ELEKTROTEHNI ˇ SKI VESTNIK 78(3): 142–146, 2011
EXISTING SEPARATE ENGLISH EDITION
Zaznavanje napak in spremljanje ˇ ciˇ sˇ cenja odpadnih
voda na podlagi mehkega modela
Dejan Dovˇ zan
1
, Vito Logar
2
, Nadja Hvala
3
, Igor
ˇ
Skrjanc
4
1;2;4
Faculty of Electrical Engineering, Trˇ zaˇ ska 25, 1000 Ljubljana
3
Inˇ stitut Joˇ zef
ˇ
Stefan, Jamova cesta 39, 1000 Ljubljana
E-poˇ sta:
1
dejan.dovzan@fe.uni-lj.si
Povzetek. V ˇ clanku je predstavljen sistem za spremljanje in zaznavanje napak na procesu ˇ cistilne naprave. Zaradi
nelinearnosti procesa smo kot osnovo za sistem spremljanja uporabili mehki model, s katerim lahko zelo dobro
aproksimiramo nelinearnosti procesa in se s tem izognemo nepotrebnim laˇ znim alarmom. Model je dobljen
s pomoˇ cjo Gustafson-Kesselovega algoritma za rojenje. Odziv mehkega modela v normalnem obratovanju je
primerjan s trenutnim dogajanjem v procesu. Na podlagi odstopanja odzivov lahko zaznamo napako. Proces v
naˇ sem primeru simuliramo. Simulirane pa so tudi napake na senzorjih. Merjeni signali so: vhodna koncentracija
amonijaka in koncentracija kisika v prvem aerobnem tanku ter temperatura, koncentracija kisika in amonijaka v
drugem tanku. Prikazani so rezultati spremljanja procesa in odkrivanja napak na podlagi mehkega modela.
Kljuˇ cne besede: mehko rojenje, graditev mehkega modela, ˇ ciˇ sˇ cenje odpadnih voda, spremljanje procesa,
zaznavanje napak
Monitoring and sensor fault detection in a waste-water
treatment process based on a fuzzy model
In this paper, monitoring and sensor fault detection in a waste-
water treatment process are discussed. Monitoring is based on
the Takagi-Sugeno fuzzy model of a plant process obtained by
using Gustafson-Kessel fuzzy clustering algorithm.The paper
also explains the principle of the Takagi-Sugeno fuzzy model.
The main idea is to cope with the non-linearity of a monitored
process. The output of the fuzzy-model in normal operation
regime is compared with the current behavior. If the fault-
detection index exceeds a certain predeﬁned value (the fault-
tolerant index), an alarm is triggered. The data treated in
this paper are obtained with a simulation model of a waste-
water treatment plant and by simulating sensor faults. The
signals to be measured in the process monitoring are the
following: inﬂuent ammonia concentration, dissolved-oxygen
concentration in the ﬁrst aerobic reactor tank, temperature,
dissolved-oxygen concentration and ammonia concentration in
the second aerobic reactor.
1 UVOD
Spremljanje procesov skupaj z zaznavanjem napak in
diagnozo je v zadnjem ˇ casu postalo eno popularnejˇ sih
podroˇ cij procesne avtomatike. Za spremljanje procesa
in odkrivanje napak se pogosto uporabljajo tehnike na
podlagi modela procesa, ekspertni sistemi in sistemi
za razpoznavanje vzorcev [1], [2]. Hitri senzorji in
oprema za zajem podatkov nam omogoˇ cajo zajem ve-
like koliˇ cine podatkov, ki nam kaˇ zejo, kaj se dogaja s
procesom. Za obdelavo in analizo zajetih podatkov je
bilo razvitih veliko statistiˇ cnih metod [3], [4]. S pomoˇ cjo
Prejet 22. junij, 2011
Odobren 25. julij, 2011
meritev lahko ves ˇ cas spremljamo procese in zaznavamo
napake ter temu primerno proˇ zimo alarme. V naˇ sem
primeru obravnavamo zaznavanje napake na senzorju
simuliranega procesa ˇ ciˇ sˇ cenja odpadne vode [5], [6], [7].
Ti procesi so zaradi dnevnih, meseˇ cnih in sezonskih vpli-
vov izpostavljeni nenehnemu spreminjanju dinamike.
