PRESEK LETNIK 42 (2014/2015) 5TEVILKA 3 ISSN 0351-6652 9 ,,035, 665234 9770351665234 MATEMATIČNI TRENUTKI KOLOFON : H Ü M atematični vozli 2 -> Ceprav nobena dva prstana na sliki nista speta, trije prstani, ki jim pravimo Borromejski prstani, ne razpadejo. Sodijo v matematično teorijo vozlov in so posebej zanimivi zaradi tega navideznega protislovja, ki ga lahko posplošimo tudi na več prstanov. Zanimivo, a tudi uporabno? Takšne strukture so izziv kemikom, ki sintetizirajo molekule s podobnimi geometričnimi in prostorskimi lastnostmi. Tudi v fiziki je mogoče nekatera kvantna stanja opisati s pomočjo podobnih struktur. Ta stanja so teoretično predvideli pred petdesetimi leti in so jih nedavno tudi eksperimentalno dokazali. Tako Borromejski prstani niso le nenavadna struktura brez uporabne vrednosti. Z znanstvenim študijem vozlov je začel že lord Kelvin pred približno 150-imi leti, ko je poskušal razumeti atome in osnovne delče. Njegovi poskusi si-čer niso obrodili sadov, so pa navdahnili matematike. Ti so razvili mnoge ideje, ki so uporabne tudi v praksi. Tako, denimo, s pomočjo vozlov modeliramo strukturo in obnašanje beljakovin. Kitkam podobne strukture nam s pomočjo vozlov pomagajo reševati probleme v statistični in kvantni mehaniki. Tako je teorija vozlov, rojena in uporabe, podobno kot predmeti, ki jih preučuje, sklenila poln krog z vedno novimi praktičnimi uporabami. Bolj zvedav braleč lahko najde več informačij v knjigi: The Knot Book, ki so jo izdali pri založbi Colin C. Adams leta 2001. _ XXX PRESEK 42 (2014/2015) 3 Presek List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 42, šolsko leto 2014/2015, številka 3 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kra čun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Igor Pesek (računalništvo), Marko Razpet, Matjaž Venčelj, Matjaž Zaveršnik (tehni čni urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska uliča 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2014/2015 je za posamezne naro črnke 19,20 eur - posamezno naročilo velja do prekliča, za skupinska naročila učenčev šol 16,80 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakčijski račun: 03100-1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovš čina 4, 1513 Ljubljana, swift (bic): SKBASI2X, IBAN: SI56 0310 0100 0018 787. List sofinancira Javna agenčija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinančiranje doma čih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana Naklada 1400 izvodov © 2014 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1951 Razmnoževanje ali reprodučiranje čelote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. NAVODILA SODELAVČEM PRESEKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Presek objavlja poljudne In strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učencem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. MATEMATIČNI TRENUTKI 2 Matematični vozli 4-8 10-13 18 21-25 26-28 MATEMATIKA MaRS 2014 (Vesna Iršič) Rešitev naloge iz 6. številke 41. letnika (Marko Razpet) FIZIKA Počasna celična konvekcija, 1. del - Nenavadni pojavi v posodici s tekočim milom (Jože Rakovec) Razmisli in poskusi - Kako globoko se zarije krogla v sneg? (Mitja Rosina) ASTRONOMIJA Radijski teleskop na Gimnaziji Šentvid (Klemen Blokar) RAČUNALNIČTVO Algoritem na osnovi obnašanja netopirjev (Karin Ljubic in Iztok Fister ml.) 9,20 16-17 31 14-15, 18 f priloga I priloga priloga priloga I RAZVEDRILO Križne vsote Nagradna križanka (Marko Bokalic) Barvni sudoku Rešitev nagradne križanke Presek 42/2 (Marko Bokalic) Naravoslovna fotografija - Nepravi selfi (Tine Golež) TEKMOVANJA Kresnička (Komisija za tekmovanje Kresnička) 52. fizikalno tekmovanje srednješolčev Slovenije za Štefanova priznanja (Ciril Dominko) 5. šolsko tekmovanje v znanju astronomije 5. državno tekmovanje v znanju astronomije za Dominkovo priznanje 13. področno tekmovanje v znanju matematike za dijake pokličnih šol 13. državno tekmovanje v znanju matematike za dijake pokličnih šol Slika na naslovnici: Prvi šolski radioteleskop v Sloveniji na strehi Gimnazije Šentvid. Foto: Andrej Guštin 9 MaRS 2014 nU NU NU Vesna Iršič -> Med 17.-23. avgustom 2014 je v Fari ob Kolpi že deveto leto zapored potekal matematični tabor za srednješolce MaRS (MAtematično Raziskovalno Srečanje). Udeležilo se gaje štirinajst dijakov in dijakinj iz vse Slovenije, za uspešno odpravo je poskrbelo osem članov in članic posadke: Lara Kozar-ski, David Gajser, Nejč Rosenstein, Matej Roškarič, Jana Vidrih, Anja Petkovič, Rok Gregorič in Vesna Iršič, v oporo pa nam je bil tudi dr. Boštjan Kuz-man. Tako kot vsa leta doslej je bila osrednja marsovska dejavnost priprava projektov. Marsovci so se razdelili v dvojice in se pod okriljem svojega mentorja spopadli z določenim matematičnim problemom. Preden so ga rešili, so morali osvojiti nekaj novih matematičnih znanj, nato pa so pripravili video predstavitev in jo posneli. Letos so se dijaki pri projektih ukvarjali z: Bezierovimi krivuljami 2. stopnje, Catalanovimi števili, Mandelbrotovo množico, Eulerjevimi grafi, premonosnostjo kvadrik, ciklogoni in linearnimi diofantskimi enacbami. Nadebudneže vabimo, da se tudi sami spoprimejo z nekaj preprostejšimi problemi, ki so bili del kakšnega projekta. Rešitve nalog bodo objavljene v naslednji številki, ideje za reševanje pa lahko najdete pod zavihkom »projekti« na spletni strani mars.famnit.upr.si, kjer so povezave do video predstavitev posameznega projekta. SLIKA 2. Posadka na letošnjem MaRS-u. Od zadaj naprej: Nejc, Lara, Matej, Vesna, David. Zgoraj: Jana. Anja, Rok, SLIKA 1. Skupinska slika vseh udeležencev SLIKA 3. Janina skupina pri pripravi svojega projekta Problem 1. Šest Marsovcev se odpravi opazovat Venero. Vstopnina v observatorij znaša 5€. Polovica obiskovalcev placa z bankovcem za 5€, polovica pa z bankovcem za 10€. Ker je blagajna na začetku prazna, blagajnik pa želi vsakomur takoj vrniti denar, se morajo Marsovci razporediti v vrsto tako, da bo to mogoce. Na koliko nacinov lahko to storijo? Kaj pa ce je Marsovcev osem? Problem 2. Rdeca kapica gre po gozdu s kreditno kartico in sreca skupino lovcev, ki zahtevajo mostnino za prehod cez most s posebnimi pravili. Lovcev je 29, lovk (lovcev ženskega spola) pa 13. Da bo lahko Rdeca kapica preckala most, mora vsakemu lovcu in vsaki lovki nakazati ali odvzeti nekaj denarja. Transakcije potekajo preko POS terminala, ki dovoli le transakcije celega števila evrov. Vsi lovci morajo prejeti ali izgubiti enako kolicino denarja, enako velja tudi za vse lovke. Ni pa nujno, da lovci in lovke prejmejo/izgubijo enako. Rdeca kapica mora skupini skupaj izplacati 1 evro (ce seštejemo pridobitve oziroma izgube vseh lovcev in lovk). Poišci vse možnosti transkacije! Problem 3. Predstavljajte si, da se nekega lepega, soncnega dne odpravljate na vožnjo s kolesom in povozite žvecilni gumi. Zacnete se spraševati, kakšno pot ta žvecilni gumi opravi. Naenkrat vas spreleti, kaj bi se zgodilo, ce bi imelo vaše kolo kvadratna ali celo trikotna kolesa. Izracunaj dolžino krivulje, SLIKA 4. Vsaka projektna skupina pripravi tudi fotografijo, povezano s temo svojega projekta. Na sliki vidimo Davidovo skupino pri