Nil rings and prime rings : doctoral thesis

angleški

doktorska dela

2013

algebraic elements   algebraični elementi   celosten kolobar   Disertacije   extended centroid   integral ring   involucija   involution   Jacobson radical   Jacobsonov radikal   Kolobarji (matematika)   kolobarji kvocientov   Köthe conjecture   Köthejeva domneva   kvaziregularen element   nil ring   nilkolobar   ohranjevalci ničelnega produkta   prakolobar   prime rings   quasi-regular element   razširjeni centroid   rings of quotients   upper nilradical   zero product preservers   zgornji nilradikal

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko
(Obvezni izvod spletne publikacije)

Problem karakterizacije preslikav, ki ohranjajo ničelni produkt, so študirali številni avtorji v mnogih različnih kontekstih. Nedavno so bile take preslikave obravnavane na prakolobarjih z netrivialnimi idenpotenti. Večina znanih rezultatov predpostavlja, da so omenjene preslikave bijektivne. V disertaciji razširimo te rezultate tako, da obravnavamo neinjektivne preslikave. Natančneje, podamo karakterizacijo surjektivnih aditivnih preslikav ?$\theta : A \to B$?, ki ohranjajo ničelni produkt, kjer je ?$A$? kolobar z netrivialnim idempotentom, ?$B$? pa prakolobar. Raziščemo tudi preslikave na kolobarjih z involucijo, ki ohranjajo ničle ?$xy^\ast$?. V posebnem karakteriziramo surjektivne aditivne preslikave ?$\theta : A \to B$?, za katere za vse ?$x,y \in A$? velja ?$\theta(x) \theta(y)^\ast = 0$? natanko tedaj, ko je ?$xy^\ast = 0$?. Pri tem je ?$A$? enotski prakolobar z involucijo, ki vsebuje netrivialen idempotent, ?$B$? pa prakolobar z involucijo. V drugem delu disertacije se posvetimo nilkolobarjem. Eden najpomembnejših odprtih problemovs področja nilkolobarjev je Köthejeva domneva, ki pravi, da kolobar brez neničelnih nilidealov nima niti neničelnih nil enostranskih idealov. Znanih je mnogo trditev, ki so ekvivalentne Köthejevi domnevi, in mi dodamo še eno na ta seznam. Dokazano je bilo, da se je za obravnavo veljavnosti teh trditev dovolj omejiti na algebre nad komutativnimi obsegi. V disertaciji opazimo, da se lahko še dodatno omejimo na končno generirane praalgebre. Poleg tega raziščemo povezave med nilpotentnimi, algebraičnimi in kvaziregularnimi elementi. Znano je, da je vsaka algebraična Jacobsonovo radikalna algebra nad komutativnim obsegom nilalgebra. Ta rezultat posplošimo na algebre nad določenimi glavnimi kolobarji in v posebnem na kolobarje. Na poti do tega rezultata vpeljemo pojem ?$\pi$?-algebraičnega elementa, tj. elementa, ki je ničla polinoma z vsoto koeficientov ena. Posledično dokažemo, da je kolobar, v katerem je vsak element ?$\pi$?-algebraičen, avtomatično nilkolobar, hkrati pa dobimo tudi novo karakterizacijo zgornjega nilradikala. Na koncu raziščemo strukturo množice vseh ?$\pi$?-algebraičnih elementov kolobarja.

12.05.2023