Nanje vplivjo sprememba temperature, koliˇ cina padavin
in razliˇ cne obremenitve naprave. Teoretiˇ cno modeliranje
je pri ˇ ciˇ sˇ cenju odpadnih voda zelo zapleten postopek,
katerega rezultati so dvomljivi. Zato se za spremljanje
takih procesov uporabljajo statistiˇ cne metode, ki teme-
ljijo na rudarjenju s podatki.
ˇ
Ciˇ sˇ cenje odpadnih voda je
zelo nelinearen proces, zato je treba njegovo nelinearnost
upoˇ stevati v modelu. Za predprocesiranje podatkov smo
v naˇ sem primeru uporabili algoritem za mehko rojenje
podatkov. S tem smo se izognili napaˇ cnim alarmom,
ki lahko nastanejo zaradi nelinearnosti procesa (ˇ ce bi
uporabili linearni model za zaznavanje), saj z mehkim
modelom lahko poljubno natanˇ cno aproksimiramo neli-
nearnosti.
1.1 Mehki model z Gustafson-Kesselsovim rojenjem
V tem poglavju bomo opisali algoritme in metode,
ki so bile uporabljene za analizo podatkov. Razloˇ zen
bo Gustafson-Kesselov algoritem rojenja in izpeljan
ter identiﬁciran Takagi-Sugeno mehki model procesa
ˇ ciˇ sˇ cenja odpadnih voda.
1.1.1 Gustafson-Kesselov algoritem mehkega rojenja:
Gustafson-Kesselov algoritem rojenja nam omogoˇ ca,
da deﬁniramo roje razliˇ cnih oblik, kar nam pri takih
procesih, kot je obravnavani, pride prav.
ZAZNA V ANJE NAPAK IN SPREMLJANJE
ˇ
CI
ˇ
S
ˇ
CENJA ODPADNIH VODA NA PODLAGI MEHKEGA MODELA 143
Matrika vhodnih podatkov je podana kot
X2R
n  p
: (1)
Vektor vhodnih podatkov v trenutku k je deﬁniran kot
x
k
= [x
k1
;:::;x
kp
]; x
k
2R
p
: (2)
Nabor n meritev oznaˇ cimo kot
X =fx
k
jk = 1; 2;:::;ng (3)
in je predstavljen kot matrika n  p:
X =
2
6
6
6
4
x
11
x
12
::: x
1p
x
21
x
22
::: x
2p
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
n1
x
n2
::: x
np
3
7
7
7
5
: (4)
Cilj rojenja je razdeliti nabor podatkov X v c pod-
mnoˇ zic, ki jih imenujemo roji. Mehko razdeljen nabor
podatkov X je skupek mehkih podmnoˇ zic (rojev)fA
i
j
1  i  cg. Roji so deﬁnirani s pripadnostnimi funkci-
jami, ki so implicitno vsebovane v pripadnostni matriki
U = [  ik
]2 R
c  n
. i-ta vrsta matrike U vsebuje vre-
dnosti pripadnostne funkcije i-tega roja A
i
iz mnoˇ zice
podatkov X. Matrika U izpolnjuje naslednje pogoje:
pripadnostne stopnje so realna ˇ stevila iz intervala od
niˇ c do ena (  ik
2 [0; 1]; 1  i  c; 1  k  n;),
pripadnost vzorca x
k
k uniji rojev je ena (
P
c
i=1
  ik
=
1; 1  k  n;), noben roj ni prazen oziroma ne vsebuje
vseh podatkov (0<
P
n
k=1
  ik
<n; 1  i  c). Zgoraj
naˇ steto pomeni, da matrika U pripada mnoˇ zici, ki je
deﬁnirana kot:
M =fU2R
c  n
j  ik
2 [0; 1];8i;k;
c
X
i=1
  ik
= 1;8k; 0<
n
X
k=1
  ik
<n;8ig:
(5)
V naˇ sem primeru je matrika pripadnostni (U) dobljena
z mehkim ”c-means” algoritmom, ki temelji na Ma-
halanobisovi normi. Algoritem dobimo z minimizacijo
kriterijske funkcije ob upoˇ stevanju omejitev iz En. 5:
J(X;U;V;  ) =
c
X
i=1
n
X
k=1
  m
ik
d
2
ik
+  c
X
i=1
n
X
k=1
(  ik
  1);
(6)
kjer jeU matrika pripadnostni mnoˇ zice podatkovX,V
je vektor centrov rojev
V = [v
1
;v
2
;:::;v
c
]; v
i
2R
p
; (7)
d
2
ik
pa je kvadrat razdalje
d
2
ik
= (x
k
  v
i
)
T
A
i
(x
k
  v
i
):
Matrika A
i
je deﬁnirana kot:
A
i
= (  i
det (C
i
))
1=p
C
  1
i
;
kjer je   i
= 1;i = 1;:::;c in p enak ˇ stevilu merjenih
spremenljivk. C
i
je mehka kovarianˇ cna matrika i-tega
roja, deﬁnirana kot
C
i
=
P
n
k=1
  m
ik
(x
k
  v
i
) (x
k
  v
i
)
T
P
n
k=1
  m
ik
:
Slednje nam omogoˇ ca detekcijo hiperelipsoidnega roja
v porazdelitvi podatkov.
