9 770351 665036
3
M
A
T
E
M
A
T
IK
A
+F
IZ
IK
A
+A
S
T
R
O
N
O
M
IJ
A
+R
A
ČU
N
A
LN
IŠ
T
V
O
#
ISSN 0351-6652
9 7 7 0 3 5 1 6 6 5 0 3 6
PR E S E K L E T N I K 5 0 ( 2 0 2 2 / 2 0 2 3 ) Š T E V I L K A 3
   
  ̌ 2023
 ̌̌
   
 ̌
   
             P     
              
Presek
list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
letnik 50, šolsko leto 2022/2023, številka 3
Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Nino Bašić (računalništvo),
Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domajnko, Bojan Golli,
Andrej Guštin (astronomija), Martin Juvan, Maja Klavžar,
Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Boštjan
Kuzman (matematika), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej
Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik),
Marko Razpet, Grega Rihtar (jezikovni pregled), Matjaž Vencelj,
Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Dopisi in naročnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska
ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633,
telefaks (01) 4232 460, 2517 281.
Internet: www.presek.si
Elektronska pošta: info@dmfa-zaloznistvo.si
Naročnina za šolsko leto 2022/2023 je za posamezne
naročnike 22,40 eur – posamezno naročilo velja do preklica, za
skupinska naročila učencev šol 19,60 eur, posamezna številka
6,00 eur, stara številka 4,00 eur, letna naročnina za tujino pa
znaša 30 eur.
Transakcijski račun: 03100–1000018787.
List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost
Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova
razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih
periodičnih publikacij.
Založilo DMFA–založništvo
Oblikovanje Tadeja Šekoranja
Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana
Naklada 1100 izvodov
© 2022 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
– 2162
ISSN 2630-4317 (Online)
ISSN 0351-6652 (Tiskana izd.)
Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov
brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana.
Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike,
fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Pri-
kaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in
srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj
bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učencem viš-
jih razredov osnovnih šol in srednješolcem.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež
institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo ošte-
vilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma
razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo
biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps . . . ), velikosti vsaj 8 cm pri
ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno
pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz
drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyri-
ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami
pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni-
štva DMFA–založništvo, Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali
na naslov elektronske pošte info@dmfa-zaloznistvo.si.
Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-
cenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek
sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, po-
tem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo
praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov
TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob-
javo v elektronski obliki na internetu.








̌










b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
    ̌        
P 50 (2022/2023) 32
Odmeglitev slike
Ste že kdaj fotografirali ptico v letu? Vaša slika
bo verjetno zamegljena, a morda jo lahko izboljšate
s pomočjo matematike. To vam omogočata linearna
algebra in prebrisane numerične metode. Delčki fo-
tografije, ki se imenujejo piksli, so v računalniku
shranjeni v obliki seznama števil, ki mu rečemo vek-
tor. Zamegljenost pomeni, da se je svetloba posa-
meznega piksla razlila še v njegove sosede, in pri
tem spremenila vrednosti pikslov na način, ki ga lah-
ko predstavimo z zelo veliko matriko. Toda pozna-
vanje te matrike še ne zadošča, da bi rekonstruirali
nezamegljeno sliko.
Razlog je v tem, da imajo piksli v zamegljeni sliki
dodatne napake oziroma šum, ki je posledica fizi-
kalnih procesov pri zajemu slike. Brez upoštevanja
tega šuma bo popravljanje slike napake še poslab-
šalo. Matematiki so razvili številne pristope za iz-
boljšanje slik, ki so odvisni od načina zajema slike,
ostrine originala, vzroka zamegljenosti in podobno,
ob tem jim je uspelo pospešiti nujne izračune in
učinkovito shraniti velike količine podatkov. Kadar-
koli danes občudujete lepo fotografijo narave, po-
snetek telesa magnetne resonance ali pa oddaljeno
galaksijo, je k ostrini slike verjetno pripomogla ma-
tematika.
Več informacij najdete v članku The Image Deblur-
ring Problem: Matrices, Wavelets, and Multilevel Me-
thods, D. Austin, M. Espanol, M. Pasha, Notices of
the American Mathematical Society 69, 2022. Izvirno
besedilo: Deblurring images, Mathematical moments
from the AMS.
×××
S  : Curek drobnih kroglic se v Galtonovi
plošči prebija skozi vrsto ovir in se končno razporedi v zvo-
nasto krivuljo. Glej članek o Galtonovi plošči na straneh
10–13.
̌ 
2 Odmeglitev slike

4 »Vse je na spletu«
(Andrej Likar)

5–8 Semaforji in barvanje grafov
(Simon Čopar)
8–9 Tri lastnosti števila 2023
(Marko Razpet)
14–15 Geogebrin kotiček – Geometrijska
konstrukcija parabole
(Boštjan Kuzman)

10–13 Galtonova plošča
(Andrej Likar)

18–25 Lov na nezemljane in Drakova enačba
(Vid Kavčič)

9 Križne vsote
13 Križne vsote
15 Novoletna nagradna uganka
(Uredništvo)
16–17 Nagradna križanka
(Marko Bokalič)
25 Barvni sudoku
26–29 Izbrane slike in fotografije v petdesetih
letih Preseka
(Nada Razpet, Marko Razpet in Andrej Likar)
29 Barvni sudoku
30 Rešitev nagradne križanke Presek 50/2
(Marko Bokalič)
15 Bilo je nekoč v reviji Presek – Obisk v
šoštanjski elektrarni

priloga Tekmovanje v znanju fizike za bronasto
Stefanovo priznanje – področno
tekmovanje
priloga 60. fizikalno tekmovanje srednješolcev
Slovenije – področno tekmovanje
priloga 58. tekmovanje iz matematike za Vegovo
priznanje – regijsko tekmovanje
    
P 50 (2022/2023) 3 3
Kazalo
    
P 50 (2022/2023) 34
»Vse je na spletu«
A L
Nedavno sem se pohvalil kolegu, da sem kar do-
bro napisal prispevek za Presek. »No,« je odgovoril,
»takole tvoje pisarjenje pač ni zelo zahtevno, saj je
vse na spletu.« Torej, po njegovem, so prispevki v
Preseku le kopije tega, kar je tam. Tisti »pisarjenje«
in »vse je na spletu« me niti nista zelo presenetili,
saj kolega ni nikoli ničesar objavil v Preseku.
Celo pri pisanju člankov za Presek na spletu ne
najdemo vsega, včasih celo bore malo, morda ne-
kaj vsem znanih izjav. Da ne govorimo o pomoči
spleta pri pisanju raziskovalnega članka. Na speci-
fična vprašanja s spleta zevajo ogromne praznine.
Zelo redko najdemo ustrezne članke, ki jih avtorji
postavijo na splet, največkrat jim založniki to celo
prepovejo. Ne preostane drugega kot obisk dobre
knjižnice in brskanje po priznanih znanstvenih re-
vijah, danes na spletu, če ima knjižnica urejen do-
stop do njih. Ko pa se avtor odloči napisati članek
za Presek, je pomoč spleta lahko dobrodošla, a le do
meje, ko dobiš idejo za prispevek in je obravnavano
snov bralcem Preseka primerno razložiti in opremiti
z nazornimi slikami. Če že imamo srečo in najdemo
ustrezne ponazoritve, jih brez dovoljenja ne gre kar
kopirati, največkrat pa ustreznih niti ne najdemo.
Tale: »vse je na . . . « pa ni ravno sodobna krila-
tica. V srednjem veku je bilo vse v Svetem pismu.
Tycho Brahe je postavil Zemljo v središče Osončja,
saj je tako prav po Svetem pismu, »le-to pa je nad
vsemi drugimi resnicami«, kot je izjavljal. Kar nekaj
časa je minilo, da je zahodni svet sprejel, da v Sve-
tem pismu pač ni najti vseh resnic. Znanstvenih spo-
znanj pa tam ni, čeprav nekateri trdijo, da najdemo
trditve, če jih seveda primerno tolmačimo, do kate-
rih se je znanost dokopala pred nedavnim. Znana je
tudi zgodba o antični knjižnici v Aleksandriji, tedanji
prestolnici znanosti. Ko so Aleksandrijo zavzeli mu-
slimanski napadalci, so knjižnico v celoti požgali z
razlago: »Če so zapisi v knjižnici v nasprotju s Kora-
nom, jih je treba uničiti, če pa so s Koranom skladni,
jih ne potrebujemo, saj je že vse v Koranu.« Zgodba
je po vsej verjetnosti le urbana legenda, ker je knji-
žnico večkrat zajel ogenj že davno prej.
Pozneje, v razsvetljenstvu, so se številni znanstve-
niki trudili vse znanje zaokrožiti v enciklopedijah.
Če česa ne veš, poišči v enciklopediji, »tam je vse«.
Kljub skoraj dnevnim dopolnitvam tam seveda nikoli
ni bilo in tudi ni vsega. Danes je splet res navdu-
šujoča novost, do takih in drugačnih informacij pri-
demo bliskovito, vprašanje je le, ali so prave. Ker jih
je morje, jih težko vse pregledamo, največja nevar-
nost pa nam preti, ko jih začnemo izbirati tako, da
ustrezajo našim, največkrat zmotnim, prepričanjem.
V Wikipediji te nevarnosti sicer ni, a Wikipedija ni
nič drugega kot hitro dostopna enciklopedija. Tudi
na Wikipediji ni vsega, vsaj ne tako, da bi tam napi-
sano kar prekopirali. V eni od iskric na prvi strani
Dela preberemo, da »lahko Google na dano vpraša-
nje vrne sto tisoč odgovorov, knjižničarka pa ti po-
sreduje pravega«.
Ne le v romanopisju, tudi v znanosti in tehnologiji
imamo zanimive pripovedi, ki jih radi povemo, po-
sebno mladim ljubiteljem Presekovih strok. A merila
za sprejem in objavo prispevka terjajo od avtorjev
nekaj izvirnosti, ne zgolj ponavljanja tega, kar naj-
demo v učbenikih ali na spletu. Presekovih avtorjev
sicer ni prav obilo, a Presek je še vedno tu, včasih
morda pretežak, a s pomočjo učiteljev ali staršev ob-
vladljiv vir zanimivega branja in originalnih nalog za
bistrenje uma in preizkušanje znanja. Torej: vse naj-
boljše za prihodnjih 50 let!
×××
     
