IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
2013 Letnik 60 2
OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
OBZORNIK MAT. FIZ. • LJUBLJANA • LETNIK 60 • ŠT. 2 • STR. 41-80 • MAREC 2013
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, MAREC 2013, letnik 60, številka 2, strani 41-80
Naslov uredništva: DMFA-založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski racun: 03100-1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešic, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Clani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino
40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o rečipročnosti z Ameriškim matematičnim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi meseč.
© 2013 DMFA Slovenije - 1902	Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz matematike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvleček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in čitirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyright). Prispevki so lahko oddani v računalniški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrstičami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj napisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima rečenzentoma, ki morata predvsem natančno očeniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Ce je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TgX oziroma LTgX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
LUNEBURGOVA LECA
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 49Sxx, 53A04, 78A05
V prispevku je predstavljena Luneburgova leca, v kateri se žarki enobarvne svetlobe Sirijo po eliptičnih lokih. Izpeljane so nekatere lastnosti ustreznih elips.
THE LUNEBURG LENS
In this contribution the Luneburg lens wherein the monocromatic light rays propagate along elliptical arcs is presented. Some properties of the corresponding ellipses are derived.
Uvod
Običajno v optiki najlaže obravnavamo probleme, pri katerih imajo optična sredstva lomni količnik, ki se ne spreminja v prostoru in času. V prispevku bomo skoz in skoz predpostavljali, da veljajo pravila geometrijske optike, kar pomeni, da bodo dimenžije optičnih teles želo velike v primerjavi ž valovno dolzino uporabljene svetlobe, za katero bomo ves čas predpostavljali, da je enobarvna. Ogledali si bomo kroglo, ki je izdelana iz optične snovi tako, da je njen lomni količnik v vsaki točki funkčija samo razdalje te točke od sredisča krogle. Opazovali pa bomo samo tiste zarke, ki prodirajo skozi kroglo, ne pa tistih, ki se na njenem robu odbijajo. Videli bomo, da nekateri dobljeni rezultati spominjajo na znane zakone mehanike.
Najprej bomo uporabili običajni Fermatov prinčip v optiki, ki pravi, da v optičnem sistemu prepotuje svetloba svojo pot od točke A do točke B v najkrajšem času. Ce smo natančni, bi morali zapisati v stacionarnem času, ker se v nekaterih primerih lahko zgodi, da stačionarni čas ni najmanj si, ampak lokalno največji (več o tem v [2]). Vzemimo, da se svetloba siri v optičnem sredstvu z lomnim količnikom, ki je zvezno odvisen od točke. V izbranem pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu Oxyz označimo lomni količnik v točki T, ki jo določa njen krajevni vektor r = (x,y, z), z n(r) = n(x,y,z). Funkčija r ^ n(r) naj ima zvezne vse parčialne odvode in naj bo navzdol omejena z 1 na obravnavanem območju. Naj točki A do B povezuje gladka krivulja K, za katero predpostavljamo, da je parametri-zirana s parametrom
r(£) = (x(£ ),y(0,z(0).
Točki A naj ustreza parameter {a, točki B pa £b, katerikoli točki T na krivulji pa £, tako da velja £a < £ < £b• Z l(£) označimo naravni parameter krivulje K, to je njeno dolZino od točke A do točke T. Veljata zapisa:
Hitrost svetlobe v praznem prostoru naj bo c0, v točki T pa je po fizikalni definiciji lomnega količnika enaka c0/n(r). Hitrost svetlobe v optičnem sredstvu je torej zvezno odvisna od točke, tudi vzdolz krivulje se zvezno spreminja. Na splosno se svetloba v optičnem sredstvu s krajevno spremenljivim lomnim količnikom ne siri premočrtno. Svetlobni zarki se ukrivijo.
Razmisljajmo takole: Zelo kratek lok dolzine Al na krivulji v okoliči točke, ki jo določa vektor r, kjer se lahko vzame, da je lomni količnik priblizno stalen, prepotuje svetloba v času At = Al/(c0/n(r)) = n(r)Al/c0. Ko vse At po krivulji sestejemo, nato pa vse Al manjsamo proti nič, dobimo čelotni čas tAB,k potovanja svetlobe po krivulji K od točke A do točke B:
Količino sab, k = c0tab, k imenujemo optična pot od točke A do točke B vzdolz krivulje K. Fermatov prinčip zahteva, da najdemo tako krivuljo K, za katero bo optična pot
minimalna. Naloga je tipičen primer iskanja ekstremale funkcionala
v variačijskem računu. Podintegralska funkčija, s katero imamo opravka, je
(r, p) ^ L (r, p) = n(r) |p| ,
kjer je p = dr/d£ = (x',y',z'). Pri tem smo označili x' = dx/d£,y' = dy/d£,z' = dz/d£. V daljsem, koordinatnem zapisu je
Uporaba variacijskega računa
L(x, y, z; xx , y', z') = n(x, y, z)\Jx'2 + y'2 + z'2.
Ekstremalo K iščemo med rešitvami sistema Euler-Lagrangeevih enačb (za poglobljen študij variacijskega računa je na razpolago na primer delo [1]):
d dL dL d dL dL d dL dL d£ dx' dX d£ dy' dy} d£ d z' d z '
Po kraj sem računu dobimo v vektorski obliki enačbo, ki velja vzdolz ekstre-male:
n(r)
dr
-i
d n(r)
dr
-i
dr)=2grad n2(r)-
(i)
Leva stran enačbe (1) je zapletena. Ce pa sledimo [2, 3], pa tudi [1], jo lahko dodobra poenostavimo. Iskana ekstremala mora namreč biti neodvisna od svoje ekvivalentne parametrizačije. Denimo, da je parametrizirana z naravnim parametrom l, za katerega velja |dr/dl| = 1. Izberimo za parameter £ resitev diferenčialne enačbe d£/dl = 1/n(r(l)) pri začetnem pogoju £(0) = £a. Potem je
n
dr
-i
n
dr
~dl
-i
d£ = d£ d£ nd£
m
dr		dr	d£	d£
d£		~dl		=
n.
(2)
Tedaj dobi diferenčialna enačba (1) posebno preprosto obliko, in sičer
d2r 1 ^ 2
ki velja pri pogoju
dr
= n(r).	(3)
= ^grad n2(r)
dr
Enačba (2) v primeru, ko je parameter £ čas, spominja na Newtonov zakon delča z maso m = 1 v potenčialnem polju.
Pomembni so primeri, ko je lomni količnik odvisen le od dolzine r = |r| vektorja r. Tedaj je za r = 0
d2r 1 ,2,, , , ', ,r (4)
"772 = ograd n (r) = n(r)n'(r)-.
d£2 2	r
Omejili se bomo na primer, ko ima funkčija r ^ n(r)n'(r)/r limito v točki 0, tako da (4) velja tudi za r = 0. Tedaj smemo zapisati relačijo
d2r d	dr
r x ne = d [r x W =0
To pa pomeni, da obstaja tak konstanten, od £ neodvisen vektor G, da velja
r X | = G.	(5)
Za G = 0 je ekstremala premica, za G = 0 pa neka ravninska krivulja. Enačbi (5) ustreza pri gibanju planeta okoli Sonca izrek o stalnosti ploscinske hitrosti. V obeh primerih lahko potem obravnavamo ravninski primer diferencialne enačbe (2). Vpeljemo ravninski koordinatni sistem Oxy v ravnini, ki je pravokotna na vektor G. Diferencialna enacba (2) razpade na sistem
d / > t z \ d y / \ t / \ y = n(r)n(r) r> = n(r)n(r)
kjer je r = \/x2 + y2, pri tem pa seveda velja pogoj (3) n(r) = x'2 + y'2.
Vzemimo kroglo, ki ima brez skode za splosnost polmer 1, izdelana pa je iz opticnega sredstva, kateremu se lomni kolicnik spreminja po zakonu n(r) = 2 — r2, pri cemer smo koordinatno izhodisce nasega sistema Oxyz postavili v sredisce krogle. Lomni kolicnik v srediscu krogle je enak \/2, na povrsini krogle pa je enak 1. Zunanjost krogle naj ima lomni kolicnik enak 1, tako da je r ^ n(r) zvezna funkcija na vsem prostoru. Taka krogla je Luneburgova leča.
Rudolf Karl Luneburg (1903-1949) je bil rojen v Nemciji s priimkom Lüneburg, doktoriral je leta 1930 iz teorije potenciala v Gottingenu, pred nacizmom se je zatekel najprej na Nizozemsko, od tam pa leta 1935 v ZDA, kjer je nekaj casa delal na univerzi, v glavnem pa se je ukvarjal z optiko. Njegovo temeljno delo je Mathematical theory of optics, ki je v obliki predavanj izslo leta 1944, nato pa z istim naslovom se v knjizni obliki leta 1964 (glej [3]). V ZDA se je avtor pisal najprej Lueneburg, nato Luneburg, vcasih pa ga napacno navajajo celo kot Luneberg. Zahvaljujoc njegovemu temeljnemu delu pa se je v svetu najbolj uveljavil priimek Luneburg.
Potek žarkov v Luneburgovi leci
Z odvajanjem relacije n2(r) =2 — r2 takoj dobimo n(r)n'(r) = — r. Ravninski primer nam omogoča, da leco Študiramo v koordinatnem sistemu Oxy, ki leži v poljubni ravnini skozi sredi Šče krogle. Ustrezni diferencialni enačbi sestavljata preprost sistem
d2x
W2

d2y d£2
= —y
(6)
ki ima splošno rešitev
x(£) = a cos £ + P sin £, y(£) = 7 cos £ + 5 sin £,	(7)
kjer so a, P, 7,5 realne konstante, ki pa zaradi pogoja (3) niso poljubne. Iz zahteve n2(r) = 2 — r2 = 2 — x2 — y2 = x/2 + y/2 namrec dobimo
a2 + P2 + 72 + 52 = 2.	(8)
Vpeljimo matriko in njeno determinanto
M =
a P Y 5
d = det M = a5 - £7.
Primer d = 0 ni zanimiv, saj sta tedaj resitvi x(£) in y(£) linearno odvisni, ekstremala v Luneburgovi leci tedaj poteka po premici. Primer d = 0 pa nam omogoča iz (7) izraziti cos £ in sin £:
cos £ =---, sin £ =---.	(9)
dd
Po izlocitvi parametra £ iz (9) dobimo druzino stoznic
(5x — Py)2 + (ay — yx)2 = d2, a2 + p2 + y2 + 52 = 2,
na katerih lezijo iskane ekstremale. Iz razvite oblike
(72 + 52)x2 — 2(aY + P5)xy + (a2 + p2)y2 = d2, a2 + p2 + y2 + 52 = 2, (10)
izracunamo diskriminanto kvadratne forme na levi strani enacbe (10):
(a7 + P5)2 — (a2 + P2)(y2 + 52) = —(a5 — P7)2 = —d2 < 0.
To pomeni, da je dobljena stoznica elipsa, ki je na splosno zasukana okoli koordinatnega izhodisca. Elipso, ki jo dobimo kot resitev sistema (7), imenujemo Hookova elipsa. Po Robertu Hooku (1635-1703) se elipse imenujejo zato, ker imamo vsako od enacb (6) lahko za enacbo gibanja vzmetnega nihala, pri katerem za vzmet velja Hookov zakon. Hookove elipse so tudi poseben primer Lissajousovih krivulj. Spomnimo se, da Lissajousovo krivuljo opisuje tockasto telo, ki niha sinusno v dveh med seboj pravokotnih smereh, na splosno z razlicnima kroznima frekvencama in w2. Matema-ticno tako gibanje opisemo s funkcijama casa t:
x(t) = a cos w1i + P sin w1i, y(t) = 7 cos w2t + 5 sin w2t. (11)
Slika 1. Potek žarka skozi Luneburgovo leco.
Za = w2 in £ = u1t dobimo ravno Hookovo elipso.
Ekstremala v Luneburgovi leci, v preseku znotraj enotskega kroga, torej poteka po loku, ki je del Hookove elipse (slika 1).
Naj svetlobni Žarek pada na enotsko kroZnico v tocki T(cos sin (), kjer je ( polarni kot tocke T, vzporedno z osjo x. Smiselno je vzeti pogoja |f| < n/2 in ( = 0. Za ( = 0 se zarek ne lomi in poteka skozi sredisce kroga od tocke (1, 0) do tocke (-1, 0), kjer leco zapusti. Zarek namrec tedaj pravokotno seka namisljene kroznice, vzdolz katerih se lomni količnik ne spreminja.