ˇ
Ce so podatki porazdeljeni ob
nelinearni hiperpovrˇ sini, algoritem najde roje, ki so lo-
kalni linearni aproksimatorji hiperpovrˇ sine. Prekrivanje
rojev je deﬁnirano s parametrom m2 [1;1).
Za doloˇ canje ˇ stevila rojev lahko uporabimo funk-
cije za merjenje veljavnosti rojev ali pa jih iterativno
dodajamo oziroma odstranjujemo glede na odstopanje
modela. Parameter prekrivanja m vpliva na mehkost
roja; od trdega (m = 1) do ˇ cisto mehkega (m!1). V
naˇ sem primeru smo parameter nastavili m = 2, kar je
tudi obiˇ cajna vrednost tega parametra.
1.1.2 Koraki Gustafson-Kesselovega algoritma: Po-
stopek Gustafson-Kesselovega algoritma za rojenje na-
bora podatkov X lahko opiˇ semo z naslednjimi koraki:
  Inicializacija Izberemo ˇ stevilo rojev c, faktor pre-
krivanja m (v naˇ sem primeru m = 2) in napako,
pri kateri se algoritem konˇ ca   end
> 0 ( v naˇ sem
primeru   end
= 0:001). Inicializiramo matriko
pripadnosti: U2M (nakljuˇ cno) in epoh r = 0.
  Zanka
r =r + 1
izraˇ cun centrov rojev:
v
(r)
i
=
P
n
k=1
    (r)
ik
  m
x
k
P
n
k=1
    (r)
ik
  m
; 1  i  c: (8)
izraˇ cun kovarianˇ cne matrike in matrike A
i
:
C
i
=
P
n
k=1
  m
ik
(x
k
  v
i
) (x
k
  v
i
)
T
P
n
k=1
  m
ik
; (9)
A
i
= (  i
det (C
i
))
1=p
C
  1
i
; 1  i  c (10)
izraˇ cun razdalje vzorcev do centrov rojev
d
2
ik
=
  x
k
  v
(r)
i
  T
A
i
  x
k
  v
(r)
i
  ;
1  i  c; 1  k  n
(11)
osveˇ zitev matrike pripadnosti:
ˇ ce jed
ik
> 0;   (r)
ik
=
1
P
c
j=1
  d
ik
d
jk
  2
m  1
(12)
  dokler nijjU
(r)
  U
(r  1)
jj<  end
1.1.3 Mehki model Takagi-Sugeno : Mehki TS-
modeli aproksimirajo nelinearen sistem z interpolacijo
lokalnih linearnih modelov. Vsak lokalni linearni model
prispeva svoj deleˇ z k izhodu globalnega modela.
