OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE ISSN 0473-7466 NOVEMBER 2023STR. 81-120ŠT. 3LETNIK 70LJUBLJANAOBZORNIK MAT. FIZ. C KM Y 2023 Letnik 70 3 OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, NOVEMBER 2023, letnik 70, številka 3, strani 81–120 Naslov uredništva: DMFA Slovenije, Jadranska ulica 19, 1000 Ljubljana Telefon: (01) 4766 500 Elektronska pošta: tajnik@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski račun: SI56 0205 3001 1983 664 Mednarodna nakazila: Nova Ljubljanska banka d.d., Ljubljana, Trg republike 2, Ljubljana SWIFT (BIC): LJBASI2X IBAN: SI56 0205 3001 1983 664 Uredniški odbor: Peter Legiša, Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Ko- bal, Petar Pavešić, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Tadeja Šekoranja (tehnična urednica). Jezikovno pregledal Grega Rihtar. Natisnila tiskarna DEMAT v nakladi 200 izvodov. Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 25 EUR. Naroč- nina za ustanove je 30 EUR, za tujino 35 EUR. DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič- nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak tretji mesec. Sofinancira jo Javna agencija za znanstvenoraz- iskovalno in inovacijsko dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij. © 2023 DMFA Slovenije NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate- matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle- ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, ključne besede in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma ra- zumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalniški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na- pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. UČINEK METULJA IN REKURZIVNA ZAPOREDJA UROŠ KUZMAN Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2020): 37E05, 39A33 V članku so predstavljena tri preprosta enokoračna rekurzivna zaporedja, ki so ob- čutljiva na začetne podatke. Z njimi ilustriramo fenomen, ki je v teoriji kaosa pogosto poimenovan kot učinek metulja. BUTTERFLY EFFECT AND RECCURENCE RELATIONS We present three simple examples of sequences that are given by a first order reccu- rence relation and are sensitive to the initial conditions. We use them to illustrate a phenomenon from the chaos theory which is often called the butterfly effect. »It’s not what you sell, it’s how you sell it!« se je glasil slogan plakata, ki sem ga med nedavnim obiskom Združenih držav Amerike uzrl skozi okno. Zelo ne-akademska misel, ni kaj. Kljub temu se bom uvodoma naslonil nanjo. Znanost kot vsaka dejavnost pǐse številne zgodbe, od katerih le redke prestopijo meje strokovnih krogov. Številne anekdote, metode in rezultati kljub svojemu potencialu utonejo v pozabo. Obstajajo pa tudi take, ki so na videz nepomembne, a se nato zapǐsejo v zgodovino in celo v popkulturo. V tem članku predstavljam eno od najbolj znanih te, druge vrste. V sedemdesetih letih preteklega stoletja je matematik in meteorolog Ed- ward Norton Lorentz razvil model, s katerim je želel napovedovati razvoj vremena. Ker so bile zmogljivosti takratnih računalnikov bistveno šibkeǰse, je svoje izračune pogosto ponavljal in pri tem v model vstavil vrednost katere izmed kasneǰsih iteracij. Pri enem od tovrstnih preverjanj je med vnosom napravil zaokrožitveno napako. Ker je ta povzročila odstopanje od pričakovane rešitve, je sprva posumil, da gre za okvaro računalnika. Ko je račun ponovil še nekajkrat, je presenečen ugotovil, da je njegov model močno občutljiv na začetne podatke. Čeprav ta ugotovitev ni bila posebej revolu- cionarna – primere tovrstnih sistemov je že v 19. stoletuju opisoval Henri Poincaré – se je njen »how you sell it« moment zgodil desetletje kasneje. Po spletu okolǐsčin je namreč Lorentzovo predavanje o tej temi dobilo naslov v obliki vprašanja »Ali lahko utrip metuljevih kril sredi Brazilije povzroči tornado v Teksasu?« Tako je kljub dejstvu, da je bilo kasneje ugotovljeno, da vreme vendarle ni tako zelo spremenljivo, njegova numerična nespretnost botrovala rojstvu besedne zveze učinek metulja (angl. butterfly effect), ki je danes stalnica v teoriji kaosa in jo poznajo celo v Hollywoodu. Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 81 Uroš Kuzman Če povzamem, gre za poljuden koncept, o katerem bi vas znali kdaj povprašali tudi vaši znanci ali dijaki. In ker je prav, da smo pedagogi na take trenutke pripravljeni, vam v tem sestavku ponujam nekaj matematičnih modelov tega fenomena. Konkretno, ogledali si ga bomo na primeru rekur- zivnih zaporedij, ki jih bomo analizirali s pomočjo dvojǐskega sistema in ilustrirali s pajčevinastimi diagrami, izdelanimi v Geogebri. V duhu uvoda pa začnimo z uganko in na filmski način. Sherlock Holmes predstavi rekurzivna zaporedja Naloga. Sherlock Holmes prispe na kraj zločina in v jezeru najde truplo. Takoj opravi meritve in ugotovi, da je temperatura jezera 5 °C, telesna temperatura pokojnika pa 9 °C. Po eni uri drugo meritev ponovi in ugotovi, da se je temperatura trupla spustila na 7 °C. Koliko časa pred njegovim prihodom se je zgodil umor? Rešitev. Telesna temperatura se spreminja sorazmerno s temperaturno raz- liko med temperaturo trupla in temperaturo jezera. Natančneje, naj bo xn telesna temperatura pokojnika po n ∈ N0 urah in T temperatura jezera. Potem lahko spreminjanje temperature xn opǐsemo z zvezo xn+1 = xn − k(xn − T ), kjer je k > 0 konstanta, ki je odvisna od fizikalnih lastnosti trupla. Naj bo m ∈ N trenutek, ko je detektiv našel truplo. Glede na njegove meritve velja, da je xm = 9 °C in xm+1 = 7 °C. Če oba podatka vsta- vimo v zgornjo zvezo, ugotovimo, da je k = 12 . Sedaj upoštevamo, da je začetna telesna temperatura enaka x0 = 37 °C in opazujmo nadaljnje člene zaporedja: x1 = 37 °C− 1 2 (37 °C− 5 °C) = 21 °C, x2 = 21 °C− 1 2 (21 °C− 5 °C) = 13 °C, x3 = 13 °C− 1 2 (13 °C− 5 °C) = 9 °C. Prǐsli smo do odgovora, umor se je zgodil 3 ure pred detektivovim prihodom. Kot napovedano, bomo uganko uporabili za vpeljavo osnovnih pojmov, ki jih nameravamo obravnavati. Ukvarjali se bomo torej z zaporedji, ki so podana z enokoračno rekurzivno zvezo xn+1 = g(xn), kjer je g : I → I 82 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 Učinek metulja in rekurzivna zaporedja funkcija, ki interval I ⊆ R preslika sam vase. Zaloga vrednosti takega zaporedja je odvisna od začetnega člena x0 ∈ I, naboru števil xm, ki se za indekse m ≥ 1 zvrstijo v njej, pa pravimo orbita točke x0 ter jo označimo z Og(x0). Na primer, v zgornji nalogi smo imeli zvezo xn+1 = xn − 1 2 (xn − 5) = g(xn), ki smo jo obravnavali na intervalu I = [0,∞), orbito točke x0 = 37 pa so tvorila števila Og(37) = {21, 13, 9, 7, 6, . . .} . Kadar je zaporedje podano z enokoračno rekurzivno zvezo, lahko orbito poljubne točke ponazorimo tudi s t. i. pajčevinastim diagramom (angl. cob- web diagram). Postopek za njegovo konstrukcijo je naslednji: V koordinatni sistem narǐsemo graf funkcije g in simetralo lihih kvadrantov. Na abscisni osi označimo vrednost x0 in jo z navpično črto povežemo z grafom funkcije. Vǐsina, ki jo pri tem dosežemo, je enaka x1 = g(x0). To vrednost z ordi- natne prenesemo na abscisno os, tako da točko (x0, g(x0)) z vodoravno črto povežemo s simetralo. Projekcija presečǐsča na abscisno os podaja vrednost x1. S ponavljanjem tega postopka lahko skiciramo tudi nadaljnje člene za- poredja, kar je prikazano na spodnjih slikah. Slika 1. Orbiti zaporedja iz naloge pri začetnem pogoju x0 = 21 in x0 = 1. Sliki prikazujeta člene zaporedja iz začetne naloge ob dveh različnih začetnih pogojih. Opazimo, da je za x0 < 5 zaporedje naraščajoče, za x0 > 5 pa padajoče, v obeh primerih pa je njegova limita enaka 5, kar lahko tudi računsko preverimo. To pomeni, da je razvoj orbit v tem primeru »zelo predvidljiv«, kar je ravno v nasprotju s fenomenom, ki ga želimo izpostaviti. Učinek metulja in dvojǐski decimalni zapis Sedaj, ko smo uvedli osnovne pojme, podajmo formalno definicijo pojava, ki ga obravnavamo. Ker je to slogovno bolj primerno, bomo za zaporedja, ki ilustrirajo učinek metulja, rekli, da so občutljiva na začetne podatke. 81–90 83 Uroš Kuzman Definicija 1. Naj bo I ⊆ R interval in g : I → I funkcija. Rekurzivno zapo- redje, ki je podano z zvezo xn+1 = g(xn), je občutljivo na začetne podatke, če obstaja β > 0, da za poljuben začetni pogoj x0 ∈ I in poljubno število  > 0 obstajata začetni pogoj x̂0 ∈ I in indeks m ∈ N, da zanju in za m-ta elementa orbit xm ∈ Og(x0) in x̂m ∈ Og(x̂0) velja |x0 − x̂0| <  in |xm − x̂m| ≥ β. Definicija pove, da je mogoče s »poljubno majhno« motnjo začetnega pogoja doseči »veliko spremembo« orbite, kar lahko interpretiramo kot tor- nado, ki nastane zaradi zamaha metuljevih kril. Oglejmo si dva primera zaporedij s to lastnostjo. Primer 2. Naj bo g : [0, 1)→ [0, 1) funkcija, ki je podana s predpisom g(x) = 2x− b2xc . Geometrijsko to pomeni, da oddaljenost števila x od koordinatnega izho- dǐsča najprej podvojimo, nato pa ji, v primeru, da smo pri tem zapustili interval [0, 1), odštejemo število 1. V literaturi g pogosto najdemo pod imenom podvojitvena preslikava (angl. doubling map). Zaporedje, podano z zvezo xn+1 = g(xn), je občutljivo na začetne podatke, kar lepo ilustrirata že spodnji sliki. Vseeno poskrbimo še za formalni dokaz tega dejstva z uporabo dvojǐskega decimalnega zapisa. Slika 2. Orbiti podvojitvene preslikave pri začetnih pogojih x0 = 0,12 in x0 = 0,121. Vsako število x0 ∈ [0, 1) lahko zapǐsemo z naslednjo konvergentno vrsto: x0 = 0,c1c2c3 . . .(2) = c1 · 1 2 + c2 · 1 4 + c3 · 1 8 + · · · , kjer je cj ∈ {0, 1}. Tovrsten zapis ni enoličen, saj lahko števila s končnim decimalnim zapisom podamo na dva načina. Na primer 12 = 0,1(2) = 0,01(2). 84 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 Učinek metulja in rekurzivna zaporedja Naj bo število x0 ∈ [0, 1) zapisano brez ponavljajočih se enic. Oglejmo si, kam ga slika g. Množenje s številom 2 pomeni, da se decimalna pika v dvojǐskem zapisu premakne za eno mesto v desno, oz. da je 2x0 = c1,c2c3c4 . . .(2) . Celi del tega števila je torej enak številu c1, kar pomeni, da je g(x0) = 0,c2c3c4 . . .(2) . Preslikava g iz dvojǐskega zapisa števila x0 torej izpusti prvo decimalko. Taki preslikavi rečemo tudi operator zamika (angl. shift map). Sedaj poǐsčimo število x̂0 ∈ [0, 1), ki bo lahko poljubno blizu števila x0, hkrati pa bo njegova orbita po zadostnem številu korakov daleč stran od orbite števila x0. Na primer, x̂0 = 0,c1c2 . . . cmc̃m+1cm+2 . . .(2) , kjer je c̃m+1 6= cm+1 edina števka, ki se v zapisu števila x̂0 ne ujema s števkami iz zapisa števila x0. Razdalja med x0 in x̂0 je enaka 2 −(m+1) oz. poljubno majhna za dovolj velik m ∈ N. Hkrati pa se, ko v m korakih izpustimo prvih m decimalk, člena xm in x̂m ujemata povsod razen v prvi decimalki. Torej se razlikujeta za konstanto β = 12 . V geometrijskem smislu to pomeni, da smo na točkah x0 in x̂0 uporabljali funkcijo g toliko časa, da sta se istoležna člena obeh orbit znašla vsak v svoji polovici intervala [0, 1). Primer 3. Naj bo g : [0, 1]→ [0, 1] funkcija, ki je podana s predpisom g(x) = 1− |1− 2x| = min {2x, 2− 2x} . Slika 3. Orbiti šotorske preslikave pri začetnih pogojih x0 = 0,12 in x0 = 0,121. Zaradi oblike njenega grafa ji pravimo šotorska preslikava (angl. tent map). Spodnji grafični prikaz dveh orbit znova namiguje, da je z njo podano za- poredje, ki je občutljivo na začetne podatke. Dokažimo tudi to dejstvo! 81–90 85 Uroš Kuzman Naj bo število x0 ∈ [0, 1) podano na enak način kot v predhodnem primeru. Potem sta števili, ki se pojavita v zgornjem minimumu, enaki: 2x0 = c1,c2c3c4 . . .(2) , 2− 2x0 = c̃1,c̃2c̃3c̃4 . . .(2) , kjer za vsak j ∈ N velja cj 6= c̃j oz. se v drugem zapisu na vseh mestih pojavijo spremenjene števke. V primeru, da je c1 = 0, je manǰse prvo izmed obeh števil, sicer pa drugo. To pomeni, da je g(x0) = { 0,c2c3c4 . . .(2) , c1 = 0, 0,c̃2c̃3c̃4 . . .