Hookove elipse in Luneburgova leca
Enacbo elipse (10) z vpeljavo novih koeficientov
_ y2 + S2	aY + fiS _ a2 + fi2
a = , b = , c =
predelamo v enostavnejso obliko:
ax2 + 2bxy + cy2 = 1. 46	Obzornik mat. fiz. 60 (2013) 2
Iz pogoja (8) dobimo najprej d2(a + c) = 2, iz enakosti
(aS — Py)2 + («y + PS)2 = (a2 + P2)(y2 + S2) pa ac = b2 + l/d2. Nazadnje najdemo relacijo:
,2 a + c	. .
ac — b2 = —.	(12)
Zarek pade vzporedno z osjo x na enotsko kroZnico v tocki T(cos sin ^>), kjer se zaradi enakosti lomnih količnikov zunaj kroga in na njegovem robu ne lomi. V točki T je tangenta na ekstremalo vzporedna z osjo x, kar pomeni, da v točki T velja ax + by = 0. Iz obeh podatkov imamo:
a cos2 (p + 2b cos p sin p + c sin2 p = 1, a cos p + b sin p = 0.
Iz teh zvez hitro dobimo c = 1 + (a + 1) ctg2 p in b = —a ctg p. Izraza za b in c vstavimo v (12) in brez tezav izrazimo:
a = 1, b = — ctg p, c = 1 + 2ctg2 p.
To pomeni, da lahko enacbo elipse zapisemo kot
x2 — 2xy ctg p + (1 + 2 ctg2 p)y2 = 1	(13)
ali pa kot
x2 + 2bxy + (1 + 2b2)y2 = 1.	(14)
Dobili smo enoparametrično družino elips in preprost račun pove, da ima družina za ogrinjačo elipso z enačbo x2/2 + y2 = 1. Vsaka elipsa iz družine poteka skozi točki (—1,0) in (1,0), ki sta ravno gorisči ogrinjače. Najbolj zanimiva pa je ugotovitev, da Luneburgova leča vse vzporedne zarke, ki padajo nanjo, zbere v isti točki na nasprotni strani leče (slika 2).
Izračunajmo se kot izstopa zarka. Z odvajanjem relačije (14) dobimo:
,	x + by
y (x,y) = —
bx + (1 + 2b2)y' V izstopni točki (-1, 0) se odvod poenostavi v
y'(-1, 0) = -1 =tg p.
To pomeni, da zarek izstopa pod kotom, ki je enak polarnemu kotu vstopne točke T.
Kot $ zasuka elipse (14) izračunamo s formulo
2b 1
tg 2$ =-= — - = tg
a — c b
Kot zasuka je torej $ = ^>/2.
Temena elipse (13) najpreprosteje izračunamo kot presečisča premič y = x tg(^>/2) in y = —x čtg(^>/2) s to elipso:
^^22(1+čos^ ^22sin^, c i22(1+čos^—i22sin^ , b ^22(1—čos^ fsin^, ^—čos^—iJ2sin^.
Polosi elipse sta dolgi
^2čos(^/2) in V2| sin(<p/2)|,
njena plosčina pa je enaka n| sin . Nekoliko bolj zahtevno pa je računanje, kje se elipsa dotika ogrinjače druzine (14), to je elipse x2/2 + y2 = 1. To se zgodi v točkah
^ ( 2 čos w	sin w \	( 2 čos w	sin w \
^ —,	=, —,	= in F —
\ a/1 + cos2 ^' y/l + cos2 ^ /	l \/l + cos2 ^ ' a/ 1 + COS2 /
Do zgornjega rezultata najlaze pridemo tako (glej na primer [5]), da resimo sistem enačb
x2 + (2y2 - 2) = 0, x2 + 2byx + (1 + 2b2)y2 - 1 = 0 z uporabo rezultante R(p, q) polinomov
p(x) = x2 + (2y2 - 2), q(x) = x2 + 2byx + (1 + 2b2)y2 - 1, pri čemer je y parameter:
R(p, q) =
10	2y2 - 2	0
0	1	0	2y2 - 2
1	2by	(1 + 2b2)y2 - 1	0
0 1	2by	(1 + 2b2)y2 - 1
= ((1 + 2b2)y2 - 1)2 = 0.
Nato resitve ni več tezko najti. Ce polarni kot točke E označimo s ^ (slika 1), potem ni tezko priti do povezave 2tg^ = tgf. Prav tako očitno velja, da sta daljsa in krajsa polos elipse v razmerju | čtg(f/2)| in daje razdalja od sredi sča elipse do njenih gori sč enaka ^2 čos f. Gorisči elipse sta v točkah
(±\/2 čos f čos(f/2), ±\J2 čos f sin(f/2)).
Takoj opazimo, da lezita na Bernoullijevi lemniskati (x2 + y2)2 = 2(x2 -y2), ki ima gori sči v točkah (±1,0). Numerična eksčentričnost e elipse in njen parameter p (poloviča dolzine na dalj so os elipse pravokotne tetive skozi gori sče, glej na primer [6]) sta
/čos f	. , . ,, s
e = čhfk, p=^^sin(f/2)tg(f/2).
Uporaba
Nazadnje se se vprasamo, ali ima Luneburgova leča tudi kaksno uporabno vrednost. Leče, ki zbirajo zarke v eni točki, so pomembne, ker je v tej točki svetloba zelo ojačana. Isti prinčip pa deluje tudi pri dielektrični Luneburgovi leči, saj so telekomunikačijski in drugi elektromagnetni valovi tudi podvrzeni odboju in lomu. Luneburgova leča elektromagnetna valovanja z majhno valovno dolzino v primerjavi s premerom leče, na primer s satelitov, zbere
in ojača praktično v točki, z različnih satelitov pa v različnih točkah. Z isto lečo torej lahko spremljamo hkrati več satelitov. Luneburgova leča je uporabna tudi v obratni smeri: na lečo prislonjen izvir valovanja usmeri v snop vzporednih zarkov. Razne mobilne postaje in čelo počitniske prikoliče ter avtodomi so pogosto opremljeni z Luneburgovo lečo kot anteno.
Kako tehnično izdelati Luneburgovo lečo? V bistvu se moramo zadovoljiti z bolj ali manj natančnimi priblizki. Po tankih krogelnih plasteh nana-samo optično snov oziroma dielektrik, tako da v bistvu funkčijo r ^ n(r) nadomestimo z odsekoma konstantno funkčijo. Velikost in maso Lunebur-gove leče lahko razpolovimo, če namesto krogle vzamemo polkroglo, na njen ravni del pa namestimo ravno zrčalo, ki zarke odbije proti ukrivljenemu povrsju polkrogle, kjer se zberejo. Raziskav v zvezi z Luneburgovo lečo ne manjka, na kar nas opozarja veliko spletnih strani. Tudi člankov v znanstvenih in strokovnih revijah je prečej, če samo navedemo [4]. Kaksne pa so v resniči Luneburgove leče, pa si lahko braleč sam ogleda na svetovnem spletu, kjer najdemo prečej skič in fotografij.
Sklepne besede
Spremenljivi lomni količnik n(r) = \/2 — r2, Hookov lomni profil, je samo eden, ki se uporablja in smo si ga v prispevku nekoliko natančneje ogledali. Lomnih profilov si lahko izmislimo nesteto. Pomemben je na primer tudi Newtonov lomni profil n(r) = \j2/r — 1. Ustrezna leča, Eatonova leča, je tudi krogla in obrne snop vzporednih zarkov tja, od koder so prisli. Diferen-čialna enačba (4) preide v obliko, ki ustreza gibanju delča v gravitačijskem polju. Teorija takih leč je obsirna. Kot lahko razberemo iz [2, 3], je v njej veliko matematike in fizike, na primer analitična geometrija, diferenči-alna geometrija, diferenčialne enačbe, variačijski račun, kompleksna analiza, analitična mehanika, teorija relativnosti.
LITERATURA
[1]	F. Križanič, Diferencialne enačbe in variacijski račun, DZS, Ljubljana, 1974.
[2]	U. Leonhardt, T. Philbin, Geometry and light: the science of invisibility, Dover Publications, Mineóla, New York, 2010.
[3]	R. K. Luneburg, Mathematical theory of optics, University of California Press, Berkely, Los Angeles, 1964.
[4]	M. M. Mattheakis, G. P. Tsironis in V. I. Kovanis, Luneburg lens waveguide networks, Journal of optics 14 (2012), st. 11, 1-8.
[5]	I. Vidav, Algebra, Mladinska knjiga, Ljubljana, 1972.
[6]	I. Vidav, Vičja matematika I, DMFA - Založnistvo, Ljubljana, 2008.
SAGNACOV POJAV
JANEZ STRNAD
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
PACS: 42.26.Hz
Stoletnica Sagnacovega poskusa je pripravna pretveza za kratko razpravo o kroZnih interferometrih. A. A. Michelson je s sodelavcema s kroznim interferometrom opazoval vrtenje Zemlje. Potem so razvili krozne laserske interferometre in krozne vlakenske inter-ferometre. Merilna tehnika je v sto letih dozivela izjemen razvoj. Omogoča, da zasledujejo kotno hitrost Zemlje.
THE SAGNAC EFFECT
The centenary of the Sagnac experiment is a viable excuse for a brief dicussion of ring interferometers. A. A. Michelson with collaborators observed with a ring interferometer the rotation of the Earth. Later on laser ring intererometers and fiber ring interferometers were developed. In a hundred years the measuring techniques experienced an exceptional development. Currently the angular velocity of the Earth is monitored.
Sagnacov poskus
Leta 1913 je Georges Sagnac v glasilu francoske akademije objavil kratka prispevka Prikaz svetlobnega etra z učinkom gibanja glede na eter z interferometrom v enakomernem vrtenju in K dokazu za obstoj svetlobnega etra pri poskusu z vrtečim se interferografom [1], [2]. Na plosco, vrtljivo okoli navpične osi, je namestil stiri zrcala in z njimi vodil svetlobo po sklenjeni poti. S polprepustno plosčico je razdelil valovanje, da ga je del potoval v tej, drugi del pa v nasprotni smeri (slika 1). Nazadnje je delni valovanji sestavil in na zaslonu opazoval premik interferencnih prog, ko je vrtel plosco. Osem let po posebni teoriji relativnosti je po izidu sklepal, da eter miruje. Zapisal pa je tudi: „Rezultat merjenja kaze, da svetloba potuje s hitrostjo c neodvisno od gibanja izvira in opticnega sistema." K poskusu ga je napeljalo to, da se je leta 1905 zacel zanimati za zvezdno aberacijo.
Vzemimo, da opazujemo v inercialnem opazovalnem sistemu. Svetloba naj potuje po obodu kroga s polmerom r po plosci, ki se vrti s kotno hitrostjo Q. Delno valovanje, ki potuje v smislu vrtenja, porabi za obhod daljsi cas, kot ce bi plosca mirovala. Cas t2, ki ga porabi to valovanje s hitrostjo c2 za en obhod, izracunamo iz enacbe c2t2 = 2nr + Qrt2. Delno valovanje v
nasprotni smeri s hitrostjo c\ porabi krajši cas ti, ki ga izračunamo iz enačbe citi = 2nr — Qrt\. V praznem prostoru sta hitrosti enaki, c = ci = c2, in je razlika časov:
2nr 2nr 4nr2fi 4nr2fi
ot = t2 — ti = -—---—— = —r- 0 0 = -5-.	(1)
c — fir c + fir c2 — fi2r2 c2
Upostevali smo, da je obodna hitrost fir veliko manjsa od hitrosti svetlobe c. Premik interferenčnih prog, merjen z razdaljo med sosednjima progama, dobimo kot relativno fazno razliko, ko razliko časov delimo z nihajnim časom to in vstavimo valovno dolzino A = ct0:
5tp _St _ 4nr2 fi _ 4SQ
2n = to = cA = "č^.	( 2
Pot objame plosčino S = nr2. Zveza velja tudi, če sklenjena pot objame kak drug lik.
V Sagnačovem interferometru je pot svetlobe objela S = 0,0860 m2. In-terferenčne proge so se premaknile, ko je interferometer začel vrteti. Najprej je vrtel plosčo z določeno kotno hitrostjo, nato je obrnil smer vrtenja, ne
da bi spremenil kotno hitrost. Opazoval je podvojeni premik interferencnih prog	Naredil je samo Štiri meritve. Pri eni od njih so se proge
pri frekvenci plosce 2,35 s-1 in kotni hitrosti 14,8 s-1 premaknile za 0,077 razmika med sosednjima progama. Enacba (2) da s tema podatkoma za dvojni razmik 0,068, ce vstavimo valovno dolzino zelene svetlobe 500 nm. Sagnac je kot izvir svetlobe uporabil majhno zarnico z zveznim spektrom. Ceprav ni zelo natančno meril, je bil poskus za tisti cas velik dosezek.
