On convergence of binomial means, and an application to finite Markov chains

angleški

2016

letnik 10, številka 2

binomska sredina   Cesarova sredina   končna Markovska veriga   konvergenca   zaporedje

Univerza na Primorskem, Fakulteta za naravoslovje, matematiko in informacijske tehnologije
(Obvezni izvod spletne publikacije)

Za zaporedje ?$\{a_n\}_{n \ge 0}$? realnih števil definiramo zaporedje njegovih aritmetičnih sredin ?$\{a_n^\ast\}_{n \ge 0}$? kot zaporedje povprečij prvih ?$n$? členov zaporedja ?$\{a_n\}_{n \ge 0}$?. Za parameter ?$0 < p < 1$? definiramo zaporedje ?$p$?-binomskih sredin ?$\{a_n^p\}_{n \ge 0}$? zaporedja ?$\{a_n\}_{n \ge 0}$? kot zaporedje ?$p$?-binomsko uteženih povprečij prvih ?$n$? členov zaporedja ?$\{a_n\}_{n \ge 0}$?. Primerjamo konvergenco zaporedij ?$\{a_n\}_{n \ge 0}$?, ?$\{a_n^\ast\}_{n \ge 0}$? in ?$\{a_n^p\}_{n \ge 0}$? za različne ?$0 < p < 1$? oziroma analiziramo, kdaj konvergenca enega zaporedja implicira konvergenco drugega. Medtem ko je zaporedje ?$\{a_n^\ast\}_{n \ge 0}$?, znano tudi kot zaporedje Cesarovih sredin zaporedja, dobro raziskano v literaturi, pa je rezultate v zvezi z ?$\{a_n^p\}_{n \ge 0}$? težko najti. Naš glavni rezultat pokaže, da če je ?$\{a_n\}_{n \ge 0}$? zaporedje nenegativnih realnih števil in ?$\{a_n^p\}_{n \ge 0}$? konvergira k ?$a \in \mathbb{R} \cup \{\infty\}$? za neki ?$0 < p < 1$?, potem ?$\{a_n^\ast\}_{n \ge 0}$? prav tako konvergira k ?$a$?. Podamo aplikacijo tega rezultata v končnih Markovskih verigah.

29.05.2020