i
i
“559-Petek-naslov” — 2009/6/10 — 9:17 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 9 (1981/1982)
Številka 4
Strani 200–202
Peter Petek:
DESETI KOREN IZ DESET
Ključne besede: matematika, aritmetika, binomska formula, nume-
rično računanje.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/9/559-Petek.pdf
c© 1982 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
MATEMATIKA
DESET I KORENIZ DESET
Pr of e s or Vidav nam je v pog ovor u zas ta vil na l ogo , izrač unat i
des e t i kor e n i z de se t na pet de c i ma l k , s ev eda sa mo s svinčn i ­
kom i n pap i rje m. Pr i reševa nju te na loge s i bomo p o~aga li z
dvema re zul tato ma , k i ju j e prav l a hko pre verit i, l e nekaj r a -
čuna n ja j e treb a .
Naj pr e j opazimo, da j e 21 0 = 1024 , ka r bl izu š tev i l u t isoč,
t. j . 10 3 . Zap išemo pr ib l i ž no " en a čb o "
( 1 )
Druga reč j e de seta pot e nc a vs ote . Po z na ~ o že kvadrat in kub
vso t e:
( a + b ) 2
(a + b ) 3
a 2 + 2a b + b 2
a 3 + 3a 2 b + 3a b 2 . + b 3
Za des e to pot e nc o pa i mamo
( a + b ) 1 o
( 2 )
ka r pr av l a hko preve rim o, l e "na l o " v eč r a č u n a n j a je .
" E na č bo " ( 1 ) kubi ra mo in še pomnož i mo z 10
10 . 2 3 0 = 1 0 1 0
1 0 ffi)
Delim o s š t ev i l om 2 3 0
i o
"8
200
g 1 0 in pot egne~o de s e t i kor e n
Oč i t no j e t a pr ib l ižek pr emajhen. Im am o t ed a j pozit i vno š t e v i l o
x , > t a ko da j e
I m O = 2...Q.. 8 + x (3)
E načbo (3 ) pomnož i mo z 0 , 8
8 1 no = 1 + O,8 x
10
i n pot enc iramo z des et
3 1 0 . 10- 9 = ( 1 + 0 ,8 x )1 0
Levo s t ra n zgornje enačbe l ah ko zap l semo kot
3
2 3 0 . 10- 9 = ( 21 0 . 10- 3 ) = 1, 024 3 = 1, 07374 1824
Na des ni st ra ni pa upor a bi mo f ormul o ( 2) .
1, 073741 824 = 1 + 8x + 36. 0 ,8x 2 + 96.0 , 64x 3 + . . . , (4 )
S p i kic am i smo "za pisa l i " preost a l ih s edem č l e no v . Takoj bono
n amr e č ugot ovil i , da so t ak o maj hni , da se pri r a č una n j u na pe t
de ci mal k n ič ne poz naj o . Ke r s o vs i čl e n i po z i t i vn i , l a hko ta -
koj opaz imo , da j e x < 0 ,01, že če upoš te vamo le prva dva č lena
na l e vi st r a ni e na č be ( 4) . Pr a vza pr a v , č e smo nata nčnej š i i n u-
poštev amo na 1e v i tri č l ene, do bimo, da j e x "' 0,009 . Res , za
x = 0,009 j e
+ 8x + 36 . 0 , 8x 2
ka r j e že pr e v e č .
1, 0743 328
Pr edel amo e n ač bo ( 4 )
8x = 0, 073742 - 36. 0 ,8 x 2 - 96 .0,64x 3 -
x = 0,0 09 218 - 3 , 6x 2 - 96 . 0 ,0 8x 3 - • • • (5 )
Tu smo rač u n zaokr ožili na š es t dec i ma lk . če hoč emo n a m r e č pe t
to č n ih mes t , moramo ved et i tu d i š e š e s to d e ~im al k o . Ocen imo naj-
pre j č l en z x 3 • Ke r j e x < 0 ,009, ta č le n i ni v eč j i kot
96.0,08 . 0,9 3 . 10- 6 = 7 , 68. 0 , 729 .1 0 - 6 = 5 . 10 - 6
Nasledn j i č le ni so še manj ši i n j ih r es l ah ko i zpustim o .
Iz e nač be ( 5) in zgo r nj e oce ne v i di mo , da mor amo od 0, 00921 8
odš t e t i š e 3, 6x 2 • Amp a k kako , f e i ksa ne pozn amo? No , vem o pa ,
201
kar j e  za maleak#st premrlor s a j  sno od5te l l  prevef. EB pa x n  
t o  odSteranje vramamox= 0,0089, bomq o d S t e l 5  
3,6s2 a 3 .6 .0 ,000079  = B,OQQ285 
I n  J t e v f l o  s Je  enako 
x = 0,008933 
Pet dhelaalk Je t e d a j  t r d n i h .  Pogledsmo enatbo ( 3 )  i n  zapibemo 
d e s e t f  koren f r  deset  na p e t  decfmalk