ˇ
Ce
imamo nabor vhodnih vektorjev
X = [x
1
;x
2
;:::;x
n
]
T
(13)
in nabor pripadajoˇ cih izhodov
Y = [y
1
;y
2
;:::;y
n
]
T
; (14)
144 DOV
ˇ
ZAN, LOGAR, HV ALA,
ˇ
SKRJANC
potem je mehki model podan v obliki pravil R
i
:
R
i
:
ˇ ce jex
k
izA
i
potem ^ y
k
=  i
(x
k
); i = 1;:::;c
(15)
Vektor x
k
je vektor vhodnih podatkov, ^ y
k
je izhod
lokalnega linearnega modela v trenutku k. Vektor x
k
pripada mehkim mnoˇ zicam (A
1
;:::;A
c
) z doloˇ ceno
pripadnostjo   Ai
(x
k
) oziroma   ik
: R! [0; 1]. Funk-
cije   i
(  ) so lahko poljubne zvezne funkcije, ˇ ceprav so
najveˇ ckrat uporabljene linearne aﬁne funkcije.
Izhod globalnega modela izraˇ cunamo po enaˇ cbi:
^ y
k
=
P
c
i=1
  ik
  i
(x
k
)
P
c
i=1
  ik
: (16)
En. (16) poenostavimo tako, da deﬁniramo funkcijo:
  i
(x
k
) =
  ik
P
c
i=1
  ik
; i = 1;:::;c (17)
Funkcija   i
(x
k
) nam podaja normirano pripadnost
vzorca k posameznemu roju. S tem nam pove tudi,
kakˇ sna je veljavnost pravila. Vsota funkcije po rojih
je ena (
P
c
i=1
  i
(x
k
) = 1) ne glede na x
k
, ˇ ce je
imenovalec   i
(x
k
) razliˇ cen od niˇ c. To pa je lahko
zagotoviti s pravilno deﬁnicijo pripadnostnih funkcij nad
roji. Z zdruˇ zitvijo enaˇ cb (16) in (17) pridemo do slednje
poenostavljene enaˇ cbe za izhod globalnega modela:
^ y
k
=
c
X
i=1
  i
(x
k
)  i
(x
k
); k = 1;:::;n (18)
Izhod lokalnega modela je obiˇ cajno deﬁniran kot line-
arna kombinacija elementov podatkovnega vektorja:
  i
(x
k
) =x
k
  i
; i = 1;:::;c;
  T
i
=
    i1
;:::;  i(p+q)
  : (19)
Vektor zmehˇ canih vhodov v trenutku k zapiˇ semo kot:
 
k
= [  1
(x
k
)x
k
;:::;  c
(x
k
)x
k
]; k = 1;:::;n; (20)
matriko zmehˇ canih podatkov pa kot:
  T
=
  
T
1
; 
T
2
;:::; 
T
n
  : (21)
ˇ
Ce zapiˇ semo matriko koeﬁcientov celotnega nabora pra-
vil kot
  T
=
    T
1
;:::;  T
c
  ; (22)
potem lahko izhod globalnega modela (En. (18))
zapiˇ semo v matriˇ cni obliki:
^ y
k
= 
k
  : (23)
Relacija izhoda modela in vhodnih podatkov za celoten
nabor zapiˇ semo kot:
^
Y =    ; (24)
kjer je
^
Y vektor izhodov modela ^ y
k
(k = 1;:::;n)
^
Y = [^ y
1
; ^ y
2
;:::; ^ y
n
]
T
: (25)
Mehki model, podan z enaˇ cbo En. (23), imenujemo
aﬁni model Takagi-Sugeno. S tem modelom lahko s
poljubno natanˇ cnostjo aproksimiramo poljubno funkcijo
[8], [9], [10]. Sploˇ snost modela lahko dokaˇ zemo s Stone-
Weierstrassovim teoremom [11]. Ta pravi, da lahko
vsako zvezno funkcijo aproksimiramo z razˇ siritvijo
osnovnih mehkih funkcij [12].