pripravi Marsovske frizure, kot se imenuje njihov projekt. ki jo prepotuje oglišce pravilnega veckotnika v enem obratu, ce veckotnik kotalimo. Reši nalogo za 3-, 4-, 6- in 8-kotnik! Problem 4. Meščani mesteca Königsberg so si v starih časih radi krajšali Cas z ugibanjem, ali je mogoče Cez sedem mostov, ki so povezovali štiri dele njihovega mesta, sprehoditi tako, da bi pri tem prehodili vse mostove, a vsakega le enkrat. Razmisli, ali je to mogoče ali ne. Ce je, razloži, kako se moramo sprehoditi. TipiCen marsovski dan se je kot običajno zaCel z zajtrkom, zaspani marsovči pa smo se dokončno prebudili šele pri jutranji telovadbi. Letos smo se, namesto tekanja okrog doma, raje prepustili spominom iz otroštva in odigrali nekaj iger med dvema ognjema, kdo se boji črnega moža in podobnih. Dopoldnevi prvih dni tabora so bili namenjeni različnim delavničam. Dr. Andrej Bauer je za nas pripravil Malo šolo matematično-računalniške umetnosti. Izvedeli smo veliko novega o preslikavah, različnih tlakovanjih ravnine in spoznali fraktale. Mentorji so dijakom predstavili urejevalnik besedil LT^X, program POV-Ray in tudi nekaj osnov retorike, ki so dijakom pomagale pri predstavitvah projektov staršem, profesorjem in prijateljem po pristanku. MaRS so obiskali tudi štirje predavatelji - mag. Slavko Jerič, dr. Matej Brešar, dr. Marko Orel in dr. Sanja Fidler, ki so nas popeljali v različne svetove matematike in nam popestrili večere. Izvedeli smo, kaj SLIKA 5. Mostovi v mestu Königsberg. Slika ti bo v pomoc pri reševanju problema 4. Vir: www.maa.org. —^ je športna statistika in za kaj je uporabna, spoznali vlogo in pomen matematike z vidika univerzitetnega profesorja, izvedeli, katere pravilne n-kotnike lahko narišemo le s pomočjo ravnila in šestila, in si ogledali nekaj zanimivih problemov s področja računalniškega vida. Na predavanjih smo se srečali tudi s sledečimi problemi: SLIKA 6. Delavnica o matematično-računalniški umetnosti pod vodstvom dr. Andreja Bauerja SLIKA 8. Večerno predavanje dr. Mateja Brešarja. Problem 5. Kako lahko le z uporabo ravnila in šestila konstruiramo pravilni 5-kotnik1? Problem 6. Seštej: (a) 1 + 2 + 3 + ... + n (b) 1 + 2 + 4 + ... + 2m-1 Vsak dan je Jana pripravila uganko dneva, s katero smo se lahko spopadali v prostem času. Mnoge izmed njih so rešitev dočakale šele v zgodnjih jutranjih urah prihodnjega dne. Tudi vi lahko poskusite razrešiti katero izmed njih. Problem 7: Pravokotni list papirja dimenzije 5 x 2 razreži z dvema ravnima rezoma na tri dele tako, da boš iz tako dobljenih delov sestavil kvadrat ploščine 10. 5 SLIKA 7. Na področju računalniške umetnosti je mednarodni javnosti dobro znan dr. Bauerjev projekt Random art za generiranje naključnih umetniških slik www.random-art.org, s pomočjo katerega je pod geslom »Mars« nastala tudi ta slika. Problem 8: Za |x| < 1 poenostavi neskončen pro- dukt ■ (1 + x) (1 + x2 )(1 + x4 )(1 + x8 )(1 + x16)... 1Pravilni 5-kotnik ima vse straniče in vse kote enako velike. 2 Problem 9. V danem vrstnem redu uporabi števke 1, 9, 9 in 6, da dobiš števila 28, 32, 35, 38, 72, 73, 76, 77, 100 in 1000. Uporabiš lahko operacije +, -, ■, -=-, potenco in združevanje, t. j. 199 + 6 = 7. Primeri: 1 ■ 9+9 = 3, 199 - 6 = 193 in 1 + J9 + 6 = 10. Clani posadke smo poskrbeli, da naporno delo mrasovcev ne bi prevec izčrpalo. Zato smo se v sredo podali na pohod ob reki Kolpi, kjer smo uživali ob cudoviti naravi in ne tako cudovitem vremeu. Cilj pohoda je bila lepa plaža, v vodo pa so si upali le najpogumnejši marsovci, ki se niso ustrašili ledeno mrzle Kolpe. Tudi druge dni smo imeli nekaj prostega casa, ki smo ga izkoristili za razlicne družabne igre. Poleg tega je bil vsak dan po vecernem predavanju družabni vecer, ki se je ponavadi zavlekel pozno v noc. Marsovci smo se pomerili v že tradicionalni mafiji, igri s kartami Hanabi, taroku, pisanju pisem princesi v igri Love Letter, iskanju pravih asociacij na karte igre DiXit, grajenju železnic v igri Zug um Zug in zdravljenju epidemije v Pandemicu. Zadnji popoldan je potekala Velika marsovska avantura, orientacijski pohod z bolj ali manj matematičnimi nalogami na kontrolnih tockah. Na avanturi se nam je pridružilo tudi nekaj nekdanjih marsovcev, tako da je na njej skupaj sodelovalo kar 9 skupin. Za vtis, kakšno je bilo vzdušje na kontrolnih tockah, se lahko tudi sami spoprimete z dvema problemoma: Problem 10. V predalu je nekaj modrih in nekaj rde-cih nogavic (vsako nogavico lahko damo na levo ali na desno nogo). Najmanjše število nogavic, ki jih mo- ram izvleci iz predala, da bi gotovo dobil vsaj en par iste barve, je enako najmanjšemu številu nogavic, ki jih moram potegniti, da bi gotovo dobil vsaj dve nogavici razlicne barve. Koliko in katere nogavice so v predalu? Namig: morda obstaja vec rešitev. Problem 11. Tri crne in tri bele kamencke moraš iz položaja A spraviti v položaj B. Pri tem se lahko crni kamencki premikajo le v levo, beli pa le v desno smer. Dovoljeni premiki so: kamencek postaviš na sosednje prazno polje ali pa preskociš en drug ka-mencek in kamencek postaviš na naslednje prazno polje. položaj A ooo rm položaj B nm ■ ooo Letos je marsovce na avanturi cakala še dodatna naloga. Na vsakem listku z navodili za pot do naslednje kontrolne tocke se je skrivala šifra. Ce so na koncu avanture sestavili vse zašifrirane besede skupaj, jih je pricakalo sporocilo »Pred vecerjo predaj Mateju sporocilo: magicna premoc«. Šifre ni v celoti razvozlala nobena skupina, vendar si je dodatne tocke vseeno prislužila skupina Šerif.aviii, ki ji je uspelo dekodirati vse razen zadnje besede. Morda SLIKA 9. SLIKA 10. Na cilju pohoda so si nekateri drznili skočiti v mrzlo reko Kolpo. Večere smo preživljali ob družabnih igrah. —^ velja omeniti, da si je doticna skupina ravno s tem dosežkom zagotovila zmago. Zvecer je sledila razglasitev rezultatov z avanture. Zmago sta si delili dve skupini (Šerif.aviii in Beti), ki sta za nagrado prejeli veliko marsovsko Čokolado (ki so jo prijazno razdelili med vse udeležence tabora), ostali marsovci pa smo njim na Čast izvedli marsovski pozdrav, s katerim smo med tednom pozdravljali castne goste tabora. Zanimivo je, da sta si zmago spet razdelili ekipi trenutnih in nekdanjih marsovcev, kar je zadnja leta že kar obicajno. Nato je sledil še piknik ob tabornem ognju, kjer nam ni manjkalo slastnih priboljškov, vse od slavnih Matejevih »cevapcicev« do zelenjavnih nabodal. SLIKA 11. Skupina »Čikos« na kontrolni tocki na Veliki marsovski avanturi SLIKA 12. Zmagovalci letošnje Velike marsovske avanture. Od leve proti desni: Vid, Tilen, Maja, Neža. Kasneje smo ob Davidovi spremljavi na harmoniko tudi zapeli. Sredi noci so se tisti manj odporni na mraz zatekli v toplo zavetje jedilnice in odigrali še zadnje partije svojih najljubših namiznih iger, bolj pogumni pa so še dolgo vztrajali ob tabornem ognju. Naslednje jutro je sledil pristanek, kjer so dijaki, vsi obleceni v oranžne marsovske majice, svoje projekte predstavili družinam. Po prijetnem klepetu in prigrizku je nastopil otožni cas slovesa, ko smo si marsovci zaželeli lep preostanek pocitnic in skovali na-crte za prihodnja srecanja na planetu Zemlja. Mnenja udeležencev o letošnjem