(2) , c1 = 1. Funkcija g torej znova izpusti prvo decimalko, vendar pa v primeru, ko je ta enaka 1, dodatno spremeni še vse druge. V primeru, ko je decimalni zapis števila x0 ∈ [0, 1) končen in prva cifra enaka c1 = 1, zgornji predpis vrne število, ki je podano z neskončnim nizom ponavljajočih se enic. Ker želimo g iterirati večkrat in ga uporabiti tudi za števila s tovrstno predstavitvijo, preverimo, da velja g(0,c1c2 . . . ck−11(2)) = { 0,c2c3 . . . ck−11(2), c1 = 0, 0,c̃2c̃3 . . . c̃k−101(2), c1 = 1. g(0,c1c2 . . . ck−101(2)) = { 0,c2c3 . . . ck−101(2), c1 = 0, 0,c̃2c̃3 . . . c̃k−11(2), c1 = 1. Predpis za g je torej dobro definiran tudi v primeru neenoličnega decimal- nega zapisa. To nam ustreza tudi zato, ker interval I vsebuje enico, ki jo predstavimo z nizom 1 = 0,1(2). Sedaj potrdimo, da je zaporedje občutljivo na začetne podatke. Naj bo x0 ∈ [0, 1] predstavljen z decimalkami cj , j ∈ N. Primerna motnja je x̂0 = 0,c1c2c3 . . . cm−1c̃mcm+1c̃m+2c̃m+3 . . .(2) , kjer je c̃j 6= cj za j ≥ m. Ker se števili x0 in x̂0 v prvih m − 1 decimalkah ujemata, funkcija g v prvih m− 1 iteracijah na njih deluje usklajeno. Ko jo nato uporabimo še enkrat, v orbiti dobimo števili, katerih decimalni zapis se razlikuje le v prvi števki. Razlika takih števil je enaka β = 12 , torej lahko to vrednost znova izberemo za občutljivostno konstanto. Ker je razlika med x0 in x̂0 kvečjemu 2 −m+1 in s tem poljubno majhna, je dokaz končan. 86 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 Učinek metulja in rekurzivna zaporedja Pekova preslikava Primera, ki smo ju obravnavali doslej, lepo ilustrirata učinek metulja, a žal nimata interpretacije iz »vsakdanjega življenja«. Ker so laičnim poslušal- cem najpogosteje zanimive prav te, v tem razdelku dodajam še primer t. i. pekove preslikave (angl. baker’s map). Zanjo bomo morali rekurzivna za- poredja obravnavati tudi v ravnini. Natančneje, naše zaporedje bo podano s predpisom (xn+1, yn+1) = g(xn, yn), kjer je g : I × J → I × J preslikava produkta intervalov I, J ⊆ R vase. Pogoj, pri katerem je tako zaporedje občutljivo na začetne pogoje, je analogen preǰsnjemu, le oba začetna pogoja je treba obravnavati v ravnini in absolutno vrednost nadomestiti z evklidsko razdaljo. Formulacijo ustrezne definicije prepuščam bralcu, mi pa si oglejmo opisni in matematični model pekove preslikave. Opazujmo peka, ki mesi testo. En korak njegove metode je sestavljen iz dveh delov. V prvem testo v obliki kvadrata enakomerno razvalja do oblike pravokotnika, ki je dvakrat dalǰsi in dvakrat ožji od prvotnega kvadrata. Nato ta kos razpolovi in – gledano iz naše perspektive – desno polovico položi na vrh leve, da znova dobi kvadraten kos testa (glej sliko 4). Slika 4. En korak pekove preslikave. Ta postopek modeliramo z zaporedjem, ki je podano s preslikavo g : [0, 1)× [0, 1)→ [0, 1)× [0, 1), g(x, y) = ( 2x− b2xc , y 2 + 1 2 b2xc ) . Prvi del pekovega koraka ustreza linearni preslikavi (x, y) → ( 2x, y2 ) , ki koordinato x podvoji, koordinato y pa razpolovi. V drugem delu koraka premaknemo le točke, katerih abscisa po prvem delu preseže vrednost x ≥ 1. 81–90 87 Uroš Kuzman Te točke se v smeri abscise premaknejo za 1 v levo, v smeri ordinate pa za polovico te vrednosti navzgor. V primerjavi z resničnim modelom tako malce goljufamo le, ko namesto produkta dveh zaprtih intervalov obravnavamo produkt intervala [0, 1) s samim seboj. V nasprotnem primeru bi se predpis preslikave namreč precej zapletel. Dokažimo, da je zaporedje, podano z zvezo (xn+1, yn+1) = g(xn, yn), občutljivo na začetne podatke. Naj bo (x0, y0) ∈ [0, 1) × [0, 1). Uporabimo enolično verzijo dvojǐskega sistema in zapǐsemo: x0 = 0,c1c2c3 . . .(2) , y0 = 0,d1d2d3 . . .(2) , cj , dj ∈ {0, 1} , j ∈ N. Delovanje preslikave g na prvi koordinati se ujema s podvojitveno preslikavo iz predhodnega razdelka. V sliki tako dobimo število, ki mu priprada zapis brez prve decimalke. Po drugi strani pa je prav vrednost števke c1 tista, ki pove, ali koordinati y0 dodamo število 1 2 ali ne. Natančneje, to storimo natanko takrat, ko je c1 = 1 in se točka z absciso x0 po podvojitvi širine znajde na desni polovici prečnega prereza. To pomeni, da sta koordinati naslednjega člena zaporedja enaki x1 = 0,c2c3c4 . . .(2) , y1 = 0,c1d1d2 . . .(2) . Če oba zapisa združimo, tako da števke člena y0 nanizamo proti levi, števke člena x0 pa proti desni, lahko delovanje preslikave g znova ilustriramo z operatorjem zamika, le da ga tokrat uporabimo na dvostranskem nizu oblike . . . , d3, d2, d1|c1, c2, c3 . . .→ . . . , d2, d1, c1|c2, c3, c4, . . . , pri čemer znak | pomeni pozicijo decimalne pike. Da je to zaporedje obču- tljivo na začetne podatke, tako sledi iz dejstva, da enaka lastnost velja za zaporedje, ki je bilo podano s podvojitveno preslikavo. Nekaj malega o kaosu Uvodoma smo povedali, da je besedna zveza »učinek metulja« stalnica te- orije kaosa, vendar pa to ne pomeni, da vsebinsko podaja njen ekvivalent. Natančneje, občutljivost na začetne podatke predstavlja le najbolj znano izmed treh lastnosti, ki morajo veljati za kaotične sisteme oz. zaporedja. Opredelitvi preostalih dveh posvečam zadnji razdelek. Spomnimo, da je podmnožica U ⊂ I gosta v I, če se njeni elementi pojavijo v vsakem odprtem podintervalu (a, b) ⊂ I. Nadalje pravimo, da je x0 ∈ I periodična točka zaporedja, podanega z zvezo xn+1 = g(xn), če za 88 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 Učinek metulja in rekurzivna zaporedja neki k ∈ N velja xk = x0. Poleg občutljivosti na začetne podatke morajo kaotična zaporedja izpolnjevati tudi naslednja pogoja 1: (1) Množica periodičnih točk je gosta v I. (2) Za vsako število x0 ∈ I, odprt interval (a, b) ⊂ I in  > 0 obstajata x̂0 ∈ I in m ∈ N, da zanju in za m-ti člen orbite x̂m ∈ Og(x̂0) velja |x0 − x̂0| <  in x̂m ∈ (a, b). Drugo lastnost imenujemo topološka tranzitivnost, pove pa, da lahko s po- ljubno majhno motnjo zaporedja, ki se začne v x0, dobimo zaporedje, kate- rega orbita obǐsče poljuben odprt interval. To pomeni, da lahko iz »vsakega intervala okoli x0« pridemo »kamorkoli«, torej tudi v točke, ki niso niti blizu orbite Og(x0). Skupaj z občutljivostjo na začetne podatke in prvo lastno- stjo, ki trdi, da v vsaki taki okolici obstajajo tudi točke, ki se po končno korakih vrnejo na začetek, tako dobimo preplet pogojev, ki ga najlepše opǐse stavek: Kaotični so sistemi, v katerih se s priblǐznim začetkom niti priblǐzno ne da povedati, kaj se bo zgodilo. Za ilustracijo si oglejmo lastnosti (1) in (2) na primeru podvojitvene preslikave oz., ekvivalentno, na operatorju zamika. Spomnimo, za števke cj ∈ {0, 1} , j ∈ N, in enolično podan dvojǐski zapis smo imeli operator 0,c1c2c3 . . .(2) 7−→ 0,c2c3c4 . . .(2) . Zanj so periodična natanko tista števila, katerih dvojǐski zapis je v celoti periodičen. Naj bo (a, b) ⊂ I nek odprt podinterval, ki vsebuje število x = 0,c1c2c3 . . .(2) . Trdimo, da lahko poljubno blizu – torej tudi znotraj intervala (a, b) – naj- demo periodično točko. Res, za dovolj velik k ∈ N je taka na primer x̃ = x = 0,c1c2c3 . . . ck(2), kjer smo pri konstrukciji uporabili prvih k števk dvojǐskega zapisa števila x. Na tem mestu dodajmo tudi, da je pri rekurzivnih zaporedjih pogosta obravnava t. i. predperiodičnih točk. To so tiste, za katere za neka k ∈ N in m ∈ N0 velja xm = xm+k, vendar pa število m ni nujno ničelno. To pomeni, da je njihova orbita končna, a se periodični cikel zgodi šele po 1Večina virov se pri tem nasloni na knjigo [1]. 81–90 89 Uroš Kuzman nekaj korakih. Taka je na primer točka x0 = 1 v šotorski preslikavi, saj je Og(1) = {0} . V primeru podvojitvene preslikave so predperiodične vse točke, katerih zapis je od nekje dalje periodičen. Te, tako kot v primeru desetǐskega decimalnega zapisa, ustrezajo natanko racionalnim številom, ki so prav tako gosta znotraj intervala [0, 1). Dokaz te trditve, vsaj po mojem mnenju, predstavlja zanimiv izziv za dokazovanja željne bralce. Sedaj si oglejmo še topološko tranzitivnost. Zadostni pogoj zanjo je obstoj števila x0 ∈ I, katerega orbita Og(x0) je gosta v I. Res, to pomeni, da se njeni elementi pojavijo v vseh odprtih intervalih, torej tudi v vnaprej predpisanem. Dokažimo, da operator zamika premore tako orbito. Vse možne končne nize števil 0 in 1 lahko razvrstimo v zaporedje 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111, . . . . Naj bo x0 ∈ I število, v dvojǐskem decimalnem zapisu katerega se pojavijo vsi ti nizi v natanko tem vrstnem redu: x0 = 0,0100011011 . . .(2) . Trdimo, da obstaja iterand tega števila, ki je lahko poljubno blizu katere- mukoli elementu x ∈ I. Res, naj bo k ∈ N velik in naj bo c1c2 . . . ck niz, ki se pojavi na začetku števila x. Po ustreznem številu korakov se bo ta niz pojavil tudi na začetku števila x0. Torej lahko dosežemo, da je za ustrezen m ∈ N člen xm ∈ Og(x0) poljubno blizu x. Tako, menim, da je osnovna intuicija, kaj pomenita besedni zvezi učinek metulja in kaotično zaporedje, vzpostavljena. Ostane pa mi le, da vam po klasični pedagoški navadi dodam še kako domačo nalogo – za vas, za znance ali za vaše dijake. Izkaže se, da so vsa tri zaporedja, ki sem jih predstavil, kaotična, kar pa je treba za zaporedji, podani s šotorsko in pekovo preslikavo, še potrditi. Dodatno menim, da je vredno oba primera iz drugega razdelka še malce raziskati tudi z vidika pajčevinastih diagramov. Pri tem si lahko, kot sem si jaz, pomagate s spletno stranjo [3]. Nazadnje dodajam tudi vir [2, poglavje 15], v katerem so predstavljeni nadaljnji primeri diskretnih kaotičnih sistemov, obravnavanih s t. i. simbolično dinamiko. V našem primeru je slednjo nadomestil decimalni dvojǐski zapis na intervalu [0, 1). LITERATURA [1] L. R. Devaney, Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Addison-Wesley Publi- shing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989. [2] S. Smale, L. R. Devaney in M. W. Hirsch, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, Elsevier, 2004. [3] Cobweb plotter, dostopno na https://www.geogebra.org/m/QJ79IWCL, ogled 6. 11. 2023. 90 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 NOBELOVA NAGRADA ZA FIZIKO 2020 – ČRNE LUKNJE ANDREJA GOMBOC Fakulteta za naravoslovje, Center za astrofiziko in kozmologijo Univerza v Novi Gorici Ključne besede: astronomija, črne luknje, Nobelova nagrada za fiziko Nobelovo nagrado za fiziko so leta 2020 podelili znanstvenici in dvema znanstveni- koma za njihova odkritja o črnih luknjah. Roger Penrose je pokazal, da opis črnih lukenj sledi neposredno iz splošne teorije relativnosti. Andrea Ghez in Reinhard Genzel sta s svojima raziskovalnima skupinama opazovala gibanje zvezd v neposredni bližini sredǐsča naše Galaksije in dokazala, da se v njem skriva majhno in masivno telo, ki je lahko le supermasivna črna luknja. NOBEL PRIZE FOR PHYSICS 2020 – BLACK HOLES Nobel prize for physics in 2020 was awarded to three scientists, for their discoveries about black holes. Roger Penrose showed that black holes are a direct consequence of the general theory of relativity. Andrea Ghez and Reinhard Genzel discovered that an extre- mely heavy object governs the stars’ orbits at the centre of our Galaxy. A supermassive black hole is the only currently known explanation. Uvod Nobelovo nagrado za fiziko za leto 2020 so dobili trije znanstveniki, ki so pomembno prispevali k razumevanju najbolj skrivnostnih teles v vesolju – črnih lukenj. Polovico nagrade je prejel Roger Penrose, ki je teoretično po- kazal, da so črne luknje neposredna posledica Einsteinove splošne teorije relativnosti. Drugo polovico sta si razdelila Andrea Ghez in Reinhard Gen- zel, ki sta s svojima raziskovalnima skupinama opazovala gibanje zvezd v neposredni bližini sredǐsča naše Galaksije in dokazala, da se v njem skriva masivno telo, ki je tako kompaktno oziroma majhno, da je po današnjem ra- zumevanju lahko le supermasivna črna luknja. Podoben, a kraǰsi prispevek je izšel tudi v reviji Proteus [9]. Roger Penrose je s pronicljivimi matematičnimi metodami pokazal, da opis črnih lukenj sledi neposredno iz splošne teorije relativnosti. Črne luknje so tako goste, da iz njih ne more uiti niti svetloba. Penrose je leta 1965 pokazal, da črne luknje dejansko lahko nastanejo, in podrobno opisal njihove lastnosti. V svoji notranjosti skrivajo singularnost, za opis katere ne moremo uporabljati znanih zakonov fizike. Njegov prelomni članek še vedno velja za enega od najpomembneǰsih prispevkov k razvoju splošne teorije relativnosti. Reinhard Genzel in Andrea Ghez sta vodila vsak svojo skupino astro- nomov, ki se je že od začetka devetdesetih let osredotočala na opazovanje Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 91 Andreja Gomboc Slika 1. Britanski matematični fizik, matematik