Drugi poskusi
Albert Abraham Michelson s sodelavcema je na Sagnacov nacin izmeril kotno hitrost Zemlje [3]. V enačbi (2) je bilo treba upoštevati projekcijo kotne hitrosti Zemlje na navpicnico v dolocenem kraju Q sin ( z zemljepisno sirino ( (odlocilen je skalarni produkt S ■ Q = SQcos (|n — ()). Svetlobo so z zrcali vodili po vodovodnih ceveh s premerom 30 cm, v katerih so tlak zmanjsali na 16 milibarov. Cevi so bile polozene po obsegu pravokotnika 603 m krat 334 m, tako da je pot svetlobe zajela ploscino 2,014 ■ 105 m2. Za zvezdni dan, ki je za 3,93 minute krajsi od soncnega dne, dobimo Q = 2n/(86164 s) = 7,29 ■ 10-5 s-1. To da pri zemljepisni sirini ( = 41,46° za Chicago Qsin ( = 4,83 ■ 10-5 s-1. Pri 269 merjenjih so izmerili premik prog (0,230 ± 0,005) razmika med sosednjima progama, kar se se je v okviru natancnosti pri merjenju ujemalo z napovedjo enacbe (2) (0,236 ± 0,002). Zemlje ni bilo mogoce zaustaviti, da bi dolocili zacetno lego interferencnih prog. Ugotovili so jo z interferometrom z veliko krajsim obsegom, ki so ga postavili ob velikem interferometru. Pri tem so si pomagali tako, da so najprej uporabili kot izvir oblocnico in nato izvir natrijeve svetlobe.
Krozni interferometri imajo zanimivo zgodovino [4]. O velikem kroznem interferometru so razmisljali ze prej, na primer Oliver Lodge leta 1897 in A. A. Michelson leta 1904. Z njim so se nadejali ugotoviti, ali eter v vesolju miruje ali se na povrsju lepi na Zemljo kot viskozna tekocina. Max von Laue je leta 1911 nadaljeval Michelsonovo razmisljanje in potrdil, da posebna teorija relativnosti v prvem redu da enak izid kot etrska teorija. Paul Langevin in drugi so pozneje ta izid dobili tudi v vrtecem se, to je neinercialnem opazovalnem sistemu.
Že v letih med 1909 in 1911 se je Franz Harress zelel prepricati, da hitrost svetlobe c/n ± kFv v snovi, ki se giblje s hitrostjo v, v prvem redu podaja
Fresnelov koeficient kF = 1 — 1/n2 z lomnim količnikom n. Fresnelov koeficient je izmeril Armand Hyppolite Fizeau leta 1851 pri poskusu, pri katerem sta delni valovanji potovali po toku tekočine v smeri toka in v nasprotni smeri. Poskus sta leta 1886 ponovila A. A. Michelson in E. W. Morley [5]. Harress ni uporabil toka tekočine, ampak je prozorno snov vrtel. Interferometer, v katerem je s totalnim odbojem svetlobo vodil po desetih steklenih prizmah, je poganjal z majhno turbino. Pred Sagnacom je opazil premik interferenčnih prog, a ga sprva ni znal pojasniti. Pri tem je v racunu naredil napako. Njegovo delo je ostalo neobjavljeno. Na Lauejevo pobudo so poskus Harressa, ki je padel v prvi svetovni vojni, ponovili in leta 1920 o tem porocali. Nasploh so o poskusih Sagnacove vrste veliko razpravljali.
Krožni laserski in krožni vlakenski interferometer
Kmalu potem ko so izdelali prve laserje, so pomislili na laserski krozni interferometer. Prve racune je naredil A. H. Rosenthal leta 1962. S poskusi sta zacela Warren M. Macek in D. T. M. Davies leta 1963, ameriski patentni urad pa je odlocil, da je prvi laserski krozni interferometer izdelal Chao Chen Wang pri druzbi Sperry Gyroscopes.
Krozni laserski interferometer naredijo tako, da sklenjeno cev z zrcali izsesajo in vanjo uvedejo mesanico helija in neona pri majhnem tlaku. V delu cevi z visokofrekvencnim elektricnim poljem ustvarijo plazmo, v kateri se s stimuliranim sevanjem ojacujeta valovanji, ki potujeta v nasprotnih smereh. V delnih valovanjih je razlicno stevilo valovnih dolzin, zato se valovni dolzini malo razlikujeta in imata valovanji malo razlicni frekvenci (slika 2). Relativna sprememba valovne dolzine je enaka relativni spremembi frekvence in relativni spremembi dolzine, ki jo prepotujeta valovanji: 5A/A = 5v/v = 51/1. Eno od valovanj ima za 2nr ■ (rQ/c) daljso pot, drugo pa za toliko krajso, tako da je 51 = 4nr ■ (Qr/c). Z zapisano zvezo sledi:
^ Qr v 4SQ	. .
5v = 4nr — ■ y = .	(3)
Z interferenco valovanj nastane utripanje s frekvenco 5v. Merjenje frekvence je precej bolj pripravno kot merjenje premika interferencnih prog. To je prednost kroznih laserskih interferometrov.
Leta 1966 je Charles K. Kao predlagal uporabo svetlobnega vodnika (in leta 2009 dobil polovico Nobelove nagrade). Postopno so razvili valovne
Slika 2. Poenostavljena risba valovnih dolžin v krožnem laserskem interferometru. Valovna dolžina valovanj v resonatorju je narisana mocno pretirana [2].
vodnike v obliki tankih kremenovih vlaken, v katerih lomni količnik od osi proti robu pojema. Svetloba zaradi totalnega odboja ne uide iz vlakna, če to ni prehudo ukrivljeno. Vlakno vodi svetlobo na znatne razdalje. Misel, da bi vlakno uporabili v kroznem interferometru, je obdelal leta 1976 R. W. Shorthill s sodelavcem.
Vlakenski interferometer naredijo tako, da optično vlakno navijejo na kolut s polmerom r v N ovojih. Skozi polprepustno plosčico na obeh kraji-sčih uvedejo laserski curek, da potuje v tej in v nasprotni smeri. Valovanje, ki nastane z interferenčo, zaznava fotopomnozevalka (slika 3). Pot svetlobe v ovojih se podaljsa in je treba enačbo (2) opremiti s stevilom ovojev N kot dodatnim faktorjem. V vlaknu svetloba potuje po snovi. Eden od delnih čurkov potuje po vlaknu, ki se giblje s hitrostjo fir v smeri potovanja, drugi pa v nasprotni smeri, če se ovoji vrtijo s kotno hitrostjo fi okoli geometrijske osi. Ne zadovoljimo se s prvim redom in Fresnelovim koefičientom, ampak uporabimo enačbo posebne teorije relativnosti za sestevanje hitrosti: (vx ± v0)/(1 ± v0vx/c2). Vstavimo vx = c/n in v0 = fir in dobimo:
c/n + fir
c/n — fir
C2 =
1 + fir/ (nc)
in ci
1 — fir/(nc)
Slika 3. Poenostavljena risba krožnega vlakenskega interferometra.
S tema hitrostma sledi za razliko casov St = t2 — ti = 4nr2Q/c2, enako kot v vakuumu. Snov ne prizadene premika interferencnih prog. Michelson je verjetno poznal ta izid, a se ni Želel nanj opreti, zato je v ceveh interferometra zmanjsal tlak.
Vlakenske krozne interferometre sestavljajo sami trdni deli. Zato so odporni na udarce in so lahko zelo majhni. Taki interferometri so prevzeli vlogo vrtavk, giroskopov, v inercialnih navigacijskih sistemih. K njihovemu razvoju so znatno prispevale letalske druzbe. Krozni laserski interferometri so precej drazji od vlakenskih. Pri izdelavi zahtevajo vecjo natančnost in boljsa zrcala, katerih odbojnost je le za 10-6 manjsa od 1. So tezji, vecji in obcutljivejsi na tresljaje ter imajo v splosnem krajsi zivljenjski cas. Pri majhni kotni hitrosti se lahko pojavijo motnje. Na drugi strani ni tezav z dolocitvijo kotne hitrosti 0, ki se pojavi pri vlakenskih interferometrih.
Kotna hitrost Zemlje
Pri velikem stevilu podatkov, ki jih potrebujemo pri raziskovanju in v vsakdanjem zivljenju, na primer pri dolocanje lege na Zemlji z GPS, moramo na-
10 s s"1	pikorad/s
(T
i
_j_i-1-1—
0	20	40	60 dni
čas
Slika 4. S Krožnim laserjem G so zasledovali spreminjanje kotne hitrosti Zemlje. Frekvenca se spreminja s periodo enega dne in zaradi delovanja Lune s periodo dveh tednov. Na navpično os so nanesene spremembe frekvence v milijoninah vrtljaja, na vodoravno pa dnevi. Izmerjena in napovedana krivulja se dobro ujemata (levo) [6]. Opazovali so tudi letne in Chandlerjeve spremembe. Gladka krivulja podaja rezultate interferometrije z zelo dolgo osnovnico. Primerjava krivulj pokaze, kako stabilno je deloval krozni laser. Na navpično os so nanesene spremembe kotne hitrosti v pikoradianih na sekundo (1 pikorad/s = 5,73 ■ 10-11 /s), na vodoravno pa dnevi (desno) [6], [7].
tancno poznati lego zemeljske osi. To je mogoce ugotoviti z interferometrijo z zelo veliko osnovnico VLBI (Very Long-Base Inteferometry). Mikrovalove zelo oddaljenega vesoljskega izvira radijskih valov, kvazarja, sprejemata dva radioteleskopa na zemeljskem povrsju v razdalji vec tisoc kilometrov. Zaradi velike oddaljenosti kvazarja lahko vzamemo, da je valovno celo ravno. Po zakasnitvi valovanj v radioteleskopih, ki jo ugotovijo z interferenco, lahko sklepajo na lego osi v prostoru in na kotno hitrost. Te vrste merjenja so zahtevna in draga. Zato jih opravljajo bolj poredko, denimo, dve po 24 ur trajajoči merjenji na teden. Med merjenjema neprekinjeno zasledujejo kotno hitrost Zemlje s kroznimi laserskimi interferometri. Zemlja ni togo telo. Luna na primer povzroči v Srednji Evropi dvig zemeljske skorje za dvajset centimetrov s periodo 365,25 dneva. Geometrijska os Zemlje se ne pokriva z vztrajnostno osjo. Zemlja se giblje po malo splosceni elipsi. Vse to povzroci, da se razmere spreminjajo priblizno s periodami enega dne, dveh tednov in enega leta. Seth Carlo Chandler je leta 1891 odkril nihanje zemeljske osi s periodo 435 dni, ki so ga pozneje pojasnili s spremembo tlaka na dnu oceanov in zracnega tlaka. Nasteti pojavi povzrocajo spremembo efektivnega vztrajnostnega momenta Zemlje in s tem spremembo kotne hitrosti.
Na svetu je nekaj velikih kroznih laserskih interferometrov, s katerimi zasledujejo kotno hitrost Zemlje. Interferometer s ploscino kvadratnega me-
tra deluje v opuščenem bunkerju v Christchurchu na Novi Zelandiji [4]. Od leta 2009 tam deluje tudi največji krožni laserski interferometer s ploščino 39,7 m krat 21 m, to je 834 m2. Od leta 2001 deluje Krozni laser G Geodetskega observatorija Wettzell v Bavarskem gozdu s plosčino 4 m krat 4 m, to je 16 m2. Slednji je na glasu, da je od vseh najbolj stabilen (slika na naslovnici) [6]. Nemska raziskovalna skupina sodeluje z novozelandsko [7].
Med merjenjem se ne smejo spremeniti razdalje med deli naprave. Krozni laser G je postavljen na plosčo iz steklene keramike z linearnim razteznostnim koeficientom, manjsim od 5 ■ 10-9 K-1. Interferometer je pod zemljo v prostorih s kolikor mogoče stalno temperaturo in stalnim tlakom. Z interferometrom neprekinjeno zasledujejo spremembe zemeljske kotne hitrosti. Interferometer uporablja mesanico stiridesetih delov helija in enega dela neona pri tlaku 5 milibarov. Ojačevanje poteka v 10 cm dolgi kapilari s premerom 5 mm, a območje plazme je dolgo le 3 cm. Z zrcali z zelo veliko odbojnostjo in drugimi prijemi so kolikor mogoče zmanjsali izgube. Potem ko izključijo ojačevanje, valovanje traja se 1,2 milisekunde in prepotuje 360 km. Zelo majhen del valovanj, ki izstopi skozi eno od zrcal, vodijo na polprevo-dniski merilnik in po opazovani frekvenci utripanja sklepajo na spremembe kotne hitrosti (slika 4) [6], [7]. Sodobni krozni laserski interferometri imajo za okoli 12 velikostnih stopenj boljso ločljivost od Michelsonovega. To priča o izjemnem razvoju merilne tehnike.