MaRS-u: ■ MaRS je nepozabno popotovanje od matematike do družabnih aktivnosti in ostalih zabavnih skupinskih dogodivšcin. Najlepši teden pocitnic v družbi neverjetnih ljudi. (Tjaša Košenina, udeleženka) ■ Vsi marsovci smo imeli dvome preden smo prvic prišli na MaRS, a ne poznam nikogar, ki bi mu bilo žal. Smo pisana drušcina, tako da se najde družba za vsakogar. Grizemo pa tudi ne ;) (Živa Urbančič, udeleženka) ■ MaRS - kjer se srecata matematika in zabava :) (Tilen Lucovnik, udeleženec) Prišel, videl, prišel še enkrat, prišel še enkrat, prišel še enkrat, bom prišel še veckrat. (Vid Kočijan, udeleženec) ■ Najboljši tabor v osoncju in bližnji zvezdni sose-šcini! (Ana Štuheč, udeleženka) SLIKA 13. Marsovski pozdrav XXX Rešitev naloge iz 6. številke 41. letnika •J/ •i' Np Marko Razpet Za n = 1 in A1 = 4 dobimo iz enačbe An A ■n+1 = 1 + n3An A2 = A1/(1 + 13A1) = 4/5, nato za n = 2 še A3 = A2/(1 + 23A2) = 4/37, toda tako zaporedno računanje nas ne pripelje daleč. Vidimo pa, da so vsi An pozitivna števila. Zato enačbo (1) prepišemo v enakovredni obliki: 1 A n1 An 3 = n3. Vanjo vstavljamo zaporedno n = 1, 2, 3,... ,m - 1, m, kjer je naravno število m večje od 1, in dobimo: 1 1 l3 ---= 13, A2 A1 ■1 - -1 = 23, A3 A2 ■1 - -1 = 33 A4 A3 Ar - = (m - ^ Am Am-1 1 A m+1 Ar m Vse zgornje enačbe seštejemo, vsota na levi se poenostavi in imamo: ——--A = 13 + 23 + 33 + ... + (m - 1)3 + m3. Am 1 A1 Uporabimo formulo za vsoto kubov m zaporednih naravnih števil: ---= -m2 (m + 1)2. Am+1 4 4 Na konču imamo splošno formulo: 4 A m+1 = m2(m + 1)2 + 1 ' Brez težav nazadnje izračunamo za m = 9, m = 99 in m = 999: (1) A10 = A100 = A1000 = 4 4 92 ■ 102 + 1 8101' 44 992 ■1002+1 98010001' 44 9992 ■ 10002 + 1 998001000001' XXX Križne vsote •4/ -i' •i' -> Naloga reševalča je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrstičah in po stolpčih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstiče (stolpča) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstiči (stolpču) različne. 10 13 3 14 5 11 8 21 6 15 8 ^ 17 8 XXX fizika Počasna celična konvekcija, 1. del Nenavadni pojavi v posodici s tekočim milom sU VU NU Joče Rakovec -> V okrogli plastenki (s premerom 7 cm) z belim tekočim milom je mila pocasi zmanjkovalo; bilo ga je še za kaka dva cm. Zato sem ga dotočil iz polietilenske vrečke za dolivanje, v kateri pa ga je bilo tudi samo še približno enaka količina - in bilo je drugačno, prozorno. Po dotakanju je bilo belo milo spodaj, nad njim pa plast prozornega mila -meja med njima je bila približno ravna. Nekaj dni kasneje (15. julija 2014 zvečer) pa sem opazil v posodi nenavadne, zanimive oblike. Previdno sem s plastenke odvil pokrovček in z njim iz po-sodiče dvignil še čevko za iztiskanje mila ter naredil nekaj fotografij. SLIKA 2. Čas: 15.07.2014 ob 23.11 V posodi z miloma so nastali nekakšni »prsti«, »svaljki« ali »stebri« belega mila (takrat še ne prav do vrha), med njimi pa so bila območja s prozornim milom. Ob obodu je bil tudi ozek pas prozornega mila prav do dna. Zanimivo je, kako je vse skupaj urejeno in simetrično. Po obodu je periodično, v prečej enakomernih razmikih razporejenih osemnajst (morda devetnajst) belih »prstov«, bližje sredini posode jih je vse manj, po notranjem krogu so štirje (morda pet). Skoraj v vse smeri se od sredine do oboda radialno pojavijo po štirje »prsti« belega mila (slika 2). Lahko bi rekli, da so se velikost dviga-jočih se »prstov« in njihova razporeditev lepo »ujeli« z velikostjo posode. In še nekaj: na sliki 2 je videti, da so se dvigajoči se »prsti« nekoliko zavrteli v pozitivni smeri. Ker zadeva vsaj malo spominja na konvekčijo v ozračju, sem domneval, da gre za čelično konvekčijo, a prav prepričan nisem bil. Zato sem posodičo z miloma še nekaj časa opazoval. Cez približno en dan so se posamezni deli belega mila že dvignili do vrha in se tam razširili (slika 4). Cez en teden se je belo milo premaknilo k vrhu, k dnu pa se je premaknilo nekaj povsem prozornega mila (slika 5); nekaj enega in drugega mila se je zagotovo med seboj tudi premešalo. Belo milo, ki je bilo v začetku na dnu, se je torej s posameznimi, ostro ločenimi »prsti« počasi prerinilo skozi prozorno milo na vrh, prozorno milo, ki je bilo v začetku na vrhu, pa se je spuščalo proti dnu posodiče. Očitno je res šlo za čelično konvekčijo s posameznimi čeličami (bele) dvigajoče se tekočine, med njimi pa - za izravnavo - z območji spuščanja druge (prozorne) tekočine. Kontrolni poskus v kozarcu Ali je pojav ponovljiv? Da bi to preveril, sem obe mili nalil v kozareč z nekoliko manjšim premerom, kot jo ima posodiča za tekoče milo. Pojavili so se podobni »prsti« ali »svaljki« navzgor - ne pa enaki in ne tako lepo urejeni, kot pri tistem »slučajnem poskusu«. Vsaj del vzroka za razlike je v manjšem premeru in zato obe plasti mil nista več enako tanki glede na premer posode. Pojav je torej delno ponovljiv: konvekčija se zgodi, vendar ne nastanejo vsakič povsem enake oblike dvigajočih se in spuščajočih se delov tekočin. SLIKA 4. Čas: 17.07.2014 ob 07.39 SLIKA 5. Čas: 24.07.2014 ob 07.40 SLIKA 6. Obe mili v kozarcu takoj po nalivanju SLIKA 8. Mili v kozarcu po dveh dneh SLIKA 7. Mili v kozarcu po enem dnevu SLIKA 9. Mili v kozarcu po treh dneh SLIKA 10. Pri poskusu z nekim drugim neprozornim milom (sinja, z gostoto med prozornim in belim) je pojav drugačen: v sredini prozorno milo v enotnem toku navzdol, vse naokrog pa nepro-zorno navzgor - vse osno simetrično. Podobni pojavi v ozračju Vsem dokaj domaci in precej podobni so pojavi t. i. stolpastih kumulusnih oblakov. Pri kumulusni kon-vekciji se pogosto dvigajo v nebo posamezni deli v obliki stolpov - zato jih meteorološka klasifikacija oblakov poimenuje »cummulus castellanus« ali stol-picasti kumulus, v letalstvu pa jim rečejo »towering cummulus«. Slika 11 takih oblakov nad Nanosom je bila iz Ajdovšcine posneta 8. avgusta 2014 ob 15.28 po lokalnem poletnem casu. V obratno smer - navzdol - se vcasih razvijejo mammatusi (slika 12), spušcajoci se deli pod nevihtnimi, redkeje tudi pod kakimi drugimi oblaki. Da se pojavijo, mora biti zrak v njih hladnejši od zraka v njihovi okolici. Da jih vidimo, pa morajo vsebovati ali oblacne vodne kapljice ali oblacne kristalcke. Ker so podobni dojkam, imajo ime »mammatus«. Slika 12 je iz http://commons.wikimedia.org/wiki/-File:Mammatus_clouds_regi na_sk_june_2012.-J PG#medi avi ewe r/File:Mammatus_clouds_regi- SLIKA 12. Cummulonimbus mammatus na_sk_june_2012.JPG (avtor Craig Lindsay, Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 via Wiki-media Commons). Vec o celicni konvekciji v milih pa v naslednji številki Preseka. _ XXX PRESEK 42 (2014/2015) 3 13 niČka ^ ^ ^ Komisija za tekmovanje Kresnička 1. razred / 3. poskus Kroglici Pripomocki: ■ kroglica iz stiropora, ■ plastelin. % SLIKA 1. Pripomočki za poskus 1. Košcek plastelina mocno zgneti in ga oblikuj v kroglico. 3. Kroglici istocasno spusti z vecje višine. 