P 50 (2022/2023) 3 5
Semaforji in barvanje grafov
S Č
Namen cestnega omrežja je, da lahko s potjo po-
vežemo poljubni dve lokaciji. To neizbežno vodi v
križišča, kjer se poti vozil, namenjenih v različne
smeri, morajo sekati. Potrebi po križiščih se lahko
izognemo z izrabo tretje dimenzije – z nadvozi. Te
uporabimo predvsem pri avtocestah, kjer je pre-
točnost brez ustavljanja poglavitnega pomena. Pri
drugih cestah, predvsem v naseljih, je to predrago
in prostorsko preveč potratno. Tam izkoriščamo
nivojska križišča – križišča brez nadvozov in pod-
vozov, kjer lahko varnost zagotovimo s predno-
stnimi pravili, ki jih morajo vozniki dobro poznati,
ali pa s pomočjo semaforja, posebej pri križiščih z
visoko pretočnostjo.
Vozniki z vsake ceste v križišču lahko zavijejo v
katerokoli smer, česar v nivojskem križišču ne mo-
remo zagotoviti sočasno brez sekanja. Semafor pro-
blem križanja poti reši tako, da poti namesto v pro-
storu razporedi v času. V matematični idealizaciji
vsaka stopnja semaforja dovoljuje le poti, ki se med
seboj ne križajo. V vseh stopnjah semaforja, preden
se cikel ponovi, morajo priti na vrsto vsi, ne glede na
to, kam zavijajo.
Kot matematiki se lahko vprašamo, kolikšno je
najmanjše število stopenj, ki jih potrebujemo za ne-
ko križišče, in koliko različnih kombinacij semafor-
nih stopenj je mogočih. Pred matematično obrav-
navo moramo problem preoblikovati v bolj čisto in
pregledno obliko. Pri tem so bolj kot začetne in kon-
čne točke poti pomembne poti same.
Za vsako križišče moramo najprej poiskati vse po-
ti. Pri tem bomo izpustili zavijanje v desno, saj je to
SLIKA 1.
Grafe in zemljevide barvamo tako, da so sosedi razlǐcnih barv.
Levo: neveljavno barvanje. Desno: veljavno barvanje.
vedno mogoče vsaj takrat, ko je omogočen tudi pro-
met naravnost, ter na splošnem vedno, kadar cesta
na desni nima drugih »pritokov«. Za desne zavoje bo
zato v semafornem ciklu vedno prostor, ko določimo
vse drugo. V nekaterih križiščih ima desni zavoj svoj
pas, ki ni odvisen od semaforja. V ZDA je previdno
zavijanje v desno dovoljeno celo pri rdeči luči, kar
smo v preteklem letu na nekaterih izbranih križiščih
dovolili tudi v Sloveniji. Prav tako bomo prepovedali
polkrožno obračanje.
Vozniki vemo, da je največji izziv zavijanje v levo,
saj s tem sekamo pot nasproti vozečim vozilom. V
praksi semaforji pogosto nimajo posebne stopnje za
zavijanje v levo, ampak vozniki čakajo v sredini kri-
žišča, da se jim pot sprosti. Za našo analizo bo bolj
ugodno, da ta primer idealiziramo kot sosledje dveh
stopenj – prvo za vožnjo naravnost in drugo za zavi-
janje v levo. Tako bodo vse naše semaforne stopnje
resnično brez sekanja poti.
Naslednji korak je, da poiščemo vse pare poti, ki
se križajo. Če se poti križata, vemo, da se morata po-
javiti v različnih stopnjah semafornega cikla. Mno-
žico poti in križajočih se parov bomo predstavili ma-
tematično kot graf – množico vozlišč (poti) in pove-
     
P 50 (2022/2023) 36
A
B
C
A
B
C
SLIKA 2.
Križišče treh cest in pripadajoči graf. Puščice istih barv pome-
nijo poti, ki imajo hkrati zeleno luč. Te barve ustrezajo barvam
vozlišč grafa.
zav (prepovedanih parov poti). Vsako križišče lahko
predstavimo torej kot neusmerjen graf, pri čemer je
pogoj, da vozlišča, ki so med seboj povezana, ne
smejo biti v isti stopnji semafornega cikla. To pre-
poznamo kot znano vprašanje iz teorije grafov: z
najmanj koliko barvami lahko pobarvamo graf (ali
zemljevid), da sta dve sosednji vozlišči (državi) ve-
dno različnih barv (glej sliko 1). Še več, vsako raz-
lično barvanje grafa pripada drugačnemu semafor-
nemu ciklu, permutacija barv pa ustreza menjavi vr-
stnega reda stopenj cikla.
Pri določanju, katere poti se sekajo, moramo spre-
jeti še nekaj odločitev. Kadar se poti križata v sre-
dini križišča, gre vsekakor za prepovedano kombi-
nacijo. Če se sekata na začetku, pa to pomeni za-
vijanje z iste vstopne ceste. To ne predstavlja ne-
varnosti za trk, je pa problematično, če imata dva
zaporedna avtomobila namen zavijati v smereh, ki
nimata hkrati zelene luči. V teh primerih moramo
imeti več vstopnih pasov in torej širšo cesto. Če se
poti sekata v končni točki, imamo drugačen problem
– če v isti izhodni pas hkrati vstopajo vozila z različ-
nih smeri, imamo nevarnost trka. Razrešitev te ne-
varnosti lahko prepustimo previdnosti voznikov, ali
pa jim dodelimo več izstopnih pasov, kar spet zah-
teva širšo cesto. Ta presečišča lahko tudi enostavno
prepovemo in dobimo bolj stroge pogoje za veljavne
semaforne stopnje.
Najenostavnejši primer je križišče treh cest na sli-
ki 2, katerega pripadajoči graf je kar trikotnik. Tega
lahko pobarvamo le na en način, in to s tremi bar-
vami. Raje se posvetimo bolj zanimivemu primeru
križišča štirih cest, najprej za primer, ko prepovemo
sekanje v končni točki. Pripadajoči graf lahko po-
barvamo s štirimi barvami, torej potrebujemo štiri
stopnje semafornega cikla. Slika 3 prikazuje vse tri
možne semaforne cikle s pripadajočimi pobarvanimi
grafi. Semaforni cikel α je najbolj tipičen: najprej
imamo vožnjo naravnost v smereh vzhod-zahod, sle-
di zavijanje v levo z istih cest, potem pa isto pono-
vimo še za smeri sever-jug. Ta semaforni cikel zah-
A
C
B
D
C
A
D
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
C
B
D
C
A
D
B
A
D
C
B
A
C
B
D
C
A
D
B
SLIKA 3.
Graf za križišče štirih cest lahko po-
barvamo na tri načine. Vozlišča is-
tih barv predstavljajo hkratno zeleno
luč, in na grafu niso povezana.
     
P 50 (2022/2023) 3 7
A
C
B
D
C
A
D
B
A
C
B
D
C
A
D
B
A
D
C
B
A
D
C
B
SLIKA 4.
Križišče s štirimi cestami z dovoljenim hkratnim zavijanjem v
isto smer.
teva ločen pas za zavijanje v levo. Pri manjših križi-
ščih to ni rešeno z ločeno stopnjo semaforja, ampak
vozniki le počakajo v križišču. Cikel γ je najeno-
stavnejši, saj za vsako cesto odpremo zavijanje v vse
smeri, medtem ko na preostalih treh cestah čakajo.
Ta ne zahteva niti dodatnih pasov niti čakanja v kri-
žišču, je pa redko v rabi, saj je v praksi ena cesta
prednostna in je zavijanja v levo malo. V teh pri-
merih ima cikel α večji pretok, sploh če je dovolj
prostora za čakanje v sredini križišča. Cikel β je
kombinacija obeh ciklov – naravnost in levo v sme-
reh vzhod-zahod, posamični cesti v smereh jug in
sever.
Če dovolimo tudi sekanje v končni točki, dobimo
še dva dodatna cikla, prikazana na sliki 4. V primeru
δ pride do hkratnega zavijanja na cesti sever in jug,
v primeru ǫ pa v vse štiri izhodne ceste. Na grafu so
z rumeno označene povezave, ki pripadajo sekanju
v končni točki.
Še zanimivejši problem je križišče običajne ceste
in avtocestnih priključkov, kjer je ena izmed eno-
smernih cest samo vstopna, druga pa samo izstopna.
V tem primeru je možnih poti pet, dobljeni graf, ki
je kar cikličen, pa lahko pobarvamo z le tremi bar-
vami, in to na štiri možne načine, prikazane na sliki
5. Opazimo pa, da se prva dva načina razlikujeta le
v barvi C ↑ – to pomeni, da lahko ta dva cikla zdru-
žimo in pustimo zeleno luč C ↑ v dveh stopnjah ci-
kla, in povečamo pretočnost križišča. Podobno velja
za preostala dva načina – v tem primeru smer A ↑
lahko pobarvamo z dvema barvama, ne da bi prišlo
do presečišč. V resnici imamo torej le dve možnosti.
Kako pa računsko, brez risanja, ugotovimo, ali se
dve poti sekata? V ta namen si bomo mislili, da vse
vstopne in izstopne točke v križišče ležijo na kro-
žnici in jih oštevilčili s števili od 0 do n − 1 v smeri
urnega kazalca. aZ in aK naj bosta začetni in končni
indeks prve poti, bZ in bK pa začetni in končni in-
deks druge. Zdaj potujmo zgolj v smeri urnega ka-
zalca, in poskusimo na poti od aZ do aK obiskati
eno izmed krajišč poti b, kot na sliki 6. Če sta obe
krajišči b vmes ali obe zunaj intervala med aZ in aK ,
potem bomo opisali enak kot za obe krajišči b: bo-
disi bomo šli direktno od aZ do aK in s tem že srečali
obe krajišči, ali pa bomo morali enkrat naokrog, da
poberemo obe krajišči. V tem primeru se poti ne se-
kata. Če pa je med aZ in aK le eno krajišče b, se poti
sekata. V tem primeru sta opisana kota različna.
A C
B
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
C
A
B
A C
B
C
B
A C
B
C
B
A C
B
C
B
SLIKA 5.
Križišče obǐcajne ceste (sever-jug) in
enosmernega izvoza z avtoceste z
zahoda in nazaj na avtocesto proti
vzhodu.
     
