A double Sylvester determinant

angleški

2021

letnik 20, številka 2

determinanta   polinomi   sestavljena matrika   Sylvestrova determinanta

Univerza na Primorskem, Fakulteta za naravoslovje, matematiko in informacijske tehnologije
(Obvezni izvod spletne publikacije)

Če sta dani dve ?$\left( n+1\right) \times\left( n+1\right)$?-matriki ?$A$? in ?$B$? nad komutativnim kolobarjem in neko število ?$k\in\left\{ 0,1,\ldots,n\right\}$?, obravnavamo ?$\dbinom{n}{k}\times\dbinom{n}{k}$?-matriko ?$W$?, katere elementi so ?$\left( k+1\right) \times\left( k+1\right)$?-minorji matrike ?$A$?, pomnoženi z ustreznimi $?\left( k+1\right) \times\left( k+1\right)$?-minorji matrike ?$B$?. Pri tem zahtevamo, da minorji vsebujejo zadnjo vrstico in zadnji stolpec (zato dobimo ?$\dbinom{n}{k}\times\dbinom{n}{k}$?-matriko, ne pa ?$\dbinom{n+1}{k+1} \times \dbinom{n+1}{k+1}$?-matrike). Dokažemo, da je determinanta ?$\det W$? večkratnik determinante ?$\det A$?, če je? $\left( n+1,n+1\right)$?-ti element matrike ?$B$? enak ?$0$?. Nadalje dokažemo, da če sta ?$\left( n+1,n+1\right)$?-ta elementa tako matrike ?$A$? kot matrike ?$B$? enaka ?$0$?, potem je ?$\det W$? večkratnik od ?$\left( \det A\right) \left( \det B\right)$?. To predstavlja razširitev prejšnjega rezultata Olverja in avtorja tega članka.

22.11.2022