in filozof znanosti Sir Roger Penrose (1931–), nemški astrofizik Reinhard Genzel (1952–) in amerǐska astrofizičarka Andrea Mia Ghez (1965–) so prejemniki Nobelove nagrade za fiziko za leto 2020. Vir fotografij: IOP Publishing; Tushna Commissariat, CC-BY-SA H Garching; UCLA, Christopher Dibble. sredǐsča Galaksije, ki se nahaja v ozvezdju Strelec. Zelo natančno so izme- rili orbite najsvetleǰsih zvezd na tem območju in obe skupini sta odkrili zelo masivno, nevidno telo, okoli katerega se gibljejo. Masa tega telesa je štiri milijone Sončevih mas, obsega pa območje manǰse od Osončja. Genzel in Ghez sta razvila metode natančnega opazovanja skozi medzvezdni plin in prah z največjimi teleskopi. Na robu tehnoloških zmožnosti s prefinjenimi tehnikami, s katerimi se zmanǰsujejo učinki popačitve Zemljinega ozračja, sta s posebnimi instrumenti izvedla dolgotrajne raziskave, ki so nam dale do takrat najbolj prepričljiv dokaz o obstoju supermasivne črne luknje v sredǐsču Galaksije. Sir Roger Penrose je angleški matematični fizik, zaslužni profesor ma- tematike na Univerzi v Oxfordu. Doktoriral je leta 1958 v Cambridgeu. Reinhard Genzel je nemški astrofizik, sodirektor Inštituta Max Planck za zunajzemeljsko fiziko, profesor na Univerzi Ludwiga Maximilliana v Mün- chnu in zaslužni profesor Univerze v Kaliforniji v Berkeleyu. Doktoriral je leta 1978 na Univerzi v Bonnu. Andrea Ghez je doktorirala na Kali- fornijskem inštitutu za tehnologijo leta 1992. Od 1994 dela na Univerzi v Kaliforniji v Los Angelesu, kjer je profesorica za fiziko in astronomijo in vodja tamkaǰsnje skupine za raziskave sredǐsča naše Galaksije. Andrea Ghez je prva astronomka in četrta ženska, ki je dobila Nobelovo nagrado za fiziko (od skupno 222 prejemnikov do 2020). Kar je dosegla, veliko pove o njej; to, da je bila prva oziroma četrta, pove več o sistemu. Ob prejemu nagrade je Andrea Ghez izjavila: »Zame je bilo vedno zelo pomembno spodbujati mlade ženske za znanost, zato mi Nobelova nagrada 92 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 Nobelova nagrada za fiziko 2020 – Črne luknje pomeni priložnost in odgovornost, da spodbujam naslednjo generacijo znan- stvenic, ki so navdušene nad tovrstnim delom. Pomembno je imeti vzornice. Mislim, da ko vidǐs osebe, ki so ti podobne, ali osebe, ki so drugačne od ve- čine, da so uspešne, ti to kaže, da obstaja možnost, da lahko tudi ti to storǐs, da je to področje odprto tudi zate. Pogosto je težko početi stvari, ki so drugačne, in če si še ti drugačna, obstaja priložnost, če imaš samozavest, da počneš stvari, ki so resnično drugačne. Imela sem srečo, da sem imela starše, učitelje in mentorje, ki so me zelo podpirali pri mojih zanimanjih. Na vsaki stopnji pa se je vedno našel kdo, ki je rekel ne, tega ne moreš narediti, ker si dekle. Zato sem se navadila ignorirati, ko so mi ljudje rekli, da nečesa ne morem narediti. Bili so trenutki, ko ljudje niso verjeli, da bodo naši pristopi delovali. A do takrat sem bila že precej dobro natrenirana v tem, da sem verjela vase.« [19] Črne luknje so deli vesolja, v katerih je gravitacijski privlak tako močan, da iz njega ne more pobegniti nič, niti svetloba ne. Omejuje jih tako ime- novano obzorje dogodkov, znotraj katerega bi bila ubežna hitrost vǐsja od svetlobne hitrosti v praznem prostoru, ki znaša približno 300.000 kilome- trov na sekundo. Ker nič ne more potovati hitreje od svetlobe, to pomeni, da iz tega območja ne moreta priti ne snov in ne svetloba. Iz njega tako ne moremo dobiti nobene informacije o tem, kaj se dogaja v notranjosti (kakšna je snov, temperatura in podobno). Črne luknje svoje skrivnosti res zelo dobro čuvajo. Od zunaj lahko iz lastnosti prostor-časa v bližini črne luknje ugotovimo le njeno maso, vrtilno količino in električni naboj. Prava teorija za opis črnih lukenj je Einsteinova splošna teorija relativ- nosti, ki je bila objavljena novembra leta 1915 in jo opǐse na prvi pogled preprosta enačba Gµν + Λgµν = 8πG c4 Tµν , v kateri so Gµν Einsteinov tenzor, gµν metrični tenzor, Λ kozmološka kon- stanta, Tµν tenzor posplošene napetosti, G gravitacijska konstanta in c hi- trost svetlobe v vakuumu. Podrobneǰsa obravnava enačbe in členov v njej je v [13]. Prve zabeležene zamisli o telesih, imenovanih tudi »temne zvezde«, ki bi bila tako masivna, da bi postala nevidna, saj svetloba ne bi mogla zapu- stiti njihovega površja, pa sta razvila Michell in Laplace dobro stoletje pred tem [10–12]. Tako preprosta ideja sovpada s prvo natančno rešitvijo Ein- steinove enačbe. Ta rešitev, ki jo je leta 1916 predlagal Schwarzschild [17], opisuje gravitacijsko polje v prostoru okoli sferično simetrično porazdeljene mase brez električnega naboja in vrtilne količine za primer, ko je kozmolo- ška konstanta enaka nič. V rešitvi nastopa umeritveni parameter rs = 2GM c2 , ki ga imenujemo Schwarzschildov polmer in predstavlja oddaljenost obzorja dogodkov, razdaljo, na kateri je ubežna hitrost okoli telesa z maso M enaka svetlobni hitrosti. 91–100 93 Andreja Gomboc Črne luknje so robustna napoved splošne teorije relativnosti Pomemben korak na poti odkrivanja črnih lukenj je bila določitev oddalje- nosti kvazarjev – izvorov radijske svetlobe, ki so bili videti točkasti, njihova oddaljenost in narava pa sta bili velika uganka. Leta 1963 je Maarten Schmidt s pomočjo kozmološkega rdečega premika spektralnih črt1 kvazarja z oznako 3C 273 izmeril njegovo oddaljenost – ne- kaj milijard svetlobnih let od nas [16]. Podobno velike razdalje so kmalu zatem izmerili tudi za druge kvazarje. Iz njihovega navideznega sija na na- šem nebu in znane oddaljenosti so lahko izračunali njihov izsev. Ugotovili so, da iz zelo majhnega območja kvazarja (v nekaterih kvazarjih velikega le nekaj svetlobnih ur ali dni) lahko prihaja izsev, ki je primerljiv z izsevom vseh zvezd v več sto običajnih galaksijah skupaj (vsaka od njih sestavljena iz več sto milijard zvezd). Kot možen vir te ogromne energije so predlagali gravitacijsko energijo, ki se sprosti ob sesedanju telesa na velikost Schwarz- schildovega polmera [17]. (Današnji model kvazarjev in drugih vrst aktivnih galaktičnih jeder opǐse njihove opazovane lastnosti s supermasivno črno lu- knjo, ki požira snov – ogromna količina energije prihaja od snovi, ki pada proti črni luknji, se zbira v disk okoli nje in izgublja gravitacijsko energijo, ta pa se pretvori v toploto in svetlobo.) Schmidtova določitev oddaljenosti kvazarjev je spodbudila Rogerja Pe- nrosa, da je razmǐsljal o tem, ali lahko črne luknje nastanejo tudi v realistič- nih, nesimetričnih primerih. V tem času je bilo že sprejeto, da dovolj velika in krogelno simetrična masa ob kolapsu ne doseže ravnovesnega stanja in se krči vse do fizikalne singularnosti pri r = 0. Prav tako so vedeli, da ko se telo seseda skozi svoj Schwarzschildov polmer, lokalni opazovalec, ki se giblje skupaj s površjem telesa, ne opazi nič posebnega. To niti ni presenetljivo, saj se za dovolj velike mase to zgodi pri gostotah, ki niso zelo visoke (če se spomnimo »temnih zvezd« Michella in Laplacea, so imele gostote enake gostoti Sonca oziroma Zemlje [10–12]). Drugače je za zunanjega opazovalca, za katerega je videti, kot da sesedanje telesa proti Schwarzschildovemu pol- meru traja neskončno dolgo (in nikoli ne vidi, da bi se telo skrčilo pod ta polmer, saj ne more videti v črno luknjo). V notranjosti črne luknje pa nastane težava s singularnostjo pri r = 0 in z njenim fizikalnim opisom. Ali je ta singularnost le posledica privzete simetrije ali nastane tudi v primerih, ki nimajo nikakršne simetrije? Odgovor oziroma orodje na poti do njega se je Rogerju Penroseu utr- nilo jeseni leta 1964 med sprehodom [14]. Razvil je posebno matematično 1Zaradi širjenja vesolja se valovna dolžina svetlobe v času potovanja od izvora do opazovalca raztegne za enak faktor, kot se v tem času razširi vesolje. Valovna dolžina svetlobe se poveča ali se, kot pogosto rečemo, premakne proti rdečemu delu spektra. Dlje ko je izvor od opazovalca, dlje časa potuje svetloba in večji je ta premik. 94 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 Nobelova nagrada za fiziko 2020 – Črne luknje metodo, imenovano »ujeta površina«, ki jo kaže slika 2. Ujeta površina je sklenjena dvodimenzionalna površina, ki ima lastnost, da vsi svetlobni žarki, ki so pravokotni nanjo, konvergirajo/se stikajo v prihodnosti [15]. Za pri- merjavo, površje krogle v ravnem prostoru ni takšno: žarki, ki gredo vanj, konvergirajo, žarki, ki prihajajo iz njega, pa divergirajo/se razhajajo. Od ujete površine pa vsi žarki (v vse smeri) konvergirajo. Takšne ujete površine so posledica močne gravitacije in so, v primeru krogelno simetrične mase, površja krogel s polmerom manǰsim od Schwarzschildovega. Vsi svetlobni žarki skozi nje kažejo proti sredǐsču. Posledica ujete površine je, da tok časa neizogibno prinese opazovalca, ki je prečkal obzorje dogodkov, v končnem času v sredǐsče r = 0, kjer se čas konča. Iz Schwarzschildove rešitve namreč sledi, da se ob prečkanju obzorja dogodkov vlogi časovne in radialne koordinate zamenjata – smer proti sredǐsču postane smer toka časa (slika 2). Zato je tako težko oziroma nemogoče priti iz notranjosti črne luknje, kot je nemogoče potovati nazaj v času. Roger Penrose je pokazal, da je ujete površine mogoče najti tudi v splo- šnem, nesimetričnem primeru in da njihov obstoj ni odvisen od predpo- stavke, da obstaja neka vrsta simetrije. Pokazal je tudi, da ko enkrat na- stane ujeta površina, v njej neizogibno nastane tudi točka singularnosti. Njen nastanek je robustna in neizogibna posledica oziroma napoved splošne teorije relativnosti. Supermasivna črna luknja v sredǐsču naše Galaksije Drugi del Nobelove nagrade sta dobila Andrea Ghez in Reinhard Genzel za odkritje masivnega, kompaktnega telesa v sredǐsču naše Galaksije. Super- masivne črne luknje, z masami od sto tisoč do deset milijard mas Sonca, se ne nahajajo samo v sredǐsčih kvazarjev in drugih vrst aktivnih galaksij, v katerih požirajo snov. V mnogih, če ne celo v vseh velikih galaksijah se v sredǐsču skrivajo supermasivne črne luknje, ki v veliki večini galaksij okoli sebe nimajo diska snovi, ki bi močno svetil. Tem pravimo, da so »lačne« ali »speče« črne luknje, in njihovim galaksijam, da so normalne ali neaktivne. Prisotnost velike mase v njihovih sredǐsčih izdaja gibanje plina in zvezd v njihovi bližini. A kako lahko dokažemo, da je ta masa v sredǐsču črna luknja in ne kaj drugega? Črne luknje, tudi supermasivne, so v astronomskem merilu zelo majčkeni objekti: na primer, črna luknja z maso milijon Sončevih mas ima polmer, ki je le štirikrat večji od polmera Sonca oziroma je le dva odstotka Zemljine oddaljenosti od Sonca; črna luknja z milijardo mas Sonca ima pol- mer, ki je enak oddaljenosti Urana od Sonca. Največje znane supermasivne črne luknje so torej primerljive z velikostjo Osončja (nekaj svetlobnih ur), 91–100 95 Andreja Gomboc Slika 2. Diagram na osnovi slike iz Penrosevega članka [15] prikazuje sesedanje zvezde v črno luknjo. Vodoravna ravnina predstavlja prostor, na navpični osi je čas. Ko se zvezda skrči pod obzorje dogodkov, nastane črna luknja. Znotraj nje se snov sesede še naprej, v točko singularnosti. Svetlobni stožci se v ukrivljenem prostor-času nagibajo »navznoter«, proti masi. Na obzorju dogodkov je zunanji rob časovnega stožca navpičen – svetloba bi potrebovala neskončno časa, da bi prǐsla ven oz. zunanji opazovalec vidi »zamrznjeno« sliko na obzorju dogodkov. Znotraj črne luknje so vsi svetlobni stožci obrnjeni proti sredǐsču, singularnosti, in svetloba ne more pobegniti. Časovna in radialna koordinata na obzorju dogodkov zamenjata vlogi. čas prostor oddaljena preteklost oddaljena prihodnost oddaljen prostorčas oddaljen prostorčas svetlobni žarek časovno usmerjena neskončnost krajevno usmerjena neskončnost Slika 3. V Penroseovem diagramu je neskončen 4-dimenzionalen prostor-čas preslikan na končno velik 2-dimenzionalni lik. Prostorska koordinata je na vodoravni osi, čas teče navpično navzgor. Svetlobni žarki so pod kotom 45◦ glede na osi. kar je majčkeno v primerjavi z velikostjo galaksij (naša Galaksija ima premer sto tisoč svetlobnih let) in razdaljami med njimi. Za neposredni dokaz, da je masa v sredǐsču neke druge galaksije črna luknja in ne, na primer, zelo gosta kopica zvezd, bi