Racionalne funkcije v ?$d$? spremenljivkah nad poljem ?${\mathbb F}$? so delne funkcije iz ?${\mathbb F}^d$? v ?${\mathbb F}$?, ki jih lahko izrazimo s koordinatnimi funkcijami (spremenljivkami) in racionalnimi operacijami (seštevanje, množenje, deljenje). Nekomutativne racionalne funkcije v ?$d$? spremenljivkah nad ?${\mathbb F}$? so delne funkcije, ki slikajo iz ?$d$?-teric kvadratnih matrik iste velikosti v kvadratne matrike, ki jih lahko izrazimo s koordinatnimi funkcijami in racionalnimi operacijami. Take funkcije tvorijo obseg, v katerem je vsaka relacija med spremenljivkami posledica obstoja inverzov neničelnih elementov, zato obseg nekomutativnih racionalnih funkcij imenujemo tudi prosti obseg. Eden glavnih problemov teorije invariant je problem Emmy Noether - ali je, za dano delovanje končne grupe na prosto polje, polje invariant izomorfno prostemu polju? V disertaciji obravnavamo nekomutativno različico problema Emmy Noether - ali je, za dano delovanje končne grupe na prost obseg, obseg invariant izomorfen prostemu obsegu? Preučujemo delovanja končnih abelovih grup na proste obsege nad ?${\mathbb C}$? in ?${\mathbb R}$?, ki so določena z linearnimi upodobitvami. Pokažemo, da je obseg njihovih invariant vedno prost. Definiramo kompletne upodobitve - družino linearnih upodobitev rešljivih grup, ki omogočajo induktivno razširitev rezultata o delovanjih abelovih grup. Primera kompletnih upodobitev sta standardni upodobitvi simetričnih grup ?$S_3$? in ?$S_4$? . Obravnavamo tudi multiplikativna delovanja končnih cikličnih grup - delovanja, ki so določena z avtomorfizmom proste grupe. Predstavimo nekaj zanimivih primerov invariant cikličnih grup nad ?${\mathbb Q}$? in invariant splošne linearne grupe. V zadnjem delu disertacije obravnavamo grupe, ki imajo kompletne upodobitve - imenujemo jih popolnoma psevdo-nerazvejane grupe. Predstavimo lastnosti popolnoma psevdo-nerazvejanih grup in karakteriziramo popolnoma psevdo-nerazvejane ?$p$?-grupe ranga največ pet.

Pravice