P 50 (2022/2023) 38
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
aZ
aK
bZ
bK
aZ
aK bZ
bK
SLIKA 6.
Prepoznavanje presečišč s pomočjo ciklǐcnega sprehoda. Levo:
sprehoda 9-1-2 in 9-8-2 sta razlǐcno dolga, torej se poti sekata.
Desno: sprehoda 3-1-8 in 3-6-8 sta enako dolga, torej se poti
ne sekata.
Če z mod(x,n) pišemo pozitivni ostanek x po de-
ljenju z n, potem se poti ne sekata, če in samo če
velja enačba
mod(bZ − aZ , n)+mod(aK − bZ , n) =
= mod(bK − aZ , n)+mod(aK − bK , n).
To pa je nekaj, kar računalnik lahko preveri brez
znanja geometrije.
Videli smo, da s pomočjo teorije grafov lahko sis-
tematično opišemo možne semaforne cikle in izbe-
remo tistega, ki najbolje ustreza naši situaciji. To-
vrstno analizo lahko naredimo za poljubno križišče,
na primer za križišče petih cest, pri čemer ugoto-
vimo, da imamo 32 možnih 5-stopenjskih semafor-
nih ciklov, če prepovemo zavijanje na isti izhodni
pas. Tako kompleksna križišča so nepraktična in za
voznike nepregledna, predvsem pa imajo nizko pre-
točnost. V takih primerih raje uporabimo dve za-
poredni križišči, najraje pa kar krožišče. Krožišča
nimajo težav s križanjem poti, še vedno pa imamo
poti, ki se zlivajo v isti vozni pas – vozila se vključu-
jejo na pas, po katerem z leve lahko prihaja vozilo,
ki je že v krožišču.
Bralce vabim, da med čakanjem pri rdeči luči opa-
zujejo, katera različica semafornega cikla velja, kako
se razvrščajo v pasove, in kako se razrešujejo zavoji,
ki jih semafor mogoče ne regulira ločeno. S tem bo
tudi čakanje mogoče postalo nekoliko manj nadle-
žno.
×××
Tri lastnosti
števila 2023
M R
1. Število 2023 je petkrat pohlevno, ker se ga da
izraziti na pet načinov kot vsoto nekaj zaporednih
naravnih števil, denimo x,x+1, . . . , x+n−1. Pri tem
sta števili x in n naravni. Veljati mora torej relacija
x + (x + 1)+ . . .+ (x +n− 1) = 2023.
Vsoto na levi strani znamo poenostaviti, tako da do-
bimo
n(x + (x +n− 1))
2
= 2023
oziroma
n(2x +n− 1) = 2 · 7 · 172.
Desno stran te relacije lahko zapišemo na pet nači-
nov kot produkt dveh faktorjev: 2 · (7 · 172),14 ·
172,34 · (7 · 17),17 · (14 · 17),7 · (2 · 172). Zato
lahko izberemo n = 2,2x+n−1 = 7·172 in dobimo
x = 1011. Podobno sledi za n = 14,2x+n−1 = 172
še x = 138 itd. To pomeni, da veljajo zapisi
2023 = 1011+ 1012 = 138+ 139+ . . .+ 151
= 43+ 44+ . . .+ 76
= 111+ 112+ . . .+ 127
= 286+ 287+ . . .+ 292.
2. Število 2023 je kongruentno, kar pomeni, da ob-
staja pravokoten trikotnik, ki ima za stranice racio-
nalna števila in ploščino 2023.
Ker je 2023 = 7 · 172, je dovolj pokazati, da je 7
kongruentno število. Ni vsako naravno število kon-
gruentno. Najmanjše kongruentno števolo je 5, kar
je vedel že Fibonacci.
Pravokotne trikotnike, ki imajo za stranice a,b, c
(a2 + b2 = c2) naravna števila, to je pitagorejske tri-
kotnike, znamo poiskati s formulami
a =m2 −n2, b = 2mn,c =m2 +n2.
     
P 50 (2022/2023) 3 9
Pri tem sta m in n naravni števili in m > n. Če
sta m in n tuji si števili različnih parnosti, potem
a,b, c nimajo skupnega faktorja in pitagorejski tri-
kotnik se imenuje primitiven. Ploščina trikotnika je
p = ab/2 = (m−n)(m+n)mn. Poiskati moramom
in n tako, da bo p sedemkratnik nekega popolnega
kvadrata. S poskušanjem ugotovimo, da za m = 16
in n = 9 dobimo
a = 175, b = 288, c = 337, p =
ab
2
= 7 · 602.
Pravokoten trikotnik s stranicami
a′ = a/60 =
35
12
, b′ = b/60 =
24
5
,
c′ = c/60 =
337
60
ima ploščino p′ = 7, zato je 7 kongruentno število.
Pravokoten trikotnik, ki ima 17-krat daljše stranice,
to se pravi
a′′ = 17a′ =
595
12
, b′′ = 17b′ =
408
5
,
c′′ = 17c′ =
5729
60
,
ima ploščino p′′ = 172p′ = 7 · 172 = 2023. Zato je
število 2023 res kongruentno.
3. Število 2023 je za 1 manjše od 22. tetraedrskega
števila. To pomeni, da lahko 2023 enakih kroglic zlo-
žimo v tetraeder, ki mu manjka vrh. V k-ti plasti,
šteto od vrha navzdol, je Tk = k(k+1)/2, to je triko-
tniško število kroglic.
Tetraedrsko število Tn, n-to po vrsti, je vsota pr-
vih n trikotniških števil:
Tn =
n∑
k=1
Tk =
1
2
n∑
k=1
(k2 + k)
=
n(n+ 1)(2n+ 1)
12
+
n(n+ 1)
4
=
n(n+ 1)(n+ 2)
6
.
Lahko ga zapišemo tudi kot
Tn =
(
n+ 2
3
)
.
Ker je
2023+1 = 2024 = 8·11·23 =
1
6
·22·23·24 = T22,
lahko zapišemo 2023 = T22 − 1.
×××
Križne vsote
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s
števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za-
porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih
enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na
začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem
morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu)
različne.
11 10
6
17 12
12
10 15
14
10
9
24
14
4
×××
     
P 50 (2022/2023) 310
Galtonova plošča
A L
Nedavno mi je prišla v roke industrijsko izde-
lana Galtonova plošča (glej sliko na naslovnici).
Včasih smo jo naredili sami. V desko smo enako-
merno pribili žebličke v več vrstah. Ti so predstav-
ljali mrežo ovir za kroglice, ki smo jih spuščali po
malo nagnjeni deski navzdol. Kroglice so pri tem
trkale ob žebljičke, se pri tem preusmerjale sem in
tja in končno, ko so se izvile iz mreže, pristale v
žlebičkih na dnu.
Čeprav smo kroglice spuščali z istega mesta, je
vseeno vsaka izbrala svojo pot skozi žebljičke. Sedaj
lahko tako ploščo kupimo v kakšni spletni trgovini.
Kupljena plošča deluje enako kot doma narejena, le
da je mreža ovir iz plastičnih valjčkov, plošča pa je
zaprta, da množica majhnih jeklenih kroglic ne more
pobegniti iz nje. Ko je plošča obrnjena na glavo, se
kroglice zberejo v stožčasti posodici na dnu skozi
drobno luknjico na njenem vrhu (glej sliko 1). Ko
ploščo obrnemo, da je posodica na vrhu, se iz nje
začnejo vsipavati krogice na mrežo ovir. Kroglice
se prebijajo skozi mrežo, se od ovir odbijajo in se
končno ujamejo v enakomerno nastavljene kanalčke
vzdolž plošče. Ko so vse krogice v kanalčkih, opa-
zimo, da so se porazdelile v obliki zvonaste krivulje.
V kanalčkih dlje od sredine jih je malo, v kanalčkih
blizu sredine pa več. V srednji kanalček se običajo
ujame največ kroglic. S ponovnim obratom se kro-
glice iz kanalčkov vsujejo nazaj v posodico in poskus
lahko ponovimo. Pri vsakem poskusu opazimo zelo
podobno porazdelitev kroglic v kanalčke. Včasih je v
izbranem kanalčku malo več, včasih malo manj kro-
glic, a njihovo število je vedno blizu povprečne vre-
dnosti v tem kanalčku, ki je vrisana na plošči (glej
sliko 2).
SLIKA 1.
Na glavo obrnjena Galtonova plošča s kroglicami v posodici
Ko iztekajo kroglice skozi drobno odprtino poso-
dice, nimajo vse povsem enakega startnega mesta.
Tudi njihove hitrosti na mestu prvih ovir niso pov-
sem enake. Res so si startna mesta zelo blizu, a tudi
še tako majhne razlike se sčasoma, ko se kroglice
prebijajo skozi ovire, močno povečajo. Na Galtonovi
plošči je tirom posameznih kroglic zelo težko sle-
diti. Zato smo jo »preselili« v računalnik. Kroglice
se tudi v programu skoraj elastično odbijajo od ne-
premičnih valjastih ovir, kot se to dogaja pri realni
plošči. Sedaj lahko sledimo tiru dveh kroglic, ki iz
mirovanja startata zelo blizu druga drugi. Na sliki 3
vidimo, da se tira na začetku poti tako malo razliku-
jeta, da razlike niti ne opazimo. Potem pa se njuna
tira začneta močno razlikovati in sta po izhodu iz
     
P 50 (2022/2023) 3 11
SLIKA 2.
Število kroglic se v posameznih kanaľckih pri vsakem poskusu
nekoliko spremeni, a zvonaste krivulje kljub temu ne moremo
spregledati
mreže povsem različna. Gibanje kroglic skozi ovire
je torej zelo nepredvidljivo. Pojav spominja na te-
gobe vremenoslovcev. Iz skoraj enakih začetni raz-
mer se vreme lahko nepredvidljivo obrne v katero-
koli smer. Zato se vremenske napovedi, večinoma si-
cer presenetljivo točne, včasih povsem ponesrečijo.
Govorimo o vplivu metulja, ki lahko z zamahom kril
v nestabilnem ozračju v oddaljenem kraju povzroči
nevihto.
SLIKA 3.
Kaotǐcna tira dveh kroglic pri njunih zelo bližnjih startnih me-
stih - trije poskusi
S kupljeno Galtonovo ploščo ne moremo opazo-
vati vpliva manjšega števila ovir na porazdelitev kro-
glic po kanalčkih. Radi verjamemo, da porazdelitev
kroglic le pri eni oviri še ne bo zvonasta. Toda kak-
šna je potem? Narediti bi morali ploščo, kjer bi vr-
ste z ovirami postopoma dodajali. A z računalnikom
je kakršnokoli dodajanje ali odstranjevanje ovir pač
najpreprostejše.
Najprej imejmo le eno valjasto oviro pod odprtino,
skozi katero zaporedoma spuščamo 10000 kroglic.
Kroglicam z enakim polmerom, kot ga imajo ovire,
smo sledili in ugotovili, v kateri kanalček se je do-
ločena kroglica ujela. Vse kroglice so spočetka mi-
rovale, potem pa smo jih spuščali iz enake višine.
Naključno smo spreminjali le njihovo začetno lego
levo-desno, vendar tako, da so vse zadele oviro. Po-
tem smo po vrsti dodajali vedno več vrstic z ovirami
in opazovali končne porazdelitve kroglic (glej sliko
4). Na sliki 5 smo prikazali porazdelitve pri eni oviri
(a), oviri in dodani vrsti ovir (b) do dodanih petih vr-
stic ovir. Vrstice z ovirami so vedno širše, kot je to
videti pri otipljivi plošči na sliki na naslovnici. Pre-
gledno vidimo, kako se porazdelitve kroglic bližajo
zvonasti obliki. Tej končni porazdelitvi pravimo nor-
malna ali Gaussova porazdelitev. Srečamo jo pri šte-
vilnih pojavih, kjer so pomembni naključni vplivi, de-
nimo pri opisu difuzije delcev. Kroglice pri padanju
in odbijanju od ovir dobivajo različno velike sunke,
za izid poskusa so pomembne le komponente sun-
kov v vodoravni smeri levo-desno. Da bi to ugoto-
vitev podkrepili, smo naredili še en računalniški po-
skus. Na sliki 6 je porazdelitev desettisočih kroglic,
ki so prvotno bile vse v izhodišču (tega označuje ze-
lena pika) in smo jih z naključno velikimi sunki sem
in tja tisočkrat preusmerili. Po vsakem sunku so se
kroglice ustavile, potem pa je sledil nov sunek. Spet
vidimo, da je porazdelitev kroglic po zadnjem sunku
prepričljivo zvonasta. Poskus priča, da na porazde-
litev podrobnosti o naravi trkov ne vplivajo. Zato
normalno porazdelitev v fiziki, pa tudi na drugih po-
dročjih, zelo pogosto srečamo.
Do matematične oblike zvonaste krivulje pridemo
z naslednjim razmišljanjem. Denimo, da spuščamo
z balkona na lepljiva tla lahke stiroporne kroglice.
Zaradi vetra, ki naključno popihlja zdaj sem zdaj tja,
vse kroglice ne padajo proti tlom enako, čeprav jih
spuščamo s kolikor se da istega mesta. Na tla posta-
vimo mrežo drobnih predalčkov, kamor padajo kro-
glice. Predalčki naj imajo kar se da tanke stene in naj
so tesno skupaj (glej sliko 7). Narišimo na tla še pra-
vokotni koordinatni sistem (x,y), ki naj ima izhodišče
natančno pod mestom, odkoder spuščamo kroglice.
Sredina vsakega predalčka ima sedaj določeni koor-
     