4. Ali se obe kroglici odbijeta enako? albugur ErTl99S 2. Kroglica iz plastelina naj bo enako velika kot kro- 5. Po koncanem poskusu si oglej obe kroglici. Ali glica iz stiropora. sta kroglici še vedno enake oblike? Razmisli, preizkusi, poišci, vprašaj ■ Drži kroglici vsako v eni roki in ju istočasno spusti z majhne višine (npr. z višine kolen), da padeta proti tlom. Ali lahko vidiš (ali slišiš), katera prej pade na tla? Drži kroglici vsako v eni roki, stopi na stol, dvigni roki nad glavo in kroglici istocasno spusti iz rok. Ali lahko vidiš (ali slišiš), katera prej pade na tla? ■ Katero kroglico lahko vržeš dlje, kroglico iz stiro-pora ali kroglico iz plastelina? ■ Spuščaj kroglico iz plastelina z različnih višin, da pada proti tlom, in opazuj, koliko se splošci ob pristanku. ■ Katera kroglica se bolj premakne, ce pihaš vanjo? ■ Zakotali kroglici tako, da se gibljeta ena proti drugi s približno enakima hitrostma in se zaletita, tr-cita. Opazuj, kam se kroglici gibljeta po trku. ■ Kroglica iz plastelina naj miruje. Proti njej zako-tali kroglico iz stiropora. Ali se kroglica iz plastelina pri trku premakne? 2. in 3. razred /1. poskus sije sonce, nariši s kredo ravno prav velik krog, da lahko stopiš vanj. Pri tem ti lahko pomaga prijatelj, tako da obriše tvoji stopali. Poskusa ne izvajaj na cesti, kjer poteka promet. 2. Opazuj svojo senco od 10:00 do 16:00. Vsako polno uro stopi v narisan krog in se obrni v smeri svoje sence, pomocnik pa naj s kredo obriše tvojo senco. Opazuj svojo senco Pripomočki: ■ kreda, ■ šiviljski ali tračni meter. OPOZORILO: Poskusa ne izvajaj na cesti, kjer poteka promet. 1. Na lepo sončno soboto ali nedeljo, ko imaš vec casa, lahko opazuješ svojo senco. Na vodoravni asfaltirani ali betonski podlagi, kamor vecji del dneva 3. Z merilom (šiviljskim ali tracnim metrom) vsako uro izmeri dolžino svoje sence. V razpredelnico si zapiši izmerjen podatek. 18 m__ > s= .cd ra T3 U1 ra ra -> PRESEK 42 (2014/2015) 3 15 15 T3 4-J ro ^ ura dolžina sence 10:00 (npr.) 110 cm 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 120 cm 110 cm -100 cm 80 cm 60 cm 40 cm 20 cm 0 cm 1000110012001300140015001600 URA Razmisli in poskusi Razmisli, preizkusi, poišči, vprašaj Ko si obrnjen proti svoji senci, kje je tedaj Sonce? Kaj se dogaja z dolžino tvoje sence dopoldne? Kaj se dogaja z dolžino tvoje sence popoldne? Ali je lahko tvoja senca daljša od tebe? Ali je lahko tvoja senca krajša od tebe? Kaj se dogaja s smerjo tvoje sence preko dneva? Ponovi opazovanje naslednji dan ali cez nekaj dni. Ponovi opazovanje cez dva ali tri mesece. Izmerjene podatke, ki si jih vpisal v razpredelnico, lahko predstaviš še drugace: v grafu. Na vodoravni osi je cas, na navpicni pa dolžina tvoje sence. Ce je graf premajhen, ga preriši na vecji list. DOLŽINA SENCE 140 cm Mitja Rosina 5 7. Kako globoko se zarije krogla v sneg? Bliža se zima - cas za poskuse na snegu. Razišci, kako globoko se zarijejo razlicna telesa v sneg: kepa, žoga, težka kroglica. Za primerjavo vzemi razne krogle in jih spusti iz iste višine. Primerjava je seveda smiselna pri isti kakovosti snega, torej isti dan in uro. Naloga. Preveri naslednjo domnevo. Sila pri gibanju skozi sneg je sorazmerna s presekom telesa, F = knr2, kjer je sorazmernostni koeficient k odvisen le od vrste snega. Privzeli smo okrogli presek z radijem r. Za tlačenje snega do globine s se porabi kinetična energija telesa, ki je enaka razliki potencialnih energij pri padcu telese z višine h do snega: ■ W"kin = Wpot = mgh = F • s. Za kroglo z gostoto p je m = p 4nr3 /3. Ali za dve telesi 1 in 2 res velja razmerje globin (ali se k in h res pokrajšata) 51 52 Piri, P2r2 XXX XXX 52. fizikalno tekmovanje srednješolcev Slovenije za Stefanova priznanja •is •i' nU Ciril Dominko Šolsko tekmovanje - skupina O je bilo letos prvič, potekalo je poskusno, bila so podeljena tudi bronasta priznanja. Tekmovanje je bilo izvedeno 5. marča 2014 na 73 srednjih šolah, sodelovalo je 1393 dijakov. Tekmovali so lahko dijaki, ki se v tekočem šolskem letu prvič učijo fiziko na srednješolski stopnji. Večinoma so tekmovali dijaki 1. letnika, na nekaterih šolah pa tudi dijaki višjih letnikov, odvisno od predmetnikov teh srednjih šol. Tekmovanje na tej stopnji oziroma v tej skupini smo vpeljali prav zaradi tega, ker se dijaki 1. letnikov srednjih šol (razen redkih izjem) težko vključijo v čiklus tekmovanj v skupini I, saj učni načrti ne zajemajo snovi te skupine. Na tekmovanju so tekmovalči reševali naloge izbirnega tipa, ki so slonele na osnovnošolski fiziki. Izdelke je očenjevalo 142 učiteljev fizike, članov šolskih tekmovalnih komisij. Na tekmovanju je bilo podeljenih 473 bronastih priznanj. Šolska raven tekmovanja je tudi zaključna raven tekmovanja za skupino O. Regijsko tekmovanje je potekalo v treh tekmovalnih skupinah I, II in III, ki se razlikujejo po snovi. Izvedeno je bilo 21. marča 2014 istočasno v osmih regijah na naslednjih srednjih šolah: I. gimnazija v Celju; Gimnazija Brežiče; Biotehniški čenter Naklo - Srednja šola; Gimnazija Bežigrad, Ljubljana; BIC Ljubljana, Gimnazija in veterinarska šola; Gimnazija Franča Miklošiča Ljutomer; Gimnazija, elektro in pomorska šola Piran in Šolski čenter Nova Goriča, Strojna, prometna in lesarska šola. Na tekmovanju je sodelovalo 910 dijakov iz 65-ih srednjih šol. Izdelke je očenjevalo osem regijskih komisij, v katerih je sodelovalo 96 učiteljev fizike iz sodelujočih šol. Na tekmovanju je bilo podeljenih 312 bronastih priznanj. Komisije iz posameznih regij so predlagale skupno 129 tekmovalčev za državno tekmovanje. Državno tekmovanje je bilo 5. aprila 2014 na Gimnaziji Ledina, Ljubljana. Tekmovanja se je izmed predlaganih z regijskega tekmovanja udeležilo 126 tekmovalčev iz 39-ih srednjih šol. Tekmovanje je izvedla tekmovalna komisija DMFA Slovenije, stroške tekmovanja pa so krili Društvo matematikov, fizikov in astronomov, Ministrstvo za izobraževanje, znanost in šport ter soorganizator državnega tekmovanja -Gimnazija Ledina. Pri izvedbi tekmovanja in očeni-tvi izdelkov so sodelovali študentje, sodelavči Fakultete za matematiko in fiziko, Oddelek za fiziko, so-delavči Pedagoške fakultete v Ljubljani ter sodelavči Inštituta Jožefa Stefana. Na tekmovanju je komisija razglasila osem prvih nagrad, 10 drugih in 12 tretjih. Zlato priznanje je prejelo 24 tekmovalčev. Svečana podelitev nagrad je bila 24. maja 2014 na prireditvi v Cankarjevem domu v Ljubljani. Podeljene nagrade in zlata priznanja Skupina i I. nagrada in zlato priznanje ■ Aleksej Jurca, Gimnazija Bežigrad, Gimnazija; ■ Rok Krumpak, Šolski čenter Celje, Gimnazija Lava. II. nagrada in zlato priznanje ■ Šimen Hosta, Gimnazija Želimlje; ■ Eva Seme, Gimnazija Bežigrad, Gimnazija; ■ Matej Langus, Šolski čenter Kranj, Strokovna gimnazija. PRESEK 42 (2014/2015) 3 19 I. nagrada Rok Cepin, Gimnazija Bežigrad, Gimnazija; Tamara Drobež, Gimnazija in ekonomska srednja šola Trbovlje. Skupina II I. nagrada in zlato priznanje ■ Blaž Potokar, Šolski center Novo mesto, Srednja elektro šola in tehniška gimnazija; ■ Tomaž Cvetko, Gimnazija Bežigrad, Gimnazija; ■ Sandi Režonja, Gimnazija Murska Sobota; ■ Jaka Simončič, Gimnazija Bežigrad, Gimnazija; ■ Rok Šikonja, Šolski center Novo mesto, Srednja elektro šola in tehniška gimnazija; II. nagrada in zlato priznanje ■ Domen Kodrič, Gimnazija Bežigrad, Gimnazija; ■ Blaž Koprivnikar, Gimnazija Poljane, Ljubljana. III. nagrada in zlato priznanje ■ Matjaž Kebrič, II. gimnazija Maribor; ■ Jaka