i
i
“5-3-Zitnik-naslov” — 2009/3/27 — 12:09 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 5 (1977/1978)
Številka 3
Strani 183–187
Janez Žitnik:
O GIBANJU RAKET
Ključne besede: fizika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/5/5-3-Zitnik.pdf
c© 1978 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
o GIBANJU RAKET
Na kratko 0plslmo delovanje rakete, tehn ične podrobnosti bomo
pustili ob strani. Raketo sestavljajo ogrodje, gorivo in ko-
ristni tovor, na primer instrumenti. Gor ivo iz rezervoarjev
priteka v izgorevalno komoro. Tam zgori, nastali plini pa z
veliko hitrostjo iztekajo skozi izpušne šobe in potiskajo ra -
keto. Gorivo izteka v stalnem toku i n masa rakete se manjša.
Dokler je še kaj goriva, potiska raketo sta lna sila iztekajo-
č ih plinov F = ~mvo' S ~ m označ imo masni tok iztekajočih pli-
nov, z Vo pa njihovo hitrost . čim manjš i je koristni tovor,
tem bolj ga z dano maso goriva pospešimo. če že limo pos lati v
veso lje mnogo i ns t ru me nt ov , potrebujemo pač več goriva. Masa
rakete je zato večja in za pospeševanje rakete potrebujemo
večjo silo. Končna hitrost rakete je odvisna od hitrosti i z pu-
šnih plinov i n razmerja med začetno maso rakete in koristnega
tovora . E n a č b o , ki pove, kolikšna je končna hitrost rakete, je
leta 1903 izpe lja l ruski znanstven ik K. E. Ciolkovski . Zapišimo
in pojasnimo jo:
Tu so: Vo hitrost iztekajočih plinov , mo začetna masa rakete
in m masa koristnega tovora skupno z ohišjem rakete . Zap isana
enačba ve lja, če se raketa giblje v breztežnem prostoru .
Enačbo Cio lkovskega še i z pel ji mo . Izpe lja va ne bo č isto neopo-
rečna, čeprav bo rezu ltat pravilen. Zaradi l a ž j e ga računa si
bomo zamislili, da gorivo izgoreva v kosih . V kratkem času naj
zgori kos goriva, ki ima N-krat manjšo maso kot je trenutna
masa rakete. V resn ici to ne drž i, saj s mo videl i, da raketni
motor ji izpihavajo stalni masni tok pl ina. V našem poenostav -
l j e nem primeru se raketa sicer drugače pospešuje kot v resni-
c i, končna hi t r os t pa je enaka kot prej. Hitrost iztekajočih
plinov glede na raketo naj bo vo' Skupna gibalna ko lič ina ra -
kete i n izteklih plinov je konstantna. Naj bo mo začetna masa
rakete. Giba lna kol ičina plinov, nasta lih i z prvega kosa gori -
183
va z maso mo/ N, je moVo/ N. Sprva miruJoca raketa pri tem dose-
že hitrost Vj , njena gibalna količina je ( mo-mo/ N)V j ' Preosta-
la masa r a ke t e je mj ~ mo( 1- 1/N ) . Iz oh ranitve skupne gibalne
količine sledi za hitrost rakete Vj ~ Vo ( N-1) . Ko zgori drugi
kos goriva, katerega masa je spet N-kra t manjša kot trenutna
masa rakete, je hitrost ra kete V2' Masa rakete je potem
m2 ~ mo ( 1- 1/N )2. Ohranitev skupne gibalne kol i čine v sistemu,
zvezanem z raketo, da : mjV o/N = m2(v2 - V j ) ' Iz tega izračunamo
hitrost rakete potem, ko zgori drugi kos goriva: v2 = V j +
+ v omj/ Nm2 = 2v o/( N-1). Ko zgori k- t i kos goriva, je masa ra-
kete mk = mo ( 1- 1/N )k, hit rost rakete pa je "« ~ kVo/ (N- 1 ) . če
hočemo, da ima ra keta v tem trenutku neko določeno hitrost v,
mora biti: k = V(N- 1 ) /v o ' Tedaj je masa rakete ravno:
m = mk ~ m
o{
( 1- 1/N )V(N- 1 )/vO} m
o{
( 1- 1/N )N- 1} (v /v o )
V resnici gorivo ne zgoreva v kosih, ampak zvezno. če se hoče­
mo z našim modelom približati resničnim razmeram, moramo vzeti
zelo veliko majhn ih kos ov goriva. Ko se N veča pre ko vseh meja,
gre izraz (1_1 / N)N-1 proti določeni vrednosti 1/e = 0,6378 ....
Stevilo e = 2,7~82 . .. je osnova naravnih logaritmov. Enačbo za
maso sedaj zapišemo v dokončni obliki:
m = m e-( v / v o )
o
Ko logaritmiramo in preuredimo, je pred nami enačba Ciolkovske-
ga :
mo
V = vo . l nm
Za primer izračunajmo, koliko goriva potrebujemo, da v vesolju
pospeslmo sprva mirujočo raketo s hitrostjo 33 krn /s. Hitrost
iztekajočih plinov naj bo 7 krn /s. Iz enačbe Ci o l kovs kega sledi:
mimo = e- 4 ; 7 = 0,009. To pomeni, da potrebujemo za pospe šitev
100 kg koristnega tovora kakih 10000 kg goriva. Tabela in dia-
gram kažeta, kako se spreminjata hitrost in masa rakete v od-
visnosti od časa za naš model gibanja in za resnično gibanje.