LITERATURA
[1]	M. G. Sagnac: L'éther lumineux démontré par l'effet du vent relatif d'éther dans un interferomètre en rotation uniforme, Comptes rendus 157 (1913) 708-710; Sur la preuve de la réalité de l'éther lumineux par l'expérience de l'interérférographe tournant, Comptes rendus 157 (1913) 1410-1413. AngleSki prevod: http://en.wikisourse.org/wiki/The_Demonstration_of_the_Luminiferous_Aether; http://en.wikisourse.org/wiki/On_the_Proof_of_the_Reality_of_the_Aether.
[2]	Sagnac effect, http://en.wikipedia.org/wiki/Sagnac_effect.
[3]	A. A. Michelson, H. G. Gale in F. Pearson, The effect of the earth's rotation on the velocity of light, Astrophys. J. 61 (1925) 137-145. (Članek je mogoče dobiti na spletu.
[4]	R. Anderson, H. R. Bilger in G. E. Stedman, „Sagnac" effect: A century of Earth-rotated interferometers, Am. J. Phys. 62 (1994) 979-985.
[5]	J. Strnad, Michelsonovi poskusi, Obzornik mat. fiz. 30 (1983) 167-178.
[6]	U. Schreiber, Ein Ring, die Erde zu finden, Physik Journal 12 (2013) 25-30 (5).
[7]	K. U. Schreiber, T. Klugel, J.-P. R. Wells, R. B. Hurst in A. Gebauer, How to detect the Chandler wobble of the Earth with a large ring laser gyroscope, Phys. Rev. Lett. 107 (2011) 173904 1-4.
ŠOLA
NEVERJETNA VERJETNOST
DARJO FELDA
Pedagoška fakulteta Univerza na Primorskem
Math. Subj. Class. (2010): 97-01, 97K50
V prispevku pokažemo na napake pri vpeljevanju verjetnosti v učbenikih za matematiko za deveti razred osnovne sole.
INCREDIBLE PROBABILITY
In the paper, errors in introducing probability in mathematics textbooks for the ninth grade of primary school are shown.
Uvod
Odveč je pripomniti, da je treba učenca uvajati v katerokoli matematično vsebino z veliko mero previdnosti. Jezik, ki ga uporabljamo v procesu učenja in poučevanja, mora biti prilagojen razvojni stopnji učenca, kljub temu pa matematično korekten in nedvoumen. Učbeniki in druga učbeniska gradiva naj bi bili opora samostojnemu učenju in zato namenjeni učencu. Morali bi nuditi jasno in natančno podane matematične pojme in koncepte oziroma usmeritve, a se, zal, vanje prikradejo hude nepravilnosti.
Pri pregledovanju izdelkov, kijih učenci oddajo na nacionalnem preverjanju znanja matematike, opazamo določene napačne oziroma povrsne zapise in postopke resevanja matematičnih problemov, za katere bi tezko sodili, da so plod samostojnega razmisleka posameznih učencev. Prej nasprotno -izkazujejo se kot plod nekih naučenih pravil in postopkov v procesu učenja in poučevanja matematike, skozi katerega se prebijajo ti učenci.
Za ta prispevek smo se odločili potem, ko smo ob t. i. poizvedbah prejeli od nekaterih sol fotokopije delov učbenikov, s katerimi naj bi se dokazovala pravilnost in popolnost resitev posameznih nalog, kakor so jih zapisali učenci. Prav te fotokopije so nas spodbudile, da smo natančneje pregledali poglavje o verjetnosti v obeh učbenikih, iz katerih so bili fotokopirani deli uvodnih strani omenjenega poglavja. Gre za učbenika Kocka 9, matematika za 9. razred osnovne šole in Skrivnosti števil in oblik, učbenik za matematiko v 9. razredu osnovne šole.
Verjetnost in ucni nacrt
Glede na ucni nacrt za matematiko (glej [4]) se učenci srečajo z verjetnostjo v 9. razredu osnovne Sole, čeprav so operativni cilji in vsebine le orientacijsko vezani na dolocen razred. Lahko bi se torej verjetnost (delno) obravnavala tudi prej v tretjem vzgojno-izobrazevalnem obdobju. Najbrz je smiselno, da bi se nekatere dejavnosti, vezane na usvajanje verjetnosti, izvajale celo ze v nizjih razredih osnovne sole in da bi ucenci vstopili v zakljucni razred z nekaterimi predhodnimi konkretnimi izkusnjami s slucajnimi dogodki. V nizjih razredih seveda ne gre za poucevanje verjetnosti v strogem mate-maticnem smislu, pac pa za postopno srecevanje z verjetnostjo ter sprotno spoznavanje in nadgrajevanje pojmov iz verjetnosti ob izvajanjih poskusov, ki so ucencem blizu. Pomembno je, da ucenci pridobijo pravilne predstave o verjetnosti.
Verjetnost je v tretjem vzgojno-izobrazevalnem obdobju zapisana pod temo druge vsebine, za katero so opredeljeni nekateri globalni cilji tega vzgojno-izobrazevalnega obdobja. Izmed njih se le eden neposredno nanasa na verjetnost, in sicer: (učenci) na primerih spoznajo statistično verjetnost. Ustrezni operativni cilji so zapisani v sklopu Izkušnje s slučajnimi dogodki, kjer je zapisano, da ucenci:
•	pridobijo izkusnje o stevilsko izrazeni verjetnosti;
•	ocenijo verjetnost s sklepanjem in utemeljevanjem (zivljenjske situacije);
•	izvajajo poskuse (met kocke, met zebljickov, met kovanca, met valja idr.), opazujejo izbrane dogodke, zapisejo izide in napovedujejo verjetnost dogodka;
•	izvajajo poskuse in na podlagi analize s kombinatoricnim drevesom napovedujejo izide (npr. met kovanca);
•	zberejo, uredijo, analizirajo rezultate poskusa in ob konkretnih primerih (poskusih) spoznajo statisticno verjetnost dogodka;
•	povezejo pojma statisticna in matematicna verjetnost ([4]).
Pripadajoce vsebine so podane kot: pojmi: poskus, dogodek, izid; dogodek: nemogoc, gotov, slucajen dogodek; verjetnost dogodka (statisticna verjetnost).
Vsi nasteti operativni cilji in vsebine so obvezni.
V ucnem nacrtu za matematiko so zapisana tudi pripadajoca didakticna priporocila, ki jih povzemamo dobesedno: Prve izkušnje s pojmi poskus, dogodek, izid in verjetnost dogodka naj učenci pridobivajo skozi izvajanje
poskusov, kot so met kovanca, met kocke, vrtenje kazalca na vrtavki idr. V poskusu najprej izberejo dogodek in opazujejo (štejejo) ugodne izide za izbrani dogodek. Primer: v poskusu met kocke je lahko izbrani dogodek: „pade pet pik". Za začetne dejavnosti pripravimo preproste situacije. Ce je npr. vrtavka rdeca, je dogodek, da se bo kazalec ustavil na rdeci barvi, gotov dogodek, dogodek, da se ustavi kazalec na beli barvi, pa nemogoč. Verjetnost prvega dogodka je ena, drugega pa nič. (Ce je vrtavka dvobarvna (pol/pol), je verjetnost dogodka, da se ustavi na eni izmed barv, enaka 2. V poskusu met kovanca je verjetnost dogodka, da „pade cifra", enaka 1. Verjetnost dogodka, da v poskusu met kocke „padejo tri pike", pa je |. Z izvajanjem poskusov si ucenci pridobivajo izkučnje z napovedovanjem dogodkov (nemogoč, gotov, slučajni dogodek ...) in njihovih verjetnosti (verjetnost gotovega dogodka je ena, verjetnost nemogočega dogodka je nič, verjetnost slučajnega dogodka pa med nič in ena), pri čemer se zavedajo pomena čte-vila ponovitev poskusa. Osnove napovedovanja dogodkov lahko vpeljemo oziroma povečzemo s poznavanjem delov celote (npr. ciljanje v tarčco), pri čemer učenci tudi zapišejo verjetnost dogodka s številom ([4]).
V učnem načrtu ni med standardi znanja omenjen noben standard, ki bi se neposredno navezoval na verjetnost. Niti med naStetimi minimalnimi standardi ni nobenega s področja verjetnosti.
Ce pogledamo v učni načrt, sprejet leta 1998 ([3]), ki se mu veljavnost izteka, je področje verjetnosti veliko bolj skopo predstavljeno. V okviru teme Druge vsebine - obdelava podatkov je sklop Izkusnje s slucajnimi dogodki s čiljem Pridobiti izkusnje o numericno izrazeni verjetnosti. Po učnem načrtu naj bi se obdelala vsebina, ki obsega pojme: dogodek, izid; verjetnost (empiricni pristop); dogodek: nemogoc, gotov, enako verjeten itd. Pod spečialno didaktična priporočila in dejavnosti je zapisano zgolj: Ucenec/ucenka s poskusom ugotovi oz. oceni verjetnost dogodka (pri cemer se zaveda pomena stevila poskusov). Na podlagi analize s kombinatoricnim drevesom napove izide.
Učenje in poučevanje verjetnosti
V nasi solski praksi ima učbenik vlogo, ki mu ne pripada. Veliko učiteljev se namreč pri pouku oziroma načrtovanju pouka pretirano zgleduje po uvajanju vsebin na način, kot je predstavljeno v izbranem učbeniku. Tako se na solah odločajo za učbenike, ki so „vseč" učiteljem in so večinoma (pre)bogato opremljeni z različnimi razlagami in dodatki ter „zanimivostmi", ki večine učenčev ne zanimajo, učitelji pa dobijo v njih dovolj informačij za izpeljavo pouka, ki je podrejen tem učbenikom. Namesto da bi učitelji kritično sprejemali, kar jim ponuja učbenik, (pre)mnogokrat neposredno prenasajo učenčem informačije iz učbenika in, zal, slepo zaupajo zapisanemu v njem, „ker je učbenik potrjen". V nadaljevanju si oglejmo nekaj spodrsljajev iz
učbenikov za matematiko za 9. razred osnovne sole. Besedilo, ki ga bomo dobesedno povzeli iz učbenikov, bomo zapisali s to pisavo.
Kocka 9, matematika za 9. razred osnovne sole
V verjetnost naj bi vstopili z zgledom: Anja in Jurij sta igrala Clovek ne jezi se. Anja je trdila, da bo zagotovo v prvem metu vrgla 6 pik.
Sledi pojasnilo: Anjina trditev temelji na njeni zelji, da bi zares ze v prvem metu vrgla 6 pik. Met kocke poimenujemo dogodek. Mogoč dogodek pri metu kocke je padec 1, 2, 3, 4, 5 ali 6 pik. Ce pa kocka pokaze 6 pik, kot si je zelela Anja, je to ugoden izid.
Dodana je se preglednica in zapis pod njo:
Vseh mogocih dogodkov je 6, le eden pa ima za Anjo tudi ugoden izid. Mate-maticna verjetnost, da bo Anja ze v prvem poskusu vrgla 6 pik, je torej 1 : 6 ah 6.
Verjetnost je kolicnik med stevilom ugodnih izidov in številom vseh dogodkov.
Kot lahko vidimo, se ponuja izjemno nekorekten vstop v verjetnost. Osnovni pojmi iz verjetnosti, s katerimi naj bi učenci dopolnili matematični jezik, da bi se o verjetnosti pogovarjali in jo spoznavali, so napačno vpeljani. Met kocke je opredeljen kot dogodek namesto kot poskus, v nadaljevanju pa učence se zbegamo, saj je glede na opredelitev dogodka razumeti, da je mogoč dogodek pri tem dogodku (namreč metu kocke) padec 1, 2, 3, 4, 5 ali 6 pik, za nameček pa je zeleni mogoč dogodek (to je padec 6 pik) pri dogodku (metu kocke) ugoden izid.
Zdi se, da je besedna zveza „mogoč dogodek" napačno uporabljena namesto besede „izid". Tako bi morali zapisati: „Izid pri metu kocke je padec 1, 2, 3, 4, 5 ali 6 pik.", v preglednici pa namesto zapisa „Vsi dogodki" uporabiti „Vsi izidi". Pod preglednico bi morali zapisati: „Vseh izidov je 6, le eden pa je ugoden za Anjo." Verjetnosti ne bi smeli navajati v obliki razmerja, definicijo pa bi morali zapisati: „Verjetnost je količnik med stevilom ugodnih izidov in stevilom vseh izidov."
V učbeniku je za tem se primer meta kovanca, ki se navezuje na primer Anje in Jurija z vprasanjem: Kaj pa ce bi metala kovanec in zelela, da pade podoba? Nadaljuje se analogna „zmesnjava", vključno s preglednico, v kateri ni naveden pravi ugoden izid - namesto „podobe" je „stevilka". Tako je zapisano: Ce bi metala kovanec, bi imela samo dve moznosti, pade lahko podoba ali stevilka.
Pri metu kovanca sta mogoca samo dva dogodka, ugoden pa je izid, ko kovanec kaže podobo. Od dveh izidov je za nas ugoden en sam, kar matematično zapišemo 1 ali 1 : 2.