P 50 (2022/2023) 312
SLIKA 4.
Mreža treh vrst ovir (polni krožci) pod najvišjo oviro pri na-
ših računalniških poskusih. Prazen krožec predstavlja trenutno
lego ene od kroglic, ki se prebija skozi mrežo ovir
SLIKA 5.
Porazdelitve kroglic pri eni oviri (a), eni dodani vrsti ovir (b),
dveh dodanih (c)..., petih dodanih vrsticah (f)
dinati x in y , predalčki pa naj imajo vsi dolžino ∆x
in vsi širino ∆y . V teh predalčkih se sedaj nabirajo
kroglice.
Radi verjamemo, da mora biti porazdelitev kroglic
v predalčkih z dano ordinato y in različnimi x neod-
visna od te ordinate, saj smo predpostavili, da veter
pihlja v vse smeri z enako verjetnostjo, torej nobena
smer, torej tudi nobena koordinata, ni na boljšem.
Sedaj pa poglejmo, kako daleč od sredine našega ko-
SLIKA 6.
Porazdelitev kroglic po tisočih naključnih sunkih v vodoravni
smeri sem in tja. Višina daljic je sorazmerna s številom kroglic
v danem intervalu ∆x , ki je za x oddaljen od izhodišča, ki ga
nakazuje zelen krožec
SLIKA 7.
Koordinatni sistem in izbrani pravokotni predaľcek s strani-
cama ∆x in ∆y
ordinatnega sistema padajo kroglice. Ker velja po
Pitagorovem izreku r 2 = x2 + y2, vemo, kako daleč
od izhodišča je padla. Označimo število kroglic, ki so
padle med x− ∆x2 in x+
∆x
2 ne glede na koordinato y
s p(x)∆x, tiste, ki so padle med y− ∆y2 in y+
∆y
2 ne
glede na koordinato x, pa s p(y)∆y . Tu smo vpeljali
porazdelitveni funkciji p(x) in p(y), saj ni vseeno,
         
P 50 (2022/2023) 3 13
kako daleč od osi x ali osi y je izbrani predalček. Da-
leč od katerekoli osi je v predalčkih zelo malo kroglic
ali pa je predalček celo prazen. Tudi ni vseeno, kako
velik je predalček, to upoštevamo z ∆x in ∆y . Šte-
vilo kroglic, ki so padle v prav izbrani predalček s
koordinatama x in y , je potem p(x)∆xp(y)∆y . To
je zato, ker za kroglico pri danem x ta x ne vpliva na
njen y in za kroglico pri danem y ta y ne vpliva na
njen x. Sedaj pa odločilni sklep: porazdelitev kroglic
po r mora imeti enako odvisnost, kot velja za poraz-
delitev po predalčkih z x ali po predalčkih z y . Če
sta namreč porazdelitvi za x in za y neodvisni, je
porazdelitev po r ravno enaka porazdelitvi po x, ko
je y = 0. Na splošno mora torej veljati:
p(r)∆x∆y = p(x)∆xp(y)∆y ,
ali
p(r) = p(x)p(y) .
Velja tudi:
r 2 = x2 +y2 .
Edina odvisnost p(x), ki zmore zadovoljiti obe zgor-
nji zahtevi, je:
p(x) = Aekx
2
.
Ker se mora število kroglic v kanalčkih z naraščajo-
čim x zmanjševati, mora biti k negativen, torej
p(x) = Ae−|k|x
2
.
Tu je A sorazmeren s številom kroglic. Z deljenjem
p(x) s tem številom preidemo na verjetnost, kar pa
za nas niti ni pomembno.
Plošča nosi ime po angleškem polihistorju Fran-
cisu Galtonu (1822–1911), ki je občudoval lastnost
kroglic, da se vedno porazdelijo po zvonasti krivulji.
Ploščo je sam izdelal in z njo navdušeno prikazoval
to lastnost svojim učencem. Znan je tudi po tem, da
je v statistiko vpeljal pojem korelacijskega koefici-
enta, ki pove, če ena meritev kako vpliva na drugo
in priporočal uporabo krivulj, ki se meritvam najbolj
tesno prilegajo, namesto zgolj povprečnih vrednosti,
ki so bile do tedaj v uporabi. Vpeljal je statistične
metode v meteorologijo in humanistične vede.
×××
Križne vsote
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s
števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za-
porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih
enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na
začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem
morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu)
različne.
4 13
11
11
14
16
8
12
8
15
̌ ̌ 
3
413
11
38
11
14
158
16
8
35
12
8
35
15
87
×××
G


G









̌


G  G         ̌  
P 50 (2022/2023) 314
Geometrijska konstrukcija
parabole
B̌ K
Pri pouku matematike v srednji šoli dandanes
parabolo običajno spoznamo kot graf kvadratne
funkcije. Hitro se naučimo računsko določiti njeno
teme, morebitni ničli in presečišče z ordinatno
osjo, izvirna geometrijska definicija parabole pa
pri obravnavi pogosto ostane v ozadju. V tem krat-
kem prispevku si bomo ogledali, kako v GeoGebri
konstruirati parabolo z uporabo sledi točke ob po-
mikanju po premici.
Spomnimo se: parabola je množica vseh točk v
ravnini, ki so enako oddaljene od neke vnaprej iz-
brane točke, ki jo imenujemo gorišče ali fokus, in
vnaprej izbrane premice, ki jo imenujemo vodnica
ali direktrisa.
Narišimo torej skico s poljubno premico in točko
v ravnini. Pri tem gorišče F izberimo tako, da ne leži
na premici vodnici. Označimo na premici poljubno
točko A in narišimo daljico AF . Naj bo točka B pre-
sečišče simetrale daljice AF in pravokotnice na vo-
dnico skozi točko A (Slika 1). Ker B leži na simetrali,
je enako oddaljena od točk A in F . Ker pa leži tudi
na pravokotnici na vodnico, je njena razdalja od vo-
dnice enaka razdalji od točke A. Torej je točka B ena
od točk iskane parabole. Na ta način vsaka točka A
na premici vodnici določa neko točko na paraboli.
Izjema bi bil primer, ko bi gorišče F ležalo na pre-
mici vodnici. Bralec bo s pomočjo lastne skice zlahka
opazil, da je tedaj ustrezna parabola enaka kar pra-
vokotnici na vodnico skozi točko F .
Zdaj je kot na dlani tudi ustrezna konstrukcija pa-
rabole v GeoGebri:
Vodnica
Parabola
A
F
B
SLIKA 1.
Če gorišče F ne leži na premici vodnici, potem vsaka točka A
na premici določa natanko eno točko B na paraboli.
Na delovni površini skrijemo koordinatni sistem.
Skozi dve poljubno izbrani točki narišemo premi-
co vodnico. Točki nato skrijemo.
Izberemo poljubno točko zunaj premice in jo
označimo s F .
Zdaj na premici izberemo neko poljubno točko in
jo označimo z A. (Pozor, ta točka ni enaka nobeni
od dveh točk, ki določata premico).
Narišemo daljico AF in njeno simetralo, ter pravo-
kotnico na vodnico skozi A.
Presečišče prej narisane simetrale in pravokotnice
označimo z B.
Klikanje in prikaz pomočnih objektov pri prejš-
njih dveh korakih nam prihrani vnos ukaza
Presečišče(Simetrala(A,F), Pravokotnica
(A,f)).
Zdaj lahko vklopimo sled točke B in opazujemo
krivuljo, ki nastaja ob premikanju točke A po pre-
mici.
         
P 50 (2022/2023) 3 15
Z ukazom sled(B,A) lahko izrišemo celotno pa-
rabolo in opazujemo, kako se pri premikanju go-
rišča F spreminja njena oblika. Posebej si lahko
ogledamo tudi primer, ko gorišče leži na vodnici.
Opisana geometrijska konstrukcija seveda ni
edina možna, je pa najbolj neposredna glede na našo
definicijo parabole. Iz izdelanega prikaza lahko raz-
beremo tudi znamenito odbojno lastnost parabole –
vsak žarek, vzporeden osi simetrije parabole, se na
paraboličnem zrcalu odbije v gorišče (slika 2). Bralec
bo z brskanjem zlahka našel še kakšno zanimivo ge-
ometrijsko konstrukcijo parabole. Z uporabo pojma
ekscentričnost lahko geometrijsko definicijo parabo-
le posplošimo tako, da z njo zajamemo tudi druge
stožnice. Več o tem pa v eni od prihodnjih številk.
SLIKA 2.
Geometrijska konstrukcija lepo poudari tudi odbojno lastnost
parabole.
×××
www.dmfa.si
www.dmfa-zaloznistvo.si
www.presek.si
Novoletna
nagradna
uganka
U̌
Ana ima 2023 enakih kock.
Iz svojih kock je sestavila nekaj večjih kock in pri
tem uporabila vse kocke. Koliko najmanj kock je
sestavila?
Iz svojih kock je sestavila nekaj kvadratnih plo-
skev (višine 1) in pri tem uporabila vse kocke. Ko-
liko najmanj kvadratov je sestavila?
Ana je 2023 enakim kockam dodala še nekaj ena-
kih kock, ki jih je dobila z razstavljanjem večje
kocke. Zdaj lahko iz vseh kock skupaj sestavi dve
večji kocki. Koliko najmanj kock je dodala?
Naloge je prispevala Katarína Hriňáková. Kratko
rešitev s svojimi podatki pošljite na e-naslov info@
dmfa-zaloznistvo.si do 20. januarja 2023. Med
prispelimi rešitvami bomo izžrebali 3 in jih nagradili
s knjižno nagrado.
×××
Križne vsote
R  ̌            9
11 10
6 4 2 17 12
12 7 5 10 15
14 9 5
10 3 7 9
24 9 8 7
14 3 6 5
4 3 1
×××
         
P 50 (2022/2023) 316
Nagradna križanka
×××
    
Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z
osebnimi podatki v obrazec na spletni strani
www.presek.si/krizanka
ter ga oddajte do 1. februarja 2022, ko
bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo pre-
jeli knjižno nagrado.
         
