P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 5 Strani 264-267
Boris Lavric:
OBRAT EULERJEVEGA IZREKA
Kljucne besede: matematika, geometrija.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/18/1054-Lavric.pdf
© 1991 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
OBRAT EULERJEVEGA IZREKA
Označimo z r in p dolžini polmerov očrtane in včrtane krcčmce danega trikotnika ABC. Že v osemnajstem stoletju je velik matematik Leonhard Euler (1707 - 1783) dokazal, da razdaljo d med središčema obeh kroifnic lafiko izrazimo s formulo
d2 = r?-2pr	(1)
ki se 2daj po njem imenuje (takšnih formul je Se nekaj!). Oglejmo si dokaz te formule, ki nam bo omogočil utemeljiti zanimiv "obrat" lastnosti (1):
in položimo skozi O in V premer MN očrtane krofnice. Spustimo pravokot-nico V D na stranico BC, kotnosimetralo CV trikotnika ABC pa podaljšajmo do sečtšča P z očrtano kroinico. Nato riačrtajmo še višino OE enakokrakega trikotnika PBO. Seveda E razpolavija osnovnico PB, torej velja
\PB\ = 2\Pe\	(2)
Ker je središčni kot POB nad tetivo PB dvakrat večji kot obodni kot PCB nad isto tetivo, velja še
<pop = ^<pob = <pce	(3)
Primerjajmo zdaj kota BV P in V BP. Upoštevajmo, da je prvi zunanji kot trikotnika BCV, da sta BV in CV kotni simetrali trikotnika ABC in da sta ABP in ACP obodna kota nad isto tetivo AP, pa dobimo
*BVP^4:VBC+<BCV = = <VBA+$.ACP = = $.VBA + <ABP = <vbp
Od tod sledi enakost
\PB\ = \PV\	(4)
Točki M in N smo določili tako, da velja j MV \ = r + d \n \VN \ = r - d ali obratno, zato po izreku o sekantah dobimo
| PV 1 ■ \ VC | = | MV ( ■ | VN | = r2 - d2	(5)
Iz (3) preberemo, da sta pravokotna trikotnika PEO in VDC podobna, zato
velja
p : \ VC \ = \ V D \ : \ VC \ = \ PE \ . \ PO \ = } P E \ \ r (6)
od koder z uporabo (2), (4) in (5) dobimo iskano formulo
2pr = 2 1 PE | ■ | VC \ = \ PV | ■ | VC \ s r7 - d2
Dokaz enakosti (1) je s tem končan, bralec pa bo brez težav iz (1) izluščil £e oceno
r>2p
in ugotovil, da v njej nastopi enačaj natanko takrat, kadarje trikotnik ABC enakostraničen.
Zdaj je na vrsti obrat lastnosti (1):
Predpostavimo, da razdalja d med središčema krofnic s polmeroma dolžfine r in p zadoSča enakosti (1). Potem velja
r > 2p in (r - pf = p2 + d7 > d2
Od tod sledi r > p + d, torej krožnica s polmerom p leži znotraj krožnice s polmerom r. Ponuja se naslednje vprašanje: Ali obstaja kak trikotnik, ki mu je večja krofnica očrta na, manjia pa včrtana? Ne le, daje odgovor pritrdilen, velja še več:
Vsak trikotnik, kije i/črtan večji krožnici in se z dvema stranicama dotika manjše, je njej očrtan.
Utemeljitev te trditve bomo oprli na dokaz formule (1): Včrtajmo v večjo kroinico s središčem O trikotnik ABC, ki naj se s stranicama AC in BC dotika manjše krožnice s središčem V. Točke M, N, P, D in E postavimo tako kot pri dokazu zveze (l). Prav tako lahko ugotovimo, da veljajo lastnosti (2), (3), (S) in (6). Združimo (l) in (5) v
| PV j ■ | VC | = 2pr
h (6) vzemimo | PE \ • \ VC \ = pr in iz dobljenih enakosti preberimo |PV) = 2|P£|. Uporabimo še (2) in dobimo \ PV \ = \ PB \, torej tudi
<BVP = <VBP
Slika 2
Od tod zaradi enakosti <PCB = <^8Psledi
<VBA = <VBP ~ <ABP = <BVP - <PCB = <VBC
kar pove, da je BV kotna si metra la trikotnika ABC. Torej je le-ta res očrtan manjSi krcčnici, kot smo trdili.
Pravkar dokazano lastnost ilustrira slika 2.
Sklenimo sestavek z nalogami:
1, Središče krofnice, očrtane danemu trikotniku, leži na njegovi včrtani krofnici, Kolikšno je razmerje dolžin polmerov obeh krofnic?
2» Poišči potreben in zadosten pogoj za obstoj pravokotnega trikotnika, kije včrtan krožnici s polmerom r in hkrati očrtan krofnici s polmerom pr
3.	Vdanem kvadratu leži manjši kvadrat, katerega os nov niča leži na sredini osnovnice večjega kvadrata (Glej sliko 3). Obema ofirtamo krofnici. Dokafi, da sta enakovredni nastednjr izjavi:
a.	Obstaja trikotnik, ki mu je večja krofnica očrtana, manjša pa včrtana.
b.	Središče večje krofnice teži na manjši.	Slika 3
4.	Osnovnica AB enakokrakega triktonika ABC meri 8 cm, krak pa jc dvakrat daljSi od razdalje med središčema očrtane in včrtane krofnice tega trikotnika, KolikSna je njegova ploščina?
Boris Lavrič
Rešitve bodo objavljene v naslednji številki Preseka,