MATEMATIKA
Nevertheless the ratio was consecutively carried to 75 places by Abraham Sharp, to 100 by Machin, and to 128 places by De Lagny, and at the end of the last century to 140 places by Vega. And Baron Zach informed Montucla that he had seen a manuscript in the Radclifife Library at Oxford, in which it was carried to 154 places.
Vegas result, which, as far as it goes, is confirmed by those of Machin and De Lagny, is as follows:—
3* 14169 26535 89793
14169
58209 74944 62148 08651
32823
93846 /8164 06647
26433 06286 09384
83279 20899 46095
50289 86280 60562
41971 «9399 37510 34845 34211 70679 26136
But the Oxford manuscript gives as the ending (according to Montucla)—
46095 50582 23172 53594 08128 4802
SLIKA 4.
Penny Cyclopaedia 1 841; detajl.
Straftnitzki takoj za petimi vrsticami decimalk števila n predstavi Daseja iz Hamburga kot nadpovprečnega racunarja, sposobnega računanja na pamet z dolgimi vecmestnimi števili. Dase se je preživljal s tem, da je po gostilnah za denar na pamet računal s takimi števili. Ravno zaradi izjemne sposobnosti je Straftnitzki najel Daseja kot nekakšno živo računalo, da mu je izračunal krožno konstanto na 200 decimalk, in to v dveh mesecih. Mimogrede omeni tudi dokument v Radcliffski knjižnici in ujemanje Dase-jevega izračuna na prvih 152-ih decimalkah. Prosil je celo oblasti, da bi mlademu Daseju pomagale najti primerno službo. Žal je Dase prej umrl, preden je dobil stalno zaposlitev.
Straftnitzki, rojen v Krakovu, je študiral matematiko, fiziko in še nekatere druge vede na Dunaju. Med letoma 1827 in 1834 je predaval matematiko na ljubljanskem liceju in našega Franca Močnika (18141892), bodočega matematičnega pedagoga in pisca matematicnih ucbenikov, navdušil za študij matematike. V Ljubljani je Straftnitzki imel več javnih predavanj iz višje matematike in astronomije. Iz Ljubljane je odpotoval v Lvov, kjer je leta 1834 doktoriral in postal univerzitetni profesor. Nazadnje pa se je ustalil na Dunaju, kjer je razmeroma mlad umrl.
Za konec omenimo, daje Rutherford še enkrat stisnil zobe in število n leta 1853 izračunal na 440 točnih decimalk. Takrat je bilo drugače: primerjal se je lahko z Williamom Shanksom (1812-1882), ki je istega leta izracunal 527 tocnih decimalk. _XXX
Prostornina sodov
nU sU NU
Janez Strnad
-> Johannes Keplerje sicer najbolj znan po treh zakonih o gibanju planetov (1609 in 1618). Odkril pa je tudi veČino spoznanj geometrijske optike, ki jo vsebujejo današnji srednješolski učbeniki. Med drugim je tako navedel približek a/fi = n za lomni zakon, ki ga tedaj še niso poznali in ga še dandanes uporabljamo pri preprostih računih za leče. Obravnaval je tudi sestave leč ter predlagal daljnogled z dvema zbiralnima lečama. Po obliki snežink je sklepal, da kristale sestavljajo gosto naložene kro-gliče.
Leta 1613 je trta obilno obrodila in na donavski obali v Linzu so živahno trgovali ter nalagali sode z vinom na ladje. Tudi Kepler je kupil nekaj sodov. Postal je pozoren na to, kako je trgovec izmeril prostornino vina in določil ceno. Skozi odprtino na sredi zgornjega dela ležečega soda je poševno segel do dna z merilno palico. Na palici je odčital, do kod je segalo vino, in po tem dolocil ceno. Kepler spo-cetka temu ni zaupal in se je zadeve lotil z matematiko. Hitro je sestavil kratek rokopis, ki pa je obtical pri tiskarju. Kasneje je v njem popravil napake in besedilo dopolnil; leta 1615 je tako izšla Nova stere-ometrija vinskih sodov. V njej je izracunal prostornino 92 razlicnih teles, ki so nastala z vrtenjem dela krožnice, elipse, parabole ali hiperbole. S tem je Kepler naredil enega od korakov proti diferencialnemu racunu, ki sta ga kasneje razvila Isaac Newton in Gottfried Wilhelm Leibniz (slika 3). Telesa je poimenoval po plodovih s podobno obliko: jabolko, sliva, limona. . . Paul Guldin, s katerim si je Kepler dopisoval, je opozoril, da so nekateri Keplerjevi sklepi le
->
PRESEK 41 (2013/2014) 5
9
MATEMATIKA
—^ približni, drugi pa povsem zgrešeni. Po Keplerjevi zaslugi pa so se matematiki zaceli podrobneje ukvarjati z vrteninami.
A vrnimo se k sodom.
Uradno imenovani cenilci - »vizirci« - so na opisani nacin z merilno palico segli v sod poševno do osnovne ploskve na eno in na drugo stran. Upoštevali so povprečje potopljene dolžine, ce sod morda ni bil cisto simetricen ali ni stal na cisto vodoravni podlagi.