Pri desetiskih ulomkih verjetnost lahko predstavljamo v odstotkih. Tako lahko rečemo: verjetnost, da bo kovanec pokazal podobo, je 50 %.
Poudariti je treba, da je verjetnost nenegativno število, ki ni večje od 1. Zapisujemo ga lahko v obliki ulomka ali z odstotki, pa tudi z decimalno Številko (npr.: 8, 12,5 %, 0,125), zadnja zapisa vcasih zaokroZamo na nekaj decimalk natančno (npr.: 36, 2,78 %, 0,0278). Verjetnost je količnik in ne razmerje, zato zapis v obliki razmerja ni primeren. Pri uvajanju verjetnosti raje povejmo, da je ugoden npr. en izid izmed dveh ali en izid izmed šestih, kar zapisemo v obliki 2 ali 1.
Zanimivo sta uvedena gotov in nemogoč dogodek: Kadarkoli vrzemo kovanec, bo zagotovo padel na eno stran. Dogodek, ki se zagotovo zgodi, imenujemo gotovi dogodek. Verjetnost gotovega dogodka je 100 % in jo lahko zapisemo s stevilom 1.
Verjetnost, da pade stevilka pri metu kovanca, je torej:
Pri metu kovanca je enaka verjetnost, da pade podoba, kot da pade stevilka. Ugodna izida sta vedno enako verjetna.
Pri metu kovanca ni moznosti, da bi kovanec ostal v zraku. Dogodek, ki se ne more zgoditi, imenujemo nemogoči dogodek.
Po tej razlagi je gotov dogodek pri metu kovanca, da le-ta pade na eno stran, nemogoč pa, da le-ta ostane v zraku. V pojasnilu k izračunu verjetnosti, da pade stevilka, je nemarno zapisano, da je stevilo 1 gotov dogodek namesto verjetnost gotovega dogodka.
Bolje bi bilo, če bi gotov dogodek v tem primeru opisali s „Pade podoba ali stevilka" ali „Pade katerakoli stran", nemogoč pa z „Ne pade ne podoba ne stevilka".
Eden izmed zgledov, s katerim naj bi razjasnili nekatere osnovne pojme o verjetnosti, je podan tako:
V vrecki je 6 belih in 9 crnih zetonov.
a) Koliksna je verjetnost, da na slepo iz vrecke potegnemo crne zetone?
b) Kolikšna je verjetnost, da potegnemo bel žeton?
Takoj opazimo, da prvo vprašanje ni jasno, saj ne vemo, ali potegnemo vse črne žetone. Iz postopka reSevanja se sicer izkaZe, da bi moralo pisati: ... iz vrečke potegnemo črn žeton. Iskanje odgovora na prvo vprasanje nas takoj preseneti, saj je zapisano: V vrecki je skupaj 15 žetonov, torej je vseh dogodkov 15. UCenec tako dobi zmotno prepričanje, da je stevilo dogodkov pri poskusih, ko vlečemo zetone ali kroglice iz vrečke, enako stevilu zetonov ali kroglic v vrečki, kar seveda ne drzi. Do odgovora nas vodi zapis: Za nas je ugoden izid, ce izvlečemo crn žeton, teh pa je 9. Verjetnost, da potegnemo crn žeton, je torej 15 = 5 ali 60 %. Ta sicer napacen premislek je
v
skladu z zapisom na robu strani ucbenika, kjer je povzeta napacna definicija verjetnosti, po kateri stevilo ugodnih izidov delimo s stevilom vseh mogočih dogodkov, za namecek pa je dodana se „formula": verjetnost = ^dogodki.
Veliko enostavneje bi bilo, ce bi se naslonili na intuicijo in preprosto zapisali: „Ker je 9 izmed 15 zetonov crnih, je verjetnost, da na slepo izvlecemo crn zeton, enaka 15 = 3 ali 60 %." Za ucence je tak razmislek veliko bolj jasen kot pa zapleteno in strokovno oporecno ovinkarjenje.
Nic manj „raztresenosti" ni v iskanju odgovora na drugo vprasanje: Iž vrečke vedno potegnemo crn ali bel žeton, kar imenujemo gotovi dogodek. Verjetnost gotovega dogodka je vedno 1. Zato lahko verjetnost, da ižvlecemo bel žeton, ižracunamo kot ražliko: 1 — | = |. Na koncu je sicer spodrsljaj, ki nakazuje na nedoslednost pri „prevajanju", saj se pojavi kar frnikola: Verjetnost, da iž vrecke na slepo ižvlecemo crn žeton, je |, ža belo frnikolo pa 5.
Skrivnosti stevil in oblik, učbenik za matematiko v 9. razredu osnovne sole
Že v napovedi je zapisano, da bomo v poglavju o verjetnosti med drugim izvedeli, kdaj je dogodek slucajen, kdaj je gotov in kdaj nemogoc, ceprav je najbrz misljeno, da naj bi izvedeli, kateri dogodek (pri nekem poskusu) je slucajen, kateri gotov in kateri nemogoc.
Ob nastevanju dogodkov, ki se zgodijo v poskusu vrži posteno igralno kocko, so po vrsti zapisani standardni elementarni dogodki, zmoti pa zava-jajoca slika, ki naj bi locevala posteno igralno kocko od nepostene.
poštena igralna kocka nepoštena igralna kocka
Kot vemo, poštenost običajne igralne kocke pomeni, da se vsak izid zgodi z verjetnostjo 6 oziroma da se po metu kocke vsaka njena mejna ploskev z enako verjetnostjo postavi na „zgornjo stran". Ce je na dveh mejnih ploskvah postene igralne kocke 6 pik, je pač verjetnost, da pade 6 pik, enaka |. Morda bi bilo dobro opozoriti, da je predstavljena mreza postene igralne kocke neobičajna. Običajna igralna kocka ima namreč na nasproti lezečih mejnih ploskvah skupaj 7 pik.
V	nadaljevanju srečamo nekaj nedomisljeno oblikovanih povedi, na primer „Ce bi imeli v skledi same rumene kroglice, bi bila na slepo izvlecena kroglica vedno rumene barve" kot opis gotovega dogodka. Ce je namreč izvlecena kroglica rumena, je le-ta vedno rumene barve, razen če jo prebarvamo ali zbledi. Bolje bi bilo zapisati, da bi bila na slepo izvlecena kroglica zagotovo rumena (saj je predpostavljeno, da so v skledi same rumene kroglice).
Izrazoslovje je vprasljivo tudi v povedih „Ker so v skledi 4 rumene in 4 bele kroglice, je naključno izvlecena kroglica ali rumene ali pa bele barve. Izbor barve bi bil nakljucen - slucajen, zato recemo, da je taksen dogodek slučajen dogodek". Tako ni jasno, kaj slučajen dogodek sploh je - ali je to omenjeni nakljucen izbor barve? Raje bi zapisali: „Ker so v skledi 4 rumene in 4 bele kroglice, je naključno izvlecena kroglica ali rumene ali pa bele barve. Dogodek Izvlecena kroglica je rumena se zgodi, če naključno (slučajno) izvlečemo kroglico rumene barve, sicer pa ne. Zato je ta dogodek slučajen dogodek. Podobno ugotovimo, da je dogodek Izvlecena kroglica je bela slučajen."
Sledijo se večje nejasnosti, saj popolnoma izgubimo rdečo nit. Po besedilu v učbeniku naj bi namreč verjetnost slucajnega dogodka lahko napovedovali empiricno (s poskusanjem) ali teoreticno. Avtorji opisejo empirično napovedovanje verjetnosti dobesedno tako: „Opravimo veliko število ponovitev poskusa in si sproti zapisujemo ali se dani dogodek zgodi ali ne. Izracunamo kolicnik med frekvenco dogodka in stevilom vseh izvajanj poskusa", teoretično pa: „Verjetnost slucajnega dogodka poskusamo oceniti, ne da bi v resnici izvedli poskuse. To lahko naredimo v primerih, kjer ni nobenega razloga, da bi se en elementarni dogodek zgodil veckrat kot drugi (met kovanca ali igralne kocke)".
Precejsnja zmeda je tudi v navedeni klasicni definiciji verjetnosti, saj je najprej zapisano: „Kadar so posamezni izidi enakovredni glede moznosti, da se zgodijo, je verjetnost slucajnega dogodka kolicnik med stevilom ugodnih izidov (m) in stevilom vseh moznih elementarnih dogodkov (n) v nekem poskusu", sledi pa formula:
stevilo moznih ugodnih dogodkov m stevilo moznih elementarnih dogodkov n
V	učbeniku sledi definicija frekvence dogodka na posebnem zgledu, čeprav je bil ze v opisu t. i. empiricnega napovedovanja verjetnosti govor o frekvenci, nato pa popolnoma nekonsistentna definicija relativne frekvence,
saj je navedeno: „Zapišemo količnik med številom ugodnih izidov za dogodek in številom vseh ponovitev poskusa", za tem pa ulomek:
frekvenca dogodka
število vseh ponovitev poskusa '
ki je poimenovan relativna frekvenca dogodka in katerega vrednost H = | = 0,2 je izračunana za posebni zgled (Pri igri Človek ne jezi se, je Špela 3-krat v 15-tih metih kocke vrgla sestico). Očitno gre za „neločevanje" med ugodnimi izidi in frekvenco dogodka, pa tudi za nerazumevanje pojma relativna frekvenca, saj lahko preberemo razlago ,,V zapisanem primeru je Špela opravila le 15 ponovitev poskusa. Če se zelimo priblizati točni vrednosti za relativno frekvenco, moramo izvesti veliko večje stevilo poskusov (npr. tisoč)" in se poseben povzetek „Relativna frekvenca je kolicnik med stevilom ugodnih izidov za dogodek in stevilom vseh ponovitev poskusa. Racunamo jo le pri enakovrednih dogodkih. Relativna frekvenca doloca teoreticno verjetnost."
Pa smo pred dilemo: najprej je bilo teoretično napovedovanje verjetnosti opisano z „Verjetnost slucajnega dogodka poskusamo oceniti, ne da bi v resnici izvedli poskuse", čeprav ni bilo pojasnjeno, kako to dejansko napravimo, iz tega povzetka pa naj bi teoretično verjetnost določali z relativno frekvenčo. Ali gre za isti pojem?
Niti z resenima primeroma si pri razjasnjevanju pojmov ne moremo pomagati, prej nasprotno. Že besedilo prvega primera je nejasno in matematično sporno. Tako gre:
Mecem dve igralni kocki. Koliksna je verjetnost, da je vsota pik na obeh kockah 5?
a)	Opravi 100 poskusov in ugotovi, kolikokrat je ugoden izid.
b)	Narisi kombinatoricno drevo za vse mozne izide.
c)	Doloci verjetnost dogodka na osnovi meritev.
c)	Doloci relativno frekvenco in napovej teoreticno verjetnost.
d)	Primerjaj, ali si se pri izvajanju poskusa priblizal teoreticni verjetnosti.
Kdor je usvojil prave verjetnostne pojme in končepte, najbrz ne zna resiti
naloge. Porajajo se mu vprasanja: Zakaj je treba opraviti 100 poskusov, da bi ugotovili, kolikokrat je ugoden izid in kateri izid sploh? Kako naj določimo verjetnost dogodka na osnovi meritev - katerih meritev, kaj naj merimo? Kako z relativno frekvenčo napovemo teoretično verjetnost - kaj sploh je teoretična verjetnost? Ce relativna frekvenča določa teoretično verjetnost, ni kaj napovedovati. Kako naj primerjamo, ali smo se pri izvajanju poskusa priblizali teoretični verjetnosti?
Poglejmo resitev primera, kakor je navedena v učbeniku:
a) opravimo poskuse, stevilo padlih pik zapisemo v preglednico in obarvamo stolpec, ce je vsota pik na obeh kockah 5.
Sledi pregledniča v 4 delih, ni pa nikakrsnega pojasnila. Nemara je treba presteti, koliko stolpčev je obarvanih, a na ta način prestejemo, da se je ome-
njeni dogodek zgodil 12-krat, ne izvemo pa, kako ugotovimo, kolikokrat je ugoden izid. Pozoren bralec bi sicer nasel napako Ze v barvanju stolpcev, saj eden izmed stolpcev v tretjem delu preglednice ni obarvan, Čeprav v njem nastopata stevili 4 in 1.
