Complete regular dessins and skew-morphisms of cyclic groups

angleški

2020

letnik 18, številka 2

biciklična grupa   poševni morfizem   pravilna risba   vložitev grafa

Univerza na Primorskem, Fakulteta za naravoslovje, matematiko in informacijske tehnologije
(Obvezni izvod spletne publikacije)

Risba je 2-celična vložitev povezanega 2-barvnega dvodelnega grafa na orientabilno sklenjeno ploskev. Risba je pravilna, če njena grupa avtomorfizmov, ki ohranjajo orientacijo in barve, deluje pravilno na povezavah. V tem članku preučujemo pravilne risbe, katerih osnovni graf je polni dvodelni graf $K_{m,n}$, imenovane $(m,n)$-polne pravilne risbe. Na ta način vzpostavimo precej presenetljivo korespondenco med $(m,n)$-polnimi pravilnimi risbami in pari poševnih morfizmov cikličnih grup. Poševni morfizem končne grupe $A$ je bijekcija $\varphi\colon A\to A$, ki zadošča identiteti $\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi^{\pi(x)}(y)$ za neko funkcijo $\pi\colon A\to\mathbb{Z}$ in fiksira nevtralni element grupe $A$. Dokažemo, da vsaka $(m,n)$-polna pravilna risba $\mathcal{D}$ določa par recipročnih poševnih morfizmov cikličnih grup $\mathbb{Z}_n$ in $\mathbb{Z}_m$. Velja tudi obratno, $\mathcal{D}$ lahko rekonstruiramo iz takšnega recipročnega para. Na podlagi tega dokažemo, da so polne pravilne risbe, eksaktne biciklične grupe z izbranim parom generatorjev, ter pari recipročnih poševnih morfizmov cikličnih grup vsi v povratno enolični korespondenci. Nazadnje pa uporabimo naš glavni rezultat še za določitev vseh parov celih števil $m$ in $n$, za katere obstaja, do zamenjave barv natančno, samo en izomorfnostni razred $(m,n)$-polnih regularnih risb. Dokažemo, da se to zgodi natanko takrat, ko je vsaka grupa, izrazljiva kot produkt cikličnih grup reda $m$ in $n$, abelska, kar se naposled prevede na pogoj $\gcd(m,\phi(n))=\gcd(\phi(m),n)=1$, kjer je $\phi$ Eulerjeva funkcija.

28.04.2021