1.1.4 Ocena parametrov mehkega modela: Za oceno
parametrov mehkega modela bo uporabljena metoda naj-
manjˇ sih kvadratov. Meritve zadoˇ sˇ cajo nelinearni enaˇ cbi
sistema:
y
i
=g(x
i
); i = 1;:::;n (26)
Po Stone-Weierstrassevm teoremu obstaja za realno zve-
zno funkcijog, deﬁnirano nad naboromU
c
  R
p
, mehki
sistem f tako, da je
max
xi2X
jf(x
i
)  g(x
i
)j< ; 8i; (27)
kjer je > 0 poljubno majhna konstanta. Pri aproksima-
ciji zveznih funkcij z mehkimi funkcijami iz razredaF
p
,
ki so deﬁnirane z En. (23), je treba opozoriti, da manjˇ se
vrednosti   poveˇ cajo ˇ stevilo rojev c, da bi zadovoljili
En. (27). Pri aproksimaciji funkcije z mehkim modelom
je napaka med meritvami in vrednostmi izhoda mehkega
modela deﬁnirana kot:
e
i
=y
i
  f(x
i
) =y
i
  ^ y
i
; i = 1;:::;n; (28)
kjer y
i
pomeni merjene izhode sistema, ^ y
k
pa izhode
mehkega modela v trenutkuk. Parametre mehke funkcije
(  ) dobimo z minimizacijo vsote kvadratov napak:
E =
n
X
i=1
e
2
i
=
= (Y  ^
Y )
T
(Y  ^
Y ) == (Y    )
T
(Y    ) :
(29)
Parameter   dobimo kot parcialni odvod
@E
@  = 0:
  =
    T
      1
  T
Y:
2 BIOLO
ˇ
SKA
ˇ
CISTILNA NAPRAVA ZA
ˇ
CI
ˇ
S
ˇ
CENJE ODPADNIH VODA
Procesi ˇ ciˇ sˇ cenja odpadnih voda so veliki nelinearni
sistemi, ki so izpostavljeni velikim motnjam predvsem v
toku in obremenitvi. Hkrati pa se spreminja tudi sestava
odpadne vode, ki pride v ˇ cistilno napravo. Za nepristran-
sko primerjavo razliˇ cnih sistemov oziroma strategij vo-
denja in sistemov spremljanja je bil razvit enoten simu-
lacijski model. Sestoji iz petih zaporedno vezanih reak-
torjev, ki se nato iztekajo v desetplastni sekundarni tank,
kjer se tvorijo usedline. Model procesa, pripadajoˇ ce
enaˇ cbe in podroben opis najdemo na spletni stranihttp :
==www:ensic:inpl  nancy:fr=COSTWWTP=. V
naˇ sem primeru smo spremljali del sistema, kjer je odpa-
dana voda ˇ ciˇ sˇ cena (tanki). Shema procesa je prikazana
na sliki 1.
ZAZNA V ANJE NAPAK IN SPREMLJANJE
ˇ
CI
ˇ
S
ˇ
CENJA ODPADNIH VODA NA PODLAGI MEHKEGA MODELA 145
ANOXICTANKS
AERATIONTANKS
Q
in
Q
air
Q
w
Q
out
tanki
Slika 1: Shema simuliranega procesa.
Za izraˇ cun mehkega modela obravnavanega dela pro-
cesa smo uporabili naslednje spremenljivke: koncentra-
cija amonijaka v vhodnem toku v proces Q
in
, ki je
oznaˇ cena kotC
NH4Nin
, koncentracija stopljenega kisika
v prvem tanku C
1
O2
, koncentracija stopljenega kisika v
drugem tankuC
2
O2
in koncentracija amonijaka v drugem
tanku C
NH4Nout
. Mehki model je bil zgrajen tako, da
aproksimira odvisost koncentracije amonijaka v drugem
tanku od preostalih merjenih spremenljivk:
C
NH4Nout
(k) =G
  C
NH4Nin
(k);C
1
O2
(k);C
2
O2
(k)
  ;
(30)
kjer G oznaˇ cuje nelinearno povezavo med merje-
nimi spremenljivkami. Prvih 15000 vzorcev (s ˇ casom
vzorˇ cenja T
s
= 120s) je bilo uporabljenih za gra-
dnjo (identiﬁkacijo) mehkega modela Takagi-Sugeno.
