i
i
“348-Strnad-naslov” — 2009/6/10 — 10:36 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 6 (1978/1979)
Številka 1
Strani 2–3
Janez Strnad:
PEŠČENA ZRNCA V ARHIMEDOVEM VESOLJU
Ključne besede: astronomija.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/6/348-Strnad.pdf
c© 1978 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
ASTRONOMIJArn__-
PEščENA ZRNCA VARH IMEDOVEM VESOLJU
Danes cenimo ra di j veso lja na kak i h des et mi l i jard svetlobnih
le t ali 1D26m. Pra vi poj em o ve l i kos t i ve s ol j a izvir a pravza -
pr av š e le iz d va jset i h l e t naš e ga stol e tj a . Pr ej so ime li ve sQ
lj e za mn ogo manj š e . že od ne kdaj pa j e nudi lo veso lje obi lo
možnost i za račun anje z veli kim i š t ev i l i . Tukaj na s ne bo z an~
mal a vel ikost veso lja a l i r a zvoj pog led ov na ve s olje , nap rav i l i
bomo l e nekaj zab avnih r a čun o v z veli ki mi š tev i l i .
Med pr vim i , ki s a posk us i l i d o l o č iti ve l i kos t ves ol jsk i h t e les
in njihovo odd a ljenos t in t a ko dobi ti pr edst avo o ve likos t i v~
sol j a, so bi l i grški astronom i. Me d njimi velja omeniti Er a t o-
s ten a , ki j e ži ve l v t r e tjem s t ol etju pred naš im štetjem. Z
njeg ov imi pod at ki s i je pomaga l njeg ov so d ob ni k Arhi med . Razda
l j a do krog l e zve zd s t a l nic j e oce ni l na 10 16 w a l i pr ib l i žno-
na en u sve t l obno l e t o . Bli žnj e zv e zde so zare s odda ljene več
svet lo bnih l et ( na j bl i ž j a - Prak s i ma v ozv ezdju Ke nt a vra - 4, 3
,v e t lobne ga l e t a ) , a Arhim ed ov poda tek za ve l ikos t veso l j a je
b i l mn ogo pr ema jh en .
V nekem del u se je Arhimed namen i 1 izračuna ti, s kol i kšnim š t~
vi lam pešč en ih z r nc bi popolnoma napoln ili veso lje. Za radij
zrnca je vze l stot inko mi limetra i n se vprašal , koliko takih
zrnc bi š lo v kroglo zvezd stalnic brez vmesnih prostorov . PrQ
star ni na krog le je sorazmerna sku bom ra dija , za t o je š tev i lo
p e š č enih zr nc
Upo rab i mo Arhi medo v poda tek za nekaj bo lj sodob ni h računov.
2
Vzemimo, da je gost ot a pe s ka 3 g/ cm 3. Ke r j e pro s t o r ni na zrnca
4 n(1 0- 5 ml3/3 pr ib liž no 4. 10- 15 m3 , je nje gova mas a
3 . 103 kgm-3 . 4 . 10 - 15 kg ali približno 10 - 11 kg . Masa peščenih
zrnc v krog li zvezd s t a l nic bi bila t edaj 10 6 3 .10 - 1 1 kg
= 10 52 kg . Vz emimo , d a bi vesolje s to mas o se sta vlja l sam vo-
dik. V 1 ki logramu vodika je 6 .10 2 6 atomov. V vesolju bi bilo
tedaj 6 . 10 2 6.1 0 52 = 6.10 78 a li približno 10 79 atom ov vodi ka .
Današnji a stronomi cen ijo, da us treza masi ve s ol ja okol i 108 0
vodikovih a t omov . Ra čun z Arhimedovim podatkom da či sto spre-
jeml j i v r e zult at . Za r es j e bil o Arhimedovo ve solje mno go p ~e ­
ma jh no , a pr i račun anj u n a j v e čj e g a možae qa štev ila peščen i h
zrnc s mo ga v mislih izp o ln ili z gosto snov jo. Zato i z r a č u n a n a
masa ni da leč od dana š nje ocene, ki upošteva, da je povprečna
gost ota sn ov i v vesol j u zelo maj hna .
Arh imed j e r a č u na l največj e mo žno števi lo pe š čen ih 'zrnc v ve-
solju kot vaj o v račun anju z ve l i kimi š t e vi 1i . Star i Grki, ki
š e ni so poz na l i deset i š ke ga šte vi lskega ses ta va , s o nam r eč i m~
l i t ež av e pr i računanju z ve l i ki mi š t ev i l i . Do miriade , po na-
še d o de s et t isoč ali 10 4 , je š l o br ez tež av in tud i do miri a -
d e mir i ad , po na š e s to mi l i j onov a l i 10 8 , se ni za ti kal o.
Naprej pa je š t e l , ka kor j e kd o vedel i n zna l . Arhimed s i je
izmi s li l s voj š t e vi ls ki s es tav, v katerem je š t e vi l a podaja l
s t r emi pod atk i , po na še
aM 2[( r - 1) + ( p - 1 ) M2 ]
To pre ber em o kot a enot r- t ega reda p - t e peri ode . Pri tem oz -
nacuJe M mi r i ado , M = 10 4 . Premer kro g l e zvezd s ta l nic v sta -
dijih je s t o miriad en ot drugega red a prv e per iode, tore j a =
= 100M = 10 6, r = 2 i n p = 1 al i 10 6 .1 08 ( 2 - 1 ) = '0 ' 4 . Ker je .
sta dij neka j man j kot dv e s t o me tr ov , je prem er krog l e zve zd
s t a l ni c približno 2 . 10 ' 6 m. Naj večj e mog o č e š t ev i lo peš č e n i h
zrnc v veso lju je t i s o č mi r i ad e not osmega reda pr ve per iode,
t ore j a = l OOOM = 10 7 , r = 8 in p = 1 a l i 10 7 .1 03 (8- 1) 10 6 3 .
Priznat i mo ramo , da j e dan ašnj e pisanje ve likih š t e vi l z dese-
t i čn imi eksponenti mnogo prep r os t ejše.
Ja nez S t r n ad
3