Računali smo, da raketni motorji izpihujejo po 82,5 kg plina
na sekundo. Pri modelnem gibanju izpihnejo raketni motorji
dvanajst kosov goriv a, od katerih ima vsak 3,5-kra t manjšo ma-
184
so, kot je trenutna s kupna masa ra kete. I z diagrama se vidi,
. da se v resnici giblje ra keta ob koncu delo van ja motor j ev z
veli ko ve čjim pospeš kom kot na z a č e tk u , sa j s t a l na po t is na s i -
l a motorje v potiska teda j veli ko manj šo ma so kot v začetku. Na
začetku hit rost skoraj enakomerno nar a šča, ke r se masa zaradi
razmeroma majhnega masne ga toka le počas i zmanjšuje . Pr i našem
preprostej šem modelu gibanja je poti sna sila motorjev odvisna
od t renutne mase ra kete . Razmerj e med pot i s no sil o i n ma so ra -
ket e j e kons t a nt no , zato je tudi pos pe še k kons tant e n.
t ( S ) v ( krn /s ) ro (k g) v ( krn /s ) ro (k g )
mod e1 mod el
O O 10000 O 10000
10 0,6 9175 2,8 6845
20 1,26 83 50 5,6 4686
30 1 ,99 7525 8,4 3207
40 2,80 67 OO 11 ,2 2145
50 3 ,7 2 5875 14,0 1503
60 4,78 5050 16,8 1028
70 6,03 4225 19,6 704
80 7,55 3400 22 ,4 482
90 9,50 2575 25,2 33 O
100 12,20 1750 28,0 225
110 16 ,66 925 30 ,8 154
120 32,50 100 33,0 102
Z enostop enj s kimi rak etami ne moremo dose či prav veli kih hi-
trosti. To se p osr eč i z več stop e n jskimi raketami . Te so ses ta v-
ljene iz več z a por ed ni h pogons kih rak et , instrume nti pa so v
konic i zadnje ra ke t e. Na jpre j potis ka r ak e t o prva stop nja . Ko
ta porab i vse gor i vo , j e oprav i l a nalo go. Og ro dj e , r e zer voarj i
za gori vo i n motor od pade j o od ra ke te in pogon prevzame d r uga
stopnja . Ko prva stopnj a odpade, s e masa r a kete mo čno zmanj ša .
To j e ugodno, saj mo torjem d r uge stopnje ni treba rabit i s voje
mo či za posp eš e va nj e odv e čne ma s e moto rjev, reze rvoa rjev in
ogrodja prve stopnje . Ko druga s t opnj a opravi s voj e delo, od-
pade. Njeno delo pr e vzame na slednj a stopnj a. Ko odpade za dnj a
18 5
v Ikmre)
32
16
20 40 60 80 100 120 Us)
Sl. la : Hitrost rakete pr i gibanju v breztežnem prostoru . Polna črta ozna-
čuje hitrost rake t e , ki i zpi huj e stalni tok pl inov . Crtkana črta
označuje povprečno hitrost ra kete, ki izp ihuje pline v sunkih , ka-
ter ih masa je sorazmerna s trenutno maso ra kete. Končna hitrost je
v obeh primerih enaka, če je enako razmerje med začetno i n končno
maso rakete in je enaka hitrosti izpušnih plinov .
Sl. lb: Masa rakete pri gibanju s prejšnje slike .
5000
o
18 6
20 40 60 80 100 120 Us)
stopnja, ima kapsula z instrumenti ali s človeško posadko že
dovolj veliko hitrost, da ubeži privlačni sili Zemlje. Običaj­
no je r azme r j e med skupno maso in maso ohišja za vse stopnje
rakete približno enako. če prva stopnja pospeši raketo do hi-
trosti v, pospeši druga stopnja raketo do hitrosti 2v, tretja
stopnja pa do hitrosti približno 3 v.
Zelo znani večstopenjski raketi sta ameriški raketi Saturn in
Titan. Prvo stopnjo rakete Saturn lB sestavlja osem manjših
raket s skupno potisno silo kak ih 7000000 N. V motorjih izgo-
reva ta tekoči kisik in kerozen. Drugo stopnjo poganja šest mo-
torjev na tekoči vodik s skupno potisno silo 420000 N. Za tre-
tjo stopnjo uporabljajo običajno kako manjšo raketo. Masa ra-
ke te ob vzletu je 550 ton, v vesolje ponese kakih 15 ton ko-
ristnega tovora . Za polete na Luno so uporabljali izboljšano
verzijo Saturn 5 . Tristopenjska raketa s skupno višino 110 m
lahko ponese v vesolje 130 ton koristnega tovora. Prvo stopnjo
Saturna 5 poganja pet motorjev. Vsak ima osemk rat tolikšno po-
tisno silo kot ce l a prva stopnja Saturna lB . Raketa Titan 2 je
visoka 32 m, njena skupna masa pa je 150 ton. Pogonsko gorivo
je hidrazin . Poti sna sila motorjev prve stopnje je 2000000 N,
d ruge stopnje pa 450000 N. Ta raketa lah ko ponese v vesolje le
oko1 i tri tone kori stnega tovora.
Velik pomen v razvoju raketarstva ima gorivo . Tabela kaže ne-
kaj podatkov za največ uporabljana goriva :
acetilen 2C 2H 2+502 + 4C02+2H 2O+611kcal 2880 kcal/kg
vodik 2H2+02 + 2H 2O+115kcal 3220 kcal/kg
aluminij 4Al+302 + 2A1 203+788 kcal 3860 kcal/kg
berilij 2Be+02 + 2BeO+292 kcal 5840 kcal/kg
Sežigna
toplota
ReakcijaGorivo Hitrost
plinov
4,9 krn/s
5,2 krn/s
5,6 krn/s
7,0 krn/s
Tehnologi lsceJO nova goriva, pri katerih bo specifična sežig-
na toplota in s tem izpušna hitrost večja. Tako bo bližnji ve-
soljski prostor človeku lažje dosegljiv .
Janez žitnik
187