh tabel) o tem, kaj omogočajo in kako se uporabljajo. Po interaktivnih tablah, na katere priključimo računalnik (nanj moramo le namestiti gonilnik za interaktivno tablo, ki ga pridobimo na internetu) ter projektor, lahko pisemo (in bri semo) podobno kot po navadnih tablah bodisi s pisalom (ki ima vse funkčionalnosti miske) bodisi s prstom. Tako lahko komuničiramo s poslusalči neposredneje (ni se nam treba sklanjati nad računalnik in tipkati nanj), rezultate svojega sprotnega dela, zapisane na posamezne strani, lahko tudi listamo („sčrollamo"), shranjujemo ter izvozimo (čeprav shranjene bitne slike v PDF, kot opozarjajo tisti, ki te table ze nekaj časa uporabljajo, za zdaj se nimajo dobre resolučije). Uporabljamo jih lahko v kombinačiji z drugimi ze obstoječimi orodji (Power Point, PDF datoteke, prosojniče, Mathematiča, internetni matematični programi, ipd.). Sama uporaba interaktivnih tabel je enostavna. Na začetku jih je treba le umeriti (kalibrirati z nasim računalnikom) s kliki na pet krizčev na zaslonu, potem pa ze lahko po njih pisemo v različnih barvah, z različnimi debelinami svinčnikov, risemo lahko tudi poljubne like, ipd. Na predstavitvi sta bili izpostavljeni se dve pomembni odliki predstavljenih interaktivnih tabel: tihost projektorja ter njegova postavitev blize tabli, tako da snop svetlobe manj slepi predavatelja. Ceprav so navzoči na predstavitvi opozorili tudi na nekatere tehnične slabosti in pomanjkljivosti, pa so interaktivne table zagotovo pomemben korak k privlačnejsemu pouku matematike na solah in fakultetah. A ob vsem navdusenju za nova tehnična pomagala ne pozabimo: obvladovanje sodobnih orodij in tehničnih sredstev je le ena od vesčin, ki jo je treba obvladati, se vedno pa je najpomembnej sa sama kakovost posredovanja vsebin ter sposobnost predavatelja, da jih tudi besedno predstavi kar najbolj jasno, natančno in privlačno. Jurij Kovic PISMA BRALCEV ŠE O MATEMATIČNEM IZRAZJU V UČBENIKIH K pisanju meje vzpodbudil nedavni članek prof. Petra Preloga v Obzorniku [2]. Rad bi ga Se podprl s podobnimi nerodnostmi. V zbirki nalog za matematiko v 4. razredu osnovne Sole [1] najdemo poleg drugih naslednje naloge: • Razliko števil 62 in 37 zmanjšaj petkrat. • Količnik števil 42 in 6 povečaj osemkrat. • Število 60 zmanjšaj desetkrat, dodaj 3 in dobljeno število še osemkrat povečaj! Otroci so v soli dobili navodilo, da v takih nalogah stevila zmanjsujejo z deljenjem in povečujejo z mnozenjem. Tako izrazanje in tudi razumevanje sta blizu vsakdanji rabi, vendar ne moremo brez dvomov. Ob tem sem se spomnil na pokojnega profesorja Ivana Stalca, ki nam je, studentom, sku sal prikazati dvoumnost takega izrazanja s preprostim zgledom: Pogovarjata še znanca in pravi prvi: Letoš šo nam dvakrat povečali plačo, pa je všega komaj za kavo. Hitro nam je bilo jasno, kaj je hotel povedati. Plačo, pa tudi stevila, lahko nekajkrat povečamo ali zmanj samo, pa se ne bo kaj dosti poznalo, če so povečanja ali zmanj sanja neznatna. Plača je bila povečana dvakrat, ni pa bila podvojena, kakor bi kdo na hitro pomislil. Morebiti se zdi teznja po čim natančnej sem izrazanju pretirana, zlasti če se tudi pri nenatančnem izrazanju razumemo. Vendar se moramo zavedati omejitev. V Slovarju slovenskega knjiznega jezika [3] najdemo obs iren zapis rabe izbranih besed. Tako vidimo, da izrazi, kot so enkrat, dvakrat, trikrat, štirikrat, ... izrazajo v prvi vrsti stevilo ponovitev nekega dejanja. Torej v nasem primeru povečanja ali zmanj s anja. V drugem kontekstu pa je pomen hitro sir s i. Tako preberemo, da je lahko pot točno enkrat daljša, da je nekaj dvakrat večje, da se je ,,število bolnikov šedemkrat povečalo" in podobno. Isto lahko bolj nedvoumno izrazimo z dvojen, trojen, ..., ali dvakraten, trikraten, ..., ki pomenijo, da je nekaj dvakrat, trikrat, ... tolik sno. Omenjene so tudi povezave z glagolom povečati: povečati štirikrat, podvojiti, potrojiti, ... Ali štirikratna pomanjšava, petkratna povečava, ... Ali z glagolom zmanjšati: zmanjšati na polovico. Vidimo, da je jezik zelo gibek in ga lahko uporabimo na različne načine. Jezik v soli naj bi bil sicer čim blizje vsakdanji govoriči, za potrebe matematike in naravoslovja pa bi si zeleli, daje v izjavah čim manj dvomov. Naloge v začetku so izrazene ohlapno tudi s stalisča vsakdanje govoriče. Slovar slovenskega knjiznega jezika ponuja tudi drugačne manj dvoumne resitve. Na primer: • Razliko .