potrebovali instrumente 96 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 Nobelova nagrada za fiziko 2020 – Črne luknje z zelo dobro kotno ločljivostjo, s katerimi bi na oddaljenosti več milijonov ali celo milijard svetlobnih let razločili podrobnosti na razdaljah velikostnega reda Schwarzschildovega polmera. Edini primer do leta 2020, ko je bila podeljena omenjena nagrada, v katerem jim je uspelo posneti sliko diska snovi v neposredni okolici črne luknje, je radijski posnetek sredǐsča aktivne galaksije M 87, ki ga je naredila mreža Event Horizon Telescope in je aprila leta 2019 obšel svet [3]. Dosežena kotna ločljivost v tem primeru je podobna tisti, ki bi jo morali imeti, da bi, sedeč v Evropi, brali časopis v New Yorku. (Maja 2022 je omenjena mreža objavila tudi radijski posnetek sredǐsča naše Galaksije [18].) Oči radovednih znanstvenikov so se že pred tem obrnile proti najbliž- jemu galaktičnemu centru – sredǐsču naše Galaksije. To je »samo« okrog petindvajset tisoč svetlobnih let daleč od nas. V sredǐsču je radijski izvor z oznako Sgr A* in okrog njega nekaj svetlobnih let velika kopica zvezd in plina. Njihovo gibanje razkriva gravitacijski potencial v sredǐsču in s tem porazdelitev mase v njem. Če je masa zbrana v enem samem, majhnem objektu – črni luknji –, potem so hitrosti zvezd, ki se nahajajo na različnih razdaljah r od sredǐsča, obratno sorazmerne s kvadratnim korenom razdalje r, podobno kot se, na primer, spreminjajo obhodne hitrosti planetov z raz- daljo od Sonca. Če pa je masa porazdeljena po širšem delu prostora, potem hitrosti zvezd z razdaljo r padajo počasneje ali celo naraščajo. Da bi razvozlala skrivnost sredǐsča Galaksije, sta se v devetdesetih letih dvajsetega stoletja Andrea Ghez in Reinhard Genzel s svojima raziskoval- nima skupinama lotila opazovanja gibanja zvezd v njem [4–8]. Skupina Andree Ghez je uporabila teleskope na observatoriju na Havajih, skupina Reinharda Genzela teleskope Evropskega južnega observatorija v Čilu. Plin in prah v disku Galaksije povzročata ekstinkcijo (oslabitev) vidne svetlobe. Galaktično sredǐsče je v tej svetlobi »zakrito« pred našim pogledom, zato so se odločili za opazovanja v infrardeči svetlobi, ki lahko prodre tudi skozi snov v galaktičnem disku. Glavni izziv je bilo doseči dovolj dobro kotno ločljivost oziroma dovolj »oster pogled«, da so lahko kar se da natančno določili položaje posameznih zvezd ter nato, s ponavljanjem opazovanj čez vrsto let, izmerili spremembe njihovih položajev in s tem gibanje. Da so lahko odpravili vpliv turbulenc v Zemljinem ozračju, ki povzročijo navidezno migotanje zvezd in poslabšajo ločljivost posnetkov, so v zgodnjih opazovanjih uporabili posebno tehniko, s katero posnamejo zelo kratke po- snetke (s časom osvetlitve desetinko sekunde), jih med seboj poravnajo, tako da se vzorci zvezd »ujamejo«, jih seštejejo in tako dobijo ostreǰse slike. Ugo- tovili so, da so izmerjene hitrosti zvezd obratno sorazmerne s kvadratnim korenom razdalje zvezd od sredǐsča Galaksije, točno tako, kot bi pričako- vali, če se v njem skriva le eno samo, kompaktno telo. S to tehniko se jim 91–100 97 Andreja Gomboc je sredǐsču Galaksije uspelo približati na približno dvanajst svetlobnih dni. V novem tisočletju so začeli na obeh observatorijih uporabljati prilago- dljivo optiko [2]. Pri tej tehniki usmerijo laserski snop blizu opazovanega objekta na nebu in visoko v ozračju ustvarijo umetno zvezdo. Nato opazu- jejo oba – umetno zvezdo in objekt opazovanja – ter s hitrim spreminjanjem oblike zrcala v teleskopu v realnem času kompenzirajo popačitve slike, ki nastanejo zaradi turbulenc v ozračju, in poskušajo doseči čim ostreǰso sliko umetne zvezde. S tem izostrijo oziroma odpravijo migotanje zaradi ozračja tudi pri sliki opazovanega objekta. Ta tehnika omogoča ostreǰso sliko in tudi dalǰse čase osvetlitve ter s tem opazovanje šibkeǰsih zvezd. Uporaba prilagodljive optike je obe skupini pripeljala še bližje sredǐsču Galaksije. Slika 4 prikazuje gibanje zvezd v območju približno en svetlobni mesec okoli sredǐsča. Med njimi je posebej zanimiva zvezda z oznako S2 oziroma S0-2: sredǐsče Galaksije obkroži v samo šestnajstih letih (za primerjavo, Sonce po- trebuje več kot dvesto milijonov let za en obhod), giblje se po zelo sploščeni eliptični tirnici in se izvoru Sgr A* približa na zgolj sedemnajst svetlobnih ur. Slika 4. Tirnice zvezd v bližini sredǐsča naše Galaksije v obdobju 1995 do 2016, kot jih je izmerila skupina Andree Ghez. Bela črta označuje tirnico zvezde S0-2 oziroma S2. Vir: Keck/UCLA Galactic Center Group. Rezultati obeh raziskovalnih skupin so se odlično ujemali. Pokazali so, da se v sredǐsču Galaksije nahaja masa za približno štiri milijone mas Sonca. Ta masa je zelo zgoščena, saj se nahaja znotraj tirnice zvezde S2 – znotraj območja s polmerom, ki je samo stopetindvajsetkratnik Zemljine razdalje od Sonca. Prispevek zvezd in ostankov zvezd k tej masi je zanemarljiv, torej gre za zelo kompaktno telo. Najbolj znanstveno smiselna in trdna razlaga je, da je ta kompakten objekt v sredǐsču Galaksije supermasivna črna luknja. Obe raziskovalni skupini še naprej budno spremljata dogajanje v sredǐsču Galaksije. Posebej natančno so spremljali zvezdo S2, ko je maja leta 2018 98 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 Nobelova nagrada za fiziko 2020 – Črne luknje Slika 5. Tirnica zvezde S2 okoli sredǐsča naše Galaksije, kot so jo določili na podlagi petindvajset let opazovanj s teleskopi Evropskega južnega observatorija v Čilu [1]. Oznake (trikotniki, krogi, kvadrati) označujejo položaj zvezde izmerjen z različnimi instrumenti (SHARP na teleskopu New Technology Telescope – NTT, NACO in GRAVITY na Zelo velikem teleskopu (Very Large Telescope – VLT)). Odtenek sive označuje leto meritve položaja. Daljica v notranjosti tirnice prikazuje razdaljo 5000 rs oziroma 400 razdalj Zemlja-Sonce. (Velikosti zvezde in črne luknje nista v pravilnem razmerju z razdaljami). Vir: ESO/MPE/GRAVITY Collaboration. potovala skozi pericenter – točko na svoji tirnici, v kateri se najbolj približa Sgr A* [5] (slika 5). Ob tem »mimoletu« jim je uspelo izmeriti precesijo njenega pericentra oziroma sukanje eliptične tirnice zvezde okoli črne luknje in gravitacijski rdeči premik, ki sta bila povsem v skladu z napovedmi Einsteinove splošne teorije relativnosti – teorije, ki je v sto letih obstoja uspešno prestala šte- vilne preizkuse. Še ena njena napoved – gravitacijski valovi – nam od prve neposredne detekcije leta 2015 (nagrajene z Nobelovo nagrado za fiziko leta 2017) odpira novo okno v vesolje in nam pomaga razkrivati skrivnosti črnih lukenj na povsem nov način. LITERATURA [1] R. Abuter et al., Gravity Collaboration, Detection of the gravitational redshift in the orbit of the star S2 near the Galactic centre massive black hole, Astronomy and Astro- physics, 615 (2018), doi: 10.1051/0004-6361/201833718. [2] H. W. Babcock, The possibility of compensating astronomical seeing, Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 65 (1953) 386, 229, doi: 10.1086/126606. 91–100 99 Andreja Gomboc [3] S. Doeleman et al., Focus on the First Event Horizon Telescope Results, The Astro- physical Journal Letters, 875 (2019) 1, doi: 10.3847/2041-8213/ab0f43. [4] R. Genzel, R. Schödel, T. Ott, A. Eckart, T. Alexander, F. Lacombe, D. Rouan et al., Near-infrared flares from accreting gas around the supermassive black hole at the Galactic centre, Nature, 425 (2003) 6961, 934–937, doi: 10.1038/nature02065. [5] R. Genzel, F. Eisenhauer in S. Gillessen, The Galactic center massive black hole and nuclear star cluster, Reviews of Modern Physics, 82 (2010) 4, 3121–3195, doi: 10.1103/RevModPhys.82.3121. [6] A. M. Ghez, B. L. Klein, M. Morris in E. E. Becklin, High proper-motion stars in the vicinity of Sagittarius A*: Evidence for a supermassive black hole at the center of our galaxy, The Astrophysical Journal, 509 (1998) 2, 678-686, doi: 10.1086/306528. [7] A. M. Ghez, G. Duchene, K. Matthews, S. D. Hornstein, A. Tanner, J. Larkin, M. Morris et al., The First Measurement of Spectral Lines in a Short-Period Star Bound to the Galaxy’s Central Black Hole: A Paradox of Youth, The Astrophysical Journal, 586 (2003) 2, L127–L131, doi: 10.1086/374804. [8] A. M. Ghez, S. Salim, N. N. Weinberg, J. R. Lu, T. Do, J. K. Dunn, K. Matthews et al., Measuring distance and properties of the Milky Way’s central supermassive black hole with stellar orbits, The Astrophysical Journal, 689 (2008) 2, 1044–1062, doi: 10.1086/592738. [9] A. Gomboc, Črne luknje – od prve zamisli do Nobelove nagrade, Proteus, 83 (2021), 6, 250–6. [10] P. S. Laplace, Beweis des Satzes, dass die anziehende Kraft bey einem Weltkörper so gross seyn könne, dass das Licht davon nicht ausströmen kann, Allgemeine Geo- graphische Ephemeriden, 4 (1799) 1-6. [11] P. S. Laplace,Exposition du Système du Monde, Part II, 1796. [12] J. Michell, On the Means of Discovering the Distance, Magnitude, & c. of the Fi- xed Stars, in Consequence of the Diminution of the Velocity of Their Light, in Case Such a Diminution Should be Found to Take Place in any of Them, and Such Other Data Should be Procured from Observations, as Would be Farther Necessary for That Purpose, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 74 (1783) 35–57. [13] A. Mohorič in A. Čadež, Gravitacijski valovi, Obzornik mat. fiz., 63 (2016) 2. [14] R. Penrose, Asymptotic properties of fields and space-times, Physical Review Letters, 10 (1963) 2, 66–68, doi: 10.1103/PhysRevLett.10.66. [15] R. Penrose, Gravitational collapse and space-time singularities, Physical Review Let- ters, 14 (1965) 3, 57–9, doi: 10.1103/PhysRevLett.14.57. [16] M. Schmidt, 3C 273: A star-like object with large red-shift, Nature, 197 (1963) 4872, 1040, doi: 10.1038/1971040a0. [17] K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld enies Massenpunktes nach der Ein- stein’schen Theorie, Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademi der Wis- senschaften, 1916. [18] The Event Horizon Telescope Collaboration, First Sagittarius A* Event Horizon Te- lescope Results, I. The Shadow of the Supermassive Black Hole in the Center of the Milky Way, The Astrophysical Journal Letters, 930 (2022) L12. doi: 10.3847/2041- 8213/ac6674. [19] About Andrea Ghez, dostopno na https://www.astro.ucla.edu/~ghez/, ogled 20. 11. 2023. 100 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 i i “Porocilo-OZ” — 2023/12/25 — 13:55 — page 101 — #1 i i i i i i VESTI Poročilo o 77. Občnem zboru DMFA Slovenije na Bledu 77. Občni zbor DMFA Slovenije je potekal v petek, 15. septembra 2023 v Festivalni dvorani na Bledu. Po ugotovitvi sklepčnosti, imenovanju delovnega predsedstva in potrdi- tvi dnevnega reda so prisotni člani društva najprej poslušali poročilo pred- sednika DMFA Slovenije prof. dr. Primoža Potočnika o delovanju društva v zadnjem obdobju. Predsednik je v poročilu izpostavil številne uspehe (organizacija EGMO 2023, organizacija 18 državnih tekmovanj v znanju z različnimi spremljevalnimi aktivnostmi, izjemne uspehe na mednarodnih tekmovanjih, različne promocijske in strokovne aktivnosti, delovanje v med- narodnih združenjih), opisal je spremembe v založnǐski dejavnosti, stanje in načrte za Plemljevo vilo, ukrepe za izbolǰsanje finančne situacije in pojasnil različne organizacijske spremembe v delovanju društva. Nato so prisotni člani po kraǰsih razpravah potrdili tri pomembne sklepe. V zvezi z delovanjem društva je Občni zbor sprejel sklep, da se na izpra- znjena mesta v Upravnem odboru DMFA Slovenije imenujejo Dunja Fab- jan (tajnica komisije za popularizacijo astronomije), Vesna Parkelj (tajnica komisije za popularizacijo matematike v SŠ) in Jure Japelj (predsednik Od- bora za astronomijo), mesto tajnika DMFA Slovenije pa ostane nezasedeno do rednih volitev, ki bodo v letu 2024. V zvezi s članarino je Občni zbor sprejel sklep, da članarina za leto 2024 znaša 25,00 EUR za vsakega člana ali članico, z izjemo novih članov, ki prva tri leta plačujejo članarino v vǐsini 10,00 EUR. Drugi popusti se ukinejo. V zvezi s kotizacijami za tekmovanja pa je Občni zbor sprejel sklep, da ostanejo kotizacije v šolskem letu 2023/24 enake kotizacijam v letu 2022/23. Na slavnostnem delu Občnega zbora je bila izvoljena nova častna članica prof. dr. Nežka Mramor