Šikonja, Srednja šola Črnomelj. III. nagrada ■ Krištof Skok, I. gimnazija v Celju. Skupina I. nagrada in zlato priznanje ■ Žiga Nosan, Gimnazija Ledina, Ljubljana. II. nagrada in zlato priznanje ■ Aljaž Draškovič-Bračun, Dvojezicna srednja šola Lendava; ■ Blaž Karner, Gimnazija Bežigrad, Gimnazija; ■ Jakob Jazbec, Šolski center Srecka Kosovela Sežana, Gimnazija in ekonomska šola; ■ Žiga Krajnik, Gimnazija Škofja Loka; ■ Luka Šepeč, Gimnazija Bežigrad, Gimnazija. III. nagrada in zlato priznanje ■ Amadej Kristjan Kocbek, II. gimnazija Maribor; ■ Ana Flack, Gimnazija Bežigrad, Gimnazija; ■ Aljoša Krstič, II. gimnazija Maribor; ■ Miha Rot, Gimnazija Kranj. III. nagrada ■ Žan Kokalj, II. gimnazija Maribor; ■ Luka Lodrant, Šolski center Ravne na Koroškem, Gimnazija; ■ Miha Podkrajšek, Gimnazija Bežigrad, Mednarodna šola. Izbirno tekmovanje za olimpijsko ekipo je bilo 9. maja 2014 na Fakulteti za matematiko in fiziko, Oddelek za fiziko. Povabljenih je bilo 11 najboljših tekmovalcev iz III. tekmovalne skupine. Na 45. mednarodno fizikalno olimpijado, ki je potekala od 13. do 21. julija 2014 v Astani, v Kazahstanu, so se na podlagi rezultatov državnega in izbirnega tekmovanja uvrstili: Žiga Nosan, Gimnazija Ledina, Ljubljana; Blaž Karner, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana; Žiga Krajnik, Gimnazija Škofja Loka; Jakob Jazbec, Šolski center Srecka Kosovela Sežana, Gimnazija in ekonomska šola ter Aljaž Draškovic-Bracun, Dvoje-zicna srednja šola Lendava. _ XXX Križne vsote Rešitev s strani 9 10 13 3 2 1 14 5 11 8 3 8 21 6 5 1 15 9 6 8 9 6 9 4 17 2 7 8 8 1 7 www.dmfa-zaloznistvo.si XXX Radijski teleskop na Gimnaziji Šentvid vU sU vU Klemen Blokar -> Astronomski krožek na Gimnaziji Šentvid v Ljubljani je v lanskem šolskem letu v sodelovanju z Astronomskim društvom Vega - Ljubljana postavil majhen šolski radijski teleskop za vodikovo crto (1420 MHz). Ceprav se zdi, da so radioteleskopi zelo zapletene in drage naprave, je radioteleskop vendarle mogoce narediti že za manj kot tisoc evrov. Navdih za gradnjo smo dobili iz clanka, v katerem je Marcus Leech opisal najskromnejši sprejemnik, s katerim lahko zaznamo vodikovo crto plinastih oblakov v naši Galaksiji (www. sbrac. org/fi l es/budget_radio_tel escope. pdf). Ker smo v načrtovanje in gradnjo radijskega teleskopa vložili kar nekaj truda in v mnogočem izboljšali predlogo Marcusa Leecha, se zdi smiselno objaviti opis te naprave, saj utegne komu pomagati na poti do izdelave radijskega teleskopa. Preden se spustimo v podroben opis naprave, si oglejmo, zakaj sploh opazujemo vodikovo crto iz naše Galaksije. Vodikova crta je sevanje, ki nastane pri prehodu med stanjema hiperfine strukture atoma vodika v osnovnem stanju (ko imata jedro in elektron paralelni oziroma antiparalelni spin). Ta t. i. prepovedani prehod se dogaja predvsem v velikih galakticnih oblakih hladnega vodika in je hkrati tudi edini nacin za njihovo neposredno zaznavanje. Zaznavanje vodikove Črte nam tako razkriva informacije o naši Galaksiji, ki jih na druge nacine ne moremo pridobiti. Ce v bližini vodikove crte pomerimo spekter elektromagnetnega valovanja, ki ga sprejemamo iz dolocene smeri, lahko tako ugotovimo, ko- SLIKA1. Pogled na radijski teleskop na strehi Gimnazije Šentvid liko je v tej smeri hladnega vodika in tudi s kakšno hitrostjo se nam oblak vodika približuje oziroma se od nas oddaljuje. Informacijo o relativni hitrosti oblaka glede na Zemljo izvemo iz Dopplerjevega pojava; izjemno tocno namrec poznamo frekvenco vodikove crte (1420.40575...MHz). Odstopanje zaznanih vrhov v spektru od te frekvence pa je posledica relativnega gibanja med nami in oblakom vodika, ki je sevanje oddal. Intenziteta vrhov v spektru pa je (zgolj primerjalno) merilo za kolicino vodika, ki ga zaznavamo. Seveda moramo upoštevati, da intenziteta sprejetega valovanja upada s kvadratom razdalje do izvora, kar nekoliko zaplete interpretacijo podatkov. A vendarle; z opazovanji vodikove crte so leta 1952 Jan Oort in sodelavci naredili prvi model porazdelitve hladnega vodika v Rimski cesti in pri tem odkrili, da ima naša Galaksija spiralne rokave. SLIKA 2. Shema sprejemnega elementa s strani. Rdeče je glavni valovod, modro ovratnik, črno označuje dno - tu je treba opozoriti, da ima dno ovratnika na sredi luknjo za glavni valovod. Dimenzije so označene v enotah valovne dolžine, za naš primer je to 21,106 čm. 0,05 A 0,45 A 0,455 A 1,41 A 0,6 A 0,76 A 0,6 A Motivacije za gradnjo radijskega teleskopa nam torej ne bi smelo manjkati. Na sreco živimo v dobi, ko lahko vse potrebne sestavne dele kupimo za skorajda drobiž. Glavni sestavni del je USB DVB-T klju-cek za sprejem digitalne televizije, ki nam lahko služi kot sprejemnik za radijske valove med 24 MHz in 1850 MHz - torej tudi na želenem obmocju vodikove crte. Za sprejem signalov iz Galaksije potrebujemo še dovolj veliko anteno, nizkošumni ojacevalnik za prvo stopnjo ojacitve signala, sito, ki odstrani neželene zemeljske motnje, in dva ojacevalnika satelitskega televizijskega signala. Za anteno zadošca že krožnik za sprejem satelitske televizije premera okoli enega metra. Tako pravi Marcus Leech, a ker velikost krožnika doloca tako širino snopa antene (in s tem locljivost radijskega teleskopa) kakor tudi njeno obcutljivost, predlagamo, da si privošcite cim vecji parabolicni krožnik. Naša parabolicna antena ima premer 1,9 m, go-rišcna razdalja je 80 cm. Antena je izdelana iz aluminijastih naper, prekritih s kovinsko mrežo. Sprejemni element antene je izdelan po optimirani predlogi VE4MA (lonec z dušilnim ovratnikom). Mere sprejemnega elementa so odvisne od razmerja med gorišcno razdaljo f in premerom parabole D(f /D) ter seveda od valovne dolžine valovanja, ki ga želimo sprejemati; v našem primeru je to A = 21,106 cm. Za našo parabolo (f /D = 0,42) se izkaže za primernega lonec s premerom 0,76 A in dolžino 1,41 A (dolžina lonca ni strogo omejena; ne sme pa biti lonec prekratek, predolg pa ni prakticen). Sprejemna palcka se nahaja 0,455 A od zadnje stene lonca in je dolga približno 0,23 A - koncno dolžino smo dolocili eksperimentalno, s postopnim krajšanjem in sprotnim merjenjem odbojnosti. Dušilni ovratnik je širok 0,6 A in globok 0,45 A, ustje ovratnika pa je glede na ustje lonca pomaknjeno za 0,05 A proti zaprtemu delu lonca. Pri namestitvi sprejemnega elementa na parabolo je treba lonec postaviti na tako razdaljo, da je gorišce parabole znotraj lonca, in sicer 4,7 cm od njegovega ustja. SLIKA 3. Sprejemni loneč, fotografiran z vrha. Sprejemna palčka se lepo vidi. Bel plastični obroč (nekoč okvir vrat pralnega stroja) je no-sileč za ravno ploščo pleksi stekla, kar preprečuje vdor vode in hkrati še vedno omogoča pogled v sprejemni loneč (didaktična nujnost!). nizkošumni ojačevalnik DC-sklopnik ^ Sprejemna palčka je spajkana na sredinski vodnik SMA konektorja, ki je s prirobnico privit na lonec. Za lažjo pritrditev ravne prirobnice konektorja na ukrivljeno površino lonca smo uporabili majhno medeninasto ploščico, ki je na eni strani ravna, na drugi pa pobrušena tako, da se prilega krivini lonca. Skoznjo smo zvrtali luknjo, katere premer je enak premeru dielektrika v konektorju, in manjše luknje