Edmonds maps on the Fricke-Macbeath curve

angleški

2015

letnik 8, številka 2

algebraična krivulja   otroška risba   Riemannova ploskev

Univerza na Primorskem, Fakulteta za naravoslovje, matematiko in informacijske tehnologije
(Obvezni izvod spletne publikacije)

Leta 1985 so L. D. James in G. A. Jones dokazali, da polni graf ?$K_n$? definira čisto otroško risbo (za črna vozlišča dvodelnega grafa vzamemo vozlišča grafa ?$K_n$?, za bela vozlišča pa središčne točke njegovih povezav) če in samo če je ?$n = p^e$?, kjer je ?$p$? praštevilo. Kasneje, leta 2010, so G. A. Jones, M. Streit in J. Wolfart izračunali minimalno definicijsko območje takšnih čistih otroških risb. Minimalni rod ?$g > 1$? teh tipov čistih otroških risb je ?$g = 7$?, dobljen pa je pri ?$p = 2$? in ?$e = 3$?. V tem primeru obstajata natanko dve takšni čisti otroški risbi, (doslej znani pod imenom Edmondsova zemljevida), ki določata t.i. Fricke-Macbeathovo krivuljo (edino Hurwitzovo krivuljo roda 7) in tvorita kiralni par. Enoličnost Fricke-Macbeathove krivulje zagotavlja, da jo je mogoče definirati nad ?$\mathbb{Q}$?, toda oba Edmondsova zemljevida ne moreta biti definirana nad ?$\mathbb{Q}$?; v resnici je njuno minimalno definicijsko območje kvadratni obseg ?$\mathbb{Q}(\sqrt{- 7})$?. Zdi se, da v literaturi niso zabeleženi nobeni eksplicitni modeli Edmondsovih zemljevidov nad ?$\mathbb{Q}(\sqrt{- 7})$?. V tem članku vzamemo za izhodišče ekspliciten Macbeathov model ?$X$? za Fricke-Macbeathovo krivuljo, ki je definirana nad ?$\mathbb{Q}(e^{2\pi i/7})$?, potem pa konstruiramo ekspliciten biracionalen izomorfizem ?$L \colon X \to Z$?, kjer je ?$Z$? definiran nad ?$\mathbb{Q}(\sqrt{- 7})$?, nad istim obsegom pa sta definirana tudi oba Edmondsova zemljevida.

29.05.2020