števil 62 in 37 zmanjšaj na petino. • Količnik števil 42 in 6 povečaj na ošemkrat toliko. • Stevilo 60 zmanjšaj na dešetino, dodaj 3 in dobljeno število povečaj na ošemkrat toliko. Najbrz bi se naslo tudi drugačno izrazje. Vsekakor bi se bilo dobro dogovoriti za tako, ki ga bomo vsi enolično razumeli. In na konču se najmanj sporna resitev: • Razliko števil 62 in 37 deli š 5. • Količnik števil 42 in 6 pomnoži z 8. • Število 60 deli z 10, dodaj 3 in dobljeno število pomnozi še z 8! Ta pa zveni preveč solsko in ne izrablja moznosti jezika. LITERATURA [1] S. Osterman, Računanje je igra, Zbirka nalog za 4. razred osnovne sole, Antus, Jesenice 2013. [2] P. Prelog, Koliko je enkrat manj kot 100?, Obzornik mat. fiz. 60 (2013) 120-XI. [3] Slovar slovenskega knjiznega jezika, bos.zrc-sazu.si/sskj .html. Marjan Hribar http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ http://www.obzornik.si/ ODZIV NA PISMO PETRA PRELOGA To je odmev na pismo Petra Preloga v letošnji 3. številki Obzornika za matematiko in fiziko. Zadnji odstavek njegovega pisma je rotitev članov DMFA, naj se dogovorimo in poskrbimo za nedvoumno govorico osnovnih matematičnih informacij glede uporabe besed TOLIKO, VEC in MANJ. Z tem pismom zelim pokazati, da je resitev enostavna in ze pred nami, če le pravilno razločujemo te besede. Besedi TOLIKO in VEC nimata istega pomena, pa če je pred njima mnozilni stevnik ali ne. Naj najprej dam primera različnih pomenov za TOLIKO in VEC v enostavnih stavkih: • Danes je na česti TOLIKO ljudi kot včeraj. • Danes je na česti VEC ljudi kot včeraj. • Danes je na česti pet ljudi VEC kot včeraj. Beseda VEC označuje, da dodajamo, medtem ko TOLIKO „izraza sorazmernost količine, mere, kot jo določa sobesedilo" (po http://bos.zrc-sazu. si/cgi/a03. exe?name=sskj_testa&expression=toliko&hs=1).Torej „trikrat toliko" pomeni ,,v sorazmerju 3 proti 1", kar pomeni mnozenje brez pri-stevanja, medtem ko „trikrat več" pomeni, da dodamo neko količino trikrat k dani. Tako je „200 je enkrat več od 100" pravilno, „200 je dvakrat več od 100" pa nepravilno. Se več primerov: • Otrok ima polkrat toliko denarja kot jaz, teta pa polkrat več kot jaz. Torej če imam jaz 100 evrov, jih ima otrok 50, teta pa 150. • Otrok ima tretjino[krat] toliko kot jaz, teta pa tretjino[krat] več kot jaz. Torej če imam jaz 30 evrov, jih ima otrok 10, teta pa 40. • Janez ima 100 evrov, Tone pa dvakrat toliko, torej 200 evrov. • Janez ima 100 evrov, Tone pa dvakrat več, torej 300 evrov. Beseda MANJ pove, koliko odSstejemo. • Otrok ima tretjino tistega kot jaz. (= 1/3) • Teta ima tretjino MANJ kot jaz. (= 2/3) Peter Prelog je izračunal, da ima Tinka 100: 2 = 50 evrov, če vemo naslednje: • Janez ima 100 evrov, Tinka ima dvakrat manj. Jaz takega stavka ne bi napisala, in če bi ga, bi izračunala, da ima Tinka 100 — 2 x 100 = -100 evrov, torej je v minusu. Ce spremenimo „dvakrat" v „polkrat", bi jaz rekla, da ima Tinka 100 — 1/2 x 100 = 50 evrov (in ne 100: (1/2) = 200 evrov). Podobno stavek „Na cesti je/ni ničkrat manj ljudi kot včeraj" pove, daje danes na cesti isto stevilo kot včeraj (ne pa včerajsnje stevilo deljeno z nič). Že trideset let zivim v tujini, od leta 1992 kot profesoriča matematike na univerzah. V anglesčini imata stavka „Tinka has twiče as