z navoji za vijake, nato pa smo plošcico prispajkali na lonec. Neposredno na konektor (ta mora biti zato tipa SMA-moški) je privit nizkošumni predojaceval-nik. Predojacevalnik v našem teleskopu je razvil britanski radioamater Sam Jewell, G4DDK, pri katerem je tudi mogoce kupiti komplet vseh potrebnih komponent ojacevalnika (www.g4ddk.com). Te morate nato sestaviti in spajkati sami. Delovanje ojacevalnika je po izdelavi treba preveriti in ga uglasiti tako, da dosežemo cim nižje šumno število. Stabilnost ojacevalnika preverimo s spektralnim analizatorjem, za uglasitev pa potrebujemo ustrezen merilnik šu-mnega števila. Nam je pri tem izdatno pomagal Leon Pavlovic iz Laboratorija za sevanje in optiko ljubljanske Fakultete za elektrotehniko. Pomagal nam je uglasiti tudi pasovnoprepustno sito (filter), ki stoji za predojacevalnikom in je namenjeno slabljenju neželenih signalov na bližnjih frekvencah (GSM, UMTS, vojaški signali). SLIKA 4. Vse glavne komponente sprejemne verige, na sliki manjkajo le povezovalni koaksialni kabli. Nizkošumni predojacevalnik je pred vremenskimi vplivi treba zašcititi z vodotesnim ohišjem, signale pa po dobrem 50-ohmskem koaksialnem kablu (mi smo uporabili kabel TriLan) spraviti do preostalega dela sprejemne verige. Ta naj ne bo predalec stran (prevelike dolžine namrec prinesejo znatno slabljenje signala). Tudi sprejemni lonec je potrebno na odprtem delu pokriti s plasticnim/pleksi pokrovom, da se v njem ne nabira voda, kadar je antena pospravljena in je lonec obrnjen navzgor. Preostala sprejemna veriga sestoji iz pasovnopre-pustnega filtra za 1420 MHz, dveh ojacevalcev za ojacitev signalov satelitske televizije in USB-kljucka za sprejem DVB-T, ki deluje kot univerzalni radijski sprejemnik. Tega ne zmore kar vsak kljucek, zato moramo biti pri nakupu pozorni, da izberemo pravega. Bistveno je, da ima kljucek v drobovju cip Re-altek RTL2832U, ki mu družbo dela mešalnik. Ta zmore nastaviti frekvenco na 1420 MHz: trenutno so takšni cipi Elonics E4000, Rafael Micro R820T ali R828D. Za omenjeni cip Realtek RTL2832U potrebujemo le še racunalniški gonilnik, ki zna vkljuciti raz-hrošcevalni nacin delovanja, v katerem cip ne deko-dira televizijskega signala. Racunalniku pošilja surove signale, ki jih lahko s programi poljubno obdelamo. Vse naštete komponente je potrebno povezati, kar pa ni povsem preprosto, saj so prikljucki na na- SLIKA 5. Pogled v nameščeno omarico, v kateri domuje večina elektronike. Vidimo tudi »hobotnico« kablov, ki povezujejo periferne naprave (predojačevalnik, motor, senzor) z omarico in dovajajo napajanje ter omogočajo mrežni dostop do računalnika. pravah razlicni. Tako potrebujemo adapter s konek-torja na USB-kljucku na konektor tipa F in dva DC-sklopnika, ki v ustrezni odsek sprejemne verige pripeljeta enosmerno napetost za napajanje obeh dodatnih ojacevalcev. Hkrati omenjena sklopnika prepre-cita, da bi enosmerna napetost poškodovala sprejemnik ali povzrocila kratek stik na situ. Dimenzije ohišja sita in dolžine resonatorjev v njem smo izracunali s spletnim obrazcem na strani www.wa4dsy.net/cgi-bin/idbpf (tam lahko prenesete tudi kodo C++ programa, ki v ozadju spletne strani opravi izracun). Sito smo nato izdelali sami. Sestoji iz medeninaste škatle dolžine 11,5 cm, širine 5,28 cm in višine 4 cm. V škatli so trije kovinski »prsti« debeline 1 cm, pritrjeni so na eno od daljših stranic, po višini centrirani. Med seboj so razmaknjeni za 4,25 cm, skrajna dva pa sta 1,5 cm odmaknjena vsak od svojega roba škatle. Robna prsta sta dolga 4,44 cm, srednji pa 4,322 cm. Na nasprotni stranici škatle pripravimo luknje za vijake, ki ležijo nasproti vsakemu prstu in služijo finemu uglaševanju filtra. Na krajši stranici filtra pritrdimo konektorja, ki ju s kovinskim trakom povežemo vsakega s svojim robnim prstom. Prikljucno mesto na prstu doloca im-pedanco vhoda oziroma izhoda filtra: za 50 Q mora biti prikljucek na prst povezan 0,53 cm od stene škatle, za 75 Q pa 0,65 cm od stene. Naše sito je narejeno tako, da ima na vhodni strani impedanco 50 Q SLIKA 6. Stranski pogled na motor in prenos, ki poganja os antene. Pod motorjem je nameščena krmilna elektronika za pogon motorja, tik ob osi antene (poleg velikega zobnika) pa je senzorja zasuka osi. Med ležajem in velikim zobnikom na osi lahko opazimo tudi končna stikala, ki preprečujejo, da bi se antena vrtela v krogu in se poškodovala zaradi zapletanja kablov. (kar je standard za vecino profesionalnih in radioamaterskih radijskih naprav ter s tem tudi za naš niz-košumni predojačevalnik) in na izhodni strani 75 Q (kar je standard za televizijsko tehniko). Pasovna širina našega sita je 111 MHz, kar je morda nekoliko preširoko in bomo zaradi radijskih motenj iz okolice sito mogoče zamenjali z ožjim (pasovna širina okoli 20 MHz). Možgane našega teleskopa predstavlja mali racu-nalnik Raspberry Pi, ki poleg tega, da sprejema signal z USB DVB-T kljucka, krmili tudi višino antene. Ta je namreč pritrjena na stojalo, ki omogoča le obra-Canje po višini, saj nam razmeroma širok snop antene (približno 10o) omogoča, da posamezni nebesni objekt spremljamo tudi do pol ure, preden nam zaradi vrtenja Zemlje uide iz polja. Tako z nastavitvijo višine (ker je antena obrnjena v smeri sever-jug, tako neposredno izbiramo kar deklinačijo) in s čakanjem na primerno uro dneva lahko opazujemo poljuben del neba. Krmiljenje elevačije smo izvedli preko priključkov GPIO (angl. General Purpose Input/Output) na Raspberry Pi. Dva releja preklapljata smer obračanja elektromotorja, s pulzno-širinsko modulačijo pa krmilimo hitrost vrtenja motorja, da počasi pospe- šimo anteno in jo nato spet počasi ustavimo. Kot, v katerega je antena obrnjena, zaznavano s senzorjem AS5048, ki s Hallovimi sondami meri orientacijo magnetnega dipola, ki je pritrjen na os antene. Senzor in računalnik se pogovarjata po SPI protokolu preko priključkov GPIO. Kodo za krmiljenje teleskopa lahko dobite na naslovu software.ad-vega.si, sprejem signala z USB DVB-T ključka in pretvorbo signala v spekter (FFT) pa lahko na sistemu GNU/Linux opravite bodisi s programom gnuradio (gnuradio.org) bodisi z rtl-sdr (sdr.osmocom.org/trac/wiki/ rt1-sdr#Software). Sprejemno verigo radijskega teleskopa, računalnik in napajanje smo pospravili v električno omaričo, ki nam jo je prijazno podarilo podjetje Telmak d.o.o. iz Logatča. Komunikačijski (ethernet) kabel za teleskop pa nam je podarilo podjetje Tečh Trade Center d.o.o. Stojalo smo izdelali iz železnih profilov 30 x 30 x 2 mm; skupno smo porabili štiri čevi, dolge 6 m. Stojalo je zasnovano tako, da na tleh leži kvadrat s stra-ničo okoli 2 m, z nasprotnih vogalov kvadrata pa štrlita navpična drogova, ki podpirata ležaja osi teleskopa. Na enem od drogov sta še pritrdišči za motor in omaričo z elektroniko. Za protiutež antene smo uporabili kar dve stari avtomobilski platišči. Motor Meritev pri deklinaciji 46° 1419,5 1420,0 1420,5 1421,0 1421,5 frekvenca [MHz] SLIKA 7. Signal, ki ga v obdobju zvezdnega dneva sprejmemo na deklinaciji 46° severno. za obračanje osi, njegov krmilnik in senzor zasuka osi so pred padavinami zaščiteni s škatlo iz pleksi stekla. _ XXX Astronomska literatura Govert Schilling, Lars Lindberg Christensen OČI, ZAZRTE V NEBO 400 let odkritij s teleskopi 136 strani format 17 x 24 cm trda vezava, barvni tisk 24,99 EUR NAŠE NEBO 2015 Dintinjana, Fabjan, Mikuž, Zwitter NAŠE NEBO 2015 Astronomske efemeride 84 strani format 16 x 23 cm mehka vezava 10,00 EUR Ponujamo še veliko drugih astronomskih del. Podrobnejše predstavitve so na naslovu: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ast ro/ Individualni naročniki revije Presek imate ob naročilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene. Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553. Algoritem na osnovi obnašanja netopirjev Karin Ljubic in Iztok Fister ml. -» Algoritmi po vzorih iz narave so posebna vrsta računalniških algoritmov za reševanje težkih optimizacijskih problemov v računalništvu, matematiki, medičini in tudi v industriji [3]. Do danes so znanstveniki razvili že veliko tovrstnih algoritmov, med njimi najbolj izstopajo vzori mravelj, čebel, kresnic in tudi kukavic. Algoritmi po vzorih iz narave Eden najnovejših predstavnikov teh algoritmov je algoritem, ki deluje na osnovi obnašanja netopirjev [4, 5]. Netopirji spadajo med sesalče in so edini se-salči z letalno mreno; ta jim omogoča letenje (ne samo jadranje). Med letenjem večina netopirjev »čvilka«. To je posebno zvočno valovanje, ki ga zaradi visokih frekvenč imenujemo tudi ultrazvočno valovanje. Ti ultrazvočni valovi se odbijajo od predmetov v okolici in tako potujejo nazaj k netopirjem. Netopirji tako slišijo odmeve svojih poslanih glasov in na podlagi gostote prejetih odmevov določijo, kako blizu je ovira. Ce je ovira zelo blizu, se bo oddani zvočni signal vrnil zelo hitro in z gosto frekvenco. Ce pa je ovira dlje, se bo oddani zvočni signal vrnil kasneje in z redkejšo frekvenco, kakor je bil oddan. Ta mehanizem zaznavanja ovir med letom s pomočjo ultrazvočnih valov se imenuje eholokačija. Poleg netopirjev se s pomočjo eholokačije orientirajo tudi nekatere druge živalske vrste. ■ Delfini: Ultrazvočne valove uporabljajo za naviga-čijo, komunikačijo, lov in obrambo v temnih vodah. ■ Kiti: Ultrazvočne valove proizvajajo s premikanjem zraka med zračnimi prostori (sinusi) v glavi. Uporabljajo ga za detektiranje hrane in podvodno navigačijo. ■ Rovke: Rovke so majhni sesalči. Ultrazvočne valove uporabljajo pri gibanju v svojem naravnem habitatu, ne toliko za plenilstvo in iskanje hrane. Postavlja se vprašanje, kako omenjeni mehanizem eholokačije uporabiti v računalništvu. Odgovor na to vprašanje je našel profesor Xin-She Yang leta 2010, ko je tedaj deloval na univerzi v Cambridgu. Ustvaril je zelo zanimiv, preprost in učinkovit algoritem. Algoritem je povezal z vzori iz narave ter eholokačije in zasnoval tri idealizirana pravila: 1. Vsi netopirji uporabljajo eholokačijo za spremljanje razdalje do tarčnih objektov. 2. Netopirji letijo naključno s hitrostjo vt na pozičijo xt s fiksno frekvenčo Qmin, variabilno valovno dolžino \t in glasnostjo At v iskanju plena. Samodejno lahko prilagajajo valovno dolžino (ali frekvenčo) svojih oddanih pulzov in prilagajo raven oddajanja pulzov rt G [0,1 ] glede na bližino tarče. 3. Glasnost variira od najvecje (pozitivne) A0 do minimalne Amin vrednosti konstante. Psevdokod algoritma je predstavljen v spodnjem zapisu (1) in sestoji iz naslednjih glavnih korakov: ■ Vhod algoritma predstavlja populacija netopirjev, ki je predstavljena z realnimi števili. Izhod pa predstavlja najboljša rešitev ter njena pripadajoca vrednost. Inicializacija zacetne populacije netopirjev se izvede s pomocjo nakljucnega generatorja realnih števil. Generiranje nove rešitve se izvede s premikom navideznih netopirjev glede na naslednje enacbe [4]: Q)tl = Q min + (Q max Qmin)N(0, 1), (t+1) x(t+1) = ^ = vt + (xt - best)Qi (t+i) (t) (1) vi jo optimiramo. V našem primeru bo boljša tista, ki bo bližja minimumu funkcije. Zatem sledi glavna zanka, ki tece do ustavitvenega pogoja (npr. število generacij). Znotraj te zanke tece še ena zanka, ki gre skozi vse populacije. Tukaj se generirajo rešitve s pomocjo prej predstavljenih formul. Novo rešitev torej dobimo tako, da vzamemo rešitev iz prejsnje generacije in seštejemo s hitrostjo, ki smo jo izra-cunali v tej generaciji. Po generiranju nove rešitev sledi korak lokalnega iskanja, kjer poskušamo s po-mocjo hevristike RWDE še malo izboljšati rešitev. To poteka s pomocjo enacbe y(t) = x* + eAi"' vi' l (tKr(t) (2) kjer je N(0,1) naključno število. ■ Lokalno iskanje skrbi za izboljšanje najboljše rešitve z uporabo hevristike RWDE (random walk with direct exploitation - naključni sprehod z neposrednim izkoriščanjem). ■ Ocenjevanje najboljše rešitve in shranjevanje najboljše rešitve glede na verjetnost (parameter A določa verjetnost shranjevanja najboljše rešitve). ■ Iskanje najboljše rešitve. Delovanje si lahko še ogledamo na praktičnem primeru, kjer moramo najti minimum funkcije Sphere: F(xi) = Xn=1 x2 in pri kateri iščemo rešitev v prostoru -100,00 < xi < 100,00. Ta funkčija ima minimum pri 0 ■ (f(x1,..., xn) = f(0,..., 0) = 0). Na začetku določimo parametre algoritma, kot so velikost populačije NP, parameter A (glasnost), parameter r (raven pulza), parameter Qmin (frekvenčni minimum), parameter Qmax (frekvenčni maksimum) ter dimenzijo problema D. Obširen opis parametrov je opisan v [4]. Potem uvedemo naključno populačijo z naključnim generatorjem, ki generira vrednost med podanima mejama. V našem primeru bo to med -100 in 100. Zatem očenimo populačijo ter poiščemo najboljšo rešitev. Očenitev poteka tako, da vstavimo vrednosti v eni populačiji v funkčijo, ki kjer N(0,1) oznacuje nakljucno generirano število z intervala [-1,1], e je skalirni faktor, x* je trenutno najboljša rešitev in Aje glasnost. Zatem korakom sledi ocenjevanje nove rešitve ter pogojno shranjevanje najboljše rešitve. Na koncu pa poišcemo najboljšo rešitev. Algoritem 1 Algoritem na osnovi obnašanja netopirjev_ Vhod: Populacija netopirjev xi = (xi1,... ,xiD)T for i = 1 ...Np, MAX_FE. Izhod: Najboljša rešitev x^est in njena pripadajoča vrednost fmin = min(f(x)). 1: inicializiraj(); 2: eval = oceni_novo_populacijo(); 3: fmin = najdi_najboljšo_rešitev(xbest); 4: while ustavitveni_pogoj_ni_dosežen do 5: for i = 1 to Np do 6: y = generiraj_novo_rešitev(xi); 7: if rand(0,1) > ri then 8: y = izboljšaj_najboljšo_rešitev(xbest) 9: end if { korak lokalnega iskanja } 10: fnew = oceni_novo_rešitev(y); 11: eval = eval + 1; 12: if fnew < fi and N(0,1) a < 00 > m * £ a 7 6 1 1 5 2 8 2 5 7 3 2 6 3 1 6 3 8 1 2 S 2 1 17 L 8 3 9 L 6 8 E 1 S 17 Z L L S Z 8 3 6 17 17 E 9 8 S 2 L L 3 8 7 5 17 9 Z L 9 17 Z L E L S 8 2 5 17 L 9 1 8 E 8 1 E 6 Z 17 7 S www.presek.si XXX ~m GLEJ JIH, ZVEZDE Efemeride, ki s številnimi zanimivimi ilustracijami in fotomontažami poljudno opisujejo in pojasnjujejo dogajanje na našem nebu v letu 2015, nastajajo v odličnem prevodu Ludvika Jevšenaka in pod budnim jezikovnim in strokovnim očesom Bojana Kambiča. Knjiga je namenjena prav vsem: začetnikom, ki sploh še nič ne vedo (pa bi to radi tistim, ki že nekaj vedo (pa bi radi vedeli več ...) in tistim, ki mislijo, da vedo vse (pa morda čisto vsega le ne ...). Naročilo lahko hitro in enostavno oddate na 040 551 957 ali astronomska-revija-spika.si PRESEK 42 (2014/2015) 3 29 mm Slika: Selfi vU sU vU ril N T S T T E A L R E U B H A A N I Z S A C 0 0 S iT HA I N T E I K M M ^r I R S C E TAT ASA R O N T P A S I N J A U E L I V I G A SOL RESITEV NAGRADNE KRlS ANKE presek 42/2 Pravilna rešitev nagradne križanke iz druge številke 42. letnika Preseka je Orientacija. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Jaka Šiko-nja iz Metlike, Jasna Ja-kobčič iz Novega mesta in Matej Langus iz Tr-žica, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX Nepravi selfi •4/ •i' •i' Tine Golež -> Izraz selfi pomeni, da smo sebe ali še koga ob sebi fotografirali tako, da smo prenosni telefon ali kako podobno novodobno napravo držali v iztegnjeni roki in jo obrnili proti sebi. Po vsebini je selfi neke vrste avtoportret. To ni nič novega, že v preteklih stoletjih so se slikarji postavili pred ogledalo in narisali svoj avtoportret. Potem s(m)o isto počeli tudi navadni ljudje s fotoaparatom. Prav zato priloženi sliki imenujem nepravi selfi, saj fotografski pripomoček ni bil v roki, pač pa na stojalu. Drugi vzrok pa je, da je bilo uporabljeno tudi zrčalo. In zakaj si fotografiji na prejšnji strani zaslužiti domovinsko pravičo v rubriki Naravoslovna fotografija? Oglejmo si ju bolj podrobno. Ni težko opaziti, da je deček enkrat v zrčalu obrnjen, drugič pa ne. V ravnem zrčalu je slika vedno pokončna (ni obrnjena) in ni prav nič popačena. Deček je za svoj prvi nepravi selfi uporabil ravno zrčalo. Kaj pa druga slika? No, tudi to ni nobena skrivnost, saj prepoznamo, da gre za kozmetično zrčalo. Kozmetična ogledala so praviloma dvojna; na eni strani je navadno (ravno) zrčalo, ki je bilo uporabljeno za prvo sliko, na drugi pa konkavno zrčalo. Pri uporabi le-tega je mišljeno, da smo blizu konkavnega zrčala. Tedaj je slika pokončna, povečana in navidezna (= lahko jo le gledamo, ne moremo je pa projičirati na zaslon); zato gospa lahko prešteje vse svoje gube, mladostnik se prestraši svojih velikih mozoljev, gospod opazi »repo« v ušesih . . . A ta deček je bil kar nekaj metrov oddaljen od zrčala. Kaj torej vidimo? Preden odgovorimo na to vprašanje skušajmo odgovoriti, zakaj so na škatliče nalepljeni listki z napisom ostrina. Seveda zato, da lahko presodimo, na katero razdaljo je bila nastavljena ostrina na objektivu fotoaparata! Pri ravnih zrčalih slika nastane zrčalno-simetrično. Ce torej stojimo 3 metre pred ravnim zrčalom in se slikamo, bo fotoaparat nastavil ostrino na razdaljo 6 metrov in nastala bo ostra slika. Pri sliki z obrnjenim dečkom pa vidimo, da je bila ostrina nastavljena še bolj blizu, kot je zrčalo. Ali je torej slika dečka nastala pred zrčalom? Odgovor je pritrdilen, nastala je med zrčalom in fotoaparatom. Konkavno zrčalo ustvari različne slike predmeta, ki so odvisne od oddaljenosti predmeta od zrčala. Ce je predmet bolj daleč kot dvakratna goriščna razdalja, bo nastala obrnjena, pomanjšana in realna slika. Očitno je bil deček kar prečej (glede na goriščno razdaljo) oddaljen od zrčala. Bistvo realne slike je, dajo lahko bodisi gledamo, bodisi projičiramo na zaslon. Tokrat smo (no, fotoaparat jo je) gledali realno sliko, ki jo je ustvarilo konkavno zrčalo. Ta slika je nastala pred zrčalom in je bolj oddaljena od zrčala kot je ena goriščna razdalja in manj kot dve goriščni razdalji. Na konču pa še vprašanje: pokončna slika dečka je nastala daleč za zrčalom, obrnjena slika dečka pa pred zrčalom in torej bistveno bliže fotoaparata. Kako je mogoče, da je kljub temu obrnjeni deček manjši? Med fotografiranjem so bili fotoaparat, deček in zrčalo stalno na istih mestih. Odgovor na to vprašanje vas čaka pri pouku srednješolske fizike. _XXX www.obzornik.si www.dmfa-zaloznistvo.si www.presek.si www.dmfa.si Zgodovina znanosti v stripu Sredi decembra 2012 je Center za mladinsko književnost in knjižnicarstvo pri Mestni knjižnici Ljubljana že tretjic podelil priznanja Zlata hruška. Z njimi so tokrat odlikovali kakovostno najboljših deset odstotkov otroške in mladinske književnosti, ki je izšla v letu 2011. DMFA-založništvo je priznanje prejelo za strip Življenja Marie Curie. Švicarski avtor Raphaël Fiammingo, s kratkim umetniškim imenom Fiami, v tem stripu večjega formata duhovito predstavlja nekaj izsekov iz zgodovine kemije, od Aristotela do današnjega Casa. V vsakem razdelku nastopa dekle ali ženska, katere ime je razliCica imena Marija, v Cast veliki znanstvenici Marie Curie. Zgodbice ilustrirajo tudi vlogo žensk v raznih zgodovinskih obdobjih. Predvsem pa so zabavne in obenem poucne, saj zvemo marsikakšno zanimivo podrobnost o nastanku znanstvenih odkritij. Med najbolj posrecenimi je zgodbica o Mendeljejevu in njegovem sestavljanju periodnega sistema elementov. Tudi druge pripovedi ne zaostajajo. Knjigo je odlicno prevedel prof. dr. Alojz Kodre. 7,68 EUR 7,68 EUR 8,31 EUR Pri DMFA-založništvo sta v Presekovi knjižnici izšli še dve knjigi istega avtorja • Galilejeva življenja, z zgodbami iz zgodovine astronomije, od Babiloncev do danes, ter • Einsteinova življenja, z zgodbami iz zgodovine fizike, vse od Sokrata do danes. Ta dva stripa je prav tako izvrstno prevedel Alojz Kodre. Sta enako zanimiva, zabavna in poucna in bosta bralcu brez dvoma polepšala dan. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematicna, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi narocite: http://www.dmfa-za1ozni stvo.si/ Individualni narocniki revije Presek, clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob narocilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553. ■is ■i' ■i' Nagradna križanka ZUNANJI PREIZKUSI ZNANJA V OSNOVNI ŠOLI GRAFIČNO OBLIKOVANJE MATEVŽ BOKAUČ hmHM^ÉÜ; v , MESTO PRI LOS ANGELESU S TEHNOLOŠKIM rašn- TUTOM GL. MESTO ŠVEDSKE FR. MATEMATIK IN FIZIK (JOSEPH) VELIKA GLASBENA SKUPINA NAŠ PISATELJ (IVAN) NEIMENOVANA STVAR, ONEGA PRVAIN ZADNJA ČRKA ABECEDE POSEBNI POLOŽAJ PRIŠAHO EVROPSKI VELETOK DOLGO BELO OBLAČILO DUHOVNIKOV GLIVIČNA BOLEZEN NA USTNI SLUZNICI RIMSKI ZGODOVI-NOPISEC IN ZALOŽNIK TLAKOVAN PROSTOR NA STAVBI GLASBENIK ŽGUR PUŠČAVA VJUŽNI AFRIKI FOTOGRAFSKA NAPRAVA NAPITEK IZ POMARANČNEGA SOKA ZDRAVILO PROTI DO-LEČIHAM PRETVORNIK KRAJ PRI TRBIŽU V KANALSKI DOLINI NAIVEČJI PRITOK DONAVE POČASEN ŠPANSKI _PLES_ OBLIKA UM. DELA STVAR ŠVICARSKI ZDRAVILEC NA BLEDU (ARNOLD) ZLITINA OSMUA IN VOLFRAM A ZA ŽARILNE NITKE RDEČKAST OKRASNI KAMEN REKA, KI TEČE SKOZI MÜHCHEH PREMICA, OKOLI KATERE KAI KROŽI POZNO-JESENSKA POLJŠČINA PANIČAR HLAPNE IN VNETLJIVE TEKOČE ORGANSKE SPOJINE ŠOBA ZA SKRIVANJE PLAMENA ZAVRNITEV KONTRE PRI KARTANJU LATDHČNI ZAPIS KITAJSKIH MIŠIČNA BULA ZVZVRAT- NIM GIBANJEM JULIJ NARDIN NIKOLAI ČERKASOV OSTRO KMEČKO VRVICA IZ UMETNE SNOVI, KI SE UPORABLJA KOT REZILO KRAIOB CESTI IZ CERKNICE NA RAKITNO CIRKUŠKI KOM« PRISTANIŠKA NAPRAVA SOSEDA GRIN-TOVCA ENOTA KRAJ NA KRASU SPRŠU-TARNO BRIT. EKONOMIST, NOBELOVEC LETA 1977 GERMAN. VOJSKOVODJA ODTIS STOPALA DUŠEVNI JAZ NOGOM. TRENER ŠIMUNDŽA PRIPOVED V VERZIH SRBSKI KOŠARKAR (ZORAN) IT. NOGOMETAŠ (ALESSAN-DRO DEL) NAGRADNI RAZPIS -> Crke iz oštevilcenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 20. januarja 2015, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado. _ xxx