P 50 (2022/2023) 3 17
       
P 50 (2022/2023) 318
Lov na nezemljane in
Drakova enačba
V K̌̌
V začetku septembra nas je zapustil veliki astro-
nom Frank Drake, zato smo se odločili članek v to-
kratni številki revije Presek posvetiti ameriškemu
astrobiologu, ki je svojo kariero začel kot radij-
ski astronom, najbolj pa se je uveljavil s svojimi
raziskavami na področju nezemeljske inteligence
SETI (angl. search for extraterrestrial intelligence).
V okviru slednje je razvil tudi Drakovo enačbo, s
katero je poskusil kvantificirati število inteligen-
tnih oblik življenja v Galaksiji, ki bi jih potencialno
lahko odkrili.
Preden pa se posvetimo takšnim in drugačnim
oblikam nezemljanov in inteligentnih civilizacij,
ob katerih se spomnimo na razne znanstvenofanta-
stične televizijske serije, se dotaknimo nekaj
osnov astrobiologije in načnimo nekaj temeljnih
vprašanj o živem.
Življenje
Živo?
Zdi se, da je koncept življenja nekoliko izmuzljiva
reč. Poznamo namreč le en primer življenja − tega,
ki se je razvilo na Zemlji −, zato je življenje na splo-
šnem težko opredeliti. Smiselno pa je domnevati,
da bi lahko nekatere značilnosti življenja, kot ga po-
znamo, posplošili tudi na druge oblike življenja.
Za življenje v obliki, kot ga poznamo, zares po-
membnih kemijskih elementov v resnici ni tako zelo
veliko − mednje spadajo ogljik (C), vodik (H), dušik
(N), kisik (O), fosfor (P) in žveplo (S), kar si lahko
prikladno zapomnimo kot CHNOPS − slednji pa je
vsekakor ključnega pomena za življenje. Med organ-
skimi molekulami, ki jih sestavljajo ti elementi, so
najpomembnejši lipidi, nukleotidi in aminokisline.
Kisik in vodik sestavljata vodo, spojino, brez katere
si življenje zares težko predstavljamo. Življenje na
Zemlji je nastalo v vodi, in sicer pred več kot 3 mili-
jardami let, vendar pa tudi današnji kopenski orga-
nizmi za svoje delovanje vodo še vedno nujno potre-
bujejo.
žveplo 440
magnezij 580
silicij 650
dušik 960
železo 1.090
neon 1.340
ogljik 4.600
kisik 10.400
helij 240.000
vodik 739.000
element delež (ppm)
TABELA 1.
Najpogostejši elementi v Galaksiji. Fosfor se v vesolju poja-
vlja v sledeh – njegov delež je le okoli 50 ppm. Če v Gala-
ksiji iščemo življenje, podobno našemu, moramo zato posebej
oprezati ravno za fosforjem.
       
P 50 (2022/2023) 3 19
Pogoji za življenje
Takoj po velikem poku sta bila v vesolju edina ele-
menta vodik in helij. Težji elementi so nastali z je-
drskimi reakcijami v zvezdah in pri eksplozijah su-
pernov. Deležu elementov v zvezdi, ki so težji od
vodika in helija, pravimo kovinskost.
Zvezde v eliptičnih galaksijah in kroglastih zvez-
dnih kopicah so zelo stare in imajo nizko kovinskost,
zato se v njih življenje najverjetneje ne bo razvilo.
Veliko primernejši so diski spiralnih galaksij, ki vse-
bujejo mlade zvezde z visoko kovinskostjo. Daleč od
središča galaksije sta hitrost rojstev zvezd in s tem
kovinskost majhni, blizu središča pa je kovinskost
sicer velika, vendar ta predel zaradi visoke gostote
zvezd in s tem povezanega intenzivnega sevanja ni
primeren za življenje. Po grobi oceni zato v habita-
bilnem območju Galaksije leži le okoli petina zvezd.
Vendar to nikakor ni dovolj – za življenje prime-
ren planet mora ležati tudi v habitabilnem obmo-
čju matične zvezde. To je območje, kjer se tem-
peratura planeta vselej giblje med lediščem in vreli-
ščem vode. Slednja je poleg oddaljenosti od matične
zvezde in njenega izseva odvisna tudi od albeda po-
vršja planeta in kemične sestave atmosfere. Planet
večino prejete energije izseva v infrardeči svetlobi, ki
pa jo toplogredni plini učinkovito absorbirajo. Če je
zvezda hladna, je habitabilno območje ozko. Vroče
zvezde imajo sicer širše habitabilno območje, ven-
dar je čas življenja na glavni veji zanje veliko krajši,
zato časa za razvoj življenja na njenih planetih ni
veliko. Zato so najprimernejše kandidatke za habi-
tabilne planete ravno Soncu podobne zvezde glavne
veje.
Življenje v vesolju
Naše Osončje
Če smo se že lotili iskanja življenja v tem širnem
vesolju, stran od matere Zemlje, bi bilo morda smi-
selno pogledati pred lastnim pragom – kako je z živ-
ljenjem na planetih, lunah in drugih telesih v Oson-
čju?
Soncu najbližja planeta Merkur in Venera za živ-
ljenje nista primerna. Prvi nima atmosfere, naspro-
tno pa je atmosfera Venere pregosta in prevroča.
Plinski velikani Jupiter, Saturn, Uran in Neptun ni-
majo trdnega površja. Na Marsu je življenje nekoč
morda obstajalo; čeprav sonde na njem niso zaznale
znakov življenja, ni nemogoče, da je na njem še ve-
dno prisotnih nekaj mikroskopskih oblik življenja.
Obstajajo sumi in upi za življenje na Jupitrovi luni
Evropa. Njeno površje je namreč prekrito s polede-
nelim slanim oceanom. Osvetlitev pod ledenim po-
krovom je sicer preslaba za fotosintezo, vendar na
Evropi obstaja tudi drugi vir energije, in sicer plim-
sko segrevanje, ki bi lahko omogočalo življenje eno-
stavnim mikrobom.
SLIKA 1.
Pod ledenim površjem Galilejeve lune Evropa se nahaja plast
vode, v kateri bi lahko obstajalo enostavno življenje. (Vir slike:
[4])
Saturnova luna Titan je edini naravni satelit v
Osončju z gosto atmosfero. Ozračje je bogato tudi z
organskimi spojinami, med drugim z metanom. Ker
metan hitro razpada, mora na Titanu obstajati neki
vir metana, ki bi ga sproti nadomeščal. To bi lahko
bili živi organizmi, vendar Titan zaradi svoje hladno-
sti ni videti kot obetaven kraj za življenje. Razen
tega pa so na Cassinijevih radarskih slikah Titano-
vega površja razvidna temna metanska jezera, kar
zavrže mistični izvor metana v Titanovi atmosferi.
Zanimivo je tudi proučevanje življenja na kome-
tih, sploh če se sprašujemo o izvoru življenja na Ze-
mlji, saj so ravno kometi iz Oortovega oblaka eni iz-
med potencialnih kandidatov, ki so življenje prinesli
na Zemljo. Omeniti je treba projekt Rosseta in sondo
Gioto, ki je v drugi polovici osemdesetih let pristala
       
P 50 (2022/2023) 320
na 15-kilometrskem Halleyjevem kometu in poka-
zala, da je sestavljen iz prahu in ledu, znakov življe-
nja pa ni zasledila.
Odkrivanje življenja
Recimo, da smo našli potencialni planet, primeren za
življenje. Kako bi lahko ugotovili, ali se je življenje
na njem tudi dejansko razvilo?
Decembra 1990 je vesoljska sonda Galileo (slika
2) svoje merilne naprave usmerila proti Zemlji in do-
mov poslala rezultate meritev. Analize so pokazale,
da kar štirje izmerjeni pojavi kažejo na to, da na opa-
zovanem planetu obstaja življenje. V infrardeči sve-
tlobi na življenje namigujejo predvsem na prisotnost
metana, vode, kisika oziroma ozona ter klorofila.
Metan proizvajajo tudi živa bitja, hkrati pa hitro
oksidira − vendar kot smo videli na primeru Titana,
sam po sebi ni znak za življenje. Klorofil je ključen
za fotosintezo . Absorbira vidno svetlobo, še pose-
bej modro in rdečo, daljše valovne dolžine se zelo
učinkovito odbijajo, da se prepreči prekomerno se-
grevanje. Voda je vsekakor vsestranskega pomena,
kisik je potreben za celično dihanje, ozon pa nas ščiti
pred škodljivimi vplivi sevanja UV.
Inteligentno življenje in SETI
Inteligentno življenje
Od nekdaj se je med Zemljani in še posebej med
astronomi pojavljalo zanimivo vprašanje, ali smo v
vesolju sami oziroma ali v njem morda obstajajo
druge inteligentne oblike življenja, s katerimi bi se
lahko sporazumevali. Eden izmed projektov iskanja
nezemeljskega inteligentnega življenja je SETI (angl.
search for extraterrestrial intelligence), čigar začetki
segajo v začetke druge polovice 20. stoletja.
Lahko bi mislili, da so druge galaksije in zvezdne
kopice vredne spremljanja, saj je v ozkem snopu te-
leskopa veliko zvezd in bi bila zato verjetnost, da
bi zaznali kakšne signale z oddaljenega planeta ze-
lenih možičkov, še kar obetavna. Na žalost ni čisto
tako. Druge galaksije so namreč predaleč, zato bi
bili signali prešibki, da bi jih lahko zaznali, poleg
tega pa kroglaste kopice, kot smo ugotovili v prej-
šnjih razdelkih, niso obetavni predeli za iskanje ži-
vljenja. Razsute zvezdne kopice so po drugi strani
SLIKA 2.
Vesoljska sonda Galileo je bila prva sonda brez človeške po-
sadke, ki so jo leta 1989 izstrelili v vesolje, da bi proučevala
Jupiter in njegove lune. Malo po izstrelitvi je svoje merilne na-
prave najprej usmerila proti Zemlji in domov poslala meritve,
ki kažejo očitne znake življenja na Zemlji. Sonda je do Jupitra
prispela decembra 1995. Plovilo je prvo obkrožilo Jupiter in
prvo poslalo del sonde v Jupitrovo atmosfero. Po zaslugi misije
Galileo danes upravǐceno sklepamo, da se pod ledeno skorjo
Jupitrove lune Evropa skriva slan ocean. (Vir slike: [8])
razmeroma mlade in verjetnejše kandidatke za ra-
zvoj življenja, vendar so po drugi strani tudi zelo
mlade, zato se življenje še ni razvilo do te mere, da
bi bilo zmožno sporazumevanja.
Radijska astronomija in 21-cm vodikova črta
Svetloba je elektromagnetno valovanje, to je
periodično nihanje električnega in magnetnega
polja. Velikost hitrosti svetlobe v vakuumu je c =
3,0 · 108 m/s. Hitrost svetlobe c, valovno dolžino λ
in frekvenco valovanja ν povezuje enačba
c = λν.
Elektromagnetno valovanje glede na valovno dolžino
delimo na več območij. Naše oči lahko zaznajo le
svetlobe valovnih dolžin med 400 in 750 nanome-
trov, čemur pravimo vidna svetloba. Ultravijolična
svetloba, rentgenski žarki in žarki gama imajo še
krajše valovne dolžine in višje frekvence, medtem
       