mučh as Tine" in „Tinka has twiče more than Tine" neoporečno različna pomena. Tudi v slovensčini je tako! Strinjam se s Petrom Prelogom, da dodatek besed SE ali ZA ne pripomore k jasnosti stavkov, ki jih nismo razumeli brez dodatka. Jaz bi se dodatkov izogibala. Peter Prelog čitira učbenik naravoslovja: če se temperatura poveča za dvakrat, se energija poveča za sestnajstkrat. Strinjam se, da je ta raba napačna. Vemo, da je energija sorazmerna s četrto potenčo temperature, v učbeniku pa naj bi napisali nekaj takega: če je nova temperatura dvakrat toliksna kot prvotna, je nova energija sestnajstkrat toliksna kot prvotna, ali pa se lepse: če se temperatura podvoji, se energija posestnajsteri. Za pomen besede TOLIKO sem se skličala na spletni slovar Instituta za slovenski jezik Frana Ramovsa ZRC SAZU http://bos.zrc-sazu.si/ sskj.html, ki ga vsem priporočam. Vendar se ne strinjam z vsemi razlagami v slovarju. Morda njegova razlaga besede KRAT pripomore ali pa je sad te zmede z VEC in TOLIKO. Namreč, v tem slovarju je po moje pomesan pomen besed PONOVITEV in POJAVITEV. Na primer, razlaga besede ŽTIRIKRAT na http://bos.zrc-sazu.si/cgi/a03.exe? name=sskj_testa&expression=krat&hs=251: „izraza stiri ponovitve". Pravilna razlaga bi po mojem bila: „izraza stiri pojavitve". Ce se nekaj ponovi, se mora le-tisto najprej zgoditi enkrat, sele potem ponoviti. Stavek „Fantek je ponovil skok v luzo" pomeni, daje fantek najprej skočil, potem pa to ponovil, torej je skočil dvakrat. Zatorej stavek „Fantek je dvakrat ponovil skok v luzo" pomeni, da je fantek najprej skočil, potem pa to ponovil dvakrat, torej je skočil trikrat. Razumem, da smo lahko v pogovornem jeziku malo povrsni s pomenom, ampak v matematiki si tega ne smemo dovoliti. Ta zmeda me spominja ne napake starih jezikov, ko so razumeli navodila, da naj bi bilo prestopno vsako Žčetrto leto, kot da je prestopno tisto Žčez tri leta (http://en.wikipedia.org/wiki/Julian_calendar#Leap_year_ error). Podobna zmedotvorna jezikovna tvorba nam je znana iz svetega pisma, ki pise, daje Jezus vstal „tretji dan", mi bi pa v sodobnem jeziku rekli, da je vstal čez dva dneva; Italijani v tem smislu se danes rečejo „quindiči (15) giorni", ko mislijo dva tedna. Irena Swanson NOVE KNJIGE Theodore G. Faticoni: The Mathematics of Infinity, A Guide to Great Ideas, John Wiley & Sons, 2012, 338 strani. The Mathematics of Infinity A Guide to Great Ideas Theodore G. Faticoni Knjiga, zasnovana kot dopolnilni učbenik za predmet Teorija mnoZic za Študente prvih letnikov, lepo osvetljuje same temelje področja, kjer se konča logika in začne matematika: problematiko neskončnosti. Razdeljena je na devet poglavij: Logika, Mnoziče, Funkčije, Štetje neskončnih mnozič, Neskončna kardinalna stevila, Dobro urejene mnoziče, Indukčija in stevila, Prastevila, Logika in me-tamatematika. Obravnava teh področij je razmeroma elementarna, raje bolj poljudna kot pa učbenisko suhoparna; ne manjka tudi zabavnih ponazoritev posameznih končeptov.1 Avtor se zelo trudi, da bi studij dolgočasnih osnov matematike bralču naredil kar se da privlačen,2 marsikdaj definičije matematičnih pojmov ponazori tudi s konkretnimi primeri iz zivljenja.3 V razlago spretno vpleta tudi nekatere teme, ki na prvi pogled ne sodijo najbolj v osnovni tečaj teorije mnozič, kot so npr. osnovni izrek aritmetike, resevanje kubične enačbe, popolna stevila, iračionalnost stevila \/2, stevilo googol (10100) - . to Pure tir nI Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs, and Tracts ®WILEY Tako npr. Hilbertov neskončni hotel lepo ilustrira paradoks neskončnih množic, ki so vselej v bijektivni korespondenci ž neko svojo pravo podmnožico (kar je v nasprotju ž običajno ždravorazumsko intuicijo, po kateri „del ne more biti enak celoti"). 2Tako npr. navaja množico psov ž doktoratom iž matematike kot primer množice, ki je bila ob pisanju knjige se pražna! 