Kosta, podeljenih pa je bilo tudi šest društvenih priznanj za prizadevno pedagoško in strokovno delo. Novi častni članici in vsem prejemnikom priznanj iskreno čestitamo! Ob koncu Občnega zbora so prisotni člani izrazili še nekaj pohval in pobud, ki jih bo poskušal Upravni odbor realizirati v prihodnjem obdobju. Bilten Občnega zbora s poročili bo pripravljen in objavljen na spletǐsču DMFA v prihodnjih tednih. Občni zbor se je zaključil z zahvalo predsednika prof. dr. Primoža Potoč- nika vsem, ki prispevajo k uspešnemu delu društva, še posebej pa članom Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 101 i i “Porocilo-OZ” — 2023/12/25 — 13:55 — page 102 — #2 i i i i i i Vesti Upravnega odbora in članom tekmovalnih komisij za res veliko opravljenega dela. Prijetno vzdušje se je nadaljevalo tudi na večerji v hotelu Bledrose in naslednji dan na Konferenci slovenskih matematikov ob 150. obletnici rojstva akad. prof. dr. Josipa Plemlja. Boštjan Kuzman Popravek Popravek k članku O predstavitvi vseh praštevil s celoštevilskimi kvadra- tnimi formami dveh spremenljivk (Obzornik za matematiko in fiziko, letnik 70, številka 2, strani 41–48). V članku je napačno zapisana inštitucija prvega avtorja Marjana Jenka – pravilna je Fakulteta za gradbenǐstvo in geodezijo UL. Tiskarski škrat jo je zagodel tudi pri zapisu imena drugega avtorja, Marka Petkovška, v glavi strani. Za neljubi napaki se iskreno opravičujemo. Urednǐstvo Lovro Dretnik, Marica Kamplet, Boštjan Kuzman, Bela Szomi, Soraya Sternad in Jasmina Žel prejemniki priznanj DMFA Slovenije za leto 2023 Društvo DMFA Slovenije že od leta 1968 podeljuje društvena priznanja po- sameznikom za uspešno pedagoško delo z mladimi ali za strokovno dejav- nost, ter posameznikom ali ustanovam za uspešno sodelovanje z Društvom. Na 77. občnem zboru DMFA Slovenije 15. septembra 2023 v Festivalni dvo- rani na Bledu je bilo podeljenih šest priznanj. Prejeli so jih Lovro Dretnik, profesor matematike, za dolgoletno delo v državni tekmovalni komisiji ter za vsestransko kvalitetno strokovno delo. Marica Kamplet, učiteljica ma- tematike in fizike na OŠ Hruševec, Šentjur, za prizadevno delo z mladimi, posebej na področju astronomije, dr. Boštjan Kuzman, visokošolski učitelj za matematiko na Pedagoški fakulteti v Ljubljani, za prispevke k promo- ciji matematike, delu z mladimi in delovanju društva, Béla Szomi, učitelj matematike in fizike na OŠ Domžale, za izjemno delo pri poučevanju in navduševanju mladih za matematiko, fiziko in astronomijo, Soraya Sternad, profesorica matematike in upokojena urednica in avtorica matematičnih uč- benikov, za trajen prispevek h kvaliteti slovenskih učbenikov, ter Jasmina Žel, učiteljica matematike in fizike na OŠ Ljudski vrt Ptuj, za uspešno pedagoško delo z nadarjenimi, posebej pri fiziki in astronomiji. Iskrene čestitke vsem prejemnikom! 102 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 i i “Porocilo-OZ” — 2023/12/25 — 13:55 — page 103 — #3 i i i i i i Lovro Dretnik, Marica Kamplet, Boštjan Kuzman, Bela Szomi, Soraya Sternad in Jasmina Žel prejemniki priznanj DMFA Slovenije za leto 2023 Slika 1. Priznanja DMFA Slovenije 2023. Utemeljitve Lovro Dretnik, profesor matematike, za dol- goletno delo v državni tekmovalni komisiji ter za vsestransko kvalitetno strokovno delo. Lovro Dretnik je leta 2002 diplomiral na Fakulteti za naravoslovje in matematiko v Mariboru kot enopredmetni profesor mate- matike, leta 2007 pa je opravil specializa- cijo iz managementa na Fakulteti za ma- nagement v Kopru. Od leta 2008 do leta 2016 je bil član in tajnik državne predme- tne komisije za poklicno maturo iz matema- tike v okviru Republǐskega izpitnega cen- tra, leta 2008 je postal vǐsji predavatelj za predmete Poslovna matematika s statistiko, Uporabna matematika v logistiki in Kvan- titativne metode v logistiki in je trenutno nosilec teh predmetov na štirih vǐsjih šolah. Hkrati se redno udeležuje stro- kovnih, znanstvenih in mednarodnih konferenc in pridobiva ter posreduje dobre prakse poučevanja matematike ter sestave matematičnih nalog, kjer je kritično mǐsljenje bistvenega pomena. Od leta 2008 je član državne tekmovalne komisije pri DMFA Slovenije za matematično tekmovanje dijakov srednjih tehnǐskih in strokovnih šol in od leta 2015 tudi njen predsednik. Pri tem se je srečal s številnimi izzivi, ki jih je vedno reševal v prid tekmovanja, tekmovalcev in njihovih mentorjev. Z dolgoletnim strokovnim in predanim delom je dosegel, da tekmovanje poteka na visoki ravni in se ga z veseljem udeležujejo številni dijaki in dijakinje, njegovo veselje in predanost poučevanju matematike, kvalitetno sestavljanje tekmovalnih nalog in navduševanje mladih glede tekmovanj pa strokovno bogatijo in motivirajo tudi njegove sodelavce v tekmovalni komisiji. Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 103 i i “Porocilo-OZ” — 2023/12/25 — 13:55 — page 104 — #4 i i i i i i Vesti Marica Kamplet, učiteljica matematike in fizike na OŠ Hruševec – Šentjur, za priza- devno delo z mladimi, posebej na področju astronomije. Marica Kamplet je zaključila študij na Pedagoški akademiji v Mariboru. Leta 1996 je diplomirala na Pedagoški fakulteti v Ma- riboru, smer matematika in fizika. Na OŠ Hruševec – Šentjur poučuje matematiko in fiziko, občasno pa tudi izbirne predmete iz astronomije. Predanost poučevanju, stro- kovnost in veselje do poučevanja so obču- tile generacije nadarjenih učencev, ki jih je v prostem času pripravljala na tekmovanja. Postavila je visoke standarde v izobraževa- nju. Znana je po tem, da presega pričako- vanja učencev in spodbuja njihovo željo po znanju. Njeni učenci na tekmo- vanjih iz matematike, fizike in astronomije posegajo po najvǐsjih mestih v državi. Marica Kamplet je tudi aktivna članica astronomskega društva Kosci, kjer svoje veselje do astronomije deli z drugimi. Kot mentorica je pomembno prispevala k širjenju zanimanja za astronomijo in znanost med mladimi. Njeno delo ne vpliva samo na učence, ki jih je poučevala in so navdušeni nad svetom matematike, fizike in astronomije, ampak tudi na širšo skupnost na Kozjanskem, s katero je in še deli zanimanje do astronomije. Pomembno vpliva tudi na druge učiteljice v regiji in jih spodbuja k dodatnemu izobra- ževanju na področju astronomije in angažira v astronomskih dejavnostih. Dr. Boštjan Kuzman, visokošolski učitelj za matematiko na Pedagoški fakulteti v Lju- bljani, za prispevke k promociji matema- tike, delu z mladimi in delovanju društva. Boštjan Kuzman je leta 2001 diplomiral iz teoretične matematike, leta 2004 magi- striral in leta 2010 doktoriral iz matematike na Fakulteti za matematiko in fiziko v Lju- bljani. Zaposlen je kot docent za matema- tiko na Pedagoški fakulteti Univerze v Lju- bljani, kjer predava različne matematične predmete, raziskovalno pa se ukvarja z al- gebro in teorijo grafov ter z matematiko v izobraževanju. V društvu aktivno deluje od leta 2006. Kot tajnik komisije za raziskovalno dejav- 104 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 i i “Porocilo-OZ” — 2023/12/25 — 13:55 — page 105 — #5 i i i i i i Lovro Dretnik, Marica Kamplet, Boštjan Kuzman, Bela Szomi, Soraya Sternad in Jasmina Žel prejemniki priznanj DMFA Slovenije za leto 2023 nost je trikrat organiziral Srečanje matematikov raziskovalcev (2007–2009) s predstavitvami odmevnih dosežkov in mladih doktorandov. Kot tajnik komisije za pedagoško dejavnost (2010–2016) je pripravljal zanimiva preda- vanja in programe za društvene seminarje in strokovna srečanja (Ko enačbe oživijo, Zgledi uporabe statistike, Algoritmi pri pouku matematike, Mate- matika in umetnost, Delo z matematično nadarjenimi učenci). Kot pred- sednik Slovenskega odbora za matematiko je od 2016 do 2022 sodeloval na zasedanjih EMS in pri uspešni organizaciji Evropskega matematičnega kon- gresa v Portorožu. Kot član upravnega odbora je zanesljivo sodeloval tudi pri številnih administrativnih nalogah, vključno s pridobivanjem javnih in sponzorskih sredstev za aktivnosti društva. Izjemno dejaven je tudi pri promociji matematike, posebej med mla- dimi. Še kot nadobuden asistent je napisal vrsto člankov za revijo Logika in razvedrilna matematika, leta 2006 pa ustanovil in nato deset let vodil matematični tabor MARS za srednješolce, ki ga zdaj uspešno nadaljujejo mlaǰse generacije. Zasnoval je prireditev Bistroumi, na kateri se podelitev nagrad mladim tekmovalcem prepleta z nastopi glasbenikov in znanstveni- kov, ter uspešno izvedel še vrsto priložnostnih aktivnosti, od poletnih šol za osnovnošolce, delavnic za študente ter matematičnih razstav do nastopov v medijih. Od leta 2020 je področni urednik za matematiko pri reviji Presek in sovodi program profesionalnega usposabljanja Presekov seminar. S svojim delom in zgledom Boštjan Kuzman že leta izjemno prispeva k razpoznavnosti in ugledu društva in nasploh slovenske matematike, tako v Sloveniji kot v mednarodnem matematičnem okolju. Béla Szomi, učitelj matematike in fizike na OŠ Domžale, za izjemno delo pri poučeva- nju in navduševanju mladih za matematiko, fiziko in astronomijo. Béla Szomi je leta 1989 zaključil študij matematike in fizike na takratni Pedagoški akademiji v Ljubljani. Že pred tem je po- učeval na več osnovnih šolah v okolici Lju- bljane, od leta 1998 pa poučuje na OŠ Dom- žale, kjer uči fiziko, matematiko ter izbirne predmete astronomija, logika, matematična delavnica in šah. Praktično nemogoče je prešteti vsa pri- znanja in medalje, ki so jih na državnih tekmovanjih iz logike, matematike, fizike, astronomije, razvedrilne matematike in tudi v šahu dosegli njegovi učenci in učenke. Ti so samo na tekmovanjih pod okriljem DMFA Slovenije od leta 2010 dalje osvojili več kot 100 zlatih pri- Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 105 i i “Porocilo-OZ” — 2023/12/25 — 13:55 — page 106 — #6 i i i i i i Vesti znanj. Večkrat je sodeloval tudi v različnih tekmovalnih komisijah in za tekmovanja prispeval svoje naloge. Je avtor ali soavtor okoli petnajstih knjig, zbirk nalog in delovnih zvezkov za osnovno šolo in za tekmovanja s področij logike, matematike, fizike in astronomije, v zadnjem obdobju pa zanimive videoposnetke s fizikalnimi poskusi objavlja tudi na spletu. Kot navdušen astronom in astrofotograf zna mlade spodbuditi tudi za opazo- vanje vesolja. Že več kot dvajset let tako organizira tudi zelo priljubljen astronomski tabor za mlade iz vse Slovenije, ki se zbirajo v njegovem do- mačem Prekmurju. Izjemno opazen pa je tudi kot kulturni ustvarjalec – avtor ali soavtor več kot dvesto skladb in uglasbitev, pesnik in prevajalec poezije ter glasbenik, ki je z različnimi glasbenimi zasedbami posnel celo vrsto zgoščenk. Za svojo raznovrstno dejavnost je že prejel številna prizna- nja različnih organizacij, njegovo pedagoško delo in strokovno delo pa je lahko zgled in navdih številnim članom DMFA Slovenije, še posebej mladim učiteljem in učiteljicam. Soraya Sternad, profesorica matematike in upokojena urednica in avtorica matematič- nih učbenikov, za trajen prispevek h kvali- teti slovenskih učbenikov. Soraya Sternad je leta 1980 diplomirala na pedagoški smeri študija matematike na tedanji Fakulteti za naravoslovje in tehno- logijo v Ljubljani. Po diplomi je dobrih pet let poučevala matematiko na Srednji kemij- ski šoli v Ljubljani, kjer se je naučila zelo dobro povezati z dijaki z učnimi težavami in jih uspela motivirati za matematiko. Nato je osem let poučevala na Gimnaziji Beži- grad, kjer je izoblikovala občutek za delo z nadarjenimi. Svojo pot je štiri leta nadalje- vala na Ministrstvu za znanost v času, ko se je Slovenija pripravljala za vstop v EU. S pridobljenimi izkušnjami za delo s celim spektrom dijakov se je zaposlila kot urednica in avtorica matematičnih gradiv na DZS, kjer je delovala več kot 25 let, do nedavne upokojitve. Svoje znanje in strokovnost je neposredno predajala v urednǐstvu za- ložbe, posredno pa učiteljem, učencem in dijakom po vsej Sloveniji. Kot urednica je z učnimi gradivi postavljala nova merila in standarde v didak- tiki matematike ter pokazala igrivo smer do matematičnih osnov. S tem je utrla pot sodobnemu poučevanju matematike. Njene izvirne, duhovite in domǐsljene naloge sporočajo, da je matematika povsod okoli nas in da gradi naš svet. Pa tudi to, da ji je lahko vsakdo kos. Zasnovala, uredila, pa