FIZIKA O nogometu Np Janez Strnad -» Po svetovnem prvenstvu se poveča zanimanje za nogomet. Pogosto na nogomet pogledajo statistično. Pri tem ne morejo mimo Poissonove porazdelitve. Porazdelitev uporabimo v primerih, ko so naključni dogodki neodvisni drug od drugega in niso preveč pogosti; to je »porazdelitev redkih dogodkov«. Simeon Denis Poisson jo je obdelal leta 1837 v knjigi Raziskovanje verjetnosti sodb v kazenskih in civilnih zadevah, v kateri ga je zanimala pogostost napačnih obsodb v kaki državi. Porazdelitev pa je že leta 1711 Abraham de Moivre navedel v povezavi z igrami na srečo. Razvpita primera sta smrt vojakov zaradi konjskih brc v pruski vojski (v 20-ih letih jih je bilo 280) ali četverčkov v Prusiji (v 69-ih letih jih je bilo 109). Na Poissonovo porazdelitev naletimo še v številnih drugih primerih, npr. če štejemo avtomobile, ki se peljejo po odseku česte v eni uri; telefonske kliče ali sporočila SMS kakega naslovnika v eni uri; radioaktivne razpade ob šibkem radioaktivnem izviru v minuti; goste, ki pridejo v restavračijo ali na rečepčijo hotela v dani uri dneva; prometne nesreče na določenem odseku česte v enem tednu; bolnike, ki jih na dan sprejme bolnišniča; dežne kaplje na območjih 10 čm krat 10 čm na minuto in veliko drugega. Porazdelitev večkrat upoštevajo pri načrtovanju, npr. pri načrtovanju velikosti telefonskih čentral. Opišimo značilen poskus. Merilnik zaznava delče a, ki jih oddaja radioaktivni izvir v dani oddaljenosti. Beležimo trenutke, v katerih se merilnik odzove. Zbrane podatke obdelamo, kolikor vsega tega ne opravi računalnik, na katerega je merilnik priključen. Preštejemo časovne razmike, v katerih merilnik ni zaznal nobenega delča, je zaznal en deleč, dva delča, tri delče in tako dalje. Delčev v časovnem razmiku ne sme biti preveč, tako da lahko drugega razločimo od drugega. Potem izračunamo povprečno število delčev, tako da število vseh preštetih delčev delimo s številom vseh zajetih časovnih razmikov. Nazadnje narišemo porazdelitev časovnih razmikov število golov SLIKA 1. Porazdelitev tekem slovenske prve lige v tekmovalnem obdobju 2013/2014 po številu doseženih golov. Krivulja kaže Poissonovo porazdelitev, kot da bi se število tekem n spreminjalo zvezno. po številu zaznanih delčev. Cim več delčev smo zajeli, tembolj se »izmerjena« porazdelitev prilega »izračunani« Poissonovi porazdelitvi. Poissonovo porazdelitev podaja enačba nn ■ Npn = N n!en N je število preštetih delčev, n = 0,1, 2, 3,... je število delčev v posameznih časovnih razmikih, n je povprečna vrednost n, e = 2,718... osnova naravnih logaritmov in n! = 1 ■ 2 ■ 3 ■ ... ■ (n - 1) ■ n. Pri tem je pn verjetnost, da je merilnik v časovnem razmiku zaznal n delčev. Za verjetnost je značilno, da je vsota pn enaka 1. Podobno ravnamo tudi v drugih primerih. Pri nogometu je N število tekem v kakem tekmovanju, npr. v državni ligi. Delež tekem, na katerih pade n golov, primerjamo s Poissonovo verjetnostjo pn, da na tekmi pade n golov. Cim več je tekem, tem boljši je približek. Omejimo se na prvo slovensko ligo v minulem tekmovalnem obdobju 2013/2014. Liga je imela deset moštev, ki so igrala doma in na tujem po 2 4 6 8 14 PRESEK 42 (2014/2015) 6 FIZIKA SLIKA 2. Porazdelitev tekem Maribora, Olimpije in Triglava v tekmovalnem obdobju 2013/14 po številu danih golov. Zaradi razmeroma majhnega števila tekem so odstopanja precejšnja. Porazdelitev tekem prve lige bi dobili, ko bi sešteli porazdelitve za vseh deset moštev in upoštevali, da smo vsak gol šteli dvakrat. dvakrat. Vsako moštvo je imelo devet nasprotnikov in je z vsakim od njih igralo po štirikrat, tako da je vsako moštvo odigralo 4 ■ 9 = 36 tekem v prav toliko krogih. Vseh parov je bilo 2 ■ 10 ■ (10 - 1) = 45 in vseh tekem je bilo 4 ■ 45 = 180. Najprej nas zanima porazdelitev tekem po številu zadetkov na N = 180 tekmah in potem še porazdelitev N = 36 tekem po številu danih golov za tri značilna moštva: Maribor je bil prvi, ljubljanska Olimpija sedma in kranjski Triglav deseti. Zaradi razmeroma majhnih števil N pričakujemo odstopanja od Poissonove porazdelitve. Na risbah primerjamo »izmerjene« podatke po spletnih straneh Nogometne zveze Slovenije z »izračunanimi« Poissonovimi podatki. Povprečno število golov na tekmo, ki jih je zabilo kako moštvo, vzamemo za učinkovitost moštva. Ni nujno, da se razvrstitev na tekmovanju ravna po učinkovitosti. Podoben pregled je opravil Presek pred leti (Ali je nogomet igra na srečo?, 13 (1985/86), 9-15). Pregled je zajel prvo nogometno ligo v tedanji skupni državi z osemnajstimi moštvi in skupno 306 tekmami v sezoni 1976/77 (povprečje 2,53) ter prvo Crveno zvezdo (povprečje 1,97), dvanajsto ljubljansko Olim-pijo (povprečje 1,06) in osemnajstega sarajevskega Željezničarja (povprečje 0,97). Zanimivo je nove podatke primerjati s starimi. Tedaj smo ugotovili, da je nogomet v prečejšnji meri igra na srečo. Delež naključja smo očenili z Sedanji podatki dajo 86 %, medtem ko smo s starimi dobili 89 %. Na spletu več naslovov ponuja pomoč s Poisso-novo porazdelitvijo pri športni stavi. Pri tem računajo bolj podrobno, kot smo mi. Pri ligaškem tekmovanju posebej upoštevajo povprečje golov pri igrah doma in na tujem ter izračunajo učinkovitost kot produkt obeh povprečij. S Poissonovo enačbo izračunajo verjetnost, da bo moštvo na prihodnji tekmi doseglo določeno število golov. To naredijo tudi za nasprotno moštvo in upoštevajo oba podatka. Temu načinu napovedovanja je mogoče očitati, da pozornost posveča le danim golom. Prejete gole upošteva le kot dane gole nasprotnika, ne ozira se na obrambo. Napovedovanje poskušajo na razne načine izboljšati. Napoved svetovnega prvaka V reviji Forsčhung (Raziskovanje), ki jo izdaja nemška raziskovalna skupnost in ustreza našemu Raz-iskovalču, je nekaj tednov pred svetovnim prvenstvom izšel članek Bo Nemčija svetovni prvak. V njem je profesor Metin Tolan opisal program, ki ga je sestavil Robert Fendt z univerze v Dortmundu. Začel je z razvrstitivijo 32-ih moštev, ki so se kvalifičirala za svetovno prvenstvo, v osem predtekmovalnih skupin. Za njihovo učinkovitost je vzel povprečno število golov v kvalifikačijah. Braziliji, ki ji ni bilo treba igrati kvalifikačij, je pripisal povprečno število golov v pokalu konfederačij. Podatke smo zbrali v pregle-dniči, le da smo upoštevali doseženo razvrstitev, ki PRESEK 42 (2014/2015) 6 13 FIZIKA 3000 2500 2000 M