Keplerja je zanimala predvsem prostornina soda, to je prostornina vina v zvrhano polnem sodu. Vzemimo, da je sod valj s premerom 2r in dolžino L (sliki 1 in 2). Prostornina je zmnožek plošcine osnovne ploskve, to je kroga pb = nr2, in dolžine Vb = pbL = nr2L. Od sredine soda na vrhu do spodnjega roba vodi diagonala v polovici osnega preseka
D = ^(2r)2 + (-L)2. Z njo je Kepler izrazil kvadrat polmera r2 = 4D2 - -gL2 in dobil za prostornino soda Vb = n(4LD2 - -gL3). Vprašal se je po razmerju L/(2r) za sod, ki ima pri dani diagonali D naj-vecjo prostornino. Iz zahteve, daje odvod dVb/dL = n(4D2 - 16L2) = b, je izlušcil zvezo D2 = |L2 = (2r)2 + -gL2 in koncno dobil L/(2r) = v2. Ugotovil je, da to presenetljivo dobro ustreza »avstrijskim« sodom. Pomislil je celo, da ne gre za nakljucje. Prostornina takega soda Vb = nD3/(3^/3) je sorazmerna s kubom diagonale D. Z merjenjem diagonale je potemtakem mogoce ugotoviti prostornino soda. Najbolje je na merilno palico narisati kubicno skalo.
SLIKA 2.
Keplerjeva risba soda.
Zares je sorazmernostni koeficient odvisen od razmerja med 2r /L. Vendar zaradi zahteve dVb/dL = b odvisnost ni izrazita. Kepler se je preprical, da je rezultat uporaben tudi za »avstrijske« sode z rahlo izbocenim plašcem.
Kepler se je vprašal, ali je mogoce na opisani nacin ugotoviti tudi prostornino vina v sodu, ki ni zvrhano poln. Namignil je, da je to pomembno vprašanje za gospodarja, ce ga skrbi, da kdo brez njegove vednosti prazni sod. Na to vprašanje odgovorimo po svoje.
[ ^ r---'1 m \ 2m	L
\ i \ r - h	i 1i / 2l /
/ ^	r V h
/ i /d / 1	i \ r - h r \
L
2r
SLIKA 1.
Pogled na sod z vinom v smeri osi (levo) in pravokotno nanjo (desno).
10
PRESEK 41 (2013/2014) 5	13
MATEMATIKA
Gladina vina v sodu je vodoravna in njegova prostornina je V = pL, če je p ploščina spodnjega krožnega odseka. Ploščino odseka dobimo, ko od ploščine krožnega izseka s središčnim kotom p odštejemo ploščino trikotnika:
■ p = 1 r ■ rp - 2lh = 2r2(p - sin p).
Upoštevali smo, da je l = 2r sin ^p, h = r čos |p in lh = 2r sin1 p ■ r čos |p = r2 sin p.
Višina vina r - h je proti premeru soda 2r v enakem razmerju kot potopljeni del merilne paliče d proti diagonali D:
d h - r 1 i h _ D = 2r = 2 V r ~
Razmerje med prostornino vina in prostornino soda je
V_ V0
1 r2(p - sin p)L
= t1 (p - sin p). 2n
nr 2 L
Iz zveze h = r čos | p izračunamo:
p = 2 arččos(h/r) = 2 arččos(l - 2d/D).
Tako naposled dobimo V l
— = — [2 arččos(1 - 2d/D) -Vo 2n
- sin (2 arččos(1 - 2d/D))],
d/D
SLIKA 4.
Razmerje prostornin delno praznega in polnega soda V/V0 v odvisnosti od razmerja d/D (debelejša krivulja). Približek V/V0 = d/D (tanjša krivulja) se od tega razlikuje kvečjemu za 0,06.
Diagram kaže, da je dober približek te funkčije V/V0 = d/D (slika 4). (Največja napaka doseže 0,06.) Ker izrazimo prostornino z razmerjem V/V0 in dolžino d z razmerjem d/D, lahko na opisani način v dobrem približku ugotavljamo tudi prostornino vina v sodu, ki ni poln. Kaže tudi, da Keplerjevi sodobniki prostornine sodov niso merili natančno. Izražali so jo namreč v vedrih (Eimer); »avstrijsko« vedro je imelo 56,6 litra. Po tem sklepamo, da so se lahko zmotili za več litrov.
SLIKA 3.
Tako je Kepler pojasnil enačbo za ploščino kroga nr2. Krog je razdelil na vse večje število vse ožjih krožnih izsekov, ki so se vse manj razlikovali od trikotnikov. Nazadnje je izračunal ploščino kroga kot ploščino trikotnika, ki ima za osnovnico obseg kroga in za višino polmer. Arhimedov način dokazovanja se je marsikateremu Keplerjevemu sodobniku zdel težaven. Keplerje za n uporabil 22/7, čeprav je poznal boljše približke.
_XXX
PRESEK 41 (2013/2014) 5
13