tudi v sodelovanju z drugimi avtorji je napisala vrsto matematičnih uspe- 106 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 i i “Porocilo-OZ” — 2023/12/25 — 13:55 — page 107 — #7 i i i i i i Lovro Dretnik, Marica Kamplet, Boštjan Kuzman, Bela Szomi, Soraya Sternad in Jasmina Žel prejemniki priznanj DMFA Slovenije za leto 2023 šnic: Prva, druga in tretja čarovnǐska matematika, Svet matematičnih čudes (vertikala za devetletko), Naša ulica – matematika, učbenike Matematika za gimnazije (1–4) in Zbirke nalog za matematiko za gimnazije (1–4), prav tako pa učbenike in zbirke nalog za matematiko za srednje strokovne šole. Večina izmed naštetih se ponatiskuje še danes. Prispevala je tudi pomemben delež pri iskanju tehničnih rešitev za oblikovanje interaktivnih učbenikov in se zavzela za posredovanje gradiv centru IRIS, ki je na podlagi teh gradiv od 2020 do 2022 izdal štiri matematične zbirke za slepe. Matematično širino in razgledanost je dokazala ter uspešno predajala z urejanjem pestrega nabora učnih gradiv za šolarje vseh starosti in standardov, od šest do osemnajst let. Soraya Sternad je matematiko znala prežeti z življenjem, iskrivostjo in humorjem, za kar so ji hvaležni tako na založbi kot učitelji in učenci ter dijaki. Jasmina Žel, učiteljica matematike in fizike na OŠ Ljudski vrt na Ptuju, za uspešno pe- dagoško delo z nadarjenimi, posebej pri fi- ziki in astronomiji. Jasmina Žel je leta 2003 diplomirala iz matematike in fizike na Pedagoški fakulteti v Mariboru. Že 18 let je zaposlena na OŠ Ljudski vrt, kjer poučuje matematiko, fi- ziko in izbirni predmet astronomija, vodi različne interesne dejavnosti in aktivno so- deluje v številnih projektih. Na šoli posebej uspešno dela kot članica skupine za delo z nadarjenimi učenci. Zanje organizira delavnice in opazovanja s podro- čja fizike in astronomije, jih vodi na razi- skovalne poti v okviru sobotnih šol, večkrat je bila tudi mentorica raziskovalnih nalog, ki so bile uspešne na državnih tekmovanjih. Na državnih tekmovanjih iz znanja so njene učenke in učenci osvojili številna priznanja, še posebej pa so izstopali pri fiziki in astronomiji, kjer so osvojili okoli 40 zlatih priznanj in večkrat posegali po najvǐsjih me- stih v državi, na mednarodni astronomski Sanktpeterburški olimpijadi pa je eden od učencev osvojil celo bronasto medaljo. Ves čas se strokovno izobražuje na konferencah, seminarjih in študij- skih srečanjih. Sodelovala je tudi v projektnih skupinah v okviru ZRSŠ, pri mednarodnih raziskavah TIMSS in PIRLS ter pri projektih 3DIPHe in STAMPED v okviru projekta Erasmus+. Gospa Jasmina Žel s svojimi inovativnimi pristopi k poučevanju navdušuje in motivira k poglobljenemu razmǐsljanju ter iskanju rešitev zunaj okvira pričakovanega. Svoje delo opra- vlja načrtno, skrbno in odgovorno ter s posluhom do drugačnosti, s čimer Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 107 i i “Porocilo-OZ” — 2023/12/25 — 13:55 — page 108 — #8 i i i i i i Vesti med svojimi sodelavci ustvarja umirjeno, k ciljem usmerjeno in prijetno so- delovalno vzdušje. Komisija se zahvaljuje vsem, ki so poslali predloge, in tudi v prihodnje vabi širše članstvo k predlaganju kandidatov in kandidatk, ki s kvalitetnim pedagoškim in strokovnim delom izstopajo v svojem okolju. Komisija za društvena priznanja 2023–2024: dr. Primož Potočnik (pred- sednik), dr. Nežka Mramor Kosta, dr. Andreja Gomboc Nežka Mramor Kosta imenovana za novo častno članico DMFA Slovenije Po statutu DMFA Slovenije lahko Občni zbor imenuje za svoje častne članice in člane osebe, katerih strokovno ali pedagoško delo pomeni pomem- ben prispevek k razvoju matematičnih, fizikalnih ali astronomskih ved v Sloveniji ali k razvoju Društva. Prvi častni član društva DMFA Slovenije je tako že leta 1949 postal akademik prof. dr. Josip Plemelj, doslej pa je bilo imenovanih 40 častnih članov in članic. Občni zbor DMFA Slovenije, ki je potekal 15. septembra 2023 v Festi- valni dvorani na Bledu, je za novo častno članico imenoval zasl. prof. dr. Nežko Mramor Kosta, zaradi njenega vrhunskega znanstvenega in pedago- škega dela visokošolske učiteljice za matematiko na Univerzi v Ljubljani, za njene številne prispevke k promociji znanosti in uveljavljanju žensk na področju matematike in naravoslovja, in za izjemno uspešno opravljanje funkcije predsednice DMFA Slovenije v letih 2020–2022. Neža Mramor Kosta je bila rojena leta 1954 v Ljubljani. Po uspešnem študiju tehnične matematike in magistrskem študiju raziskovalne matema- tike je leta 1989 doktorirala na Oddelku za matematiko in mehaniko tedanje Fakultete za naravoslovje in tehnologijo Univerze v Ljubljani pod mentor- stvom prof. dr. Jožeta Vrabca in prof. dr. Jana Jaworowskega z Indiana University v ZDA. 108 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 i i “Porocilo-OZ” — 2023/12/25 — 13:55 — page 109 — #9 i i i i i i Nežka Mramor Kosta imenovana za novo častno članico DMFA Slovenije Po diplomi se je leta 1977 najprej zaposlila kot raziskovalka na Institutu »Jožef Stefan«. Od leta 1980 do upokojitve leta 2018 je bila zaposlena na Univerzi v Ljubljani, najprej kot asistentka in docentka na tedanji Fakulteti za elektrotehniko in računalnǐstvo, od leta 1996 pa na novonastali Fakulteti za računalnǐstvo in informatiko, najprej kot docentka, od leta 2002 kot iz- redna in od leta 2009 kot redna profesorica. Ves čas je sodelovala tudi na Inštitutu za matematiko, fiziko in mehanikov Ljubljani. V študijskih letih 1984/85 in 1991/92 je bila na dalǰsih gostovanjih na Indiana University v Bloomingtonu, ZDA. Njeno glavno raziskovalno področje je algebraična in računska topolo- gija, kjer je objavila okoli 20 izvirnih znanstvenih člankov. Je tudi soavtorica dveh univerzitetnih učbenikov, več zbirk vaj in nekaj strokovnih in poljudnih prispevkov. Rezultate svojega dela je redno predstavljala na mednarodnih znanstvenih konferencah in vabljenih predavanjih na tujih raziskovalnih in- stitucijah. Bila je mentorica štirim doktorandom (dvema na Univerzi v Ljubljani, enemu na Univerzi v Košicah, Slovaška in enemu na Univerzi v Ankari, Turčija). Prof. dr. Neža Mramor Kosta je na Fakulteti za računalnǐstvo in informa- tiko dolga leta vodila Laboratorij za matematične metode v računalnǐstvu in informatiki, bila več let predstojnica Katedre za matematiko in splo- šne predmete ter 4 leta delovala kot prodekanja za pedagoške zadeve. Na Univerzi v Ljubljani je sodelovala kot članica komisije za magistrski študij ter področne komisije za Prešernove nagrade. Zaradi pomembnih prispev- kov k razvoju Fakultete za računalnǐstvo in informatiko, njenega uspešnega delovanja znotraj Univerze v Ljubljani je bila leta 2019 izvoljena v naziv zaslužne profesorice na Univerzi v Ljubljani. Posebej bi izpostavili vlogo, ki jo ima prof. dr. Neža Mramor Kosta med slovenskimi matematičarkami. Je prva redna profesorica za matematiko na Univerzi v Ljubljani. Nekaj let je bila nacionalna koordinatorka za Slove- nijo pri društvu European Women in Mathematics in zelo dejavna članica Odbora za ženske pri DMFA Slovenija. Njen portret je vključen v odmevno razstavo »Women of mathematics throughout Europe – A gallery of portra- its« (http://womeninmath.net/), ki je obiskala že več kot 130 krajev po vsem svetu. Prof. dr. Neža Mramor Kosta je tako številnim vzor in navdih, da tudi ženske lahko kljub skrbi za družino uspešno delujejo na raziskoval- nem področju matematike. V letih od 2020–2022 je bila prof. dr. Neža Mramor Kosta predsednica DMFA Slovenije. Svojo funkcijo je nastopila v težavnem koronskem obdo- bju, ko je bila okrnjena izvedba tekmovanj in s tem financiranje delovanja društva. S skrbnim vodenjem ji je uspelo ohraniti osnovno poslanstvo dru- štva in je aktivno sodelovala pri vpeljavi novih dejavnosti, kot sta na primer tekmovanje RIS in spletni natečaj Matematični dan. Veliko energije je vlo- žila v urejanje odnosov med različnimi akterji društva kot tudi v urejanje Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 109 i i “Porocilo-OZ” — 2023/12/25 — 13:55 — page 110 — #10 i i i i i i Vesti razmerij z ugašajočim DMFA–založnǐstvom ter novonastalo Založbo FMF, predvsem glede izdajanja Preseka in Obzornika. Ponosni na novo častno članico dr. Nežki Mramor Kosta iskreno česti- tamo in si želimo še veliko uspešnega sodelovanja pri društvenih aktivnostih! Konferenca slovenskih matematikov ob 150. obletnici rojstva Josipa Plemlja odlično uspela V Festivalni dvorani na Bledu je 15. in 16. septembra 2023 potekala dvo- dnevna konferenca slovenskih matematikov. Konferenca je imela tri sklope – plenarni minisimpozij, posvečen Josipu Plemlju, raziskovalni del s pred- stavitvami znanstvenih prispevkov matematikov iz različnih ustanov, ter pedagoški del, posvečen predstavitvam učiteljev matematike in fizike na različnih stopnjah poučevanja. Slika 1. Akad. prof. dr. Peter Štih, predsednik SAZU. Minisimpozij, posvečen 150. obletnici rojstva akad. prof. dr. Josipa Ple- mlja, je s svojo prisotnostjo počastila vrsta uglednih gostov, predstavnikov matematičnih oddelkov različnih fakultet in inštitutov. Slavnostne nagovore so pripravili akad. prof. dr. Peter Štih, predsednik SAZU, prof. dr. Gregor Majdič, rektor UL in g. Anton Mežan, blejski župan, med prisotnimi poslu- šalci pa so bili poleg predsednika DMFA Slovenije dr. Primoža Potočnika tudi akademika prof. dr. Josip Globevnik in prof. dr. Franci Forstnerič ter takratni dekan UL FMF prof. dr. Tomaž Košir. V okviru minisimpozija so predavali dr. Boštjan Kuzman (Prof. Josip Plemelj – življenjska zgodba izjemnega človeka), dr. Milan Hladnik (Pro- 110 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 i i “Porocilo-OZ” — 2023/12/25 — 13:55 — page 111 — #11 i i i i i i Konferenca slovenskih matematikov ob 150. obletnici rojstva Josipa Plemlja odlično uspela Slika 2. Prof. dr. Gregor Majdič, rektor Univerze v Ljubljani. Slika 3. Življenjsko zgodbo prof. Plemlja je predstavil dr. Boštjan Kuzman. fesor Plemelj in reševanje Hilbertovega 21. problema) in dr. Željko Oset (Intelektualna mreža akad. dr. Josipa Plemlja). V raziskovalnem delu kon- ference so prispevke o svojem znanstvenem delu v živo predstavili Boštjan Lemež, Katja Berčič, Aleksey Kostenko, Ada Šadl Praprotnik, Ganna Ku- dryavtsova, Pavle Saksida in Ljupčo Todorovski (vsi UL FMF), Nino Bašič, Nastja Cepak (UP FAMNIT), Janko Gravner (UC DAVIS in IAM), Martin Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 111 i i “Porocilo-OZ” — 2023/12/25 — 13:55 — page 112 — #12 i i i i i i Vesti Slika 4. Dr. Milan Hladnik je predstavil zahtevno matematično ozadje Plemljeve rešitve Riemannovega problema. Jesenko (UL FGG), Primož Lukšič (ABELIUM), Bor Harej (PRS), v pe- dagoškem delu pa Martin Raič, Matija Lokar (oba UL FMF), Aleš Toman (UL EF) ter Miha Simončič, Tinka Majaron, Primož Trontelj, Aljoša Berk, Tjaša Černoša, Ambrož Demšar, Nataša Jerman, Danijela Gerkšič Blatnik in Renata Babič, zaposleni na različnih slovenskih osnovnih in srednjih šo- lah. Vsebinsko izjemno bogat program konference je pripravila predsednica Odbora za matematiko dr. Jasna Prezelj, izvedbo konference pa so podprli: • Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko, • Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in inf. tehnologije • Slovenska akademija znanosti in umetnosti • Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko • Zavarovalnica Triglav • Abelium Vsem se iskreno zahvaljujemo! Boštjan Kuzman 112 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 i i “Sivic” — 2023/12/25 — 10:02 — page 113 — #1 i i i i i i NOVE KNJIGE Matej Brešar, Undergraduate algebra – a unified approach, Springer un- dergraduate mathematics series, Springer, Cham, 2019, 316 strani Tradicionalno se pri pouku abstraktne algebre najprej obravnavajo grupe, nato kolobarji, moduli in polja. Pri tem se pri vseh strukturah obravnavajo podstruk- ture, homomorfizmi in (razen pri poljih) kvocientne strukture. Nekateri rezultati, na primer izreki o izomorfizmih, se pri vsaki od struktur ponavljajo. Ker gre za konceptualne rezultate, se tudi do- kazi vsebinsko ponavljajo. Predavatelj je tako postavljen pred neprijetno izbiro: izreke vedno dokazati ali pa pri kasnej- ših rezultatih zgolj navesti, da je dokaz podoben kot pri ustreznem rezultatu za prej obravnavano strukturo. Vsaka od obeh možnosti ima svoje slabe strani. Dokazovanje izrekov, ki so analogni že dokazanim, terja čas, ki ga zato morda zmanjka za kakšno drugo snov, poleg tega pa vsaj pri bolǰsih študentih vzbuja vtis, da se snov preveč ponavlja. V primeru sklicevanja na podob- nost dokaza pri že obravnavani strukturi pa se je treba zavedati, da so študenti to strukturo lahko obravnavali več mesecev nazaj in snov zato ni več sveža. V izogib zgoraj navedenim dilemam profesor Brešar na Fakulteti za ma- tematiko in fiziko Univerze v Ljubljani predmet Algebra 2 predava v drugač- nem vrstnem redu. Najprej za vse algebraične strukture hkrati obravnava koncepte, ki so skupni vsem strukturam, v drugem delu predmeta pa na- tančneje izpostavi rezultate, ki so specifični za posamezne strukture. Za svoje študente je napisal učbenik Uvod v algebro, ki je leta 2018 izšel pri DMFA – založnǐstvo. Pričujoča knjiga Undergraduate algebra – a unified approach je razširjen prevod slovenskega učbenika. Med drugim so v njej dodane vsebine, ki so zaradi omejenega števila ur pri Algebri 2 na FMF z leti izpadle iz učnega načrta, marsikje v tujini pa so del standardne snovi, ki se obravnava pri abstraktni algebri. Na FMF lahko študent spozna te vsebine pri izbirnem predmetu Algebra 3. Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 113 i i “Sivic” — 2023/12/25 — 10:02 — page 114 — #2 i i i i i i Nove knjige Knjiga Undergraduate algebra – a unified approach je sestavljena iz dveh delov. Prvi del, ki ima naslov The language of algebra, vsebuje štiri po- glavja, drugi del z naslovom Algebra in action pa tri. V prvem delu avtor vpelje osnovne algebraične strukture ter razloži koncepte, ki so skupni vsem strukturam, v drugem delu pa natančneje obravnava grupe, kolobarje in razširitve polj. Učbenik je napisan zelo razumljivo in bo v pomoč mar- sikateremu študentu pri študiju abstraktne algebre, ne glede na to, ali jo predavatelj predava v vrstnem redu, kot je naveden v knjigi, ali na tradi- cionalen način. Vsi koncepti so ponazorjeni s številnimi primeri, prav tako vsak razdelek vsebuje precej nalog za reševanje. V prvem poglavju avtor vpelje osnovne algebraične strukture, s poudar- kom na grupah, kolobarjih, poljih, vektorskih prostorih in algebrah. Za vse te strukture nato definira podstrukture, opǐse, kaj so generatorji posame- zne strukture, ter (razen za polja) definira direktne produkte. Že v prvem poglavju je navedenih precej zgledov algebraičnih struktur, pomembneǰsi primeri pa so natančneje obravnavani v drugem poglavju. Med zgledi ko- mutativnih kolobarjev so obravnavani kolobar celih števil ter kolobar ostan- kov Zn pri deljenju z n, kolobar funkcij ter kolobarji polinomov v eni in več spremenljivkah. Pomembna rezultata v celih številih sta osnovni izrek o deljenju in Evklidov algoritem. Avtor dokaže tudi, da je Zn polje natanko takrat, ko je n praštevilo. Od grup so obravnavane simetrična grupa Sn vseh permutacij na n elementih, diedrska grupa ter matrične grupe: splošna in posebna linearna grupa, ortogonalna grupa, unitarna grupa in simplek- tična grupa. Pri permutacijah sta izpeljana razcepa na produkt disjunktnih ciklov in na produkt transpozicij. Dokazana je enoličnost parnosti števila transpozicij v razcepu, s pomočjo česar je definiran znak permutacije. Avtor tudi pokaže, da sode permutacije tvorijo grupo, ki jo imenujemo alternira- joča grupa. Poglavje o primerih se zaključi s kvaternioni, ki so za študente prvi (in pogosto tudi edini) primer nekomutativnega obsega. Tretje poglavje je posvečeno homomorfizmom. To so preslikave, ki »ohra- njajo operacijo«. Vpeljavo pojma homomorfizma avtor motivira z izomor- fizmom vektorskih prostorov, ki ga študenti že poznajo iz linearne algebre, in izomorfizmom končnih grup, ki ga neformalno razloži s preimenovanjem ele- mentov v tabeli množenja. Hkrati vpelje tudi pojem ciklične grupe in reda elementa v grupi. Sledi formalna definicija homomorfizmov vseh obravna- vanih algebraičnih struktur. Avtor na enoten način definira sliko in jedro homomorfizma ter pokaže, da je injektivnost homomorfizma ekvivalentna trivialnosti njegovega jedra. V nadaljevanju so obravnavani izreki o vlo- žitvah. Algebraične strukture so pogosto definirane abstraktno, za lažjo 114 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 i i “Sivic” — 2023/12/25 — 10:02 — page 115 — #3 i i i i i i Undergraduate algebra – a unified approach predstavo in računanje z njimi pa je ugodneje, kadar jih prepoznamo kot podobjekte v konkretnih objektih. Da je to vedno mogoče, nam povedo izreki o vložitvah. Vsako končno grupo je mogoče po Cayleyjevem izreku vložiti v permutacijsko grupo, vsaka končnorazsežna algebra nad poljem pa je izomorfna neki matrični algebri. Sledita razdelka o polju ulomkov celega komutativnega kolobarja in o karakteristiki kolobarja. V četrtem poglavju avtor predstavi kvocientne strukture. Najprej de- finira odseke po podgrupi in dokaže Lagrangeev izrek, ki pravi, da je moč končne grupe enaka produktu moči podgrupe in indeksu te podgrupe v grupi. Nato bralcu predstavi, da bi na kvocientni množici vseh odsekov radi definirali operacijo na naraven način kot aN · bN = (ab)N . Zato definira podgrupo edinko in pokaže, da je v primeru, ko je N podgrupa edinka, na- vedena operacija dobro definirana in da je kvocientna množica grupa za to operacijo. Enako avtor stori v primeru kolobarjev in algeber, kjer ima vlogo podstrukture, po kateri je mogoče definirati kvocientno strukturo, ideal. Prava moč avtorjevega enotnega pristopa k algebraičnim strukturam se po- kaže pri izrekih o izomorfizmih. Prvi izrek o izomorfizmu je formuliran tako za grupe kot za kolobarje, vektorske prostore in algebre. Avtor najprej ute- melji, da je jedro homomorfizma ϕ:A→ A′ podgrupa edinka, ideal oziroma vektorski podprostor, zato je vselej mogoče definirati kvocientno strukturo A/ kerϕ. Nato v primeru grup pokaže, da je kvocientna grupa izomorfna sliki homomorfizma ϕ, dokaz za druge strukture pa je povsem enak, le nota- cija se spremeni. Drugi in tretji izrek o izomorfizmu (znana tudi kot izreka Emmy Noether) sta zaradi različnih notacij predstavljena za vsako struk- turo posebej, navedena sta ključna koraka dokazov, detajle dokazov pa avtor prepušča bralcu. Poglavje se konča z »notranjima« definicijama direktnega produkta grup in kolobarjev. Poglavja o grupah, kolobarjih in razširitvah polj v drugem delu knjige so precej razširjena glede na slovenski učbenik Uvod v algebro. Poglavju o kolobarjih je dodana obravnava modulov ter klasifikacija končno generiranih modulov nad glavnimi kolobarji, poglavju o grupah izreki Sylowa in kraǰsa obravnava rešljivih ter enostavnih grup, poglavju o razširitvah polj pa polja s karakteristiko 0, Galoisova teorija, rešljivost polinomskih enačb z radikali ter osnovni izrek algebre. Glede na slovensko knjigo Uvod v algebro bralec v pričujoči knjigi opazi tudi spremenjen vrstni red poglavij o kolobarjih in grupah. Vzrok za zamenjavo poglavij je naslednji: V knjigi Uvod v algebro je v poglavju o grupah predstavljena klasifikacija končnih Abelovih grup. S skoraj povsem enakim dokazom pa je mogoče izpeljati splošneǰsi rezultat, namreč klasifikacijo končno generiranih torzijskih modulov nad glavnimi ko- Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 115 i i “Sivic” — 2023/12/25 — 10:02 — page 116 — #4 i i i i i i Nove knjige lobarji. Klasifikacija končnih Abelovih grup potem sledi kot poseben primer, če za kolobar vzamemo cela števila. Poleg tega je splošneǰsi rezultat upora- ben tudi na drugih področjih, na primer za izpeljavo Jordanove kanonične forme matrike. Za dokaz splošneǰsega izreka pa je seveda treba vpeljati ne- katere pojme, povezane s kolobarji in moduli, zato sta poglavji o grupah in kolobarjih zamenjani. V petem poglavju se avtor torej ukvarja s komutativnimi kolobarji. V kolobarju polinomov v eni spremenljivki nad poljem dokaže osnovni izrek o deljenju in obravnava (ne)razcepnost polinomov. V primeru polinomov nad racionalnimi števili sta pomembna predvsem Gaussova lema in Eisensteinov kriterij. Nato avtor vpelje pojme, povezane z deljivostjo, v poljubnem ko- mutativnem kolobarju, ter obravnava evklidske kolobarje, glavne kolobarje in kolobarje z enolično faktorizacijo. Evklidski kolobar je hkratna posplo- šitev celih števil in polinomov v eni spremenljivki nad poljem. To je ko- mutativen kolobar brez deliteljev niča, v katerem velja analog Evklidovega algoritma. Glavni kolobar pa je komutativen kolobar brez deliteljev niča, v katerem je vsak ideal glavni, torej generiran z enim elementom. Avtor pokaže, da je vsak evklidski kolobar glavni, vsak glavni kolobar pa ima eno- lično faktorizacijo, kar pomeni, da je mogoče vsak njegov element napisati kot produkt nerazcepnih elementov na enoličen način. Preostanek petega poglavja obravnava module. Najprej so definirani moduli nad poljubnim ko- lobarjem, podmoduli, homomorfizmi modulov, kvocienti, direktni produkti in generatorji modulov, nato pa so natančneje obravnavani moduli nad glav- nimi kolobarji. Avtor najprej formulira izrek, ki klasificira končne Abelove grupe. Nato razloži, da bo ta izrek sledil iz bolj splošnega izreka o klasi- fikaciji končno generiranih torzijskih modulov nad glavnimi kolobarji in da direktni dokaz klasifikacije Abelovih grup ni nič kraǰsi. Za bralca, ki ni vešč dela z moduli, tudi razloži, kako naj dokaz izreka o klasifikaciji končno gene- riranih torzijskih modulov nad glavnimi kolobarji prevede na primer Abelo- vih grup. Nato je izrek o klasifikaciji končno generiranih torzijskih modulih nad glavnimi kolobarji formuliran in dokazan. Sledi uporaba tega izreka pri izpeljavi Jordanove kanonične forme za linearno preslikavo T :V → V , kjer je V končnorazsežen vektorski prostor nad algebraično zaprtim poljem F . Ključni korak je, da na vektorskem prostoru V definiramo strukturo modula nad polinomskim kolobarjem F [X] s predpisom p(X).v = p(T )(v). Modul, ki ga dobimo, je končno generiran in torzijski, za kolobar F [X] pa že vemo, da je glavni, zato lahko uporabimo prej dokazani izrek. Šesto poglavje natančneje obravnava končne grupe. Avtor izpelje razre- dno formulo in dokaže Cauchyjev izrek, ki pove, da končna grupa, katere 116 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 i i “Sivic” — 2023/12/25 — 10:02 — page 117 — #5 i i i i i i Undergraduate algebra – a unified approach moč je deljiva s praštevilom p, vsebuje element reda p. Nato definira de- lovanje grupe, vpelje pojma orbite in stabilizatorja ter dokaže zvezo med njima. S pomočjo delovanj nato dokaže izreke Sylowa o podgrupah moči pk v dani grupi. Sledita kraǰsa razdelka o rešljivih grupah in o enostavnih grupah. Glavna rezultata, ki bosta pomembna pri razširitvah polj, sta, da je alternirajoča grupa A5 enostavna, ter da simetrična grupa Sn ni rešljiva za n ≥ 5. Sedmo poglavje govori o razširitvi polj. Začne se z opisom problema reševanja polinomskih enačb, ki je zgodovinska motivacija za študij raz- širitev polj. Nato avtor vpelje algebraične in transcendentne elemente in natančneje obravnava končne razširitve polj. Dokaže tudi, da je mogoče z ravnilom in šestilom konstruirati le tiste točke v ravnini, katerih obe koor- dinati sta algebraični števili, katerih stopnji sta potenci števila 2. Naslednja tema poglavja so razpadna polja. Za dani polinom s koeficienti iz polja vedno obstaja (morda večje) polje, v katerem ima polinom ničlo. To polje je kvocient polinomskega kolobarja po maksimalnem idealu, generiranem z nerazcepnim deliteljem danega polinoma. Induktivna uporaba tega ar- gumenta pove, da ima vsak polinom s koeficienti iz polja svoje razpadno polje, torej najmanǰse polje, nad katerim polinom lahko zapǐsemo kot pro- dukt linearnih faktorjev. Sledi obravnava končnih polj. Ta so praštevilske karakteristike, zato je njihova moč oblike pn, kjer je p praštevilo in n ∈ N. Glavni rezultat o končnih poljih je obrat zadnje trditve, torej da za vsako praštevilo p in vsako naravno število n obstaja do izomorfizma natančno določeno polje s pn elementi, ki je razpadno polje polinoma Xp n − X nad Zp. V nadaljevanju so obravnavana polja s karakteristiko 0. Za njih velja izrek o primitivnem elementu, ki pravi, da je vsaka njihova končna razširitev generirana z enim samim elementom. Avtor nato vpelje definicije fiksnega