3Tako npr. pojem funkcije ponažori s primerom funkcije t : L ^ N, ki vsakemu kraju na Zemlji priredi njegovo temperaturo na dan 1. januarja 2005. približno toliko je zrnc peska na Zemlji - in njegovi izpeljanki googolplex 10googo1 ter ioaoogoiPiex, rekurzivna formula za qk(n) = Ya=i lk, torej za vsoto k-tih potenc prvih n naravnih Števil, nicle Riemannove zeta funkcije Z (s) = n 1_1/ps (kjer je p poljubno praštevilo), hipoteza kontinuuma, itd. Knjiga se konca s kratko predstavitvijo razširitve Godlovega izreka, ki pravi, da ce je C mnozica resničnih izjav iz nekega logičnega sistema, potem obstaja resnicna izjava Q, ki ni izpeljiva iz C; ta rezultat uporabi za dokaz „metamatematicne" trditve, da na nobenem podrocju (npr. v fiziki, matematiki, itd.) ni mozna „teorija vsega". Avtor ze v uvodu pove, da si je okrog leta 1920 vec logikov (v zelji, da bi matematiko obvarovali paradoksov, ki so se pojavili v samem njenem temelju - Cantorjevi teoriji mnozic) prizadevalo izpeljati velik del matematike iz binarne logike, po kateri je vecini izjav mogoce pripisati eno od dveh logicnih vrednosti: resnicna oz. pravilna (1) ali neresnicna oz. nepravilna (0). Okrog 1930 pa je logik in matematik Kurt Godel dokazal, da z nikakrsnimi napori ni mogoce izpeljati vse matematike zgolj iz logike. To je bila tezka lekcija za zagovornike aksiomatske metode (npr. za Hilberta). Knjiga obravnava dvojisko logiko na bolj tradicionalen nacin. Logicne veznike in, ali, ne, če-potem vpelje podobno, kot je to storil Aristotel pred priblizno 2600 leti (pri cemer za prve tri sploh ne uporablja ustreznih standardnih oznak A, V, —, ampak uporablja samo znak za implikacijo Izjava ne-P je resnicna natanko takrat, ko izjava P ni resnicna. Izjava P in Q je resnicna natanko takrat, ko sta resnicni izjavi P in Q. Izjava P ali Q je resnicna natanko takrat, ko je resnicna vsaj ena od izjav P ali Q. Izjava P ^ Q je neresnicna natanko takrat, ko je P resnicna, Q pa neresnicna. Nato podrobno razlozi, kako se izjave lingvistično in logično povezujejo s temi logicnimi vezniki.4 Temu pristopu zavestno daje prednost pred danes bolj uporabljanimi logicnimi (ali pravilnostnimi) tabelami, ki izjavam, sestavljenim iz atomarnih izjav P, Q,R, dolocijo njihove logicne vrednosti (1 ali 0) pri vseh moznih kombinacijah logicnih vrednosti atomarnih izjav. Te tabele naj bi bile primernejse za racunalnike kot pa za komunikacijo med ljudmi in se v praksi ne uporabljajo pri argumentaciji oziroma dokazovanju. S pomocjo taksne poglobljene lingvisticne in logicne interpretacije logicnih veznikov avtor pokaze, kako je mogoce zlahka razresiti znani Epimenidov 4Tako npr. P ^ Q opise takole: Iz resnice ob uporabi pravilnega sklepanja sledi samo resnica, medtem ko iz laZne premise P lahko sledi bodisi resničen bodisi laZen sklep Q. paradoks (¡Vsi Krecani so lažnivci. Jaz sem Krecan."), pa tudi t. i. najtežjo logično uganko na svetu (the World's Hardest Logic Puzzle), ki se glasi takole: „Na otoku je 200 popolnih logikov (ljudi, ki vedno govorijo resnico), 100 od njih je modrookih, 100 pa rjavookih. Potem ko logik samo s pomocjo logike doloci barvo svojih oci, zapusti otok. Kdaj bodo vsi logiki zapustili otok?" Naravna stevila so v knjigi vpeljana tako rekoc iz nic oziroma iz prazne mnozice: 1 = card({0}), 2 = card({0, {0}}), itd. Pri obravnavi teorije mno-zic, ki je temelj knjige, avtor posebej predpostavi, da obstaja matematicni univerzum (v kakrsnega je verjel ze Platon) in da, ko govorimo o mnozicah, v njih nastopajo le objekti, ki v tem matematicnemu univerzumu dejansko obstajajo.5 Vendar pa je predpostavka o obstoju matematicnega univerzuma vprasljiva, saj npr. poleg evklidske obstajajo tudi neevklidske geometrije; podobno si je mogoce zamisliti matematiko CH, ki privzema hipotezo