Ob 17000. vzorcu zaˇ cne poˇ casi naraˇ sˇ cati napaka na
senzorju, ki je odpravljena ob 18000. vzorcu. Senzor
za merjenje koncentracije amonijaka v drugem tanku
C
NH4Nout
se je torej pokvaril. K nominalnemu signalu
senzorja smo dodali eksponentni signal za simulacijo
napake. Celoten set meritev je prikazan na sliki 2.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 10
4
0
50
100
Sample
C
NH4N
in
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 10
4
0
5
10
Sample
C
1
O
2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 10
4
0
5
10
Sample
C
2
O
2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 10
4
0
5
10
Sample
C
NH4N
out
Slika 2: Celoten nabor meritev. Koncentracija amonijaka v
pritoku v sistemCNH4N
in
, koncentracija kisika v prvem tanku
C
1
O
2
ter koncentracija kisika C
2
O
2
in amonijaka CNH4N
out
v
drugem tanku.
Mehki model smo zgradili na prvih 15000 vzorcih.
Izhod mehkega modela
^
C
NH4Nout
in izhod procesa
C
NH4Nout
sta prikazana na sliki 3. Indeks za detekcijo
0 5000 10000 15000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sample
C (-), C (--) NH4Nout NH4Nout
Slika 3: Veriﬁkacija mehkega modela, kjer je
^
CNH4N
out
izhod
modela, CNH4N
out
pa izhod procesa.
napake je deﬁniran kot:
f =
 
C
NH4Nout
  ^
C
NH4Nout
^
C
NH4Nout
!
2
: (31)
Ko indeks detekcije preseˇ ze indeks tolerance napake, se
sproˇ zi alarm. Indeks tolerance je defeniran kot najveˇ cji
indeks napake, pomnoˇ zen s konstanto: f
tol
=  maxf.
Najveˇ cji indeks napake smo zaznali pri uˇ cenju modela
na podatkih, kjer ni bilo simulirane napake. V naˇ sem
primeru smo pomnoˇ zili maksimalno vrednost indeksa
napake s konstanto   = 1; 5. To pomeni, da smo za
toleranˇ cni indeks dobili vrednost f
tol
= 0; 15. Slika 4
prikazuje toleranˇ cni indeks, indeks detekcije napake in
signal za alarm. Napako, ki nastane pri vzorcu 17000, je
predlagani sistem za spremljanje procesa detektiral pri
17556. vzorcu. Detekcija napake je zakasnjena, kar je
pri napakah, ki naraˇ sˇ cajo poˇ casi obiˇ cajno.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 10
4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sample
f, f
tol
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 10
4
0
0.5
1
1.5
2
Sample
fault (--), fault detected (-)
Slika 4: Indeks detekcije napake, toleranˇ cni indeksf
tol
dejan-
ska in detektirana napaka.
146 DOV
ˇ
ZAN, LOGAR, HV ALA,
ˇ
SKRJANC
3 SKLEP
V ˇ clanku smo obravnavali detekcijo napake na sen-
zorju in spremljanje ˇ ciˇ sˇ cenja odpadnih voda. Sistem za
detekcijo je bil realiziran z mehkim modelom Takagi-
Sugeno. Model smo identiﬁcirali s pomoˇ cjo Gustafson-
Kesslovega algorita rojenja, parametri pa so bili dobljeni
s pomoˇ cjo najmanjˇ sih kvadratov. Razvit sistem je bil te-
stiran na modelu procesa, kjer je bila simulirana napaka
na enem od senzorjev. Za gradnjo mehkega modela smo
uporabili naslednje meritve: vhodno koncentracijo amo-
nijaka in koncentracijo kisika v prvem tanku ter tempe-
raturo, koncentracijo kisika in koncentracijo amonijaka
v drugem. Zaradi narave napake, simulirane na senzorju
koncentracije amonijaka na drugem tanku, je bila le-ta
detektirana brez laˇ znih alarmov in z majhno zakasni-
tvijo. Glede na to, da je dinamika sistema izpostavljena
spreminjanju zaradi razliˇ cnih obremenitev, padavin itd.,
bomo poskuˇ sali sistem za detekcijo napake implemen-
tirati z rekruzivno mehko identiﬁkacijo, ki bo sposobna
prilagajati dinamiko sistema tem spremambam, hkrati pa
bo sistem sposoben detektirati tudi napake.
LITERATURA
[1] Chen, J., Liao, C. M., “Dynamic process fault monitoring based
on neural network and PCA”. Jour. of Process Control, vol. 12,
pp. 277–289, 2002.
