V zadnjem desetletju so postali Lévyjevi procesi in ostali procesi s skoki popularni za modeliranje procesa gibanja cen na kapitalskem trgu, tako pri upravljanju s tveganji kot pri vrednotenju opcij in drugih izvedenih finančnih instrumentov. Čeprav je teorija omenjenih procesov znana kar nekaj časa, pa so jih v finančno matematiko vpeljali ob koncu osemdesetih in v začetku devetdesetih let 20. stoletja. Od tedaj je bilo posebej raziskanih veliko različnih procesov kot so ?$\alpha$?-stabilni, gama, normalni inverzni Gaussovi in posplošeni hiperbolični procesi. Vsi ti se sedaj uporabljajo pri vrednotenju izvedenih finančnih instrumentov, saj je iz empiričnih raziskav jasno, da normalna porazdelitev in Brownovo gibanje ne odražata gibanja cen na kapitalskem trgu v vsej polnosti in splošnosti. Procesi, ki poleg zveznih gibanj upoštevajo tudi skoke, pa so teoretično zelo zahtevni. Že tako zahtevne metode stohastične analize, ki so bile razvite v petdesetih letih prejšnjega stoletja, so zaradi upoštevanja dodatnega spreminjanja procesa s skoki postale še težje. Prav ti dodatni tehnični zapleti so zmanjšali možnost analitičnega reševanja stohastičnih diferencialnih enačb ter hkrati nekoliko zožili tudi uporabo numeričnih metod za reševanje tovrstnih problemov. Mnogi analitiki vse bolj ugotavljajo pomanjkljivosti Monte Carlo metod, ki so bile v preteklosti za reševanje zveznih problemov najpogosteje uporabljene, zato so pričeli z razvijanjem hitrih in direktnih metod, torej metod, s katerimi lahko brez uporabe slučajnosti pridemo do poljubno natančnega rezultata. Konkretno v našem primeru se bomo tako oprli na splošne metode reševanja stohastičnih diferencialnih enačb, predvsem parcialnih. Za vrednotenje ameriških opcij pa bomo uporabili v zadnjem času razvito metodo, ki sloni na diskretizaciji in uporabi metode končnih elementov. Za bazo končnih elementov vzamemo valčke in s tem omogočimo hitrejše izračune, saj dobimo matriko, ki ima veliko ničelnih elementov. Poleg tega pa lahko hitro izboljšamo natančnost naših rezultatov, ker je metoda osnovana na multiresolucijskem pristopu. V delu po vrsti predstavimo Lévyjeve procese in nekaj pomembnih rezultatov s tega področja. Predstavimo tudi tisti del stohastične analize, ki je pomemben za vrednotenje finančnih instrumentov, s poudarkom na Itôvi formuli za Lévyjeve procese. Nadaljujemo s predstavitvijo nekaterih finančnih in zavarovalniških produktov. Nato predstavimo osnovne metode numerične aproksimacije in integracije ter metodo končnih elementov za reševanje parcialnih diferencialnih enačb. Končno se posvetimo uporabi omenjenih teoretičnih pristopov pri vrednotenju izvedenih finančnih instrumentov, pri zavarovalniških simulacijah ter pri vrednotenju produkta variabilne rente z garancijo, poznanega pod imenom GMWB. Tu uporabimo naš inovativen pristop k vrednotenju. V dodatku na koncu predstavimo Besselove funkcije, ki jih sicer omenjamo pri porazdelitvah raznih Lévyjevih procesov ter dinamični program za vrednotenje produkta GMWB, katerega rezultate primerjamo z našim pristopom z valčki.

Pravice