št. pik 1. kocke	1	6	3	5	5	3	4	4	6	6	5	2 4		6	3	6	4	1	4 , 3	1 3	4 2		6
št. pik 2. kocke	1	1	4	5	6	2	3	6	3	2	2	3	6	2	5	1	5	1	r- : 5 2	1 2	1	3	6
št. pik 1. kocke	2	1	6	1	6	4	6	1	4 1	1	5	4	4	4	4	2	3	5	2	2 3	6	5	2	2	5
št. pik 2. kocke	1	1	2	5	3	4	3	1		5	6	2	3	5	4	5	3	3	5		4	2	6	4	2
																									
št. pik 1. kocke	6	3	1 3		6	6	4	3	5	3	4	1	2	5	3	6	2	5	4 5		2	4	3	3	6
št. pik 2. kocke	2	4 4 2			3	4	5	3	5	1	6	1	4	1	4	4	4	2	1 4		6	1	3	4	5
																									
št. pik 1. kocke	3	5	3	4	6	2	6	1	5 1		4	4	4	6	3	1	1	5	1	1	4	2	4	6	5
št. pik 2. kocke	1	1	1	6	2	6	6	5	4 4		2	3	3	4	1	1	1	4	2	3	3	6	4	1	5
b) narišemo kombinatoricno drevo vseh možnosti za met dveh kock. Vidimo, da je vseh možnosti 36.
c) Vsota 5 pik je padla 12-krat v 100 poskusih, zato je verjetnost na osnovi meritev
P(Am) = 120 = 0,12 = 12 %.
Glede na resitev je torej verjetnost dogodka na osnovi meritev pravzaprav kar relativna frekvenca in ni jasno, zakaj je tako poimenovana.
c)	Ugodne možnosti za vsoto 5 pik so stiri: 1,4 2, 3 3, 2 4, 1. Izračunamo relativno frekvenco P (A) = ^ = 0,1 = 11,1 %.
Tu ni kaj dodati, saj je v resnici izracunana verjetnost po klasicni definiciji, ki jo avtorji napacno imenujejo relativna frekvenca.
d)	Izracunamo; koliksen del teoreticne verjetnosti je verjetnost pri merjenju. P (Am) = P (A) =	: = 1,08 = 108 % Teoreticna
verjetnost se od dejansko izmerjene verjetnosti razlikuje za 8 %.
Verjetno si to znajo razloziti le pisci ucbenika. Ce privzamemo, da je P (Am) verjetnost pri merjenju, pa karkoli ze to je, je torej P (A) teoretična
verjetnost, da smo lahko izračunali, kar je zahtevano pod d). Pod c) je isti P (A) imenovan relativna frekvenca ... Oglejmo si Se drugi primer:
Rok je v zrak hkrati metal dva kovanca za 50 centov, Špela pa je v tabelo zapisovala dogodke, ki so se pri tem zgodili.
a)	dogodek A: na obeh kovancih pade Triglav
b)	dogodek B\ na obeh kovancih pade števka	' H)
c)	dogodek C: na enem od kovancev pade Triglav, na drugem pa Stevka
Poskus sta ponovila stokrat.
Z računanjem verjetnosti ugotovi, ali sta se pri izvajanju poskusa priblizala pričakovanim rezultatom.
Pred samo rešitvijo primera je v učbeniku dodano:
Seveda se takoj vprasamo, o katerih resitvah je govor; najbrZ so misljeni izidi pri metu dveh kovancev. Iz preglednice naj bi razbrali, kolikokrat se je zgodil posamezni izid. Nekoliko nejasno je, kako je Spela vedela, na katerem kovancu je padla stevilka, če nista na obeh kovancih padli stevilki - ali sta bila kovanca oznacena? Pozoren bralec opazi, da je namesto besede stevilka napacno uporabljena beseda števka.
Naj navedemo le resitev a), kot je zapisana v ucbeniku, drugi dve sta reseni analogno.
^ugoderT^
Rešitev:	dogodek^
a) Izračunamo verjetnost za dogodek a\ p (a) = | = 0,25.
Izmerjena verjetnost dogodka a: p(am) = ^ = 0,28.
Pri izvajanju poskusa a Rok in Špela nista dobila pričakovanega rezultata. Verjetnost pri meritvah je 112 % (0,28 : 0,25) izračunane verjetnosti, torej sta se zmotila za 12 %.
Spet ostanemo brez besed, zlasti ob dodatku ... sta se zmotila za ... Zelo nenavadne so tudi nekatere naloge za vajo. Navedimo dve:
Zapisi vse možne dogodke za vsak poskus.
a)	Rok obiskuje pouk
b)	učiteljica pisno ocenjuje
c)	Špela naključno izbere osebo iz njene nivojske skupine
Ce ne „pokukamo" v resitve, bi stezka uganili, kateri so vsi mozni dogodki za poskus Rok obiskuje pouk. A resitev je sila preprosta: Rok je pri pouku, Rok ni pri pouku. Sedaj bi morda braleč nastel tudi vse mozne dogodke za poskus uciteljica pisno ocenjuje.
Iz kupa 32 igralnih kart (komplet vsebuje 4-krat: kralj, dama, fant, as, 10, 9, 8, 7) 100-krat na slepo izvleci eno karto, jo poglej, zapisi, katera je, in karto vrni.
a)	v razpredelnico zapisuj vse dogodke
b)	izracunaj verjetnost za dogodek A: izvlecena karta je kralj
c)	na osnovi podatkov v razpredelnici izracunaj, kolikokrat se je zgodil dogodek A
c) za koliko se razlikujeta rezultata pri b in c?
Resevaleč je pred dilemo, ali naj po vrsti zapisuje vse dogodke, ki se lahko zgodijo, če izvlečemo karto iz kupa 32 kart, ali naj sproti zapisuje, kateri dogodek se je dejansko zgodil pri posamezni ponovitvi poskusa. Pod točko b je najbrz misljena ena izvedba poskusa, ni pa jasno, kaj pravzaprav pove razlika rezultatov pri b in č oziroma zakaj primerjamo verjetnost dogodka A s frekvenčo tega dogodka pri 100 ponovitvah poskusa.
Nasploh je v opisanem delu toliko protislovij in nekorektno vpeljanih pojmov, da bi bilo treba vse pojme uvesti povsem na novo in sistematično ter se pri tem opreti na neki „znani" poskus, na primer met (postene igralne) kočke. Frekvenčo dogodka in relativno frekvenčo dogodka bi morali navezati na stevilo ponovitev poskusa, statistično verjetnost dogodka pa bi opredelili z relativno frekvenčo pri dovolj velikem stevilu ponovitev poskusa. Pri matematični (klasični) verjetnosti bi si lahko pomagali s pregledničo, kot je podana v prej omenjenem učbeniku Kocka 9, le da je treba besedno zvezo Vsi dogodki" zamenjati z Vsi izidi". V nadaljevanju bi morali biti primeri in naloge za vajo podani konsistentno in strokovno pravilno, prvi primer bi zapisali na primer:
Mečem dve igralni kocki. Kolikšna je verjetnost dogodka ,¡Vsota pik na obeh kockah je enaka 5"?
a)	Nariši kombinatorično drevo za vse močne izide.
b)	Določi matematično verjetnost omenjenega dogodka.
c)	Opravi 100 poskusov in preštej, kolikokrat se je zgodil omenjeni dogodek.
c)	Določi relativno frekvenco omenjenega dogodka.
d)	Primerjaj matematično verjetnost z relativno frekvenco.
Resitve primerov bi morale biti opremljene s koristnimi komentarji, ki bi bili učencu v pomoč pri utrjevanju posameznih pojmov iz verjetnostnega računa.
Sklep
Naj poudarimo, da ni bil nas namen kakorkoli soditi o „potrjenih" učbenikih za osnovno solo. Dotaknili smo se le poglavja o verjetnosti iz tistih dveh učbenikov, katerih fotokopirane strani je prejela predmetna komisija za matematiko, ki pripravlja gradivo za izvedbo nacionalnega preverjanja znanja matematike in oblikuje navodila za vrednotenje izdelkov učencev. Bralec lahko ze iz dobesedno povzetih besedil presodi, da niti uporabljeni jezik ni najboljsi. Primeri, s katerimi naj bi učenci vstopili v verjetnost, so dovolj elementarni in zato primerni za seznanitev z osnovnimi pojmi, a se, zal, ti pojmi uvajajo nepravilno in nekorektno. Učenci zato usvojijo napačne začetne pojme iz verjetnosti, sposobnejsi pa najbrz opazijo nelogične povezave med navedenimi definicijami in upati je, da pridejo do pravih informacij.
Seveda nas mora skrbeti, če se učenci naučijo izkrivljene matematične koncepte, saj z njimi lahko dosezejo kvečjemu matematično polpismenost in zelo luknjičave strategije resevanja (realističnih) problemov. Učitelji bi morali opozoriti učence na vsako napako v učbeniku in jih poučiti, kako je pravilno. Ker so učbeniki v t. i. učbeniskih skladih, bi bilo treba ob prvi uporabi učbenikov vsaj označiti nepravilnosti. Sicer pa je skoraj neverjetno, da se lahko besedila s toliko nejasnosti ter strokovnih nepravilnosti in nekorektnosti sploh znajdejo v učbenikih.
LITERATURA
[1]	J. Berk, J. Draksler in M. Robic, Skrivnosti števil in oblik, učbenik za matematiko v 9. razredu osnovne šole, Rokus Klett, Ljubljana, 2010.
[2]	M. Dornik, T. Smolej, M. Turk in M. Vehovec, Kocka 9, matematika za 9. razred osnovne šole, Modrijan, Ljubljana, 2008.
[3]	G. TomSic, M. Cotic, Z. Magajna in A. Zakelj, Učni načrt: program osnovnošolskega izobraževanja. Matematika, Ministrstvo za Solstvo, znanost in Sport : Zavod RS za solstvo, Ljubljana, 2002.
[4]	A. Ziakelj et al., Program osnovna sola - matematika - učni načrt, Ministrstvo za solstvo in sport : Zavod RS za solstvo, Ljubljana, 2011.
http: // www. obzornik.si/
NOVE KNJIGE
Luke Hodgkin, A history of mathematics, From Mesopotamia to Modernity, Oxford University Press, Oxford, New York 2005, 281 strani.
Knjiga je formalno namenjena (ameriškim) dodiplomskim študentom matematike; boljše poznavanje „humanistične" (kulturne, zgodovinske, razvojne) dimenzije matematike naj bi jim razširilo obzorje ozko strokovne tehnične" izobrazbe in morda izbolj-salo tudi zaposlitvene moznosti. V resnici pa nagovarja predvsem „ideal-nega" bralča, neskončno radovednega ljubitelja matematike in navdusenega raziskovalca, ki mu ni skoda ne časa ne denarja za iskanje primarnih virov po knjiznicah, knjigarnah in na spletu, in ki nobene trditve o zgodovini matematike ne sprejme nekritično, ne da bi jo sam dodobra preveril.
Vsako poglavje se začne s citati znanstvenikov, ki dostikrat zagovarjajo diametralno nasprotne teze (npr. da so bili Arabci le posredniki grskega in indijskega znanja Evropi, ali pa da so bili tudi originalni v sintezi in nadgradnji rezultatov predhodnikov), konca pa se z odlomki originalnih mate-maticnih del in vprasanji, na katera lahko bralec argumentirano odgovori le po temeljitem razmisleku. Sploh je celotno delo zastavljeno problemsko in odgovarja na zahtevna vprasanja, kot so npr. „Kaj je Leibniz hotel sporociti v svojem clanku iz 1684 (v katerem je na hitro in zelo povrsno predstavil svoj infinitezimalni racun)? Kako so njegovo sporocilo razumeli bralci?". Nekatera od vprasanj so povzeta po najnovejsih raziskavah najboljsih sodobnih zgodovinarjev matematike (npr. „Zakaj je trajalo tako dolgo, da so nove (neevklidske) geometrije dosegle sirse obcinstvo? Ce so bile razmere ugodne za to, da je pri slo do dveh takih neodvisnih odkritij (Bolyai, Loba-cevski) okrog leta 1820, zakaj ni bilo nobenih takih odkritij v naslednjih 40 letih?". Poleg standardnih zgodovinskih vsebin (Babilonci, Grki, Kitajci, islamska matematika, infinitezimalni racun) obravnava tudi znastveno re-
volucijo (Galilej) in čas pred njo (npr. prispevek sholastike), problematiko geometrije in prostora ter moderno dobo. Bralcu omogoča pridobiti bolj kritičen pogled na zgodovino matematike, kot ga ponujajo običajne popularne knjige s to tematiko, v katerih je marsikatera nepreverjena ali celo neresnična trditev, izvirajoča iz avtorjevih predsodkov, nevednosti, povrsnosti, pristranskosti ali zvestobe doloceni ideologiji, zapisana z neverjetno lahkoto in predstavljena kot preverjeno dejstvo, čeprav je v resniči samo hipoteza, ki je morebiti na podlagi novejsih spoznanj stroke ze ovrzena in presezena.