kon-tinuuma (kardinalnost mnozice realnih stevil je „prva vecja neskoncnost" od neskoncnosti mnozice naravnih stevil) kot veljaven aksiom, in matematiko ne-CH, ki privzame kot aksiom njeno negacijo. Avtor razre si to dilemo tako, da privzame vzporedni obstoj dveh matematicnih univerzumov: matematika CH „zivi" v enem, ne-CH pa v drugem.6 Misel, da moramo biti vselej, kadar imamo opravka z neskoncnostjo, s e posebej previdni, ilustrira na primeru neskoncnih nekonvergentnih vrst.7 Seveda ne manjka tudi dokaz trditve, da poljubni dve daljici premoreta „enako mnogo" tock. Morda bi avtor lahko navedel nekoliko vec referenc (navedenih je le 11 knjig, pa noben clanek) in se natancneje skliceval nanje (od kod je kaj). Sicer pa je knjiga privlacen uvod v problematiko neskoncnosti v matematiki. Se posebej vredno branja je poglavje o matematicni in transfinitni indukciji. Jurij Kovic 5Zdi se, da je glavni namen tega pristopa v tem, da izključi paradoksne pojme, kot je npr. mnoZica vseh mnoZic, ki je zruSil Cantorjevo naivno teorijo mnoZic in terjal, da se mnoZice definira aksiomatsko (npr. Zermelo-Franklova aksiomatizacija). Ce imajo namreč mnoZice lahko le elemente, ki dejansko obstajajo v matematicnem univerzumu, se o mnoZici vseh mnoZic, ki tam ne obstaja, sploh nima smisla pogovarjati, in paradoksi, povezani s to mnoZico, enostavno izginejo. 6Kot pravi, izrekov teh dveh teorij „ne moremo primerjati nic bolj kot receptov za kruh in torto, pri tem pa trditi, da je eden pravi, drugi pa ne." 7Navaja npr. znani primer vrste 1 — 1 + 1 — 1 • • •, ki ob napacnem racunanju privede do protislovja: 0 = (1 — 1) + (1 — 1) +----= 1 + (—1 + 1) + (—1 + 1) = • • • = 1. OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, SEPTEMBER 2013 Letnik 60, številka 5 ISSN 0473-7466, UDK 51 + 52 + 53 VSEBINA Članki Strani Josip Plemelj in pravilnisedemkotnik (Milan Hladnik) ..................................161-172 k-numericnizaklad matrike (Mirko Dobovišek) ................................................173-182 Šola Učitelj in raziskovalec (Aleš Mohoric) ..................................................................183-187 Vesti Dvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike (Marjan Jerman) ..................................................................................................188-193 Interaktivne table in pouk matematike (Jurij Kovic) ........................................194 Pisma bralcev Še o matematicnem izrazju v ucbenikih (Marjan Hribar)..............................195-196 Odziv na pismo Petra Preloga (Irena Swanson)..............................................197-198 Nove knjige Theodore G. Faticoni: The Mathematics of Infinity, A Guide to Great Ideas (Jurij Kovic) ..............................................................................199-IXX CONTENTS Articles Pages Josip Plemelj and regular heptagon (Milan Hladnik)......................................161-172 Higher rank numerical range (Mirko Dobovisek) ............................................173-182 School ............................................................................................................................183-187 News ................................................................................................................................188-194 Letters ............................................................................................................................195-198 New books ....................................................................................................................199-IXX Na naslovnici: Na levi: Josip Plemelj kot študent na Dunaju leta 1986; na desni: fotokopija naslovne stranioriginalnega članka profesorja Josipa Plemlja o konstrukcijipravilnega sedemkotnika iz (časopisa Monatshefte für Mathematik und Physik iz leta 1912.