[2] Klanˇ car, G., D. Juriˇ ci c, R. Karba., “Robust fault detection based
on compensation of the modelling error”. International journal of
Systems Science, vol. 33, no. 2, pp. 97–105, 2002.
[3] Johnson, R. A., Wichern, D. W., Applied Multivariate Statistical
Analysis, Prentice-Hall, New Jersey, 1992.
[4] Daszykowski, M., Walczak, B., Massart, D. L., “Projection me-
thods in chemistry”. Chemometrics and Intelligent Laboratory
Systems, vol. 65, pp. 97–112, 2003.
[5] Vreˇ cko, D., Hvala, N., Kocijan, J., Zec, M. “System analysis for
optimal control of a wastewater treatment benchmark”. Water sci.
technol., vol. 43, pp. 199–206, 2001.
[6] Vreˇ cko, D., Hvala, N., Kocijan, J., “Wastewater treatment bench-
mark : What can be achieved with simple control?”. Water sci.
technol., vol. 45, pp. 127–134, 2002.
[7] Hvala, N., Vreˇ cko, D., Burica, O., Straˇ zar, M., Levstek, M., “Si-
mulation study supporting wastewater treatment plant upgrading”.
Water sci. technol., vol. 46, pp. 325–332, 2002.
[8] Kosko, B., “Fuzzy Systems as Universal Approximators”, IEEE
Transactions on Computers, vol. 43, no. 11, pp. 1329–1333, 1994.
[9] Ying, H. GC., “Necessary conditions for some typical fuzzy
systems as universal approximators”, Automatica, vol. 33, pp.
1333–1338, 1997.
[10] Wang, L.-X., Mendel, J. M., “Fuzzy basis functions, univer-
sal approximation, and orthogonal least-squares learning”, IEEE
Trans. Neural Networks, vol. 3, no. 5, pp. 807–814, 1992.
[11] Goldberg, R. R., Methods of Real Analysis, John Wiley and Sons,
1976.
[12] Lin, C-H., “Siso nonlinear system identiﬁcation using a fuzzy-
neural hybrid system”, Int. Jour. of Neural Systems, vol. 8, no. 3,
pp. 325–337, 1997.
Dejan Dovˇ zan je diplomiral leta 2008 na Fakulteti za elektrotehniko.
Trenutno je zaposlen kot mladi raziskovalec v laboratoriju Laboratorij
za modeliranje simulacijo in vodenje na Fakulteti za elektrotehniko.
Njegovo raziskovalno podroˇ cje obsega adaptivno mehko vodenje, pre-
diktivno vodenje, mehke modele, detekcijo napak s pomoˇ cjo mehkih
modelov in rekurzivno mehko identiﬁkacijo.
Vito Logar je diplomiral leta 2004 in doktoriral leta 2009 na Fakulteti
za elektrotehniko v Ljubljani. Podroˇ cje njegovega raziskovanja zajema
napredno analizo EKG signalov in modeliranje industrijskih procesov.
Trenutno dela na procesu elektriˇ cne obloˇ cne peˇ ci in optimizaciji
stroˇ skov njenega delovanja.
Nadja Hvala je diplomirala leta 1985, magistrirala leta 1988 in
doktorirala leta 1992, vse na Fakulteti za elektrotehniko Univerze v
Ljubljani. Kot znanstvena sodelavka je zaposlena na Institutu Joˇ zef
Stefan v Ljubljani. Ukvarja se z modeliranjem, simulacijo, optimiza-
cijo in naˇ crtovanjem vodenja kemijskih in biokemijskih procesov.
Igor
ˇ
Skrjanc je diplomiral leta 1988, magistriral leta 1991 in dok-
toriral leta 1996 na Fakulteti za elektrotehnik v Ljubljani. Njegovo
raziskovalno podroˇ cje obsega adaptivne, mehke in mehke adaptivne re-
gulacijske sisteme. Leta 2007 je prejel V odovnikovo nagrado, leta 2008
Zoisovo nagrado Republike Slovenije za doseˇ zke na raziskovalnem
podroˇ cju pametnega vodenja. Za obdobje med 2009 in 2011 je prejel
Humboldtovo ˇ stipendijo za izkuˇ sene raziskovalce za raziskovalno delo
na Univerzi v Siegenu.