P 50 (2022/2023) 3 21
ko ima infrardeča svetloba valovne dolžine med 1 do
100 mikrometrov, radijski valovi pa daljše od mili-
metra.
Najpomembnejše okno valovnih dolžin za raziska-
ve SETI je med 3 cm in 30 cm, kar so tako imenovani
decimetrični valovi. Pri daljših valovnih dolžinah na-
mreč postane nebo veliko svetlejše zaradi naravnih
oddajnikov svetlobe metrskih in daljših valovnih dol-
žin, kot so plinaste meglice, radijske galaksije, kva-
zarji, pulzarji, supernove in ostanki supernov, kar bi
nas pri komunikaciji motilo, zato bi se temu učinku
vsekakor radi izognili. Pri valovnih dolžinah, krajših
od 1 cm, nas zmoti učinek, ki je povezan z dvojno na-
ravo svetlobe − valovanje in delci. Vsakemu valova-
nju lahko pripišemo delec, v primeru svetlobe foton,
ki opiše razporeditev in gibanje svetlobe v prostoru.
Največja verjetnost, da najdemo foton, je tam, kjer
je valovanje najmočnejše. Zato je energija vsakega
fotona sorazmerna frekvenci valovanja in velja
Wf = hν =
hc
λ
,
kjer je h = 6,63 · 10−34 Js Planckova konstanta. Za
dano skupno energijo valovanja višja frekvenca to-
rej pomeni nižje število pripisanih fotonov, kar pa
ni najbolj optimalno, saj želimo civilizacijam poši-
ljati kar največjo možno količino informacij. Pri tem
ne gre pozabiti na prasevanje, ki ga enakomerno
zaznamo v vseh smereh v vesolju, in ustreza seva-
nju črnega telesa s temperaturo 2,7 K. Sevanje je po
Wienovem zakonu najmočnejše pri valovni dolžini 1
mm, ki pa smo jo zaradi prej navedenega učinka že
izključili iz optimalnih.
Zaradi vseh treh zgornjih učinkov je optimalno
okno valovnih dolžin oziroma frekvenc za razis-
kave SETI med 2 cm in 30 cm oziroma med 1 in 30
GHz. Če upoštevamo še učinek vodne pare v naši at-
mosferi, ki preprečuje opazovanja s površja Zemlje
nad okoli 20 GHz, so najboljše frekvence za opazo-
vanja z Zemlje med 1 in 10 GHz. Vendar pa z Ze-
mljino atmosfero nismo povsem omejeni; v zadnjih
letih smo v vesolje poslali veliko teleskopov, ki lahko
opazujejo brez motenj ozračja. Primer takega je zlo-
glasni teleskop James Webb v Lagrangevi točki L2, ki
sicer opazuje v infrardeči svetlobi.
V oknu frekvenc SETI se pojavi sevanje nevtral-
nega atomarnega vodika, najpogostejšega atoma v
vesolju, ki ustreza valovni dolžini 21,1 cm. Slavna
21-cm črta izhaja iz interakcij spina enega elektrona
in atomskega jedra (protona). Interakcija je podobna
kot pri dveh majhnih vzporednih paličastih magne-
tih – če sta magneta nasprotno orientirana, se pri-
vlačita, sicer pa se odbijata. Energija stanj, ko sta
spina elektrona in protona enako oziroma naspro-
tno orientirana, je seveda različna. Navadno so vodi-
kovi atomi v najbolj stabilnem energijskem stanju, ki
ustreza nižjemu energijskemu nivoju. Če jih kaj
zmoti, lahko skočijo v višje vzbujeno stanje in tam
ostanejo tudi do deset milijonov let. Pri prehodu na-
zaj v nižje energijsko stanje atom odda foton z va-
lovno dolžino 21 cm, kar ustreza razliki energij teh
dveh stanj.
Atomi nevtralnega vodika so prisotni vsepovsod
po medzvezdnem prostoru, zato je 21-cm črta naj-
bolj razširjen naravni pojav v vesolju. Valovna dol-
žina 21 cm je tako zelo pomembno število vesolja,
zato ne preseneča ideja, da bi med vsemi valovnimi
dolžinami v oknu SETI za komunikacijski standard
z drugimi civilizacijami izbrali prav to. Do te ugo-
tovitve sta leta 1959 prišla Guiseppe Cocconi in Phil
Morrison v svojem zgodovinskem članku v reviji Na-
ture, v katerem sta pokazala, da bi se lahko s takra-
tnimi novimi tehnikami na področju radijske astro-
nomije sporazumevali z oddaljenimi nezemeljskimi
civilizacijami. Razen tega pa lahko valovanje s to
valovno dolžino prebije ogromne oblake medzvez-
dnega prahu, ki so za vidno svetlobo neprosojni.
Hipoteze SETI
Kot vsaka resna znanstvena raziskava tudi SETI
vključuje delovne hipoteze in ugotovitve, ki jih skuša
z opazovanji potrditi ali ovreči.
1. hipoteza: Življenje na Zemlji je posledica na-
ravne evolucije zaradi fizikalnih procesov, ki pote-
kajo povsod v vesolju.
Hipoteza je smiselna, saj je fizika temeljna nara-
voslovna veda, na kateri slonijo mnoge druge zna-
nosti, kot sta na primer kemija in biologija, ki sta
bistveni za razvoj življenja.
2. hipoteza: Kot se je življenje razvilo na Zemlji,
bi se lahko razvilo tudi kjer koli drugje v vesolju.
V vsaki galaksiji je v povprečju nekaj milijard
zvezd, v vidnem vesolju pa okoli 100 milijard gala-
ksij. Med skupaj torej okoli 1021 zvezdami vidnega
vesolja je 10 % zvezd podobnih Soncu. Zemlja ob-
staja okoli 4,5 milijarde let, medtem ko je vesolje
       
P 50 (2022/2023) 322
staro 13,8 milijarde let, pri čemer je večina galaksij
starih okoli 12 milijard let, kar je skoraj trikrat to-
liko kot starost Zemlje. Skrb, da nikjer v vesolju ni
primerljivih pogojev kot na Zemlji in njeni okolici, je
tako popolnoma odveč.
3. hipoteza: Človekova inteligenca ni največja, ki
bi lahko obstajala v vesolju.
Na Zemlji je minilo 4,5 milijarde let, da je življe-
nje doseglo stopnjo inteligence, kot jo poznamo da-
nes. Izpostaviti pa gre, da so druge Soncu podobne
zvezde obstajale še mnogo več časa. Smiselna ocena
je torej, da so starejše zvezde in Soncu podobne
zvezde obstajale pred 10 milijardami let, ko so bile
stare približno 4 milijarde let. Proces evolucije med
avstralopitkom in nami je trajal le 3,7 milijona let
− in kaj je to v primerjavi s štirimi milijardami let?
Zaradi tega nikakor ne moremo zavreči ideje, da se
v milijardah let, v milijardah galaksij, med katerimi
vsaka vsebuje milijarde zvezd, evolucijski proces ne
bi mogel razviti naprednejših rezultatov, kot smo
jim priča v prvi polovici enaindvajsetega stoletja.
Zato je smiselno domnevati, da v vesolju morda
obstajajo naprednejše oblike življenja, kot je naše.
Morda so to Kardaševe supercivilizacije, ki smo se
jih dotaknili v prejšnjem članku, morda majhni ze-
leni škratki janšlji, mogoče horde pesniških dečkov
gnamunov ali morebiti kolonije sapramišk. Morda bi
jih imenovali bitja, rase, družbe, tehnologije, civiliza-
cije, kolonije, osebe, posamezniki ali kako drugače −
toda v resnici o njih ne vemo ničesar. Vse, kar vemo,
je le to, da ne živijo na Zemlji, zato je morda še naj-
bolj prikladno, da jih imenujemo kar nezemljani.
SETI je trenutno edina resnejša raziskava, ki po-
skuša potrditi, da nezemljani obstajajo. Poskušajo
zaznati njihove signale v obliki elektromagnetnih va-
lov. Če bi tovrstne signale zaznali in bi lahko doka-
zali, da so umetnega izvora, bi lahko potrdili veliko
hipotez in možnih posledic, predvsem pa, da v veso-
lju nismo osamljeni.
O SETI
Prvo resnejšo raziskavo SETI je leta 1960 izvedel
Frank Drake (slika 3). Pri valovni dolžini 21 cm je
opazoval zvezdi τ Kita in ǫ Eridana. Leta 1974 je
Drake z radijskim teleskopom Arecibo poslal sporo-
čilo v kroglasto kopico M 13 v Herkulu, ki pa ni ver-
jetno območje za življenje. Sporočilo je vsebovalo
1679 pulzov. Število 1679 je produkt samo dveh pra-
številskih faktorjev 23 in 73, zato bi prejemnik, ki bi
razumel vsaj nekaj matematike, lahko ugibal, da vse-
buje sporočilo dvodimenzionalno sliko. Če bi kadar
koli dobili podobno sporočilo, bi bili z veliko verje-
tnostjo lahko trdili, da je umetnega izvora, četudi ga
morda ne bi znali interpretirati.
SLIKA 3.
Frank Drake (1930−2022) je pionir sodobnih raziskav neze-
mljanske inteligence, ki jo je začel s projektom Ozma leta
1960, nato pa je ustanovil inštitut SETI. Astrobiolog, ki je si-
cer deloval tudi na Univerzi v Kaliforniji, je razen po Drakovi
enačbi poznan tudi Voyagerjevih zlatih ploščah, ki so ju leta
1977 izstrelili v vesolje z vesoljskima sondama Voyager. Plošči
nosita informacije o življenju in kulturi na Zemlji ter sta na-
menijeni kateri koli inteligentni zunajzemeljski obliki življenja.
(Vir: [6])
Obstajata dve osnovni strategiji iskanja nezemelj-
ske inteligence. Pri ciljni raziskavi spremljajo le ne-
kaj potencialnih kandidatov za razvoj življenja, pri
vsenebni raziskavi pa prečešejo velike kose neba.
Večina raziskav pripada drugi kategoriji − opazo-
valni čas z velikimi teleskopi je namreč zelo drag
in prioriteta projektov je, da dajo pozitiven rezultat.
Zaznava potencialnega umetnega signala v gromo-
zanski količini podatkov zahteva veliko računalniške
moči. Projekt seti@home je povezal milijone raču-
nalnikov v velikansko virtualno napravo za obdelavo
podatkov. Če je uporabnik povezan z internetom, si
       