polja, Galoisove razširitve in Galoisove grupe ter dokaže Osnovni izrek Ga- loisove teorije, ki pravi, da obstaja bijekcija med vmesnimi polji razširitve in podgrupami Galoisove grupe. Iz Galoisove teorije sledi tudi, da je Galoisova grupa polinoma, ki je rešljiv z radikali, vedno rešljiva. Ker simetrična grupa Sn ni rešljiva za n ≥ 5, sledi Abel-Ruffinijev izrek, ki pravi, da obstajajo polinomi pete stopnje v Q[X], ki niso rešljivi z radikali, torej taki, katerih ničel ne moremo izraziti s formulami, ki vsebujejo le seštevanje, odšteva- nje, množenje, deljenje in uporabo poljubnih korenov. Knjiga se zaključi z dokazom osnovnega izreka algebre, ki pravi, da je polje kompleksnih števil algebraično zaprto. Klemen Šivic Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 117 i i “Legisa” — 2023/12/25 — 10:03 — page 118 — #1 i i i i i i Nove knjige Kit Yates, How to Expect the Unexpected, The Science of Making Pre- dictions and the Art of Knowing When Not To, Quercus Editions, London 2023, 434 strani Matematik Kit Yates je avtor odlične knjige The Maths of Life and Death, Why Maths Is (Almost) Everything, ki jo imamo zdaj tudi v slovenskem prevodu: Matematika med življenjem in smrtjo. Tu predstavljamo njegovo obsežno drugo knjižno delo. Avtor pravi, da je izšlo z zakasnitvijo zaradi dela v svetovalnem telesu med zadnjo pandemijo. Knjiga obravnava napovedovanje: uspehe, neuspehe, probleme. Vsebuje ogromno zanimivih zgodb. Namenjena je širši publiki, zato ne vsebuje formul. Je prijetno branje. Veliko poudarka je na šibkih straneh človeškega razmǐsljanja. Iščemo vzorce, kjer jih ni, tudi zato, ker imamo napačno predstavo o slučajnih vzorcih. Naše slabosti izkorǐsčajo razni vedeževalci in »vidci«. Yates podrobno razčlenjuje njihove trike. Vedeževalci, klicatelji duhov preminulih itd. radi delajo komplimente in pohvalijo »izredne sposobnosti« klienta. Ta potem lažje spregleda napačne napovedi. Uporabnik na Twitterju, skrit za psevdonimom, je leta 2014 povzel štiri napovedi o končani finalni nogometni tekmi med Nemčijo in Argentino, ki jih je naredil dan pred tekmo in so se izkazale kot točne: »Izid bo 1:0. Nemci bodo zmagali v podalǰsku. Gol bo v drugi polovici podalǰska. Strelec bo Götze.« K povzetku je dodal čuden stavek: »Dokaži, da je FIFA skorumpirana.« Profesor Yates sam je naredil nekaj podobnega: izbral je pet dogodkov 118 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 i i “Legisa” — 2023/12/25 — 10:03 — page 119 — #2 i i i i i i How to Expect the Unexpected, The Science of Making Predictions and the Art of Knowing When Not To z binarnim izidom: zmaga/poraz (šport, volitve . . . ). Stavil je po 10 funtov na vseh 32 možnih izidov. Na svojem malo obiskanem YouTube kanalu je objavil 32 videov in na njih vsakič pokazal 5 različnih izborov stavnih listkov. Po vsaki tekmi je takoj izbrisal neustrezne posnetke. Na Twitterju se je na koncu pohvalil kot nezmotljivi napovedovalec, s povezavo na edini preostali posnetek in užil nekaj (nezaslužene?) slave. Prej omenjenega jasnovidnega nogometnega strokovnjaka in preganjalca korupcije pa je razkrinkal uporabnik, ki je shranil posnetke zaslona z njego- vimi napačnimi napovedmi. Upravljavci finančnih skladov sestavijo množico novih skladov – kombi- nacij, ki jih ne oglašujejo in v katere vložijo nekaj malega lastnega denarja. Po nekaj letih neuspešne sklade potihem likvidirajo in se pohvalijo z rezul- tati uspešnih kombinacij. Ne znamo napovedovati potresov. Na danem področju in v danem ča- sovnem intervalu pa kar dobro velja zakon, da je v danem časovnem obdobju približno N = 10A−bM potresov magnitude vsaj M . Na potresno aktivnih področjih je b približno 1. Tam je približno 10-krat toliko potresov magni- tude ≥ M kot potresov magnitude ≥ M + 1 in stokrat toliko kot potresov magnitude ≥ M +2 . . . Na podlagi zgodovinskih podatkov lahko tudi pred- vidimo, kako trdne stavbe moramo graditi, da zagotovimo osnovno varnost. Nagnjeni smo k temu, da ob naraščanju predvidevamo linearno odvi- snost. Pri zadnji epidemiji se je to izkazalo kot usodna napaka. Razdelek Izrojene spodbude v poglavju Lovljenje bumerangov razlaga, kako je vlada ZDA v letih od 1869 financirala gradnjo železnice čez celino. Naročilo sta dobili dve podjetji. Eno je gradilo z zahodnega konca, drugo z vzhodnega. Plačani sta bili po milji položenih tirov. Tako se je podjetjema bolj splačalo izbirati dalǰse in lažje variante proge. Prav tako je podjetje, ki je gradilo hitreje, odvzelo delo drugemu. To je spodbujalo hitro in malo- marno gradnjo. Na koncu je to pomenilo številne popravke in velike dodatne stroške za gradnjo kraǰsih povezav. Poglavje Izogibanje sneženim kepam opisuje učinek po hribu valeče se snežene kepe. Oglejmo si primer. Vǐsanje temperature pomeni taljenje ledenega pokrova na polih. Namesto slepeče bele površine, ki odbija svetlobo in toploto, imamo zdaj temno morje, ki absorbira skoraj vso sončno toploto in tako še pospeši taljenje. To je primer pozitivne povratne zanke. Včasih imamo tudi negativno povratno zanko, ki uravnovesi dogajanje. Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 119 i i “Legisa” — 2023/12/25 — 10:03 — page 120 — #3 i i i i i i Nove knjige Tragedija gmajne pomeni uničenje skupne dobrine zaradi pretiranega iz- korǐsčanja. Morje pri Novi Funlandiji je bilo stoletja na videz neizčrpen vir trsk. (Polenovka ali bakalar je posušena trska.) Ulov je nenehno naraščal in je leta 1968 dosegel rekordnih 810 tisoč ton. K temu je treba prǐsteti ogro- mno količino ulovljenih drugih manj zaželenih ali nezaželenih, a za ekosistem pomembnih rib. Veliko ulova je bilo narejenega s kočarjenjem, vlečenjem obtežene mreže po morskem dnu. Tako so polovili tudi rake, mehkužce in pustili za sabo na tleh razdejanje. Pet let kasneje je ulov padel na pol. Kanadska vlada je nato pod pritiskom lastnih ribičev omejila dostop tujcem v pasu do 200 milj od obale. Znanstveniki so rotili vlado, naj uveljavi nizke kvote ulova, da si bodo trske opomogle. Namesto tega so kanadski ribiči dobili subvencije za gradnjo ogromnih ladij. Leta 1991 je bilo ujetih le še 130 tisoč ton. Za naslednje leto je bila določena kvota 180 tisoč ton! A ulova ni bilo, ker je prǐslo do propada populacije trsk. Še isto poletje (1992) so morali sprejeti dveletni moratorij na lov trsk. (Yates napačno navaja kot začetek kolapsa leto 1994.) Število trsk so ocenili na en odstotek tistega pred tridesetimi leti. Delo je izgubilo 40 tisoč ljudi. Populacija trsk si do danes ni zares opomogla, a politiki dovoljujejo manǰsi ulov, brž ko se zdi, da se populacija popravlja. Enako kratkovidno se obnaša Evropska skupnost. Ribiči so dobivali subvencije kljub slabemu stanju populacij rib. Ko so pred leti skušali v EU prepovedati kočarjenje, je bil med tistimi, ki so to preprečili, tudi slovenski predstavnik. Na koncu omenimo še, da je skeptični profesor Yates sam nasedel, ko je na strani 9 napisal: »Šele pozno v srednjem veku je podoba Zemlje kot krogle postala prevladujoča teorija. Ko je Kolumb odplul v Azijo leta 1492 . . . , so nekateri še zmeraj verjeli, da bi ga lahko odneslo z roba sveta. Šele ko je portugalski raziskovalec Magellan prvič obplul Zemljo trideset let kasneje, je bilo to dokončno razčǐsčeno.« To so miti, ki prvotno izvirajo iz protikatolǐske propagande – predvsem protestantskih krogov. Thomas Jefferson, eden od očetov Amerǐske revolu- cije, je [2] leta 1784 v knjigi zapisal: »Galileo je bil poslan pred inkvizicijo, ker je trdil, da je Zemlja krogla: vlada je razglasila, da je ravna kot pladenj, in Galileo se je moral odpovedati svoji napaki.« Galileov proces je bil leta 1633, preživeli Magellanove odprave pa so se vrnili v Španijo leta 1522 . . . 120 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 i i “Legisa” — 2023/12/25 — 10:03 — page 121 — #4 i i i i i i How to Expect the Unexpected, The Science of Making Predictions and the Art of Knowing When Not To Amerǐski pisatelj Washington Irving je bil znan po več literarnih in zgo- dovinskih potegavščinah. Španska vlada ga je povabila, da prevede stare dokumente o odkritju Amerike. Dobil je dostop do arhivov, a je to uporabil le za lastne namene. Iz tega je nastala njegova daleč najuspešneǰsa potegav- ščina, objavljena v romanu A History of the Life and Voyages of Christo- pher Columbus (1828). V njem govori o posvetu na univerzi v Salamanki, ki naj bi presojal Kolumbov predlog potovanja na Japonsko v zahodni smeri. Zadrti teologi in nekateri profesorji iz duhovnǐskih vrst naj bi oporekali Kri- štofu Kolumbu z navedbami iz verske literature, češ da obstajajo dvomi o Zemlji kot krogli itd. Irving je to opremil celo z navedbo vira, ki naj bi bil Hist. De Chiapa, por. Remesal. Irving je že vedel, zakaj ni napisal polnega naslova knjige, ki je [1]: Antonio de Remesal, Historia de la Provincia de S. Vicente de Chiapa y Guatemala . . . Že na prvi pogled je skrajno never- jetno, da bi zgodovina province v Gvatemali, izdana leta 1619, delo klerika Remesala, vsebovala kaj takega. V prvi izdaji je Irving celo preciziral, na katere dele te knjige naj bi se naslonil: lib ii, cap. 27 (Libro Segundo ima žal le 23 poglavij) in lib xi, cap. 7 (kjer ni videti nič podobnega). V prepisu skoraj 800 strani debelega »špeha«, ki začne obravnavo šele z letom 1524(!), sem iskal priimek Colon (špansko ime za Kolumba). Bilo je več zadetkov o »admiralu Krǐstofu Kolumbu« (admiral je seveda postal šele po odkritju Amerike), a nič, kar bi bilo od daleč podobno Irvingovim fantazijam. Resnica je, da je Kolumb močno podcenil razdaljo do Japonske in da so mu geografi, tudi cerkveni, to očitali. Irvingova »odkritja« so v devetnajstem stoletju še »olepšali« in prikazali kot konflikt med znanostjo in religijo. Agitpropovska zgodba o tem, da je Kolumb »zmagal proti nazadnjaški Cerkvi in ji dokazal, da je Zemlja okrogla«, se je trdno zasidrala v literaturi, učbenikih, umetnǐskih delih . . . LITERATURA [1] F. A. de Remesal, Historia de la Provincia de S. Vicente de Chiapa y Guatemala de la orden de ñro glorioso padre Sancto Domingo: escribense juntamente los principios de las demas provincias de esta religion de las Indias Occidentales, y lo secular de la gobernacion de Guatemala, Francisco de Angulo 1619, dostopno na https: //archive.org/details/historiadelaprov00reme, ogled 10. 12. 2023. [2] Myth of the flat Earth, dostopno na https://en.wikipedia.org/wiki/Myth_of_ the_flat_Earth, ogled 10. 12. 2023. Peter Legǐsa Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 3 XI OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, NOVEMBER 2023 Letnik 70, številka 3 ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53 VSEBINA Članki Strani Učinek metulja in rekurzivna zaporedja (Uroš Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . 81–90 Nobelova nagrada za fiziko 2020 – Črne luknje (Andreja Gomboc) . . . . 91–100 Vesti Poročilo o 77. Občnem zboru DMFA Slovenije na Bledu (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101–102 Popravek (Uredništvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Lovro Dretnik, Marica Kamplet, Boštjan Kuzman, Bela Szomi, Soraya Sternad in Jasmina Žel prejemniki priznanj DMFA Slovenije za leto 2023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102–108 Nežka Mramor Kosta imenovana za novo častno članico DMFA Slovenije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108–110 Konferenca slovenskih matematikov ob 150. obletnici rojstva Josipa Plemlja odlično uspela (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110–113 Nove knjige Matej Brešar, Undergraduate algebra – a unified approach (Klemen Šivic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114–102 Kit Yates, How to Expect the Unexpected, The Science of Making Predictions and the Art of Knowing When Not To (Peter Legiša) . . . 117–XI CONTENTS Articles Pages Butterfly effect and reccurence relations (Uroš Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . 81–90 Nobel Prize for Physics 2020 – Black Holes (Andreja Gomboc) . . . . . . . 91–100 News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101–113 New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114–XI Na naslovnici: Slika supermasivne črne luknje v jedru galaksije Messier 87 (vir: Event Horizon Telescope). Več o tem si lahko preberete v članku na straneh 91–100.