Odlomki iz primarnih virov (npr. Heronov dokaz formule o plosčini trikotnika) nam omogočajo neposredno doziveti izkusnjo stika z drugačnimi pristopi k matematiki in osebnimi slogi posameznih avtorjev ter posebnostmi različnih dob in kultur. Ob tem lahko začnemo čeniti različnost in spoznamo, da so pojmi, ki so nam danes samoumevni, taksni le toliko časa, dokler se nam ne raz siri obzorje. Takrat spoznamo, da poenostavljen pogled na zgodovino matematike ni nobena prednost, in začnemo čeniti bolj sofističirano in kritično obravnavo posameznih vprasanj, katerih problematičnosti se poprej sploh nismo zavedali. Začne se nam svitati, da je zgodovina matematike izredno zanimiva, čeprav ne tako eksaktna veda, kot bi nam kot matematikom ugajalo.
Avtor za vsako izbrano obdobje in kulturo opredeli njene bistvene matematične dosezke, ideje, inovačije, značilne računske tehnike, pa tudi omejitve, predstavi pa tudi glavne tezave zgodovinarjev pri njenem studiju in razumevanju (npr. premalo virov, drugačni zapisi stevil in enačb, kot smo jih vajeni, neznan jezik, pomanjkanje prevodov, drugačen način razmislja-nja ali zastavljanja problemov, različno strogi končepti dokaza, pomanjkljivi komentarji sodobnikov, itd.).
Knjiga opozarja tudi na tipične napake zgodovinarjev matematike (npr. evrocentrizem - prepričanje, da je vsa pomembna matematika nastala v Evropi, historicizem, ki trdi, da je pretekla dela mogoče primerno interpretirati le v kontekstu določene pretekle kulture - in prezentizem, ki razlaga preteklost z vidika na se lastne kulture). Prav to iskreno priznavanje inhe-rentnih omejitev zgodovine matematike pa nam omogoči prepoznati v njej znanost, ki se lahko se razvija in bogati ter odkriva nova presenetljiva spoznanja (npr. da so v Kerali, v jugovzhodni Indiji, v stevilnih astronomskih tekstih med leti 1400-1600 ze uporabljali sofističirane formule za neskončne vrste funkčij, ki jim mi pravimo sinx, čos x in arčtanx). Ob branju knjige začnemo čeniti drobne evolučijske korake generačij za generačijami, ki postopoma omogočijo, da pride do posameznih „revolučionarnih" odkritij. Ko
vidimo, s kakšno muko so se npr. izoblikovali najosnovnejši pojmi števila, mestnega zapisa, neznank, potenc, dokaza, ipd., kot jih poznamo danes, lahko bolje cenimo vsak najmanjsi prispevek različnih matematikov, npr. osvojitev koncepta ponazoritve splosne metode s posebnim primerom, ali Oresmov sholastični eksistenčni dokaz, da sploh obstaja kvadrat, katerega plosčina je enaka plosčini danega kroga (ker obstajata krogu očrtan in včr-tan kvadrat in kvadrati vseh vmesnih velikosti, ki se spreminjajo zvezno!). Grski ideal strogega dokaza (ze Platon je tako v matematiki kot filozofiji zahteval „logos" - razlago, razumno utemeljitev izrekov in trditev) je bil v različnih dobah in kulturah različno upostevan. Zelo poučno je poglavje o začetkih matematične analize, kjer je bilo tako Newtonu kot Leibnizu pomembneje, da novi račun, zasnovan na skrivnostnih neskončno majhnih količinah", deluje in zlahka daje rezultate, ki so bili prej nedosegljivi, kot pa da je brezhibno utemeljen. Avtor pravi, da si od tega zdrsa v negotovost (kljub temu da je Weierstrass analizo „očistil" neskončno majhnih količin) matematika nikoli ni povsem opomogla.
Knjiga opozarja tudi, da v matematiki (in znanosti nasploh) ne gre vselej le za napredovanje, ampak včasih tudi za nazadovanje (npr. v pisavi ali v tezavnosti obravnavanih problemov ali zahtevnosti izračunov, itd.). Da bi lahko pravilno razumeli pomen posameznega odkritja v matematiki, je treba poznati tudi okolisčine, v katerih je do njega prislo, to pa zahteva dolgotrajen in poglobljen s tudij. Ze samo pozorno branje te knjige, v kateri imamo tako rekoč vse pri roki (čelo ključne odlomke prevodov originalnih tekstov), ni ravno preprosto. Tezave pa so raznovrstne. Ce se nam stvari zdijo samo čudne, je to se najmanjsi problem (Kitajči so npr. pri računanju s paličičami z dvobarvnimi paličičami pri zapisu istega stevila uporabljali pozitivne in negativne stevke, kot če bi mi npr. pisali 3 x 100 — 4 x 10 + 4 x 1.) Tezje je, če je podatkov premalo in tavamo v popolni temi. Tako npr. nekatere matematike poznamo le po njihovih delih, o njihovem zivljenju pa ne vemo nič, ali pa ravno obratno.
Knjigo, ki nas z jasno formuliranimi vpras anji in kritično perspektivo nenehno spodbuja, da svoje misli v zvezi z matematiko tudi ubesedimo, jasno izrazimo in argumentiramo, zato priporočam v branje prav vsem, ki zelijo globlje pronikniti v skrivnost matematičnih odkritij preteklosti, sedanjosti in prihodnosti.
Jurij Kovic
VESTI
DEVETNAJSTO MEDNARODNO TEKMOVANJE ŠTUDENTOV MATEMATIKE
V Blagoevgradu v Bolgariji je od 26. julija do 1. avgusta 2012 potekalo že 19. tekmovanje Študentov matematike. Iz Slovenije sta se ga udeležili dve ekipi. Fakulteto za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani so zastopali Matej Aleksandrov iz drugega letnika, Gregor Grasselli in Jurij Volcic iz tretjega letnika in Aljaz Zalar iz prvega letnika druge stopnje studija, Famnit Univerze na Primorskem pa studenta prvega letnika Radovan Krtolica in Beco Merulic.
V dvodnevnem resevanju desetih nalog se je pomerilo 316 studentov, ki so prisli z vec kot 70 univerz. Nasa ekipa je bila zelo uspesna, Matej Aleksandrov je osvojil drugo nagrado, Aljaz Zalar, Jurij Volcic, Radovan Krtolica in Gregor Grasselli pa tretjo.
Druzabni del ni zaostajal za dogajanji prejsnjih let. V studentskem domu je bila zabava vse dni, se posebej po drugem tekmovalnem dnevu, ko je bilo delo studentov opravljeno. Naslednji vecer so proslavljali neuradne rezultate, se vecer kasneje pa osvojene nagrade. Tako je bilo spanja bolj malo tudi za tiste redke, ki bi sicer zeleli spati.
Posebej čustvena je bila letos razglasitev rezultatov, ko je tretjo nagrado osvojila studentka iz Irana. Dekle brez rok se je prijavila sama, brez univerzitetne ekipe, organizatorji pa so ji zagotovili vse potrebno, da je lahko pisala z nogami. Na podelitvi je poleg priznanja prejela tudi stoječi aplavz vseh udelezenčev.
V	letu 2013 bo jubilejno 20. tekmovanje organizirano spet v Blagoev-gradu.
Oglejmo si se tri naloge s tekmovanja ter njihove resitve. Prva bo lahka, druga srednje tezavnosti in tretja malo tezja.
Naloga 1. Naj p(n) označuje s tevilo načinov, kako s tevilo n zapi s emo kot vsoto naravnih stevil. Na primer, ker je
4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1,
je p(4) = 5. Dokazite, da je razlika p(n) — p(n — 1) enaka stevilu načinov, kako stevilo n zapi semo kot vsoto čelih stevil, enakih vsaj 2.
Rešitev 1. Nekateri studenti so imeli probleme z rahlo nenatančno formula-čijo naloge, mnogi pa z dejstvom, da se jim je naloga zdela tako očitna, da niti niso razumeli, kaj je treba dokazati. Tako čelo nekateri studenti, ki so sičer osvojili visoka mesta, pri tej nalogi niso dobili vseh točk. Zapisimo nalogo formalno. Definiramo tri druzine mnozič:
Pn = {(ai, a2,..., afc); a e Z, ai > a2 > ... ak > 1, ai + a2 + ... + ak = n} ,
Rn = {(ai, a2,..., ak); ai e Z, ai > a2 > ... ak = 1, ai + a2 + ... + ak = n} in
Sn = {(ai, a2,..., ak); a» e Z, ai > a2 > ... ak > 2, ai + a2 + ... + ak = n} . Ker sta mnoziči Rn in Sn disjunktni in velja Pn = Rn U Sn, velja zveza
|Pn| = |Rn| + |Sn| .
Seveda velja |Pn| = p(n) ter |Sn| je stevilo načinov, kako stevilo n za-pisemo kot vsoto čelih stevil, enakih vsaj 2. Dokazati je torej treba, da je |Rn | = p(n — 1). Definiramo funkčijo 0 : Pn-i ^ Rn s predpisom 0((ai, a2,..., ak-i)) = (ai, a2,..., ak-i, 1). Ker velja ai + a2 +... + ak-i = n — 1, je ai + a2 +... + ak-i + 1 = n, tako je 0 res preslikava med ustreznima mnozičama. Poleg tega je injektivna in surjektivna, torej je bijekčija. Zato res velja |Pn-i| = |Rn|.
Komisija je kot popolno sprejela tudi naslednjo resitev:
V	bistvu ločimo vsote stevila n na dve mnoziči, v eni so vsote, ki ne vsebujejo 1, v drugi pa vsote z vsaj eno 1. Ko to 1 odstranimo, je vsota preostalih členov enaka n — 1.
Bistveni del rešitve se je komisiji namreč zdel konstrukcija bijekcije (odstranitev ali dodajanje 1). Tako so mnogi studenti, ki so napisali le n = (n — 1) + 1 najverjetneje imeli pravo idejo, a ker niso natančneje pojasnili, kaj storiti z odvečno 1, so dobili le malo točk.
Naloga 2. Definiramo zaporedje a0 = 1, ai = i in za n > 1 rekurzivno
2 _
z zvezo an+i = ^(-+1)« . Dokazite, da vrsta ^fc=0 «l+r konvergira, ter
ugotovite, koliko je njena vrednost.
Rešitev 2. Neposredno iz rekurzivne zveze (pomnozimo obe strani z i+MiK) sledi
«n	'
a-n+i/a-n + (n + 1)a-+i = na- ,
od koder dobimo n a	1
^ aa+i = _ + (ai — 2a2) + (2a2 — 3a3) + ... + (na- — (n + 1)a-+i)
, „ ak 2 k=0
= 2 + ai — (n + 1)a-+i = 1 — (n + 1)a-+i.
Tako vemo, da so delne vsote omejene z 1, poleg tega pa zaporedje delnih vsot narasča, torej vrsta konvergira. To pa pomeni, da zaporedje členov ak+i/ak konvergira proti 0, torej obstaja n, da je ak+i/ak < i za vsak k > N. Tako je za vsak k > N člen ak < C za neko konstanto C. Od tod sledi, da zaporedje nan konvergira proti 0, torej je iskana vrednost vrste enaka 1.
Naloga 3. Naj bo n > 2. Poisčite realne vrednosti parametra a, za katere obstajajo realna stevila Xj, da velja
Xi(1 — X2) = X2(1 — X3) = ... = Xn-i(1 — X-) = X-(1 — Xi) = a.
Rešitev 3. Najprej opazimo primer, ko so vsi Xi enaki. Ker ima enačba
x(1 — x) = a resitvi Xi,2 = i±A/2i-4a, ki sta realni za a < \, te vrednosti parametra a ustrezajo zahtevam naloge.
Predpostavimo sedaj, da je a > 4. Vidimo, da je xi+i = 1 — Xa = XiX-a.
4	Xi	Xi
Ce definiramo preslikavo 0(x) = x—a, je xi+i = 0(xj) = 0i(xi). Izračunamo
^2(x) = 1 — Š-T = in ^3(x) = 1 — xi—a—a = ^^-T2. Opa-
x	x — a
zimo, da lahko 4>n zapisemo kot račionalno funkčijo, natančneje, kot kvočient dveh linearnih funkčij v X. Koefičiente teh funkčij (ki so funkčije parametra a) pa lahko izračunamo rekurzivno. Tako lahko pridemo do resitve, se bolje
pa je, ce ugotovimo, da je 0 Mobiusova transformacija, ki jo lahko predsta-
1 —a i
1, preslikava 0n pa je potem predstavljena z
vimo z matriko M =
1 0
matriko Mn. Seveda je M2 = Zadnja enacba v sistemu enac
in M3 =
1 — 2a a2 — a 1 a a
1 — a —a 1 —a
b nam pove, da pravzaprav iscemo resitev enacbe 0n(x) = x oziroma lastni vektor matrike Mn. Ker je karakteristični polinom matrike M enak x2 — x + a, sta lastni vrednosti matrike M enaki
Ai,2 = 1±A/21-4a in sta torej kompleksni. Ker isčemo le realne resitve osnovnega sistema, mora biti lastni vektor matrike Mn realen. Torej sta tudi lastni vrednosti realni. Dobimo torej pogoj An2 = (1±l^4a-1 )n g R, kar velja, kadar sta argumenta A1 in A2 oblike nk za neki k. To velja natanko takrat, ko je tan ^k = ±V4a — 1 oziroma a = 1 (1 + tan2(^k)). Pri danem a so potem resitve sistema Xi = 0i-1(x1) (vzamemo lahko cikel, generiran s poljubno zacetno vrednostjo x1). Problem bi nastal, ce je kak element tega cikla enak neskoncno, a tak cikel dobimo le za koncno mnogo zacetnih vrednosti x1 , vsi drugi cikli so iskane resitve.