P 50 (2022/2023) 3 23
lahko naloži program, ki avtomatsko obdeluje dolo-
čeno količino podatkov in rezultate pošilja nazaj na
strežnik.
Za zdaj še nismo zaznali nobenega sporočila dru-
gih civilizacij, bilo pa je kar nekaj zanimivih lažnih
alarmov. Prvi od teh je že ε Eridana, pri opazovanju
katerega je Drake zaznal 8 signalov na sekundo, ven-
dar pri nadaljnjih opazovanjih zvezde signalov niso
več zaznali. Osem let pozneje je bil lažni alarm pri
angleških raziskovalcih, ki sicer niso bili povezani s
SETI. Izkazalo se je, da zaznani signali v resnici izha-
jajo iz pulzarja, hitro vrteče se nevtronske zvezde,
skrivnostnega objekta, ki ga do takrat še niso po-
znali. Izvor so poimenovali Mali zeleni mož (Little
Green Man 1). Leta 1963 so na Sternbergovem inšti-
tutu v Moskvi izdali osnovni dokument v Astronomi-
cheskii Zhurnal o "komunikaciji informacij s civiliza-
cijami drugih svetov". Iz katalogov radijskih izvorov
je Nikolaj Kardašev izbral dva obetavna kandidata in
ju poimenoval CTA 21 in CTA 102. Opazovanja v na-
slednjih letih so potrjevala Kardaševe domneve, saj
so bili dobljeni spektri nadvse zanimivi. Aprila 1965
so imeli v Moskvi celo posebno konferenco o CTA
102, medtem pa so ameriški astronomi ugotovili, da
je CTA 102 v resnici kvazar, to je aktivno jedro od-
daljene galaksije.
Drakova enačba
Frank Drake je razvil enačbo za izračun števila civi-
lizacij v Galaksiji, ki bi lahko komunicirale z nami.
Enačba je bila prvič predstavljena na znamenitem
srečanju SETI v Green Banku leta 1961. Skupno šte-
vilo civilizacij N izračunamo kot:
N = R · fs · fp · E · fh · fl · fi · fc · V.
Enačba sestoji iz astronomskih, bioloških in tehno-
loških faktorjev. Astronomski faktorji opisujejo po-
trebne pogoje za obstoj zvezd in za življenje pri-
mernih planetov: R je letna hitrost nastajanja zvezd,
fs je delež Soncu podobnih zvezd, fp je delež teh
zvezd, ki imajo planet, E je število planetov v habita-
bilnem območju zvezde in fh delež naseljivih plane-
tov. Biološka faktorja sta fl − delež naseljivih pla-
netov, na katerih obstaja nekakšna oblika življenja,
in fi − delež planetov, ki imajo inteligentno obliko
življenja. Tehnološka faktorja pa sta fc − delež in-
teligentnih civilizacij, ki so razvile sredstva za med-
zvezdno komunikacijo, in V − čas komuniciranja ci-
vilizacije. Vsi faktorji f so verjetnostni in zato za-
vzemajo vrednosti na intervalu [0,1].
Enačba pravzaprav problem prikladno razdeli na
manjše podprobleme, da lahko o njih posebej raz-
pravljamo. Sicer je enačba za izračun števila civiliza-
ciji ne ravno najbolj pomenljiva, saj večine faktorjev,
ki v njej nastopajo, zares ne poznamo. Jasno lahko
namreč kvantificiramo le astronomska faktorja R in
fs . Najnovejše raziskave gravitacijskega mikroleče-
nja kažejo, da morajo biti vrednosti fp blizu 1 − pri-
sotnost planetov okoli zvezd je torej prej pravilo kot
izjemna. Na podlagi raziskav vesoljske misije Kepler
ocenjujejo, da je število Zemlji podobnih planetov v
habitabilnih območjih zvezd v Galaksiji okoli 40 mi-
lijard, 11 milijard slednjih pa kroži okoli Soncu po-
dobnih zvezd. Ker je v galaksiji okoli 100 milijard
zvezd, je vrednost faktorja E · fh okoli 0,4. Najbližji
planet v habitabilnem območju je Proksima Kentavra
b, ki je oddaljena okoli 4,2 svetlobnega leta.
Ker se je življenje na Zemlji razvilo dokaj hitro,
lahko ocenimo, da je vrednost fl blizu 1, veliko več
težav imamo z določanjem vrednosti fi, sploh ob
misli, da so bile za razvoj inteligence na Zemlji po-
trebne skoraj 4 milijarde let, kar pa v primerjavi s
starostjo vesolja ni zanemarljivo. Pojavljajo se raz-
lični argumenti, ki podpirajo tako nizke kot tudi vi-
soke vrednosti fi. Po eni strani je izmed milijard vrst
na Zemlji samo ena postala inteligentna, po drugi
strani pa se kompleksnost življenja povečuje, zato
je pojav inteligence skoraj neizogibno. Pascal Lee z
inštituta SETI je na primer podal številko 0,0002, ki
jo je ocenil kot razmerje med časom, ki je bil potre-
ben, da se je na Zemlji razvilo inteligentno življenje
(1 milijon let), in časom nastanka zemlje (4,6 mili-
jarde let).
Prav tako lahko ocenimo, da je faktor fc blizu 1,
veliko večje težave pa imamo z oceno V . Obdobje
sodobne komunikacije obstaja zadnjih okoli 60 let,
hkrati pa se pojavlja resno vprašanje, koliko časa
bomo komunikacije sploh še zmožni. Če seveda v
prihodnjih stotih letih ne izginemo zaradi podneb-
nih sprememb ali kakšne druge naravne katastrofe,
bi lahko naša tehnologija obstala več milijonov let.
Ker so faktorji v Drakovi enačbi zelo netočno do-
ločeni, se število civilizacij v naši Galaksiji N giblje
med deset milijardami in eno − torej le našo civi-
lizacijo. V najbolj optimističnem primeru lahko iz-
       
P 50 (2022/2023) 324
N 20− 5 · 107 9,1 · 10−13 − 15,6 · 106
V [leto] 103 − 108 340− 109
fc 0,1− 0,2 0,1− 0,2
fi 1 0,0002
fl 1 1
E · fh 0,4 0,2
fp 0,2− 0,5 1
fs 0,1 0,1
R [leto−1] 1 1,5− 3
faktor prvotna ocena (1961) trenutna ocena
TABELA 2.
Primerjava prvotnih in dana-
šnjih ocen faktorjev.
računamo, da je razdalja med sosednjima civilizaci-
jama le nekaj parsekov, če pa upoštevamo manjše
(a najbrž bolj realistične) vrednosti danih faktorjev,
bi lahko kaj hitro zaključili, da smo v naši Galaksiji
kratko malo osamljeni. Tudi če bi bile razmere ugo-
dne in bi bila razvoj komunikacije civilizacij rela-
tivno običajna, se izkaže, da nas omejuje predvsem
zadnji faktor V . Če je življenjska doba civilizacije
kratka v primerjavi s starostjo vesolja 13,8 milijarde
let, so možnosti, da bi z neke druge zvezde zaznali
sporočilo, relativno majhne.
Zaključek
Drakova enačba je bila deležna tudi kar nekaj kri-
tik. Večina njih temelji predvsem na tem, da ocena
več členov lenov v veliki meri ali kar v celoti temelji
na domnevah. Negotovosti faktorjev se vrtijo okoli
današnjega razumevanja evolucije življenja, inteli-
gence in civilizacije, ne pa astrofizike in možnostih
drugačnih oblik življenja. Za nekatere parametre sta-
tistične ocene niso možne, zato poznamo le vredno-
sti za posamezne primere. Zaradi velikih negotovo-
sti faktorjev enačbe ni mogoče uporabiti za izdelavo
kakršnih koli trdnih sklepov, kar po mnenju nekate-
rih presega tisto, kar naj bi bilo sploh smiselno in
sprejemljivo.
Formula nam tako pove predvsem to, kako malo
pravzaprav vemo. In ravno to dejstvo je spodbudilo
znanstvenike k novim oblikam opazovanja in delu
z naprednejšimi tehnikami za odkrivanje planetov
okoli drugih zvezd, razen tega pa tudi SETI, da bi
zaznala dejanske signale nezemljanov.
Pred tem je veliko astronomov mislilo, da neze-
meljske civilizacije niso tako redke, medtem ko so
biologi razmišljali, da je evolucija življenja naletela
na veliko ovir in da najbrž ni smiselno pričakovati,
da bomo v naši okolici našli druge civilizacije. Zdaj
bolje razumemo tako biokemijo zgodnjega življenja
kot tudi veliko drugih težav, ki zadevajo za biva-
nje primerne planete. Čeprav se možnosti v veliki
meri spreminjajo, lahko ugibamo, da so zelo prepro-
ste, mikrobom podobne oblike življenja dokaj pogo-
ste, inteligentne civilizacije, zmožne komunikacije,
pa izjemno redke.
Naloge
1. Izračunaj frekvenco, ki ustreza 21-cm vodikovi
črti. [1,42 GHz]
2. Izračunaj razliko med energijskima stanjema
vodikovega atoma, ko sta spina elektrona in
protona enako oziroma nasprotno orientirana.
[5,87 µeV]
3. Določi habitabilno območje za hitro vrteči se
planet z albedom 0, ki kroži okoli Sonca. Son-
čev izsev znaša L⊙ = 3,83 · 1026 W. [med 0,56
a. e. in 1,04 a. e.]
4. Izračunaj habitabilno območje za hitro vrteči
se planet z albedom 0,3 za zvezdo glavne veje z
0,9 Sončeve mase. Upoštevaj relacijo za zvezde
na glavni veji: L ∝ M3,5. [med 0,39 a.e. in
0,73 a.e.]
       
P 50 (2022/2023) 3 25
5. Predpostavi, da je v kubičnem parseku n zvezd
in da ima delež p od njih komunikacije zmo-
žno civilizacijo. Kolikšna je povprečna razda-
lja med dvema sosednjima civilizacijama? Re-
zultat uporabi na primeru Sončeve okolice. Po-
datki kažejo, da je v prostornini 520 kubičnih
parsekov 47 zvezd. Kolikšna je povprečna raz-
dalja med najbližjimi civilizacijami, če je ver-
jetnost za zvezdo, da ima planet s civilizacijo,
enaka a) 0,01 in b) 0,00001? [10 pc, 100 pc]
Literatura
[1] Abundance of the chemical elements, Wikipedia,
dostopno na: https://en.wikipedia.org/
wiki/Abundance_of_the_chemical_elements,
ogled 19. 11. 2022.
[2] Stušek, P., & Vilhar, B. (2013). Biologija celice in
genetika: [učbenik za biologijo v programih gi-
mnazijskega izobraževanja in programih srednje-
šolskega izobraževanja z najmanj 140-urnim ob-
segom pouka biologije] (1. izd.).
[3] Drake equation, Wikipedia, dostopno na: https:
//en.wikipedia.org/wiki/Drake_equation,
ogled: 12. 10. 2022.
[4] Evropa, Wikipedija, dostopno na: https://
sl.wikipedia.org/wiki/Evropa_%28luna%29,
ogled 19. 11. 2022.
[5] Heidmann, J. (1995) Extraterrestrial Intelligence,
Cambridge: Cambridge University Press.
[6] Frank Drake, Wikipedia, dostopno na: https://
en.wikipedia.org/wiki/Frank_Drake, ogled:
12. 10. 2022.
[7] Karttunen, H., Kröger, P., Oja, H., Poutanen, M., &
Donner, K. J. (2007). Fundametnal astronomy, fifth
edition. Helsinki: Springer.
[8] Galileo, Wikipedia, dostopno na: https:
//en.wikipedia.org/wiki/Galileo_
%28spacecraft%29, ogled 23. 11. 2022.
[9] Gilmour, Sephton: An Introduction to Astrobio-
logy, The Open University, Cambridge University
Press 2004.
[10] Gargaud, Barbier, Martin, Reisse (Eds.): Lectures
in Astrobiology, Springer Vol I (2006), Vol II (2007).
×××
Barvni sudoku
V 8× 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna
števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem
stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2×
4) nastopalo vseh osem števil.
4 2 8
2 1
3 1 8
6
1 2 5 3 4
3 2 4 6
5 8
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b


̌















64735218
21857643
36241785
85174362
53486127
17628534
78312456
42563871
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
×××
         