Za konec predlagam, da se poskusite v resevanju se enega zanimivega vprasanja:
Naloga 4. Koliksen je lahko najmanjsi rang n x n matrike, ki ima na diagonali nicle, zunaj diagonale pa strogo pozitivne elemente?
Kogar zanima resitev te naloge ali pa bi se rad poskusil v resevanju se kaksne naloge s tekmovanja, si jih lahko ogleda na uradni strani www. imc-math.org.uk.
Gregor Sega
OBVESTILO
V Obzorniku za matematiko in fiziko, letnik 49, st. 2, str. 62-63, in na do-maci strani DMFA, www.dmfa.si/pravilniki/Pravilnik_Drustvena-Priznanja.html je objavljen Pravilnik o podeljevanju dru stvenih priznanj.
Vabimo vas, da pisne predloge (z utemeljitvami) v skladu s tem pravilnikom za letosnja priznanja posljete do 30. septembra 2013 na naslov: DMFA Slovenije, Komisija za pedagoško dejavnost, Jadranska ul. 19, 1000 Ljubljana.
Predsednik DMFA Slovenije: prof. dr. Andrej Likar
KODEKS RAVNANJA EVROPSKEGA MATEMATIČNEGA
DRUŠTVA
Besedilo je prevod in priredba Uvoda v Kodeks ravnanja Evropskega matematičnega društva (EMS), kije bil objavljen marca 2013 v glasilu Newsletter of the EMS [1].
DruStvo EMS je v letu 2010 ustanovilo Odbor za etiko. Vodi ga danski matematik Arne Jensen, kije napisal ta uvod. Clan odbora je tudi profesor Tomaž Pisanski. Podpredsednik odbora je profesor Harold Garth Dales z univerz v Lancastru in Leedsu, ki je letos spomladi obiskal Slovenijo in 18. aprila predaval na Matematičnem kolokviju v Ljubljani. Zahvaljujemo se mu za dodatna pojasnila o kodeksu.
Prva naloga Odbora za etiko EMS je bila priprava Kodeksa ravnanja. To nalogo so opravili spomladi 2012. Oktobra ga je odobril Izvrsni odbor in v veljavo je stopil 1. novembra 2012.
Zahvaljujemo se EMS in profesorju Jensenu, da sta dovolila prevod in objavo tega kratkega opisa Kodeksa.
Kodeks ravnanja
Kodeks je na spletni strani EMS. Ta angleska verzija [2], objavljena tudi v EMS Newsletter marca 2013 [3], velja kot dokončna. Postavlja vrsto standardov, ki naj jim sledijo evropski matematiki v raziskovanju in poklicnem zivljenju. Enako kodeks velja za urednike in zaloznike matematicne literature.
Kodeks pokriva objavljanje in razsirjanje matematicnega raziskovanja. Vsebuje naslednje teme:
•	odgovornost avtorjev;
•	odgovornost zaloznikov in urednikov;
•	odgovornost recenzentov;
•	odgovornost uporabnikov bibliometricnih podatkov. (Sem sodi razvr-scanje revij po kakovosti, faktorji vpliva, prestevanje citatov itd.)
Kodeks opisuje dobro prakso in eticno ravnanje v objavljanju, razsirjanju in ocenjevanju matematicnega raziskovanja. Opisuje tudi, kaj je neustrezno ravnanje ali neeticno obnasanje na tem podrocju.
•	Za avtorje: Dobra praksa je, da navedemo dosezke drugih in jih preciziramo z ustreznimi bibliografskimi podatki. V zadnjih letih se je v matematicnih znanostih bolj razsirilo plagiatorstvo. Plagiatorstvo je brez dvoma neeticno.
•	Za založnike: Dobra praksa je, da postavijo in jasno predstavijo standarde za eticno ravnanje v publiciranju. Določiti morajo tudi postopek preiskave in reakcije na sume in obtoZbe o nepravilnem ravnanju.
•	Za urednike (povzeto deloma iz kodeksa samega, op. prevajalca): Urednik se mora izvzeti iz kakrsnihkoli uredniskih dolZnosti, ki bi peljale v osebni, komercialni ali poklicni konflikt interesov. Urednik se mora izogibati zlorabi svojega privilegiranega polozaja ali zlorabi informacij, ki jih je dobil v okviru uredniskih dolznosti in bi vplivale na obravnavo lastnih clankov ali pa clankov kolegov, studentov ali osebnih znancev. Vsekakor zaupnih informacij, ki jih je prejel, urednik ne sme uporabljati v lastnem delu.
Ce uredniki spoznajo, da je bilo delo, ki so ga objavili, deloma plagiat drugega vira, naj pozovejo avtorje, da predlozijo nedvoumno izjavo o umiku. Ce se to ne zgodi, naj sami objavijo izjavo, ki precizira dejanje plagiatorstva.
•	Za recenzente: Izogibajo naj se poklicnim ali osebnim konfliktom interesov. Kakrsenkoli konflikt interesov naj razjasnijo z urednikom. Recenzent lahko v tem primeru odloca le s soglasjem urednika. Recenzenti naj se izogibajo uporabi zaupnih informacij iz rokopisa, ki ga pregledujejo.
•	Bibliometrižni podatki: Uporabniki morajo poznati izvor podatkov. Uporabljati jih morajo previdno in razumeti zanesljivost oziroma nezanesljivost takih podatkov. Avtorji, uredniki in zalozniki naj ne poskusajo umetno vplivati na bibliometricne podatke, faktorje vpliva in stevilo citatov, ki pri tem nastanejo.
Postopki
V kodeksu so tudi postopki obravnave posameznih primerov, na katere je opozorjen Odbor za etiko.
Primere lahko predlozijo osebe, udelezene v trditvah o neeticnem ob-nasanju, opisanem v kodeksu. Odbor ne bo obravnaval predlogov tretjih strani. Preden se obrne na odbor, mora toznik poskusati urediti zadevo sam. Ko gre za objavljena dela, naj najprej uporabi postopke, ki jih imajo zalozniki za obravnavo neeticnega ravnanja.
Ko se odbor odloci, da bo sprejel primer, se bo potrudil, da razkrije osnovna dejstva. Odbor bo najprej poskusal s posredovanjem (mediacijo). Ce to ne bo uspesno, bo podal svoje ugotovitve. To bo sporocil predsedniku EMS, ki bo odlocal o nadaljnjih korakih.
Sklep
Kodeks lahko uveljavljamo le z moralno mocjo, tako da ljudi odvracamo od neeticnega ravnanja.
Gornji opis je seveda nepopoln. Za popolnejšo informacijo si oglejte kodeks sam, kjer so stvari bistveno bolj razčlenjene in precizirane.
Kodeks imate lahko za prvi poskus. Cez nekaj let bo sledila revizija. Pripombe na kodeks lahko posljete profesorju Arneju Jensenu (matarne@math.aau.dk), predsedniku odbora.
LITERATURA
[1]	Arne Jensen, About the Code of Practice of the European Mathematical Society, Newsletter of the European Mathematical Society, March 2013, str. 11, http://www. ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2013-03-87.pdf
[2]	Kodeks ravnanja na spletni strani EMS: Code of Practice, http://www. euro-math-soc.eu/files/COP-approved.pdf
[3]	Code of Practice, Newsletter of the European Mathematical Society, March 2013, 12-15, http://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2013-03-87.pdf
Peter Legisa
MATEMATIČNI RAZISKOVALNI TABOR MARS 2013
Ze 8. raziskovalni tabor za srednjesolce MARS 2013 v organizaciji DMFA Slovenije bo letos potekal v Bohinju od 18. do 24. avgusta, odgovorna oseba je dr. Bostjan Kuzman. Za udelezbo se lahko prijavijo vsi dijaki, ki imajo veselje do raziskovanja in zelijo preziveti teden dni pocitnic v druzbi vrstnikov iz vse Slovenije. Udelezenci bodo sodelovali v delavnicah in pripravili skupinske projekte, poljudna predavanja zanje pa bodo pripravili uveljavljeni slovenski matematiki z razlicnih ustanov. Vec informacij o vsebini in prijavi najdete na spletni strani mars.dmfa.si.
Fotografija: J. Suntajs
VABILO
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije vabi k sodelovanju na strokovnem srečanju in 65. obenem zboru, ki bosta 15. in 16. novembra 2013 v Hotelu Golf na Bledu.
Vodilna tema letosnjega strokovnega srečanja ima naslov Matematični in fizikalni sprehodi v naravo. Med sprehodi opazimo marsikaj zanimivega, kar se da lepo vključiti v pouk tako matematike kot fizike. Nekaj časa bomo namenili pripravam učencev na tekmovanja in pripravili delavnice na to temo. Obelezili bomo tudi 140-letnico rojstva akademika profesorja dr. Josipa Plemlja. K sodelovanju vabimo vse učitelje in člane DMFA, da predstavijo svoje izkusnje in ideje:
•	v obliki krajsih predstavitev,
•	v obliki plakatov,
•	v obliki delavniče.
Predavateljem bodo na voljo projekčijsko platno in projektor. Računalnik s potrebno programsko opremo in druge pripomočke morajo predavatelji prinesti s seboj ali pa se morajo o tem poprej dogovoriti (sporočiti Janezu Krusiču, telefon 01 4766 559 e-posta tajnik@dmfa.si).
Prosimo vas, da nam prispevke na izbrani temi posljete do 15. septembra 2013 na naslov nada.razpet@fmf.uni-lj.si.
Prijave morajo vsebovati:
•	naslov prispevka,
•	ime in priimek avtorja (ali več avtorjev), naslov ustanove, kjer je avtor zaposlen, oziroma domači naslov in elektronski naslov,
•	kratek povzetek prispevka (pri velikosti črk 12pt naj ne presega 10 vr-stič),
•	predlagano trajanje predstavitve.
Izbor prispevkov bo opravila in razvrstila po sekčijah posebna komisija, ki jo bo imenoval upravni odbor DMFA Slovenije. Povzetki bodo objavljeni v biltenu občnega zbora. Ob letosnjem občnem zboru bomo pripravili tudi 15. slovensko srečanje o uporabi fizike. Vsa obvestila v zvezi z občnim zborom in strokovnim srečanjem bomo sproti objavljali na domači strani DMFA: http://www.dmfa.si/.
Prijava na seminar in kotizacija
Zgodnja prijava (do 15. septembra 2013): 35 EUR za člane DMFA Slovenije, 50 EUR za nečlane. Običajna prijava (do zapolnitve mest): 49 EUR za člane DMFA Slovenije, 70 EUR za nečlane. Na seminar se je potrebno prijaviti preko informačijskega streznika DMFA (prijava bo mozna od 1. 9. 2013 dalje). Morebitne hotelske storitve si udeleZenci rezervirajo sami. Na internetni strani DMFA je prijavni list za rezervačijo hotela.
Predsednik DMFA Slovenije: prof. dr. Andrej Likar
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, MAREC 2013 Letnik 60, številka 2
ISSN 0473-7466, UDK 51 + 52 + 53
VSEBINA
Članki	Strani
Luneburgova leca (Marko Razpet) ........................................................................41-50
Sagnacov pojav (Janez Strnad) ............................................................................51-58
Šola
Neverjetna verjetnost (Darjo Felda) ......................................................................59-70
Nove knjige
Luke Hodgkin, A history of mathematics, From Mesopotamia
to Modernity (Jurij Kovic) ..................................................................................71-73
Vesti
Devetnajsto mednarodno tekmovanje študentov matematike
(Gregor Šega)........................................................................................................74-77
Obvestilo (Andrej Likar) ............................................................................................77
Kodeks ravnanja Evropskega matematičnega društva (Peter Legiša) ..	78-80
Matematicniraziskovalnitabor MARS 2013......................................................80
Vabilo (Andrej Likar)....................................................................................................VII
CONTENTS
Articles	Pages
The Luneburg Lens (Marko Razpet) ....................................................................41-50
The Sagnac effect (Janez Strnad) ........................................................................51-58
School ............................................................................................................................59-70
New books ....................................................................................................................71-73
News ................................................................................................................................74-VII
Na naslovnici je fotografija Krožnega laserja G v Geodetskem observatoriju Wettzell.