P 50 (2022/2023) 326
Izbrane slike in fotografije v
petdesetih letih Preseka
N R, M R  A L
V šolskem letu 2022/23 Presek izhaja že petde-
seto leto. To je pomemben jubilej za našo revijo,
posebno pa smo na ta dosežek ponosni starejši so-
delavci Preseka, ki smo ga spremljali ves ta čas in,
posebno na začetku izhajanja, tudi nekoliko dvo-
mili v njegovo žilavost in željo po preživetju. Re-
dno izhajanje Preseka ni bilo nikoli samoumevno,
še posebno ne po slovenski osamosvojitvi, ko je
število naročnikov strmo upadlo. Na srečo se šte-
vilo sodelavcev, avtorjev in podpornikov ni zmanj-
šalo, kar je ohranilo Presek pri življenju.
V letih izhajanja je bilo v Preseku objavljenih mno-
go zelo kakovostnih prispevkov. Vseh ne gre našte-
vati, tudi njihov izbor bi bil odvisen od okusa izbi-
ratelja. Nekaj fotografij in risb pa je tako izjemnih,
da si jih je vredno ponovno ogledati predvsem zato,
ker so v pretežni meri originalne in niso preprosto
ponatisnjene iz kakšne druge publikacije. Seveda je
njihov izbor iz velikega števila posameznih številk
Preseka terjal kar nekaj časa in presojanja. A avtor-
jem tega prispevka se je izbor zdel vreden truda in
pred vami bo v naslednjih številkah jubilejnega izha-
janja Preseka podan ta izbor. Presojali smo le razno-
vrstnost grafične opreme pri člankih, ne pa kvalitete
samih člankov. Avtorji naj nam zato oprostijo, če v
pregledu ne bodo našli svojih prispevkov. Nekatere
sicer zelo zanimive fotografije in skice smo morali
zaradi slabše kvalitete tiska žal izpustiti. Terjati ori-
ginalno slikovno gradivo od avtorjev pač zaradi od-
maknjenega časa ni vedno mogoče.
Pri izbranih slikah navajamo naslov članka, odko-
der je slika vzeta, in podatke njegove objave v Pre-
seku ter kratek opis, kaj slika predstavlja.
Komur bi bil naš opis preskop, si lahko ogleda
same članke, ki so na voljo na spletnem naslovu
http://www.dlib.si/ v rubriki Periodika. Neka-
teri starejši članki pa so tudi na spletnem naslovu
http://www.presek.si/ v rubriki Arhiv revij.
Začetni, neoštevilčeni Presek, tako imenovani Pra-
presek, je izšel v marcu leta 1972 v nakladi 3000 iz-
vodov. V njem so pojasnjeni razlogi za njegov na-
stanek, komu je namenjen in kaj se bo v njem ob-
javljalo. Učenci osnovnih šol, dijaki srednjih šol in
člani DMFA Slovenije so ga prejeli brezplačno.
SLIKA 1.
Leva stran slike 1 je naslovnica Prapreseka. Z nje
preberemo, komu je namenjen, in naslova dveh naj-
pomembnejših člankov. Osrednja figura vsebuje na-
pis PRESEK, ki ga vidimo s štirih strani, če na sliko
         
P 50 (2022/2023) 3 27
pogledamo pod dovolj velikim vpadnim kotom. De-
sna stran slike 1 je naslovnica prve redne številke
Preseka. Na fotografiji je zimsko jutro pred sončnim
vzhodom. Oblaki so rdečkasti zaradi sipanja sve-
tlobe. Razlaga pojava je v članku Sipanje svetlobe
avtorja Rudija Kladnika.
SLIKA 2.
V 2. številki 1. letnika Preseka je objavljen Razgo-
vor s prof. Križaničem. Pripravil ga je Tomaž Pisan-
ski, ilustracijo na levi sliki slike 2 je pripravil Božo
Pečar. Na desni sliki slike 2 pa je ponazoritev se-
števanja celih števil iz Križaničeve knjige Kratkoča-
sna matematika, ki je ponovno izšla pod naslovom
Ukročena matematika v 5. številki 8. letnika Preseka.
Avtor ilustracij je Miloš Požar.
Presek že od vsega začetka skrbi za razvedrilo.
Objavlja križanke, naloge z vžigalicami in kockami
in drugo, na začetku pa tudi rebuse. Slednjih žal ni
zadnje čase niti v ugankarskih revijah. Rebus na sliki
3 je iz 4. številke 2. letnika Preseka in ni težak.
V 2. številki 4. letnika Preseka je Dušan Repovš
objavil članek Fizikalno razmišljanje. Likovno ga je
opremil fizik Božo Kos (slika 4). Avtor razloži tri
preproste fizikalne pojave.
V 3. številki 4. letnika Preseka je članek O parado-
ksih. Med njimi je znani antični paradoks o Ahilu in
SLIKA 3.
SLIKA 4.
SLIKA 5.
         
P 50 (2022/2023) 328
SLIKA 6.
želvi. Avtor članka je Savo A. Kretić, v slovenščino
ga je prevedel Dušan Repovš, ilustriral pa Božo Kos
(slika 5).
Franci Oblak je v prvi številki 5. letnika Preseka
predstavil Presekovo značko, Ciril Velkovrh pa Ple-
mljevo spominsko sobo na Bledu (slika 6).
Franc Jerman je v 2. številka Preseka, letnik 6, pri-
občil članek Problem slavoloka, ki razlaga, kako iz
danega števila idealnih enakih opek brez malte se-
stavimo slavolok (leva stran slike 7).
Ciril Velkovrh pa je prispeval članek Filatelija, s
katerim bralce vzpodbuja k zbiranju poštnih znamk
s fizikalno, matematično in astronomsko vsebino.
Opiše več znamk, ki so predstavljene na platnicah
revije (desna stran slika 7).
Ob stoletnici rojstva Alberta Einsteina je izšlo delo
Kaj je teorija relativnosti L. D. Landaua in J. B. Ru-
merja, ki obsega skoraj celo 5. številko 7. letnika Pre-
seka. Prevod iz ruščine je opravil Dušan Vogler, ilu-
stracije je prispeval Božo Kos, spremno besedo pa je
napisala Norma Mankoč Borštnik. Na sliki 8 je zna-
meniti Einsteinov vlak.
V prvih letih izhajanja Preseka so se v znanosti že
dobro uveljavili laserji. Njihov začetek sega v leto
1960. Z laserji se je veliko eksperimentiralo tudi pri
nas. V 4. številki 8. letnika Preseka je Martin Čopič
objavil članek Svetloba laserja, ki ga je Marjan Hribar
nekoliko priredil za bralce naše revije.
Na sliki 9, ki jo je posnel Marjan Smerke, vidimo,
kakšen vzorec, laserogram, na zaslonu dela curek la-
serske svetlobe, ki se lomi na nepravilno brušenem
steklu.
SLIKA 7.
SLIKA 8.
V 1. številki 8. letnika Preseka smo se spomnili
tudi na predsednika Josipa Broza Tita, ki je umrl 4.
maja 1980 v Ljubljani. Avtor slike 10 je Božidar Ja-
kac, pod njo so Titove besede:
         
P 50 (2022/2023) 3 29
SLIKA 9.
SLIKA 10.
Kot vse napredne sile na svetu se tudi mi zavze-
mamo samo za tako uporabo znanosti – tudi atom-
ske, ki bo služila le humanim ciljem, družbenemu
napredku in blagostanju.
(Se nadaljuje.)
×××
Barvni sudoku
V 8× 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna
števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem
stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2×
4) nastopalo vseh osem števil.
6 2
1 8 3
4 5 7
1 8 2
7 6
8
3 6 4
5 4 6
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b


̌















73462518
12857463
48325671
65174832
27536184
84613257
36281745
51748326
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
×××
         
P 50 (2022/2023) 330
Nekaj iz naše ponudbe
V DMFA – založništvo izdajamo različne vrste literature. Predstavljamo vam dve ponudbi:
Janez Strnad:
MALA ZGODOVINA
DOPPLERJEVEGA
POJAVA
120 strani
format 14× 20 cm
mehka vezava
15,50 EUR
Carlo Rovelli:
SEDEM KRATKIH LEKCIJ
IZ FIZIKE
76 strani
format 12× 17 cm
mehka vezava
9,50 EUR
Poleg omenjenih lahko v naši ponudbi najdete še veliko drugih zbirk nalog. Podrobnejše predstavitve
so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse zbirke tudi naročite:
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/cenik/
Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu pri
DMFA–založništvo 20 % popusta, razen za najnovejše knjige! Dodatne informacije lahko dobite v
uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 633.
̌

̌
 50/2
Pravilna rešitev nagra-
dne križanke iz druge
številke Preseka letnika
50 je Distanciranje.
Med pravilnimi reši-
tvami smo izžrebali
naslednje reševalce:
Stanko Gajšek iz Lju-
bljane, Neda Tompa iz
Ljubljane in Aljaž Šimc
iz Novega mesta, ki
bodo nagrade prejeli po
pošti.
×××
B









̌







P





         ̌
P 50 (2022/2023) 3 31
Obisk v šoštanjski elektrarni
̌        1 ,       1 0 , 1 9 8 2 / 8 3
Izjemni slovenski fizik in poljudnoznan-
stveni avtor prof. dr. Janez Strnad (1934–
2015) je pustil močan pečat tudi v naši re-
viji, za katero je napisal več kot 170 kva-
litetnih prispevkov o raznovrstnih fizikal-
nih temah. V letniku 1982/83 je objavil
več člankov na temo preskrbe z energijo, ki
je bila tako kot danes očitno zelo aktualna
tudi pred 40 leti: Obisk v šoštanjski termo-
elektrarni, Obisk v ljubljanski toplarni, Hla-
dilni stroji in toplotne črpalke, Preskrba z
energijo. Članki se kar ponujajo v primer-
javo z današnjim časom – bloke šoštanj-
ske elektrarne so nadomestili novi, klimat-
ske naprave in toplotne črpalke so postale
vsakdanjost, ponovno pa nas skrbita visoka
cena elektrike in ogrevanja. Bralec, ki bi že-
lel članke prebrati bolj natančno, jih najde
v Digitalni knjižnici Slovenije na spletnem
naslovu http://dlib.si.
×××
MaRtematične prigode
To je knjiga, ki jo je na police treba odložiti poleg Svetega pisma, Iliade in Integralov Srečka Kosovela.
Radi jo bodo imeli vsi, ki nikoli niso marali matematike, in so sklep, da zanjo niso nadarjeni, prenesli
na svoje otroke. Z matematiko se v življenju srečamo dvakrat. Prvič, ko dokončno propademo pri
integralnem računu in takoj za tem za vedno pobegnemo pred enačbami. Drugič, ko svojim otrokom
poskušamo razložiti, kako preprosta stvar je matematični izračun, in se nam začne kolcati pri po-
števanki. Kdor z matematiko nikoli ni imel težav, se bo ob branju lahkotno zabaval. Vsi drugi ga
doživimo kot odrešitev. V tem svetu nismo sami. In na drugi strani je nekdo, ki ve za našo stisko
in je o njej napisal knjigo. Govori o srečanju z neskončnostjo in večnostjo in njunimi povezavami z
vsakdanjo šolsko politiko našega časa.
12,50 EUR
Poleg omenjene ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše pred-
stavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi naročite:
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu starej-
ših zbirk nalog pri DMFA – založništvo 20 % popusta na zgornje cene – izkoristite ga!